OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ DEKOMPOZYCJI POLA PRĘDKOŚCI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN X 36, s. 8-86, Glwce 2008 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ DEKOMPOZYCJI POLA PRĘDKOŚCI ZBIGNIEW KOSMA, PRZEMYSŁAW MOTYL Istytut Mechak Stosowae, Poltechka Radomska e-mal: Streszczee. Celem pracy było poszukwae optymalzaca efektywych algorytmów oblczeowych wyzaczaa ruchu ceczy lepke w obszarach płaskch przestrzeych - kokurecyych do kodów komercyych. Wyzaczao ruch ceczy lepke metodą dekompozyc pola prędkośc, opsywaą rówaam w zmeych fzyczych: składowe prędkośc, cśee. Nowe algorytmy umerycze zaadaptowao do rozwązywaa zagadeń modelowych, ze względu a moŝlwość porówywaa wyków własych oblczeń umeryczych z wykam prezetowaym w publkacach rezultatam badań eksperymetalych.. WSTĘP Zgode z podstawowym postulatem metody dekompozyc pola prędkośc, tz. rozszczepea pól prędkośc cśea, oblczea są wykoywae w dwu etapach. W perwszym etape oblczeń w kaŝdym kroku czasowym wyzaczae est pomoccze pole prędkośc, w drugm - rozwązywae est zagadee Neumaa dla cśea oblczeowego dokoywaa est korekca składowych prędkośc. Przy rozwązywau zagadea początkowo-brzegowego dla układu rówań róŝczkowych cząstkowych w perwszym etape oblczeń stosowao metodę prostych, polegaącą a zachowau czasu ako zmee ezaleŝe cągłe sprowadzau go do zagadea początkowego dla układu rówań róŝczkowych zwyczaych dla ezaych wartośc składowych prędkośc pomoccze w kaŝdym węźle wewętrzym wygeerowae, rówomere satk. Wszystke pochode względem zmeych przestrzeych aproksymowao klasyczym lorazam róŝcowym drugego rzędu dokładośc, zagadee początkowe dla układu rówań róŝczkowych zwyczaych całkowao metodą Heua drugego rzędu. Zagadee Neumaa dla cśea oblczeowego rozwązywao metodą róŝc skończoych z wykorzystaem metody Gaussa-Sedela. Stwerdzoo przy tym stoty fakt, Ŝe cśee oblczeowe e mus być wyzaczae do pełe zbeŝośc - poadto dodatkowe skrócee czasu oblczeń uzyskao przy ch realzac a dwóch satkach. Wykoao szereg oblczeń testowych dla zagadeń ruchu ceczy lepke w zagłębeach z edą poruszaącą sę ścaką: kwadratowym sześceym oraz w płaskm kaale z uskokem ede ścak. Opracowae algorytmy oblczeń okazały sę bardzo efektywe, uzyskao klkukrote skrócee czasu oblczeń w porówau z czasam wyzaczaa rozwązań tych zagadeń za pomocą paketu Fluet. 2. METODA DEKOMPOZYCJI POLA PRĘDKOŚCI

2 82 Z. KOSMA, P. MOTYL Po wprowadzeu zmeych bezwymarowych pomęcu pola sł masowych edostkowych układ rówań opsuący estacoary ruch ceczy lepke w postac zachowawcze ma postać []: t x x = 0, p = x Re x x, () w którym, 2, 3 są składowym prędkośc w kerukach os kartezańskego układu współrzędych x, x2, x3, p est cśeem, Re - lczbą Reyoldsa. Ogóla dea zastosowaego algorytmu metody dekompozyc pola prędkośc - będącego modyfkacą schematu rozszczepea, zapropoowaego perwote w pracy [2] przez Husera Brgea - polega a wykoywau oblczeń a kaŝde owe warstwe czasowe w dwóch etapach. W perwszym etape oblczeń w przedzale czasu od t do t rozwązywae est zagadee początkowo-brzegowe dla pomocczego pola prędkośc, określoego uproszczoym rówaam Navera-Stokesa dla zaego gradetu cśea t x p = x Re x x, (2) t = t pole prędkośc po- przy załoŝeu, Ŝe a gracach obszaru Ω w chwl czasowe moccze est detycze z polem prędkośc fzycze:, = Ω = Ω. (3) W drugm etape oblczeń dla kaŝdego kroku czasowego t= t t w przedzale czasu od t do t korygowae są wartośc składowe prędkośc pomoccze z zaleŝośc = t 2 p x p x, otrzymaych po scałkowau rówań sprzęgaących pola prędkośc fzycze pomoccze z gradetem cśea oblczeowego, po uprzedm rozwązau zagadea Neumaa dla cśea oblczeowego p a warstwe czasowe t x x p = x x p 2 t x (4) z edorodym warukam brzegowym dla gradetu cśea oblczeowego.

