Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki. Podstawy metody różnic skończonych Podstawy metody FDTD

Transkrypt

1 Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Podstawy etody różnic skończonych Podstawy etody FDTD M. N. Sadiku, Nuerical Techniques in Electroagnetics 2nd Ed., CRC Press 2001 A. Taflove, S. Hagnes Coputational Electrodynaics The Finite-Difference Tie Doain Method, Artech House, 2005

2 Metoda różnic skończonych L^ Φ=0 1. Dyskretyzacja: Φ(r,t) Φ n Φ(r n,t n) 2. Zaiana równania różniczkowego na różnicowe Aproksyacja pochodnych iloraze różnicowy (lub wyrażeniai wyższego rzędu): df f x x f x x =li x 0 dx 2 x 3. Rozwiązanie równania różnicowego z uwzględnienie warunków początkowych i brzegowych

3 Klasyfikacja obszaru rozwiązań Obszar rozwiązań ożna często powiązać z podziałe równań cząstkowych drugiego rzędu na r. eliptyczne, paraboliczne i hiperboliczne

4 Klasyfikacja równań Cząstkowe równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu: Klasyfikacja:

5 Klasyfikacja warunków brzegowych Warunek Dirichleta: r=0 Warunek Neuanna: r =0 n Warunek ieszany: r h r r =0 n

6 Różnicowa aproksyacja pochodnych Górny iloraz różnicowy: f ' x 0 f x 0 x f x0 x Centralny iloraz różnicowy: f ' x 0 f x 0 x f x0 x 2 x Dolny iloraz różnicowy: f ' x 0 f x 0 f x 0 x x

7 Druga pochodna Z 3-krotnego zastosowania wzoru na centralny iloraz różnicowy dostajey: f ' x 0 x/ 2 f x 0 x f x0 f ' ' x 0 f ' ' x 0 f ' x 0 x/ 2 x f ' x 0 x / 2 f ' x 0 x / 2 x f x 0 x 2f x0 f x0 x x 2 f x 0 f x 0 x x

8 Dokładność aproksyacji pochodnej Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora: n x n f x0 x= n=0 f x 0 O x N = n! 2 3 x x 3 = f x 0 x f ' x0 f ' ' x 0 f x 0 O xn 2! 3! N 1

9 Dokładność aproksyacji pochodnej Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora: N 1 f x0 x= n=0 x n! n f n x0 O x N Przykład: rozwinięcie 2 rzędu: (I) f x0 x= f x0 x f ' x0 (II) f x0 x= f x0 x f ' x0 Wyrażenie na pierwszą pochodną: f x 0 x f x 0 x 2 x x2 2! x 2 2! f ' ' x0 O x3 f ' ' x 0 O x3 (I)-(II) : = f ' x 0 O x2 (Dokładność rozwinięcia)

10 Dokładność aproksyacji pochodnej Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora: N 1 f x0 x= n=0 x n! n f n N x0 O x Przykład: rozwinięcie 3 rzędu: (I) f x0 x= f x0 x f ' x0 (II) f x0 x= f x0 x f ' x0 Wyrażenie na drugą pochodną: f x 0 x 2f x 0 f x 0 x x2 x2 2! x 2 2! f ' ' x0 f ' ' x 0 (I)+(II): = f ' ' x 0 O x2 (Dokładność rozwinięcia) x 3 3! x3 3! f 3 x 0 O x4 f 3 x 0 O x4

11 Ogólna etoda wyprowadzenia wyrażeń wyższego rzędu Układ N równań: i=1 N na N niewiadoych: { f N 1 n x f x0 i x = n=0 i f = A f r n! n f n 1 x0, f 2 x 0, f x 0 O i x N N x0 }

12 Dokładność aproksyacji pochodnej M. Sadiku, Nuerical Techniques in Electrodynaics CRC Press LLC 2001

13 Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Podstawy etody FDTD Algoryt FDTD w jedny wyiarze Warunki brzegowe PML w jedny wyiarze Syulacja źródła Algoryt FDTD w 3 wyiarach Wygładzanie nieciągłości przenikalności elektrycznej

