PODSTAWY DYFRAKCJI WYBRANE ZAGADNIENIA DYFRAKCJI FRAUNHOFERA prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Krzysztof Niniejsza część wykładu obejmuje wprowadzenie do dyfrakcji, opis matematyczny z wykorzystaniem wzorów Fresnela-Kirchhoffa i Huygensa-Fresnela, dyskusję przybliżeń dla obszarów dyfrakcji Fresnela i Fraunhofera oraz wybrane zagadnienia dyfrakcji Fraunhofera. Mają one podstawowe znaczenie w procesie formowania obrazu optycznego, przetwarzaniu informacji, interferometrii i spektroskopii. 1. Wprowadzenie W jednorodnej przestrzeni kształt geometryczny bezaberracyjnego frontu falowego nie ulega zmianie. Odmienna sytuacja występuje w ośrodku niejednorodnym, w którym swobodna propagacja zostaje zaburzona, przykładowo, przez nieprzeźroczystą przesłonę. Mamy wtedy do czynienia ze zjawiskiem dyfrakcji ugięciem światła i rozprzestrzenianiem się ograniczonego frontu falowego. Prześledźmy zmiany intensywności za małym otworem w nieprzeźroczystym ekranie. Ustawiając płaszczyznę obserwacji blisko za ekranem obserwuje się cień krawędzi otworu, który ulega coraz silniejszemu rozmyciu ze wzrostem odległości obserwacji. W obszarze cienia zaczyna dominować dyfrakcyjna struktura prążkowa charakterystyczna dla tzw. obszaru dyfrakcji Fresnela. Przykładowe obrazy dyfrakcyjne szeregu otworków kołowych rozmieszczonych na okręgu dla dwóch różnych odległości obserwacji pokazano na rys. 1. Rys. 1 Obrazy dyfrakcyjne Fresnela przedmiotu zawierającego 36 otworków kołowych o średnicy 0.3 mm rozmieszczonych na okręgu o średnicy 10 mm dla dwóch różnych odległości płaszczyzny obserwacji od płaszczyzny przedmiotu (pole dyfrakcyjne modelu zespołu anten radarowych).
Z dalszym wzrostem odległości płaszczyzny obserwacji rozkład intensywności w obrazie dyfrakcyjnym nie przypomina już obiektu i nie zmienia swojego charakteru (kształtu). Zmianie ulega głównie skala rozkładu intensywności. Mówi się w tym przypadku o obszarze dyfrakcji w dalekim polu dyfrakcyjnym lub o dyfrakcji Fraunhofera. Przy oświetleniu przedmiotu falą płaską wygodną obserwację dyfrakcyjnych obrazów fraunhoferowskich prowadzi się w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej dostawionego obiektywu. Wstępna analiza porównawcza wyżej wymienionych obszarów dyfrakcji prowadzi do stwierdzenia, że gdy punktowe źródło światła i płaszczyzna obserwacji znajdują się w dużej odległości od obiektu (a więc gdy fronty falowe wiązki oświetlającej w płaszczyźnie obiektu oraz wiązki pochodzącej od punktu obiektu i docierającej do płaszczyzny obserwacji można przyjąć za płaskie z niedokładnością ułamka długości fali), ma się do czynienia z dyfrakcją Fraunhofera. Dyfrakcja Fresnela dotyczy przypadku, gdy nie można zaniedbać sferyczności czół falowych.. Przybliżenia Fresnela i Fraunhofera - opis matematyczny Teoria dyfrakcji stanowi bardzo obszerny i złożony dział optyki falowej. Z powodu ograniczonej objętości niniejszego wykładu podane zostaną tylko podstawowe wzory dyfrakcyjne, bez ich wyprowadzeń. Szczegółowy opis zjawisk dyfrakcyjnych można znaleźć w obszernej literaturze. Zaburzenie w punkcie P za otworem S w nieprzeźroczystym ekranie oświetlonym wiązką propagującą się z punktu P 1 opisuje wzór dyfrakcyjny Fresnela-Kirchhoffa o postaci ( ) U P = A iλ s [ ( r1+ r) ] cos( n, r) cos( n, r1) ds, ep ik r r 1 (1) gdzie (A/r 1 )ep(ikr 1 ) opisuje falę sferyczną wychodzącą ze źródła punktowego P 1 i oświetlającą ekran z otworem, r 1 jest odległością bieżącego punktu w otworze od źródła P 1, r oznacza odległość punktu P w płaszczyźnie obserwacji od punktu otworu, a kosinusy kierunkowe cos(n, r 1 ) i cos(n, r ) opisują położenie punktu źródła i obserwacji względem normalnej do ekranu, rys.. Zaburzenie U(P) dane wzorem (1) jest wynikiem zastosowania twierdzenia Helmholtza-Kirchoffa do powierzchni zamkniętej df utworzonej z powierzchni otworu S, nieoświetlonej strony ekranu oraz części powierzchni kulistej o środku w rozważanym punkcie P.
