Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek ()
Równania różniczkowe zwyczajne Równanie o postaci ogólnej: F ( x, y, y, y,..., y n ) = 0, y (k) d k y(x) d x k, k =,, 2,..., n, w którym jako niewiadoma występuje funkcja tylko jednej zmiennej niezależnej y(x) oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne y (k) (x), 0 < k n nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n. Oprócz pojedynczych równań występują również układy takich równań: F ( x, y, y, y,..., y n ) = 0, F 2 ( x, y, y, y,..., y n ) = 0, F n ( x, y, y, y,..., y n ) = 0. (2)
Metody rozwiązywania zagadnienia brzegowego Pojedyncze równania różniczkowe (lub ich układy) opisują różne zjawiska i procesy zachodzące w modelach fizycznych. Mimo tej różnorodności występują tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów: problem początkowy, problem brzegowy. Zajmiemy się poszukiwaniem takich funkcji y(x), które są rozwiązaniem równania rzędu conajmniej drugiego, funkcji określonych na przedziale (a, b) i zdefiniowanych n warunkami, z których jedne dotyczą punktu a, a inne punktu b. W celu znalezienia rozwiązania zagadnienia można zastosować: Metodę Różnic Skończonych, nazywaną także metodą różnicową Metodę Elementów Skończonych (3)
Metoda Różnic Skończonych Algorytm metody Zastąpienie obszaru zbiorem węzłów różnicowych zamiana postaci rozwiązania : z funkcji ciągłej na skończny zbiór wartości funkcji w węzłach Zastąpienie pochodnych w równaniach problemu wzorami różnicowymi Rozpisanie równania różnicowego dla wszystkich punktów węzłowych, w których poszukujemy różnych od zera wartości funkcji Przedstawienie warunków brzegowych w reprezentacji różnicowej Zapisanie algebraicznego układu równań i jego rozwiązanie czyli wyznaczenie węzłowych wartości funkcji pierwotnej występującej w równaniu różniczkowym np. funkcji ugięcia Wyznaczenie wartości funkcji wtórnych np. funkcji momentu. (4)
Centralne wzory różnicowe dla zagadnienia jednowymiarowego 2 3 4 5 6 7 i-2 i- i i+ i+2 i-2 i- i i+ i+2 f I 2h - 0 f II -2 h 2 f III 2h 3-2 0-2 f IV -4 6-4 h 4 (5)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu Przykład: Rozwiązać problem brzegowy: y (x) = x, x [a, b] y(a) = 2, y (b) =, gdzie a = 0.0, b = 2.0; Rozwiązanie: Przedział [0, 2] dzielimy na n = 4 części, h = 0.5. a=0 h i= 0 2 3 4 b=2 Tworzymy układ równań różnicowych dla i =, 2, 3, 4: 5 x y i 2 y i + y i+ h 2 = x i y i 2 y i + y i+ = h 2 x i Warunki brzegowe mają następującą postać różnicową: y 0 = 2, y 3 + y 5 2h = y 3 + y 5 = 2h. (6)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu Tworzymy układ równań różnicowych dla i =, 2, 3, 4: y i 2 y i + y i+ = h 2 x i Warunki brzegowe mają następującą postać różnicową: Otrzymujemy układ równań MRS: y 0 = 2, y 3 + y 5 = 2h. i = 0 y 0 = 2 i = y 0 2 y + y 2 = 0.25 i = 2 y 2 y 2 + y 3 = 0.250 i = 3 y 2 2 y 3 + y 4 = 0.375 i = 4 y 3 2 y 4 + y 5 = 0.500 i = 4 y 3 + y 5 = (7)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego Postać układu równań różnicowych Zapis układu równań w postaci macierzowej A y = B: i= 0 2 3 4 5 x 0 2 3 4 5 wb. i=0 y 0 2 i= -2 y 0.25 2 3-2 -2 y 2 y 3 = 0.250 0.375 4-2 y 4 0.5 wb. i=4 - y 5 A. y = B (8)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego Wyniki Rozwiązanie analityczne: y(x) = 6 x 3 x + 2 2 Rozwiązanie nr x MRS 4 analityczne 0 0.0 2.0000 2.0000 0.5.5000.5208 2.0.2500.667 3.5.0000.0625 5 2.0.2500.3333.8.6.4.2 MRS 4 MRS 8 Analityczne 0.8 0 0.5.5 2 (9)
