Problem decyzyny cel różne sposoby dzałana (decyze) warunk ogranczaące (determnuą zbór decyz dopuszczalnych) kryterum wyboru: umożlwa porównane efektywnośc różnych decyz dopuszczalnych z punktu wdzena celu wybór nalepsze z nch (decyza ymalna) Rozwązane problemu decyzynego polega na wskazanu w zborze decyz dopuszczalnych decyz ymalne. Model decyzyny to problem decyzyny przedsatwony w postac modelu matematycznego zmenne - zmenne decyzyne, parametry - parametry funkc celu parametry warunków ogranczaących Model decyzyny:. f(x, ) funkca kryterum (funkca celu) V(x, ) układ warunków ogranczaących gdze: f funkca celu x wektor zmennych decyzynych zbór parametrów funkc celu V wektorowa funkca warunków ogranczaących zbór parametrów warunków ogranczaących Rozwązane ymalne to wektor wartośc zmennych decyzynych będących rozwązanem modelu decyzynego Lnowy model decyzyny to tak model decyzyny w którym funkca celu warunk ogranczaące są lnowe Przykładowe zagadnena PL Ustalane asortymentu produkc (koszty - mn, zysk - max) Zagadnene dety (koszty - mn) Zagadnene rozkrou (odpady - mn) Alokaca zasobów (koszty, czas łączny, czas maksymalny - mn, zysk - max) Posatać matemetyczna modelu lnowego funkca celu max(mn)f(x) c x + c x + + c nx n warunk ogranczaące a x + a x + + a nx n b a x + a x + + a nx n b a kx + a kx + + a knx n b k warunk brzegowe: x ú x ú x n ú gdze: x zmenne decyzyne n lczba zmennych decyzynych c współczynnk funkc celu a współczynnk przy zmenych decyzynych w warunkach ogranczaących k lczba warunków ogranczaących b wyrazy wolne warunków ogranczaących Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Oznaczmy x x x x n b b b b k c c c c n A a a a n a a a n a k a k a kn Postać standardowa modelu PL w zapse macerzowym c T x Ax ñ b x ú Postać kanonczna modelu PL gdze s c T x + s Ax + Is b x ú s ú s s k mn f(x) c T x Ax ú b x ú mn f(x) c T x + s Ax Is b x ú s ú wektor zmennych swobodnych - nadwyżk zasobów (w ogranczenach typu ñ) w stosunku do nezbędnego mnmum (w ogranczenach typu ú) Zbór (obszar) rozwązań dopuszczalnych (ORD) est zborem wypukłym tzn. wszystke punkty odcnka łączącego dowolne dwa punkty ORD należą ORD. ORD ma skończoną lczbę werzchołków Twerdzene Weerstrassa Forma lnowa f(x) c x + c x + + c nx n określona na domknętym zborze wypukłym o skończone lczbe werzchołków osąga swą wartość nawększą (namneszą) na brzegu tego zboru. Wnosek Rozwązana ymalnego zadana PL należy szukać edyne wśród rozwązań dopuszczalnych będących werzchołkam ORD. Lczba zmennych postac kanonczne (n + k) > k (lczba ogranczeń) Układ k warunków z (n + k) zmennym można rozwązać przymuąc, że k zmennych przymue wartośc różne od, a pozostałych n zmennych wartośc równe. Zmenne bazowe - tworzą rozwązane (zmenne! ) B - zbór wszystkch wskaźnków wektorów bazy Baza - macerz złożona z kolumn współczynnków ogranczeń przy zmennych bazowych ( B) Zmenne nebazowe - w rozwązanu z założena Rozwązane zdegenerowane - eśl edna węce zmennych bazowych Rozwązywane model PL Rozwązywane zadana PL - porównywane wartośc funkc celu w punktach werzchołkowych Punkty werzchołkowe - rozwązana układu równań utworzonego z warunków postac kanonczne dla różnych kombnac zmennych bazowych Spsoby rozwązywana metoda grafczna metody analtyczne algorytm smpleks algorytm transportowy Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr
Przykład Zysk ednostkowy, ednostkowe nakłady środków produkc zasoby środków produkc nezbędnych do produkc wyrobów A B Środk produkc Maszyny Praca Surowec Jednostka mary rh rh kg Nakłady środków produkc na ednostkę produkt A (x ),5 produkt B (x ),5 Zasoby środków produkc 8 5 surowec praca x 5 Zysk ednostkowy ($/szt.) Model maksymalzac zysków z produkc wyrobów A B maszyny B funkca celu x + x t max warunk ogranczaące x + x ñ 8, 5x +, 5x ñ x + x ñ 5 warunk brzegowe x ú x ú - welkość produkc wyrobu A (w sztukach) X - welkość produkc wyrobu B (w sztukach) X (maszyny) (praca) (surowce) Postać kanonczna funkca celu x + x + + s + s t max warunk ogranczaące x + x + 8, 5x +, 5x + s x + x + s 5 warunk brzegowe x ú x ú ú s ú s ú ω C D A 5 S P M Rozwązane ymalne: A(, ) u f(x A ) x x B(, ) u f(x B ) C(, ) u f(x C ) Wykorzystane czynnków maszyny $ + $ 8 D(5, ) u f(x D ) praca, 5 $ +, 5 $ 5 surowec $ + $ 5 x Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr 5 Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr I. Zagwarantować, aby Algorytm smpleks b ú II. Budowa postac kanonczne A. Zmodyfkować warunk ogranczaące (postępowane ne zależy od typu funkc celu):.dodać zmenne swobodne do ogranczeń typu " ñ".dodać zmnne sztuczne do ogranczeń typu " ".odąć zmenną swobodną dodać zmnną sztuczną do ogranczeń typu " ú" B. Zmodyfkować funkcę celu współczynnk funkc celu przy zmennych swobodnych współczynnk funkc celu przy zmennych sztucznych c M Typ funkc celu c gdze M p mn f(x) c M C. Jako wyścową przyąć bazę złożoną z wektorów współczynnków stoących przy: zmennych swobodnych dołączonych do warunków typu " ñ" zmennych sztucznych dołączonych do warunków typu " " " ú". III. Kryterum ymalnośc. z c m. c z [ Typ funkc celu. z c [. c z m mn f(x) IV. Kryterum WEJŚCIA przy wektorze wchodzącym x p Typ funkc celu p : p mn ( < ) p : p max ( > ) mn(x) p : p max ( > ) p : p mn ( < ) V. Kryterum WYJŚCIA przy wektorze wychodzącym x r Typy rozwazań: gdze z cb c a Typ funkc celu - ne zależy mn f(x) r : a br rp mn ap> b a p Neogranczone - rozwązane ne est ymalne można wprowadzć zmenną do bazy, ale ne można żadnego wyrzucć Neednoznaczne - w rozwązanu ymalnym lczba wskaźnków ymalnośc est wększa od k (lczby ogranczeń) Sprzeczne - rozwązane ymalne zawera zmenną sztuczną przymącą wartość nerówną! Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr 8
Rozwazane przykładu algorytmem smpleks x x Baza c B b b a k 8 s / / s 5 5 z -c - - x / / s / -/8 s 9/ -/ 9 z -c - / x / -/9 s -/ -/8 5 x -/ /9 z -c / /9,, x x D x S x x s s s 5 s produkt A produkt B maszyny praca surowec szt. szt. rh. rh. kg. f(x) ($) s 5 - nadwyżka zasobów pracy w wysokośc 5 rh. x x B x N x B Oznaczna: x D decyzyne x S swobodne x s x B b x B bazowe x N nebazowe B Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr 9 9 8 9, 5, 5 8 5 5 9 8 9 Model dualny Model prymalny (MP) c T x Ax ñ b x ú mn f(x) c T x Ax ú b x ú Model dualny (MD) mn g(y) b T y A T y ú c y ú max g(y) b T y A T y ñ c y ú Zasady konstrukc model dualnych. Maksymalzac wartośc funkc celu w MP odpowada mnmalzaca w MD. Współczynnk funkc celu c MP staą sę wyrazam wolnym warunków ogranczaących MD. Wyrazy wolne b warunków ogranczaących MP staą sę współczynnkam funkc celu MD. Macerz współczynnków MD est transponowaną macerzą A współczynnków MP 5. Ogranczena zmenne w MP MD MP (max) MD (mn) -te ogranczene typu zmenna ñ e y ú ú e y ñ e y c R zmenna -te ogranczene typu x ú e ú x ñ e ñ x c R e Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Zadane dualne funkca celu 8y + y + 5y t mn warunk ogranczaące y +, 5y + y ú y +, 5y + y ú warunk brzegowe y ú y ú funkca celu warunk ogranczaące warunk brzegowe z -c z -c y 8 M- 8 Zadane dualne w postac kanonczne 8y + y + 5y + + s +Mt +Mt t mn y +, 5y + y + t y +, 5y + y s + t y ú y ú y ú ú s ú t ú t ú y Baza c B b b a M M k t M / - / t M / - M- y 5 / / -/ / / t M / / - -/ / z M M/ M/ / M+ - -5-5 + 5 y 5 /8 -/9 /9 /9 -/9 /9 y 8 / / -/ -/ / / -5 y 5 9M- 5 - s - t + t + M 5 y y y y s / /9 Zwązk rozwązań ymalnych MP MD f(x ) g(y ) (y D ) T (c B ) T B Np. (y D ) T x B B b f(y) ($) - superskrypt oznaczaacy rozwązane ymalne B - macerz utworzona ze współczynnków przy zmennych bazowych rozwązana ymalnego MP, występuących w warunkach ogranczaących postac kanonczne MP y D - zmenne decyzyne w rozwązanau ymalnym MD c B - współczynnk funkc celu zmennych bazowych MP, 5, 5 (y D ) T (c B ) T B ( s ) T / /9 / /8 / /9 / /9 y B B d b d (x D ) T (c db ) T B d ( ds ) T gdzezmenne x D decyzyne MP y D zmenne decyzyne MD MP - rozwązane neogranczone p MD - rozwązane sprzeczne MP - rozwązane sprzeczne p MD -??? (neogranczone sprzeczne) T B d 9 9 y B B d b 9 9 9 Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr
Zmenne decyzyne swobodne Zadane prymalne x x s s Optymalne wartośc zmennych 5 Wartośc bezwzględne wskaźnków ymalnośc Wartośc bezwzględne wskaźnków ymalnośc / /9 Optymalne wartośc zmennych s y y y Zadane dualne swobodne decyzyne Zmenne Analza wrażlwośc rozwązana ymalnego Przedzały dla współczynnków funkc celu: c c ( z c ) z c c / / / z 5 c 5 c /8 /9 /9 ú gdze c ú c ñ z c a ú 9 9c ú c ú tzn. c c,. Podobne wyznaczamy przedzał dla c : c Przedzały dla wyrazów wolnych ogranczeń: b b b ( x B B b ú ) / /9 / /8 / /9 b 5 ú b 9 $ 5 ú b + 8 $ 5 ú b + 9 $ 5 ú tzn. b c 5,. Podobne wyznaczamy przedzały dla b b. / / /... b ú 5 b ñ b ñ Interpretaca wskaźnków ymalnośc: o le zmen sę wartość funkc celu eśl ogranczene zmen sę o edną ednostkę, np. wzrost lmtu czasu pracy maszyn o rh spowodue zmanę rozwązana ymalnego wzrost wartośc funkc celu o. dolara Dla orygnalnych ogranczeń: ( ds ) T (x D ) T (c db ) T B d 5 8 Wzrost zasobów czasu pracy maszyn o rh: (x D ) T 5 8 9 9 + 9 9 T f(x ) / + / f(x )+/ Przedzały ymalnośc dla współczynnków funkc celu Współczynn k C C Przedzały ymalnośc dla składowych wektora wyrazów wolnych Współczynn k b b b Dolne ogranczene Dolne ogranczene 5 5 Wartość w modelu Wartość w modelu 8 5 Górne ogranczene 8 Górne ogranczene Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Zagadnene przesyłu alokac (zagadnene transportowe) Klasyczne zagadnene transportowe Opracować plan przewozów tak aby zaspokoć zapotrzebowane odborców zmnmalzować koszty przewozów funkca celu ogranczena dostawców popyt odborców Model zagadnena transportowego mn f(x) c x x a x b Dane do zagadnena transportowego możlwośc dostawców zapotrzebowane odborców macerz ednostkowych kosztów przewozu od każdego dostawcy do każdego odborcy (,, m) (,, n) warunk brzegowe x ú (,, m,,, n) gdze m lczba punktów nadana (dostawców) n lczba punktów odboru (odborców) lośc ładunku u dostawców ( m) a b c x zapotrzebowane odborców ( n) ednostkowe koszty przewozu od -tego dostawcy do -tego odborcy ( m, n) welkość ładunku do przewezena od od -tego dostawcy do -tego odborcy ( m, n) Tablca przewozów - tabela zaweraaca plan przewozów) Węzeł (trasa) - element tablcy przewozów Lna - wersz kolumna tablcy przewozów Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr 5 Macerz c może zawerać koszty przewozu długość trasy zysk ednostkowy czas przewozu Własnośc zagadneń transportowych m + n równań m $ n zmennych Każda ze zmennych x występue w ogranczenach dwukrotne Współczynnk przy zmennych decyzynych w warunkach ogranczaących (współczynnk macerzy A) równe. Rozwązane składa sę z co nawyże m + n dodatnch zmennych x Rozwązane nezdegenerowane Zawsze stnee przynamne edno bazowe rozwząne dopuszczalne Zawsze posada rozwązane ymalne Typy zagadneń transportowych zamknęte (zblansowane) otwarte Model dualny zagadnena transportowego max a u + b v u + v ñ c u c R v c R (,, m), (,, n) Wskaźnk ymalnośc w zagadnenu transportowym u + v c Lczba zmennych bazowych wynos m + n Lczba neznanych wartośc u oraz v wynos m + n Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr zawera m + n dodatnch zmennych x Rozwązane zdegenerowane - eśl ch lczba est mnesza od m + n Zadane zamknęte (zblansowane) a b Zadane otwarte (nezblansowane) a > b a < b