Ekran P 1 r 1 n Q r P Rys. Geometria układu dyfrakcyjnego: otwór w nieprzeźroczystym ekranie oświetlony punktowym źródłem światła umieszczonym w punkcie P 1, Q bieżący punkt otworu S, P - punkt płaszczyzny obserwacji. Wprowadzając oznaczenie ( Q) Aep ikr = r ( 1) cos( n, r) cos( n, r ), U 1 1 () wzór dyfrakcyjny Fresnela-Kirchhoffa przyjmuje postać ik π ( ) = U( Q) ep ikr r ( ) ds. Ostatni wzór można interpretować w następujący sposób: pole w punkcie P jest wynikiem superpozycji drgań od wtórnych źródeł punktowych znajdujących się w obszarze otworu. Amplituda U(Q) źródła wtórnego jest proporcjonalna do amplitudy oświetlającej fali sferycznej Aep(ikr 1 )/r 1, ale różni się od niej o: czynnik 1/λ, czynnik kierunkowy [cos(n,r ) cos(n,r 1 )]/ 1, fazę π/. 1 Jeśli przyjmiemy we wzorze (), że (4) tzn. że odległości źródło-ekran i ekran-płaszczyzna obserwacji są znacznie większe od wymiarów liniowych otworu w ekranie, otrzymuje się wzór Huygensa-Fresnela U P [ cos( n, r ) cos( n, r )] 1 1 = ( ) ik ep ikr U ( P) = ( ) ds π r s s (3). (5)
Przybliżenie Fresnela Rozpiszmy bardziej szczegółowo ostatni wzór posługując się współrzędnymi ( 1 ) i (, y ), odpowiednio, w płaszczyźnie ekranu i obserwacji, rys. 3. otwór y 1 Q 1 z r y P Rys. 3 Ekran z otworem i płaszczyzna obserwacji z układami współrzędnych. W porównaniu z rys. wprowadzono oznaczenie r = r. Dodając przybliżenie przyosiowe dotyczące wymiarów płaszczyzny obserwacji, tzn., y << z, można zapisać ( ) ( ) ep ikr ep ikr (5) 1 1 y1 y r z 1+ + (6) r z z z i po podstawieniu do wzoru Huygensa-Fresnela otrzymuje się (,y ) ( ) ep ikz = iλz [ ] d dy. (,y ) ep ( ) + ( y y ) U Powyższy wzór wyprowadzono z uwzględnieniem wzoru (6), tzn. przy rozwijaniu w szereg Taylora odległości QP = r pominięto kolejny wyraz k[ ( ) ( ) ] 3 1 + y1 y << z 8. (8) Oznacza to, że maksymalna zmiana fazy wnoszona przez ten człon będzie dużo mniejsza od jednego radiana. Wzór (7) opisuje dyfrakcję w przybliżeniu Fresnela. ik z U 1 1 1 1 1 1 (7)
Dodatkowo warto zauważyć, że wzór (7) można interpretować jako splot rozkładu amplitudy zespolonej U( 1 ) w płaszczyźnie ekranu z funkcją ep (9) ( ) ( ikz) ik h,y = ep ( y ). iλz + z Tak więc każdy punkt płaszczyzny wejściowej generuje zaburzenie o parabolicznym (sferycznym) czole falowym; zaburzenia te nakładają się w płaszczyźnie wyjściowej. Jeśli potraktujemy układ dyfrakcyjny pokazany na rys. 3 z płaszczyznami: wejściową (ekran) i wyjściową (płaszczyzna obserwacji) jako układ liniowy, to funkcja h(,y) jest funkcją odpowiedzi impulsowej wolnej przestrzeni między płaszczyznami 1 i, y. Funkcja przenoszenia wolnej przestrzeni w przypadku dyfrakcji Fresnela jest równa transformacie Fouriera funkcji h(,y) [ ], (,ν ) = epi( ikz) ep iπλz( ν ν ) H ν y + gdzie ν = /λz i ν y = y /λz oznaczają częstości przestrzenne składowych fal płaskich propagujących się od ekranu dyfrakcyjnego do płaszczyzny obserwacji. Pierwszy czynnik opisuje ogólne opóźnienie fazowe każdej składowej przy propagacji na odległości z, drugi czynnik opisuje tzw. dyspersję fazową proporcjonalną do kwadratu częstości przestrzennej. Wzór dyfrakcyjny (7) w przybliżeniu fresnelowskim można zapisać również w postaci y (10) (,y ) ep( ikz) ik ik π = ep ( + y) U( 1,y1) ep ( 1 + y1) ep i ( 1+ y1y) d1dy. U 1 iλz z z λz (11) Rozkład amplitudy zespolonej U(, y ) w polu dyfrakcyjnym Fresnela, z dokładnością do czynnika przed całką w ostatnim wzorze, można wyrazić przez przekształcenie Fouriera iloczynu dwóch pierwszych wyrazów pod całką, tj. U( 1 )ep[ik( 1 + y )/z].