3 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ ZAGADNIENIA OBLICZENIOWE Opracowae algorytmy umerycze przystosowao do symulac umerycze ruchu ceczy lepke w zagłębeach z edą poruszaącą sę ścaką: kwadratowym (rys. a) sześceym (rys. b) oraz w prostolowym kaale z uskokem ede ścak (rys. c). Zagadea te są często rozwązywae w celu testowaa efektywośc dokładośc róŝych algorytmów oblczeowych [3-6]. a) b) c) Rys.. Zagadea oblczeowe: a) kwadratowe zagłębee, b) sześcee zagłębee, c) kaał z uskokem ede ścak Ścak góre zagłębeń poruszaą sę ze stałą prędkoścą, rówoległą do os x. W przekroach: wlotowym wylotowym kaału przyęto parabolcze rozkłady prędkośc, wykaące z rówośc wydatku ( Q = 0.5) przepływaącego strumea ceczy lepke. Na ścakach kaału waruk brzegowe dla prędkośc wyraŝaą eprzekalość brak poślzgu, a ego wloce przyęto zkae gradetu cśea, a wyloce: p =. 4. ALGORYTMY OBLICZENIOWE Wszystke symulace umerycze w obszarach zagłębeń z edą poruszaącą sę ścaką oraz w kaale z uskokem ścak wykoao a rówomerych satkach oblczeowych o kwadratowych oczkach. Do rozwązywaa zagadea (2) - (3) w perwszym etape oblczeń zastosowao metodę prostych, polegaącą a ego sprowadzeu do układów rówań róŝczkowych zwyczaych przy zachowau czasu ako zmee ezaleŝe cągłe. Uzyskao w te sposób układy rówań róŝczkowych zwyczaych postac w których U [ ] T d U = F( U), (5) dt = est wektorem zmeych ezaleŝych, oblczaym w kaŝdym węźle wewętrzym satek, F - operatorem róŝczkowaa względem zmeych przestrzeych. Po wykoau szeregu testów umeryczych aefektyweszym okazały sę: aproksymaca pochodych względem zmeych przestrzeych klasyczym, trzypuktowym lorazam róŝcowym drugego rzędu dokładośc, całkowae zagadeń początkowych dla układów (5) metodą Heua drugego rzędu. Naefektywesze okazało sę róweŝ rozwązywae zagadea Neumaa dla rówaa Possoa (4) metodą róŝc skończoych z aproksymacą pochodych względem zme- 83

4 84 Z. KOSMA, P. MOTYL ych przestrzeych klasyczym róŝcowym drugego rzędu dokładośc. Otrzymae układy algebraczych rówań lowych rozwązywao metodą Gaussa-Sedela. Przy wykoywau eksperymetów umeryczych stwerdzoo, Ŝe wyzaczae cśea oblczeowego w drugm etape oblczeń e mus być realzowae do pełe zbeŝośc a koleych warstwach czasowych (w całym procese oblczeń), co stote skraca czas oblczeń przy zachowau Ŝądae dokładośc. Dodatkowe skrócee czasu oblczeń uzyskao po zastosowau do rozwązywaa układów algebraczych rówań lowych metody dwóch satek. 5. WYNIKI SYMULACJI NUMERYCZNYCH Symulace umerycze zostały wykoae dla daych wyszczególoych w tabel - określaących rozmary satek oraz wartośc lczb Reyoldsa kroków czasowych. Przyęto edakowe dokładośc ustalaa sę modułów pochodych układu rówań (2) oraz rozwązywaa 2 zagadea Neumaa dla rówaa (4) metodą róŝc skończoych - rówą 0. Tabela. Dae do oblczeń umeryczych Parametr oblczeń Kwadratowe zagłębee Sześcee zagłębee Kaał z uskokem ścak Rozmar satk Lczba Reyoldsa Krok czasowy Oblczea wykoywao albo a ede satce z ograczeem lczby terac (30 terac) albo teŝ a dwóch satkach: wykoywao aperw 5 terac a satce gęste, 20 terac a satce rzadke - a koec - 5 terac a satce gęste (łącze kaŝdorazowo 30 terac). Stwerdzoo poadto, Ŝe przyęta lczba satek e ma wpływu a dokładość oblczeń, ma atomast stoty wpływ a zmeszee czasu oblczeń (ok. 20 %). Zastosowae algorytmu oblczeń a dwóch satkach przyspesza zbeŝość procesu wyzaczaa cśea oblczeowego oraz zmesza oscylace błędu oblczeń składowych prędkośc (rys. 2). a) b) Rys. 2. Kwadratowe zagłębee - błędy oblczeń dla Re 00 a satce 50 50: a) składowych prędkośc, b) cśea oblczeowego