14 FDTD (finite difference tie doain ethod) etoda różnic skończonych zastosowana do równań Maxwella z czase Prawa Faradaya i Apera-Maxwella posłużą do wyprowadzenia kroku iteracyjnego dla ewolucji pól w czasie: Pozostałe równania uszą być spełniane przez pole początkowe: H E= 0 t E H= E 0 t (ϵ E)=ρ (μ H )=0 (wszystkie pola rzeczywiste i zależne od czasu )

15 FDTD przypadek 1-wyiarowy H E= 0 t E H= E 0 t H z x,t, E y x,t H y x, t, E z x,t W przypadku jednowyiarowy, otrzyujey równoważne sobie niezależne równania dla dwóch polaryzacji Hz 1 E y = t 0 x ( Ey 1 Hz = ϵ ϵ σ E y 0 t x H y 1 E z = t 0 x ) Ez ( Hy 1 = σ E z + t ϵ0 ϵ x )

16 FDTD przypadek jednowyiarowy Hz 1 = ϵ ϵ σ E y 0 t x 1 E y = t 0 x n 1/ 2 n 1/ 2 n n 1/ 2 n n E y n 1 E y n 1 /2 1 /2 H z n 1 /2 x t[ t] x[ x] n 1/ 2 H zn 1 /2 H zn 1 /2 1 /2 ) 1 /2 1 /2 t ( Ey Hz x E y n 1 x 1 /2 H z n 1 /2 x

17 FDTD przypadek jednowyiarowy Hz 1 E y = t 0 x E y n =E y n x, t Dyskretyzacja H z n 1 /2 =H z n 1/ 2 x, 1/ 2 t 1 /2 n 1/ 2= n 1/2 x 1/2 1 /2 H z n 1/2 H z n 1/ 2 t 1 E y n E y n 1 = 0 n 1/ 2 x (Centralne ilorazy różnicowe) /2 1/ 2 H z 1 = H n 1 /2 z n 1/ 2 t E y n 1 E y n x 0 n 1/2

18 FDTD przypadek jednowyiarowy ( Ey Hz 1 = ϵ ϵ σ E y 0 t x ) E y n =E y n x, t H z n 1 /2 =H z n 1/ 2 x, 1/ 2 t n = n x n = n x 1 /2 Dyskretyzacja (E y ) +1 (E ) n y n δt ( =(ϵ 0 ϵn ) 1 σ n (E y ) n +1 +(E y )n 2 2 (Średnia) E y 1/ n +1 / 2 (H z ) n+1+1// 22 (H z )n 1/ 2 δx ) (Centralne ilorazy różnicowe) 1 y n E = 1 t n 0 n E y n t 1/ 2 1/ 2 3 H z n 1/ 2 H z n 1/2 O x 0 n

19 FDTD przypadek jednowyiarowy Opis układu: { 1/ 2, 3/2, N 1/ 2 } { 0, 1, N } { 0, 1, N } x, t Warunki początkowe: E, E, E { y0 y1 y N} { H 1/2 z 1/2, H z 1/3/ 22, H z 1/2 N 1/ 2 } Warunki brzegowe, np. { H 1 /2 z 1 /2 /2 =0, H z 1 N 1/ 2 =0 } E =0, E { y0 y N =0 } (PMC doskonały przewodnik agn.) (PEC doskonały przewodnik) Krok iteracyjny: /2 1/ 2 H z 1 H, E, E { n 1 /2 z n 1/ 2 y n y n 1 } 1 /2 1/ 2 E y 1 E, H, H { n y n z n 1 /2 z n 1/ 2 } n=0 N 1 n=0 N

20 Dygresja jednostki znoralizowane Układ SI: Niefizyczna przewodniość agnetyczna E= M H 0 H= E 0 H t E t t ' =ct=t / 0 0 H '= 0 H '= 0 M '= 1 M 0 0 = 0 / (ipedancja próżni) W nowy zapisie nie występują przenikalności próżni. Dodatkowo te sae jednostki ają pola E i H', obie przewodniości, a także x i t': E= M ' H ' H' = ' E E t ' H' t '