Algorytm transportowy I. Wyznaczene wstępneg planu przewozów Metody Metoda KPZ kąta płónocno - zachodnego (KPZ). Maksymalny przepływ na mnmum w werszu trase (, ) : x mn(a, b ) mnmum w kolumne. Korekta podaży a a x mnmum w macerzy kosztów popytu b b x ednostkowych. Wybór następne trasy II. Kryterum ymalnośc metoda przydzałów metoda potencałów Wskaźnk ymalnośc u + v c c u + v Ocena ymalnośc ak w algorytme smpleks s s + eżel a r >, b s r r +, s s + eżel a r, b s r r + eżel a r, b s >. Maksymalny przepływ na trase (rs) : x rs mn(a r, b s) 5. Jeżel r moraz s n to KONIEC postępowana. Korekta podaży a r a r x rs popytub s b s x rs. Powrót do kroku IV.Kryterum WYJŚCIA z bazy A. Wyznaczene cyklu Cykl - tak zbór węzłów, że Wskazać węzły cyklu zaweraącego trasę w każde ln tego zboru wchodzącą do bazy oznaczyć elementy znaduą węzły ne ma cyklu znakam + - (element żadnego węzła tego zboru wchdzący znakem + ) + - zbór tras oznaczonych znakem + - zbór tras oznaczonych znakem - B. Wyznaczene maksymalnego przewozu na trasach cyklu mn x V. Wyznaczene nowego planu przewozów x x x + dla (,)c + x x + dla (,)c x x dla (,)" oraz (,)" + Z bazy wypadne trasa (r, s), dla które x rs Degeneraca w trakce rozwazywana - ako zmenną bazową przymue sę tę, która wypadła z cyklu III.Kryterum WEJŚCIA do bazy kl mn (,,..., m) (,,..., n) < Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr 8 Postępowane w przypadku nezblansowana podaż < popyt a < b Fkcyny dostawca m +.. c m+ a m+ b a podaż > popyt a > b Fkcyny odborca n +.. c n+ b n+ a b Macerz ednostkowych kosztów przewozu, lość towaru u dostawców oraz zapotrzebowane odborców Jednostkowe koszty transportu Numer dostawcy Numer odborcy 9 Podaż Postępowane w przypadku ogranczena przepustowośc trasy Całkowta blokada trasy (k, l) Przyąć c kl M (M >> ) Częścowa blokada trasy: ogranczene na trase. Zastąpć l-tą kolumnę (odborcę) dwema kolumnam l l max. Popyt: b l (b k x kl ) max b l x kl. Współczynnk: c l c l c l c l dla,, m (k, l) wynos max x kl. Zablokować trasę (k, l ), t. przymąc c kl M (M >> ) 5. Rozwązać zmodyfkowany model. Optymalny plan przewozów do l-tego odborcy: x l x l + x l (,, m) Analogczną procedurę postępowana można równeż rozpocząć od zastąpena r-tego wersza c 9 Popyt [a ] a b - zadane zblansowane 8 b 5 Model 8 5 x + x + x + x + 9x + x t mn x + x + x x + x + x x + x 8 x + x 5 x x x ú (,,, ) u u v v v zmenne dualne Macerz współczynnków A Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr 9 Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr
Model dualny u + u + 8v + 5v + v u + v ñ u + v ñ u + v ñ u + v ñ u + v ñ 9 u + v ñ u c R (, ) v c R (,, ) t max Rozwązane ymalne x 8 5 Optymalna wartość funkc celu: c x $ 8 + $ + 9 $ 5 + $ 89 mn, - 8 9 Tabela przewozowa Tabela wskaźnkowa 8 - + + 5-9 8 5 u v mn 8, 8 Kryterum ymalnośc: u + v c ñ x 8 5 8 c x $ 8 + $ + 9 $ + $ 89 x x + ( )x 8 5 + ( ) 8 gdze ñ ñ v u 8 8-5 + 5 - + Rozwązane est neednoznaczne bo lczba wskaźnków ymalnośc równych wynos (+) > (+-) - 9 v u Na przykład, 5 x,5, 5 8 5 + (, 5) 8 c x,5 $ 8 + $ 5 + 9 $ 85 + $ 5 + $ 5 89 5 5 8 85 5 Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr Marusz Plch, Konspekty wykładów z Ekonometr