Problem zginania belki Przemieszczeniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu Zastosujemy MRS do rozwiązania problemu sformułowanego lokalnie np. za pomocą przemieszczeniowego równania różniczkowego czwartego rzędu opisującego zginanie belki prostej. d 4 v(x) dx 4 = p y (x) EJ Poszukiwaną pierwotną funkcją jest funkcja ugięcia belki v(x). Funkcjami wtórnymi będą: moment zginający M(x) oraz siła poprzeczna T (x): M(x) = EJ d 2 v(x) dx 2, T (x) = EJ d 3 v(x) dx 3. Do równania różniczkowego należy dopisać odpowiednie warunki brzegowe, wynikające z brzegowych więzów kinematycznych oraz brzegowych obciążeń.. (0)
Model obliczeniowy belki Tworzenie równań różnicowych Jednowymiarowe zagadnienie brzegowe zginania belki opisane równaniem różniczkowym czwartego rzędu, po zastosowaniu centralnego ilorazu różnicowego ma postać: d 4 v(x) dx 4 = p y (x) EJ = v i 2 4v i + 6v i 4v i+ + v i+2 h 4 = p y i EJ v i 2 4v i + 6v i 4v i+ + v i+2 = b i, b i = h 4 py i EJ Tworzy się układ równań, w którym należy uwzględnić jeszcze warunki brzegowe. ()
Warunki brzegowe w zapisie różnicowym ) 2) 3) 4) i- i i+ i- i i+ i- i i+ i- i i+ i-2 i+2 i-2 i+2 dv a) Brzeg utwierdzony: v = 0, dx = 0, v w zapisie różnicowym: v i = 0, i +v i+ 2h = 0. b) Brzeg przegubowo podparty: v = 0, M = EJ d 2 v dx = 0, 2 vi 2vi +vi+ w zapisie różnicowym: v i = 0, EJ h = 0. 2 c) Brzeg pionowo przesuwny: dv dx = 0, T = EJ d 3 v dx = 0, 3 w zapisie różnicowym: v i +v i+ 2h = 0, EJ vi 2+2vi 2vi++vi+2 2h = 0. 3 d) Brzeg swobodny: M = EJ d 2 v dx = 0, T = EJ d 3 v 2 dx = 0, 3 w zapisie różnicowym: vi 2vi +vi+ EJ h = 0, EJ vi 2+2vi 2vi++vi+2 2 2h = 0. 3 (2)
Przykład belki wspornikowej py x x0 y, v L xl - 0 2 3 4 5 6 Równanie różnicowe musi być rozpisane dla punktów i =, 2, 3, 4: v i 2 4 v i + 6 v i 4 v i+ + v i+2 = b gdzie b = (h 4 p y )/(EJ) Warunki brzegowe: dla x = 0 : v = 0 v = 0 i = 0 : v 0 = 0 v + v = 0 dla x = L : M = 0 T = 0 i = 4 : v 3 2 v 4 + v 5 = 0 v 2 + 2 v 3 2 v 5 + v 6 = 0 (3)
Przykład belki wspornikowej Układ równań MRS Otrzymujemy układ równań MRS:. v 4 v 0 + 6 v 4 v 2 + v 3 = b 2. v 0 4 v + 6 v 2 4 v 3 + v 4 = b 3. v 4 v 2 + 6 v 3 4 v 4 + v 5 = b 4. v 2 4 v 3 + 6 v 4 4 v 5 + v 6 = b 5. v 0 = 0 6. v + v = 0 7. v 3 2 v 4 + v 5 = 0 8. v 2 + 2 v 3 2 v 5 + v 6 = 0 (4)
Przykład belki wspornikowej Postać macierzowa układu równań A V = B i= - 0 2 3 4 5 6-0 2 3 4 5 6 i= -4 6-4 v b 2-4 6-4 v 0 b 3-4 6-4 v b 4 wb i=0 - -4 6-4 v 2 v 3 v 4 = b 0 0 wb i=4-2 - 2-2 v 5 v 6 0 0 A V B (5)
Przykład belki wspornikowej Analiza rozwiązania funkcja ugięcia Rozwiązanie układu wartości funkcji ugięcia: V = { 4.0b, 0.0b, 4.0b, 2.5b, 23.0b, 34.0b, 45.0b, 56.5b } Zatem wartość ugięcia na końcu belki (x = L, dla i = 4) wynosi: v anal (L) = p y L 4 8EJ = 0.25 py L 4 EJ, v MRS (L) =v 4 = 34.0 b = 34.0 py h 4 0.333 py L 4 EJ EJ =.064 v anal (L). py = 34.0 EJ ( ) 4 L = 4 (6)
Przykład belki wspornikowej Analiza rozwiązania funkcja momentów zginających Wartość momentu zginającego dla brzegu utwierdzonego (x = 0, dla i = 0) wynosi: M anal (0) = p y L 2 2, M MRS (0) = EJv 0 = EJ EJ ( 4 L λ 2 (v 2v 0 + v ) = ) 2 ( ) 4 (4 0 + 4) py L = EJ 4 p y L 2 2 = M anal (0). (7)
Dziękuję za uwagę (8)