Przybliżenie Fraunhofera Czyniąc dodatkowe założenie dotyczące znacznej odległości płaszczyzny obserwacji od przedmiotu (ekranu z otworem), tj. 1 (1) z >> k( 1 y1)ma, + w obszarze otworu czynnik fazowy ep[ik( 1 + y 1 )/z], wzór (7), można przyrównać do jedności. W prostszej postaci założenie (1) można zapisać jako z >> d /λ, gdzie d oznacza maksymalny wymiar otworu. Przykładowo, dla otworu kołowego o średnicy d = 0.0 m oświetlonego falą płaską o długości fali λ = 5 10-6 m obszar Fraunhofera spełnia nierówność z >> 800 m. Stąd konieczność zastosowania obserwacji w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej dostawianego układu optycznego, lub ogólniej, w płaszczyźnie występowania obrazu źródła (patrz dalsze części wykładu). Wprowadzając (1) do wzoru (7) otrzymuje się ( ) ( ) ik π ( ) ( ) ( ) ep ikz. U (13),y = ep + y U 1,y1 ep i 1+ y1y d1dy1 iλz z λz. Wzór (13) opisuje pole dyfrakcyjne w przybliżeniu Fraunhofera. Z dokładnością do czynników fazowych występujących przed całką rozkład amplitudy zespolonej odpowiada przekształceniu Fouriera rozkładu U( 1 ). Dla dyfrakcji Fraunhofera nie występuje funkcja przenoszenia. Ale ponieważ dyfrakcja Fraunhofera jest szczególnym przypadkiem dyfrakcji Fresnela, funkcja dana wzorem (10) pozostaje aktualna.
3. Wybrane zagadnienia dyfrakcji Fraunhofera Z powodu dużego znaczenia praktycznego oraz prostoty samego zjawiska i jego opisu, w pierwszej kolejności omówione zostaną wybrane zagadnienia dyfrakcji Fraunhofera, mimo że stanowi ona przypadek szczególny dyfrakcji fresnelowskiej. Jak wspomniano wyżej, obrazy dyfrakcyjne Fraunhofera można opisywać za pomocą transformaty Fouriera rozkładu amplitudy zespolonej przedmiotu z niedokładnością pewnych czynników fazowych. Ponieważ przy detekcji (obserwacji) obrazów rejestrowana jest intensywność, czynniki te znikają i otrzymuje się kwadrat transformaty Fouriera amplitudy zespolonej przedmiotu uginającego światło. Niżej omówione zostaną charakterystyczne przykłady widm fraunhoferowskich odgrywających fundamentalną rolę, przykładowo, w opisie procesu odwzorowania optycznego i zasady działania siatkowych układów spektroskopowych. Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym tnym Niech przedmiotem dyfrakcyjnym będzie otwór prostokątny o bokach o długości a i b usytuowanych, odpowiednio, wzdłuż osi i y układu współrzędnych. Transmitancję amplitudową otworu można zapisać jako 1 (,y ) = rect rect a amplituda zespolona bezpośrednio za ekranem wynosi U( 1 ) = A t( 1 ). Stosując wzór dyfrakcyjny Fraunhofera (13) otrzymuje się U gdzie ν = /λz, ν y = y /λz, oraz sinc() = sin()/. Rozkład intensywności danym jest wzorem a y b 1 t 1 1 ab ik iλz z (,y ) = A ep( ikz) ep ( + y ) sinc( πaν ) sinc( πbν ),, y (14) (15) (,y ) = U(,y ) I sinc ( πaν ) sinc ( πbν ), I = 0 y (16) gdzie I 0 = A (ab/λz) oznacza wartość intensywności w środku obrazu dyfrakcyjnego.