21 FDTD przypadek jednowyiarowy Ey 1 H z' = ' E y t' x H z ' 1 y n E = 1 1/ 2 n 1/ 2 1 Ey = M ' H z ' t ' x = 1 t ' n ' n H z' t ' M ' n 1/2 n 1/2 1/2 H z ' n 1 /2 t' E y n 1 E y n O 3 x n 1/ 2 t ' 1/ 2 1/2 3 E H z ' n 1/ 2 H z ' n 1 /2 O x n y n Algoryt 1-wyiarowy w tej postaci wyaga 4 nożeń / krok / koórkę. Dla sytuacji 3-wyiarowej będzie to 12 nożeń.

22 FDTD przypadek jednowyiarowy δt' ~ σ M ' =0, μ=1, E E δx 1/ 2 1/ 2 H z ' n 1/ 2 = H z ' n 1/ 2 E y n 1 E y n 1 y n E = 1 t ' n ' n An y n E t '2 2 x n H z ' 1/ 2 n 1/ 2 H z ' 1/2 n 1/2 Bn Algoryt jednowyiarowy dla ateriałów nieagnetycznych wyaga jedynie 2 nożeń / krok / koórkę!!! Ta saa operacja dla sytuacji 3-wyiarowej prowadzi do 6 nożeń.

23 Idealne sztuczne warunki brzegowe: pochłaniające i nieodbijające PEC Obszar syulacji (ϵ1,μ 1 ) (ϵ 2,μ 2 ) PEC x Brak odbić 2, 2 =? Tłuienie

24 Dygresja: dopasowanie ipedancji 1, 1 2, 2 PEC PEC x Odbicie prostopadłe (TE i TM, zapis zespolony, dla fali onochroatycznej): R= R=0 gdy n 2 / 2 n 1 / 1 T= n 2 / 2 n 1 / 1 2 n 1 / 1 n 2 / 2 n 1 / 1 n 2 / 2 =n 1 / 1 Warunkie braku odbicia od granicy ośrodków jest równość ipedancji: =

25 Dygresja: dopasowanie ipedancji = = 1 1 Wracay do zapisu rzeczywistego: t =Re exp ±i t i = i ' 0 k0 M M ' i = i 0 k0 '= 0 M '= 1 M 0 k 0 = / c

26

27 Nieodbijające warunki brzegowe 1, 1 2, 2 PEC 1 ' =0 M 1 ' =0 x L Współczynnik odbicia: r 2 =exp k 0 I n 2 2L 2 n 2 = ϵ2 μ 2= μ1 /ϵ1 (ϵ2 +i σ 2 ' / k 0 ) 2 '= ln r 2 4 L 1 / 1

28 Zadania Metoda FDTD (finite difference tie doain) Zadanie 1. Napisać funkcję opartą na etodzie FDTD w 1 wyiarze służącą do syulacji ewolucji pola elektrycznego i agnetycznego w czasie. a. Przyjąć, że obszar syulacji ograniczony jest doskonały przewodnikie. b. Przyjąć, że obszar syulacji ograniczony jest nieodbijający i stratny ateriałe (1-wyiarowy PML). c. Wprowadzić do obszaru syulacji pole początkowe odpowiadające ipulsowi d. Włączyć w obszar syulacji źródło sztywne (bądź SF/TF). Zadanie 2. Wykonać propagację ipulsu oraz fali onochroatycznej dla wybranych sytuacji, np. - dla propagacji w przestrzeni swobodnej - dla rozpraszania na granicy ośrodków - dla odbicia od ateriału z naniesioną powłoka antyodbiciową - dla rezonansowego odbicia i transisji przez płytkę FP. -przeanalizować odbicie od siatki Bragga dla długości fali spoza przerwy wzbronionej, ze środka przerwy i z brzegu przerwy -przeanalizować odbicie fali od ośrodka o ujenej przenikalności elektrycznej (etalu), a następnie rezonansową transisję przez układ dwóch etalowych zwierciadeł o wysokich współczynnikach odbicia - wykonać syulację propagacji przez ośrodek periodyczny (fale Blocha) (niekoniecznie z periodycznyi warunkai brzegowyi).