5 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ 85 Na rys. 3 6 przedstawoo wyk awaŝeszych oblczeń umeryczych dla rozwązywaych zagadeń oraz ch porówaa z wykam prezetowaym w publkacach. a) b) c) Rys. 3. Kwadratowe zagłębee - wyk oblczeń dla Re = a satce : a) le prądu; rozkłady składowych prędkośc: b) u - a l x = 0.5, c) v - a l y = 0.5 a) b) c) Rys. 4. Sześcee zagłębee - wyk oblczeń dla Re = 000 a satce : a) le prądu w płaszczyźe z = 0.5; rozkłady składowych prędkośc: b) u - a l x = 0.5, c) v - a l y = 0.5 Rys. 5. Kaał z uskokem ede ścak - le prądu dla Re = 800, satka a) b) Rys. 6. Kaał z uskokem ede ścak: Re = 800, satka Rozkłady składowe prędkośc u dla a lach: a) x = 7, b) x = 5 85

6 86 Z. KOSMA, P. MOTYL 6. PODSUMOWANIE We wszystkch rozwaŝaych zagadeach uzyskao poprawe wyk symulac umeryczych w szerokm zakrese lczb Reyoldsa. Stwerdzoo dobrą zgodość wartośc składowych prędkośc a osach symetr zagłębeń oraz w wybraych przekroach kaału z uskokem ścak z wykam aalogczych oblczeń - prezetowaym w publkacach. Skuteczość zastosowaych algorytmów: metody prostych w perwszym etape oblczeń oraz wyzaczaa cśea oblczeowego w drugm etape oblczeń została węc w peł potwerdzoa. Algorytmy te są eskomplkowae, efektywesze od algorytmów wykorzystywaych w paketach komercyych. MoŜa e łatwo zmodyfkować do wyzaczaa ruchu ceczy lepke w obszarach ograczoych eregularym lam brzegowym, stosuąc struktury daych typu lsta, graf. LITERATURA. Kosma Z.: Podstawy mechak płyów. Radom: WPR, Huser A.D., Brge S.: Calculato of two-dmesoal shear-drve cavty flows at hgh Reyolds umbers. It. J. Numer. Meth. Fluds, 4, 992, s Gha U., Gha K.N., Sh C.T.: Hgh-Re solutos for compressble flow usg the Naver-Stokes equatos ad a multgrd method. J. Comp. Phys., 48, 982, s Erturk E., Corke T.C., Gökçöl C.: Numercal solutos of 2-D steady compressble drve cavty flow at hgh Reyolds umbers. It. J. Numer. Meth. Fluds, 48, 2005, s Shu C., L. Wag L., Chew Y.T.: Numercal computato of three-dmesoal compressble Naver-Stokes equatos prmtve varable form by DQ method. It. J. Numer. Meth. Fluds, 43, 2003, s Gartlg D.K.: A test problem for outflow boudary codtos-flow over a backwardfacg step. It. J. Numer. Meth. Fluds,, 990, s OPTIMIZED ALGORITHMS FOR THE CALCULATIONS OF ISCOUS INCOMPRESSIBLE FLOWS USING A ELOCITY CORRECTION METHOD Summary. New verso of a algorthm for usteady moto of a vscous compressble flud s proposed. The algorthm ca be cosdered as a modfcato of the proecto scheme orgally developed by Huser ad Brge. I the frst step of calculato the method of les s adopted, whle for solvg the Neuma problem for the computatoal pressure the fte dfferece method s appled. The umercal expermets showed that the computatoal pressure had ot to be determed accurately, moreover two grds method has bee foud to work very well a reasoable acceleratg the rate of covergece. Test calculatos for lamar flows the square ad cubc cavtes wth oe movg wall ad the backwardfacg step have bee performed. The proposed algorthm proved to be very effectve for the demaded tme of calculatos.