Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji
Równanie BPM Równanie Helmholtza: n k 0 =0 Rozwiązanie zapisujemy jako: r =A r exp i k z Fala nośna k =n k 0 Amplituda zespolona A ℂ / z k n k 0 i k / z ] A=0 [ Przybliżenie paraboliczne (wolnozmiennej obwiedni) A/ z k / z, k A Podstawowe równanie metody propagacji wiązki (BPM- beam propagation method): A 1 = k n k 0 ] A [ z i k
Modelowanie propagacji w jednym kierunku u we A A1 An A3 u wy Dyskretyzacja pola w kierunku propagacji (lub czasie) u N r u0 r un 1 r Szukamy równań o postaci: u z z/ u z z/ du =lim z 0 dz z un r du = L u x, y dz un 1 u n z L n 1/ un 1/ x, y
Klasyfikacja obszaru rozwiązań Obszar rozwiązań:
Dokładność aproksymacji pochodnej M. Sadiku, Numerical Techniques in Electrodynamics CRC Press LLC 001
Równania paraboliczne: metoda Eulera Metoda Eulera: k = t x Zapis równania w postaci różnicowej: i, j 1 i, j i 1, j i, j i 1, j k = t x Krok iteracyjny: i, j 1 =r [ i 1, j i 1, j ] 1 r i, j t r= k x
Równania paraboliczne: metoda Eulera Warunek stabilności (von Neumanna) n 1 n m, n 1 =r [ m 1, n m 1, n ] 1 r m, n m, n = A n e imk x An +1= An [1 r+r cos(kx )] k A n 1 An 1 0 r 0.5 r= t k x
Równania paraboliczne: metoda Cranka-Nicholsona k = t x k [ i, j 1 i, j 1 i 1, j i, j i 1, j i 1, j 1 i, j 1 i 1, j 1 = t x x ] Schemat uwikłany: r i 1, j 1 1 r i, j 1 r i 1, j 1 =r i 1, j 1 r i, j r i 1, j (3 niewiadome) Schemat Cranka-Nicholsona jest zawsze stabilny
Metoda propagacji wiązki (beam propagation method -BPM) Równanie przyosiowe na zespoloną amplitudę pola A: A z = 1 [ i k A i, j 1 A i, j z ] k n k 0 A = x y k 0 = / k =k 0 n A i, j 1 A i, j k 0 n i, j 1/ 1 A i 1, j A i, j A i 1, j A i 1, j 1 A i, j 1 A i 1, j 1 x x Schemat Cranka-Nicholsona prowadzi do zależności typu (przyp. -wym): r A i 1, j 1 a i A i, j 1 r A i 1, j 1 =bi
Metoda propagacji wiązki (beam propagation method -BPM) Równanie przyosiowe na zespoloną amplitudę pola A: A z = 1 [ i k t k =k 0 n k 0 = / ] k n k 0 A Równanie różnicowe (schemat Cranka-Nicholsona): A i, j 1 A i, j z = 1 i k [ = A i 1, j A i, j A i 1, j x A i 1, j 1 A i, j 1 A i 1, j 1 x k k 0 n i, j 1 / A i, j A i, j 1 ] Po uproszczeniu dostajemy układ równań: r A i 1, j 1 a i A i, j 1 r A i 1, j 1 =bi z r= i k x [ a i= r r x k k0 n i, j 1/ [ ] b i =r A i 1, j r A i 1, j A i, j r r x k k 0 n i, j 1/ Rozwiązanie powyższego trójdiagonalnego układu równań pozwala wyznaczyć pole w warstwie (j+1) na podstawie pola w warstwie (j) i warunków brzegowych. ]
Metoda Thomasa http://en.wikipedia.org/wiki/tridiagonal_matrix_algorithm Rozwiązanie układu trójdiagonalnego można otrzymać przy koszcie liniowym N^1, a nie jak to jest ogólnie, N^3!
