Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa Pr X = k. ( ) k Pr ( Y = k) Pr( X = k) 0 0 0.6788 0. 0.0758 0. 0.77 0. 0.0964 4 0. 0.0709 5 0. Wobec ego Pr ( X = 5) z dobrym przybliżeniem wynosi: (A) 0.00 (B) 0.04 (C) 0.08 (D) 0. (E) 0.6
Zadanie. Proces pojawiania się szkód w czasie N ( ) jes procesem o przyrosach niezależnych o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym dla każdego nieujemnego oraz dodaniego s wzorem: Γ ( ( ) ( ) ) ( r s + k) s k ( q) ( ) r Pr N + s N = k = q k = 0... k! Γ r s gdzie r = 5 oraz q = o paramery procesu. 4 Oblicz granicę prawdopodobieńsw warunkowych: ( N( + s) N( ) = N( + s) N( ) 0) limpr > 0 s (A) (B) (C) (D) (E) 8 8ln ln
Zadanie. Rozważamy klasyczny proces nadwyżki z zerową nadwyżką począkową U = c gdzie: () S N () c jes sumą składek zgromadzonych do momenu N jes procesem Poissona z paramerem inensywności λ () n S n = Y i jes sumą warości n pierwszych szkód i= warości szkód Y Y... są i.i.d niezależne od procesu N. O rozkładzie warości pojedynczej szkody wiemy ylko yle że: Pr( Y [ 0] ) = E( Y ) = / 0. λ Wiemy eż że c >. 0 Wobec ego warość oczekiwana deficyu w momencie ruiny (pod warunkiem że do ruiny dojdzie) może przyjmować różne warości. Przedział kóry zawiera wszyskie e warości (i nic ponado) jes posaci: Y ( ) (A) (B) (C) (D) (E) 0 0 0 0 0 0 0
Zadanie 4. W pewnym ubezpieczeniu mamy do czynienia z ciągłym liniowym wzrosem liczby ryzyk w porfelu co wyraża założenie iż zmienna T ( 0) wyrażająca momen zajścia losowo wybranej szkody z ego porfela w ciągu roku (o ile oczywiście do szkody dojdzie) ma rozkład dany gęsością: 6 f () = +. 7 7 Niech T oznacza odsęp w czasie od momenu zajścia szkody do jej likwidacji. Zmienna a ma rozkład wykładniczy z warością oczekiwaną równą (laa). Zakładamy że zmienne losowe T oraz T są niezależne. Prawdopodobieńswo iż szkoda do kórej doszło w ciągu roku pozosanie nie-zlikwidowana na koniec ego roku z dobrym przybliżeniem wynosi: (A) 7.7% (B) 78.5% (C) 8.8% (D) 84.6% (E) 85.7% 4
Zadanie 5. W pewnym porfelu ryzyk łączna warość szkód: W = Y + Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona o paramerze częsoliwości λ = 00 oraz rozkładzie warości pojedynczej szkody Y wykładniczym z warością oczekiwaną E( Y ) = 0. Niech: W = min Y M +... + min Y } { } { M M N W M gdzie oznacza ę część łącznej warości szkód W kóra pozosaje na udziale ubezpieczyciela po scedowaniu nadwyżki każdej szkody z ego porfela ponad M na reasekuraora. Akualnie paramerem konraku reasekuracyjnego jes warość zachowku M = 50. Rozważamy jednak możliwość zmiany ego parameru oraz wpływ akiej zmiany na charakerysyki zmiennej losowej W M. Pochodna wariancji zmiennej W M : Var( WM ) M M = 50 wynosi (w przybliżeniu do jedynek): (B) 50 (C) 55 (D) 6 (D) 67 (E) 75 5
Zadanie 6. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskrenym posaci: U = u + c n S n = 0... S = W + W +... + W n n W W W n n gdzie zmienne... są niezależne i mają en sam rozkład wykładniczy z warością oczekiwaną równą jeden. Jeśli paramery procesu wynoszą: c = ln u = 4ln o prawdopodobieńswo ruiny w nieskończonym horyzoncie czasu wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) 8 8 6 6 6
