Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki. Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji

Podobne dokumenty
Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki

Wykład 12: prowadzenie światła

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki

III. Opis falowy. /~bezet

KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki. Podstawy metody różnic skończonych Podstawy metody FDTD

Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki. Światłowody

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Fizyka Laserów wykład 5. Czesław Radzewicz

IV. Transmisja. /~bezet

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki

Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Równania Maxwella. Wstęp E B H J D

Teoria falowa Równania Maxwella

Propagacja światła we włóknie obserwacja pól modowych.

Różne reżimy dyfrakcji

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 6, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Podstawy prowadzenia światła we włóknach oraz ich budowa. Light-Guiding Fundamentals and Fiber Design

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki. - Dyfrakcja różne reżimy - Obliczanie elementów dyfrakcyjnych

FMZ10 S - Badanie światłowodów

Motywacja Podstawy. Historia Teoria 2D PhC Podsumowanie. Szymon Lis Photonics Group C-2 p.305. Motywacja.

Technika falo- i światłowodowa

y i b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta

Laboratorium techniki światłowodowej. Ćwiczenie 5. Badanie wpływu periodycznych zgięd na tłumiennośd światłowodu

Rozkłady wielu zmiennych

Wysokowydajne falowodowe źródło skorelowanych par fotonów

CHARAKTERYSTYKA WIĄZKI GENEROWANEJ PRZEZ LASER

Laboratorium techniki światłowodowej. Ćwiczenie 2. Badanie apertury numerycznej światłowodów

Fotonika kurs magisterski grupa R41 semestr VII Specjalność: Inżynieria fotoniczna. Egzamin ustny: trzy zagadnienia do objaśnienia

Wprowadzenie do optyki nieliniowej

MODEL CZUJNIKA ŚWIATŁOWODOWEGO NA BAZIE WIELOMODOWYCH STRUKTUR INTERFERENCYJNYCH MODEL OF WAVEGUIDE SENSOR BASED ON MULTIMODE INTERFERENCE STRUCTURES

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1

Metody rozwiązania równania Schrödingera

Solitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych

Rys. 1 Pole dyfrakcyjne obiektu wejściowego. Rys. 2 Obiekt quasi-periodyczny.

2. Światłowody. 2. TELEKOMUNIKACJA OPTOFALOWA: Światłowody Strona 1

x y

Optyka instrumentalna

Fizyczna struktura włókna optycznego Propagacja światła liniowo spolaryzowanego

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Systemy laserowe. dr inż. Adrian Zakrzewski dr inż. Tomasz Baraniecki

Spektroskopia modulacyjna

Fotonika. Plan: Wykład 3: Polaryzacja światła

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

3. Umiejętność obsługi prostych przyrządów optycznych (UMIEJĘTNOŚĆ)

Całkowanie numeryczne

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

PL B1. POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, Wrocław, PL BUP 18/15. HANNA STAWSKA, Wrocław, PL ELŻBIETA BEREŚ-PAWLIK, Wrocław, PL

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Fotonika. Plan: Wykład 11: Kryształy fotoniczne

Metoda elementów skończonych

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Prawdopodobieństwo i statystyka

Równania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk

Sprzęg światłowodu ze źródłem światła

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

Pomiary parametrów telekomunikacyjnych światłowodów jednomodowych. Na poprzednim wykładzie przedstawiono podstawowe parametry światłowodów

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

/~bezet

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =

Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury. Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej

Bernard Ziętek OPTOELEKTRONIKA

Katarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych.

Uczenie sieci typu MLP

Optyka Fourierowska. Wykład 10 Optyka fourierowska w telekomunikacji optycznej

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Układy równań i równania wyższych rzędów

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Kinematyka: opis ruchu

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I

Wstęp do optyki i fizyki materii skondensowanej. O: Wojciech Wasilewski FMS: Mateusz Goryca

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )

Światłowody telekomunikacyjne

Ośrodki dielektryczne optycznie nieliniowe

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną.

ANALIZA MATEMATYCZNA

Technika laserowa, otrzymywanie krótkich impulsów Praca impulsowa

ĆWICZENIE NR 3. Światłowody jednomodowe.

Światłowodowe elementy polaryzacyjne

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Zjawiska w niej występujące, jeśli jest ona linią długą: Definicje współczynników odbicia na początku i końcu linii długiej.

WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ

5. Twierdzenie Weierstrassa

Filmy o numerycznym prognozowaniu pogody Pogodna matematyka : zakładka: Filmy

Informatyka i komputerowe wspomaganie prac inżynierskich

Prawdopodobieństwo i statystyka

Zajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:

Transkrypt:

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji

Równanie BPM Równanie Helmholtza: n k 0 =0 Rozwiązanie zapisujemy jako: r =A r exp i k z Fala nośna k =n k 0 Amplituda zespolona A ℂ / z k n k 0 i k / z ] A=0 [ Przybliżenie paraboliczne (wolnozmiennej obwiedni) A/ z k / z, k A Podstawowe równanie metody propagacji wiązki (BPM- beam propagation method): A 1 = k n k 0 ] A [ z i k

Modelowanie propagacji w jednym kierunku u we A A1 An A3 u wy Dyskretyzacja pola w kierunku propagacji (lub czasie) u N r u0 r un 1 r Szukamy równań o postaci: u z z/ u z z/ du =lim z 0 dz z un r du = L u x, y dz un 1 u n z L n 1/ un 1/ x, y

Klasyfikacja obszaru rozwiązań Obszar rozwiązań:

Dokładność aproksymacji pochodnej M. Sadiku, Numerical Techniques in Electrodynamics CRC Press LLC 001

Równania paraboliczne: metoda Eulera Metoda Eulera: k = t x Zapis równania w postaci różnicowej: i, j 1 i, j i 1, j i, j i 1, j k = t x Krok iteracyjny: i, j 1 =r [ i 1, j i 1, j ] 1 r i, j t r= k x

Równania paraboliczne: metoda Eulera Warunek stabilności (von Neumanna) n 1 n m, n 1 =r [ m 1, n m 1, n ] 1 r m, n m, n = A n e imk x An +1= An [1 r+r cos(kx )] k A n 1 An 1 0 r 0.5 r= t k x

Równania paraboliczne: metoda Cranka-Nicholsona k = t x k [ i, j 1 i, j 1 i 1, j i, j i 1, j i 1, j 1 i, j 1 i 1, j 1 = t x x ] Schemat uwikłany: r i 1, j 1 1 r i, j 1 r i 1, j 1 =r i 1, j 1 r i, j r i 1, j (3 niewiadome) Schemat Cranka-Nicholsona jest zawsze stabilny

Metoda propagacji wiązki (beam propagation method -BPM) Równanie przyosiowe na zespoloną amplitudę pola A: A z = 1 [ i k A i, j 1 A i, j z ] k n k 0 A = x y k 0 = / k =k 0 n A i, j 1 A i, j k 0 n i, j 1/ 1 A i 1, j A i, j A i 1, j A i 1, j 1 A i, j 1 A i 1, j 1 x x Schemat Cranka-Nicholsona prowadzi do zależności typu (przyp. -wym): r A i 1, j 1 a i A i, j 1 r A i 1, j 1 =bi

Metoda propagacji wiązki (beam propagation method -BPM) Równanie przyosiowe na zespoloną amplitudę pola A: A z = 1 [ i k t k =k 0 n k 0 = / ] k n k 0 A Równanie różnicowe (schemat Cranka-Nicholsona): A i, j 1 A i, j z = 1 i k [ = A i 1, j A i, j A i 1, j x A i 1, j 1 A i, j 1 A i 1, j 1 x k k 0 n i, j 1 / A i, j A i, j 1 ] Po uproszczeniu dostajemy układ równań: r A i 1, j 1 a i A i, j 1 r A i 1, j 1 =bi z r= i k x [ a i= r r x k k0 n i, j 1/ [ ] b i =r A i 1, j r A i 1, j A i, j r r x k k 0 n i, j 1/ Rozwiązanie powyższego trójdiagonalnego układu równań pozwala wyznaczyć pole w warstwie (j+1) na podstawie pola w warstwie (j) i warunków brzegowych. ]

Metoda Thomasa http://en.wikipedia.org/wiki/tridiagonal_matrix_algorithm Rozwiązanie układu trójdiagonalnego można otrzymać przy koszcie liniowym N^1, a nie jak to jest ogólnie, N^3!

Metoda Thomasa http://en.wikipedia.org/wiki/tridiagonal_matrix_algorithm http://en.wikipedia.org/wiki/tridiagonal_matrix_algorithm

Przykłady Propagacja wiązek gaussowskich o różnych szerokościach

Przykłady Interferencja wiązek gaussowskich

Przykłady Interferencja wiązekpadających pod kątem

Przykłady Siatka dyfrakcyjna

Przykłady Efekt Talbota

Przykłady Falowód wielomodowy

Przykłady Falowód jednomodowy

Przykłady L/ Falowód dwurdzeniowy / = n n1

Bicie (dudnienia) pomiędzy modami L/ / = n n 1 Energia przelewa się pomiędzy rdzeniami (ale każdy z modów ma stałą amplitudę)