Metoda Thomasa http://en.wikipedia.org/wiki/tridiagonal_matrix_algorithm http://en.wikipedia.org/wiki/tridiagonal_matrix_algorithm
Przykłady Propagacja wiązek gaussowskich o różnych szerokościach
Przykłady Interferencja wiązek gaussowskich
Przykłady Interferencja wiązekpadających pod kątem
Przykłady Siatka dyfrakcyjna
Przykłady Efekt Talbota
Przykłady Falowód wielomodowy
Przykłady Falowód jednomodowy
Przykłady L/ Falowód dwurdzeniowy / = n n1
Bicie (dudnienia) pomiędzy modami L/ / = n n 1 Energia przelewa się pomiędzy rdzeniami (ale każdy z modów ma stałą amplitudę)
Bicie (dudnienia) pomiędzy modami r = e x, y e =e i k 0 nz i k 0 n e z i k 0 z Jeśli dla pewnego (x,y) zachodzi: to o x, y e e x, y e n = i k0 n o z i k 0 z o x, y e n e n 0 = = n e n 0 e x, y o x, y i k 0 nz = e x, y e cos z/ okres: = / e x, y o x, y Jeśli dla pewnego (x,y) zachodzi: to i k 0 n z =i e x, y e sin k 0 z okres: = /
http://nora.ing.unibs.it/riservato/com_ottiche/materiale/bpm%0english.pdf
Sprzęgacze i dzielniki światłowodowe http://www.globalspec.com
Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Niezmienniczość translacyjna: x, y, z = x, y, z =0, k z 0 Tw. Blocha r = m c m m x, y exp i m z mod stała propagacji m =k 0 n m
Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Niezmienniczość translacyjna: x, y, z = x, y, z =0, k z 0 Tw. Blocha r = m cm m x, y exp i m z m =k 0 n m r = A r exp i k z k =n k 0 A r = m c m m x, y exp i n m n k0 z
Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda imaginary distance (urojonej długości) z=i z ' R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000) A x, y, i z ' = m cm m x, y exp n m n k0 z ' 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku iz', zaczynając od rozkładu losowego. Amplituda modu podstawowego wzrasta wykładniczo najszybciej i w krótkim czasie pozostałe mody stają się zaniedbywalne z' A x, y, i z ' [c1 exp n1 n k 0 z ' ] 1 x, y [ n1 n ln c1 z ' A x, y, i z ' z ' A x, y, i z ' / k0 z ' Dokładność można podwyższyć przez kilkukrotnie powtarzanie procedury, za każdym razem przyjmując, że: n 1 n ]
Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda imaginary distance (urojonej długości) Wyższe mody znajdujemy tak samo, zaczynając od rozkładu losowego, ale ortogonalnego do modów już znalezionych (ze względu na kumulację błędów w trakcie propagacji wskazane jest powtarzanie ortogonalizacji co jakiś czas) Ortogonalizacja (w pętli po wyznaczonych modach): http://en.wikipedia.org/wiki/gram-schmidt_process
Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda korelacyjna r = m c m m x, y exp i m z 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku z, zaczynając od rozkładu losowego. W trakcie propagacji obliczamy korelacje: P z = we x, y x, y, z dx dy R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000)
Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda korelacyjna r = m c m m x, y exp i m z 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku z, zaczynając od rozkładu losowego. W trakcie propagacji obliczamy korelacje: P z = we x, y x, y, z dx dy FFT Piki korelacyjne wyznaczają wartości stałych propagacji 3. Odfiltrowujemy pola modów L m x, y = 0 x, y, z exp i m z dz R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000)
Mod podstawowy falowodu Rdzeń Płaszcz 1.1 1.05 1.0 Natężenie A x Amplituda Mod podstawowy zawsze istnieje A x
Pierwszy mod wyższego rzędu Pierwszy mod nieparzysty Mody wyższego rzędu istnieją powyżej kolejnych częstości odcięcia
Pierwszy mod wyższego rzędu
Pierwszy mod wyższego rzędu
Mody płaszczowe
Metoda efektywnego współczynnika załamania Idea: fragment falowodu, w którym występuje mikrostruktura, zastępujemy w obliczeniach materiałem jednorodnym o pewnej efektywnej wartości współczynnika załamania, który trzeba najpierw wyznaczyć. W rezultacie dochodzimy do prostszego niż pierwotny problemu obliczeniowego, czasem o znanych rozwiązaniach, lub o niższej wymiarowości. Wynik jest jednak przybliżony. Przykłady: 1. Falowody planarne z wieloma cienkimi warstwami można zredukować liczbę warstw w obliczeniach i np. sprowadzić obliczenia do falowodu trójwarstwowego o znanym związku dyspersyjnym. Falowody paskowe (np. grzebieniowe) można sprowadzić do falowodu planarnego '. Układy planarne o naprawdę skończonej wysokości można analizować jako układy dwuwymiarowe 3. Światłowody fotoniczne (ale nie wykorzystujące przerwy wzbronionej do prowadzenia) można sprowadzić do światłowodu skokowego
Ćwiczenia Ćwiczenia 5: Metoda propagacji wiązki BPM (Beam propagation method) Zadanie 1. Napisać program realizujący metodę BPM w dwóch wymiarach (schemat Cranka-Nicholsona, warunki brzegowe Dirichleta). Zadanie. Wykonać wybrane spośród poniższych symulacje propagacji: - wiązki Gaussa o różnej szerokości w ośrodku jednorodnym - wiązki Gaussa przechodzacej przez soczewkę skupiającą Wiązki Gaussa o odpowiednio dobranej szerokości: - w falowodzie skokowym jednomodowym i wielomodowym. - w falowodzie dwurdzeniowym (dwa falowody jednomodowe) - w falowodzie gradientowym -pola o rozkładzie periodycznym w ośrodku jednorodnym (efekt Talbotta) - modu w dzielniku falowodowym