Zadanie 7. Oznaczmy przez łączną warość szkód zaisniałych w roku przez ę jej X X 0 X część kóra doyczy szkód zlikwidowanych przed końcem roku zaś przez część pozosałą. Warunkowe momeny ych zmiennych (przy danej warości parameru ryzyka μ ) spełniają założenia: E( X 0 μ ) = μ p E( X μ ) = ( p) μ Var( X μ ) = μ 0 pb Var( X μ ) = μ ( p) b ( ) 0 Cov X 0 X μ = zaś rozkład parameru ryzyka μ spełnia założenia: E ( μ ) = μ Var( μ ) = a Najlepszy nieobciążony liniowy predykor zmiennej X opary na informacji o zmiennej X oraz znanych warościach paramerów ( p b μ a ) jes posaci: 0 BLUP( X X ) cx d 0 = 0 + Współczynnik c wysępujący w powyższym wzorze jes posaci: (A) c = ( p) a p( μb + a ) (B) ( p) a c = μ b + pa (C) ( p) pa c = μ b + p a (D) ( p) a c = b + pa ( p) pa (E) c = b + p a 7
Zadanie 8. N Y Y... o niezależne zmienne losowe N ma rozkład Poissona z warością Y oczekiwaną równą 0 zaś Y Y Y... mają idenyczny rozkład Pareo o dysrybuancie określonej na półosi dodaniej wzorem: Niech Niech F ( y) Liczba = + y M = max{ Y Y... YN } przy czym jeśli N = 0 o przyjmujemy M = 0. oznacza aką liczbę że M m 0 = 0. m ( ) 95 0.95 m 0.95 Pr. 95 wynosi (z przybliżeniem do jednej dziesiąej): (A).8 (B).8 (C) 4.8 (D) 5.8 (E) 6.8 8
Zadanie 9. W pewnym ubezpieczeniu proces pojawiania się szkód jes procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą a warości pojedynczych szkód (niezależne nawzajem i od procesu pojawiania się szkód) mają rozkład ciągły o gęsości równej na przedziale ( 0). Ubezpieczony sosuje nasępującą sraegię zgłaszania szkód w ciągu roku: Nie zgłasza szkód dopóki nie zdarzy mu się szkoda o warości przekraczającej ½ Zgłasza pierwszą szkodę kóra przekroczyła warość ½ po czym zgłasza ewenualne nasępne szkody bez względu na o jaka jes ich warość. Charaker ubezpieczenia jes przy ym aki że decyzja o niezgłoszeniu danej szkody jes nieodwołalna nie ma więc możliwości zgłoszenia danej szkody dopiero wedy kiedy zajdzie kóraś z nasępnych szkód. Oczekiwana warość szkód zgłoszonych w ciągu roku z ego ubezpieczenia wynosi (z dobrym przybliżeniem): (A) 0.75 (B) 0.77 (C) 0.79 (D) 0.8 (E) 0.84 9
Zadanie 0. Pewien podmio posiada wyjściowy mająek o warości w i narażony jes na sraę X. Sraa X jes zmienną losową o rozkładzie dwupunkowym: Pr( X = ) = q Pr( X = 0) = q Rynek ubezpieczeniowy oferuje konraky ubezpieczeniowe wypłacające α X za szkodę w wysokości X dla dowolnych α ( 0] w zamian za składkę w wysokości ( + θ ) q α. Podmio en posępuje racjonalnie a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyeczności przy czym jego funkcja użyeczności jes posaci: u( x) = exp( x). Jeśli założymy że θ = 5% zaś q = 0% wedy podmio o kórym mowa osiągnie maksimum oczekiwanej użyeczności wybierając konrak z pokryciem równym (wybierz najlepsze przybliżenie): (A) α 67% (B) α 7% (C) α 7% (D) α 76% (E) α 78% 0
Egzamin dla Akuariuszy z 4 października 00 r. Maemayka ubezpieczeń mająkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punkacja C D C 4 E 5 D 6 A 7 B 8 C 9 E 0 B * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.