Bicie (dudnienia) pomiędzy modami r = e x, y e =e i k 0 nz i k 0 n e z i k 0 z Jeśli dla pewnego (x,y) zachodzi: to o x, y e e x, y e n = i k0 n o z i k 0 z o x, y e n e n 0 = = n e n 0 e x, y o x, y i k 0 nz = e x, y e cos z/ okres: = / e x, y o x, y Jeśli dla pewnego (x,y) zachodzi: to i k 0 n z =i e x, y e sin k 0 z okres: = /

http://nora.ing.unibs.it/riservato/com_ottiche/materiale/bpm%0english.pdf

Sprzęgacze i dzielniki światłowodowe http://www.globalspec.com

Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Niezmienniczość translacyjna: x, y, z = x, y, z =0, k z 0 Tw. Blocha r = m c m m x, y exp i m z mod stała propagacji m =k 0 n m

Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Niezmienniczość translacyjna: x, y, z = x, y, z =0, k z 0 Tw. Blocha r = m cm m x, y exp i m z m =k 0 n m r = A r exp i k z k =n k 0 A r = m c m m x, y exp i n m n k0 z

Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda imaginary distance (urojonej długości) z=i z ' R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000) A x, y, i z ' = m cm m x, y exp n m n k0 z ' 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku iz', zaczynając od rozkładu losowego. Amplituda modu podstawowego wzrasta wykładniczo najszybciej i w krótkim czasie pozostałe mody stają się zaniedbywalne z' A x, y, i z ' [c1 exp n1 n k 0 z ' ] 1 x, y [ n1 n ln c1 z ' A x, y, i z ' z ' A x, y, i z ' / k0 z ' Dokładność można podwyższyć przez kilkukrotnie powtarzanie procedury, za każdym razem przyjmując, że: n 1 n ]

Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda imaginary distance (urojonej długości) Wyższe mody znajdujemy tak samo, zaczynając od rozkładu losowego, ale ortogonalnego do modów już znalezionych (ze względu na kumulację błędów w trakcie propagacji wskazane jest powtarzanie ortogonalizacji co jakiś czas) Ortogonalizacja (w pętli po wyznaczonych modach): http://en.wikipedia.org/wiki/gram-schmidt_process

Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda korelacyjna r = m c m m x, y exp i m z 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku z, zaczynając od rozkładu losowego. W trakcie propagacji obliczamy korelacje: P z = we x, y x, y, z dx dy R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000)

Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda korelacyjna r = m c m m x, y exp i m z 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku z, zaczynając od rozkładu losowego. W trakcie propagacji obliczamy korelacje: P z = we x, y x, y, z dx dy FFT Piki korelacyjne wyznaczają wartości stałych propagacji 3. Odfiltrowujemy pola modów L m x, y = 0 x, y, z exp i m z dz R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000)

Mod podstawowy falowodu Rdzeń Płaszcz 1.1 1.05 1.0 Natężenie A x Amplituda Mod podstawowy zawsze istnieje A x

Pierwszy mod wyższego rzędu Pierwszy mod nieparzysty Mody wyższego rzędu istnieją powyżej kolejnych częstości odcięcia

Pierwszy mod wyższego rzędu

Pierwszy mod wyższego rzędu

Mody płaszczowe

Metoda efektywnego współczynnika załamania Idea: fragment falowodu, w którym występuje mikrostruktura, zastępujemy w obliczeniach materiałem jednorodnym o pewnej efektywnej wartości współczynnika załamania, który trzeba najpierw wyznaczyć. W rezultacie dochodzimy do prostszego niż pierwotny problemu obliczeniowego, czasem o znanych rozwiązaniach, lub o niższej wymiarowości. Wynik jest jednak przybliżony. Przykłady: 1. Falowody planarne z wieloma cienkimi warstwami można zredukować liczbę warstw w obliczeniach i np. sprowadzić obliczenia do falowodu trójwarstwowego o znanym związku dyspersyjnym. Falowody paskowe (np. grzebieniowe) można sprowadzić do falowodu planarnego '. Układy planarne o naprawdę skończonej wysokości można analizować jako układy dwuwymiarowe 3. Światłowody fotoniczne (ale nie wykorzystujące przerwy wzbronionej do prowadzenia) można sprowadzić do światłowodu skokowego

Ćwiczenia Ćwiczenia 5: Metoda propagacji wiązki BPM (Beam propagation method) Zadanie 1. Napisać program realizujący metodę BPM w dwóch wymiarach (schemat Cranka-Nicholsona, warunki brzegowe Dirichleta). Zadanie. Wykonać wybrane spośród poniższych symulacje propagacji: - wiązki Gaussa o różnej szerokości w ośrodku jednorodnym - wiązki Gaussa przechodzacej przez soczewkę skupiającą Wiązki Gaussa o odpowiednio dobranej szerokości: - w falowodzie skokowym jednomodowym i wielomodowym. - w falowodzie dwurdzeniowym (dwa falowody jednomodowe) - w falowodzie gradientowym -pola o rozkładzie periodycznym w ośrodku jednorodnym (efekt Talbotta) - modu w dzielniku falowodowym