Rysunek 4 przedstawia jednowymiarowy rozkład amplitud i faz w obrazie Fraunhofera szczeliny (y = 0), a na rys. 5 pokazano fotografie obrazów dyfrakcyjnych otworka prostokątnego o różnym stosunku długości boków. U(,y ) Rys. 4 Rozkład amplitudy zespolonej w obrazie Fraunhofera jednowymiarowej szczeliny. Szerokość głównego maksimum dyfrakcyjnego jest równa odległości między pierwszymi miejscami zerowymi funkcji po obu stronach punktu O i wynosi (λ/a)/z. -3π -π -π +π +π +3π πaν Rys. 5 Obrazy Fraunhofera otworka prostokątnego i kwadratowego. Odległość między maksimami dyfrakcyjnymi jest odwrotnie proporcjonalna do długości odpowiedniego boku prostokąta (kierunek wzdłuż którego położone są maksima dyfrakcyjne jest prostopadły do boku otworka). Dyfrakcja Fraunhofera na otworze kołowym owym Patrz dalsza część wykładu Odwzorowanie w oświetleniu koherentnym.
Dyfrakcja Fraunhofera na wielu szczelinach i siatce dyfrakcyjnej Jeśli nieprzeźroczysty ekran zawiera N równoodległych szczelin o szerokości a i długości b (gdzie b >> a) to jego transmitancję amplitudową można opisać jako N ( ) ( 1+ nd) y1 t 1,y1 = rect rect, a b (17) n= 0 gdzie d jest odległością między środkami sąsiednich szczelin. Po wstawieniu tego wyrażenia do wzoru (13) i wykonaniu obliczeń otrzymuje się następujące wyrażenie opisujące rozkład intensywności w polu dyfrakcyjnym Fraunhofera kd sin N 16z ka ky b ( ) = z I,y sin sin, λ k 4 y z z sin kd z (18) który można zapisać w postaci sinπaν sinnπdν 0 πaν sinπdν (,y ) = I, I (19) gdzie I 0 oznacza intensywność w środku obrazu dyfrakcyjnego pochodzącą od każdej szczeliny (I(0) = N I 0 ), ν = /λz, ν y = y /λz oraz dla uproszczenia założono b =. Z wzoru (19) wynika, że rozkład intensywności jest iloczynem rozkładu intensywności pola dyfrakcyjnego pojedynczej szczeliny, patrz wzór (16), i członu interferencyjnego (sinnπdν /sinπdν ). Człon ten osiąga maksymalne wartości gdy jednocześnie licznik i mianownik osiągają wartości zerowe, co ma miejsce gdy πdν = mπ, gdzie m jest liczbą całkowitą. Z tego warunku otrzymuje się zależność λ sinθ m = m, d (0) gdzie θ = /z. Wzór ten opisuje kątowe położenie dyfrakcyjnych maksimów intensywności siatki dyfrakcyjnej (N ) oświetlonej falą płaską wzdłuż normalnej do płaszczyzny siatki.
Na rys. 6 przedstawiono rozkłady intensywności funkcji składowych wzoru (19) oraz ich iloczyn odpowiadający intensywności całkowitej. Łatwo wykazać, że pokazany rozkład intensywności odpowiada przypadkowi d = 4a, w którym znikają maksima dyfrakcyjne ±4m (m = 0, 1,,...). sinnπdν sinπdν sin πaν πaν sin θ sin θ sinnπdν sinπdν sin πaν πaν sin θ Rys. 6 Graficzna ilustracja wzoru (19) dla przypadku d = 4a (odstęp między środkami szczelin jest czterokrotnie większy od szerokości szczeliny, a/d = 1/4). W przypadku często spotykanej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej typu Ronchi (d = a, patrz niżej) znikają wszystkie parzyste rzędy dyfrakcyjne. Ze wzrostem liczby szczelin zanikają maksima wtórne, a główne maksima dyfrakcyjne silnie zawężają się. Ze wzoru (0) wynika, że kątowe położenie maksimów dyfrakcyjnych (rzędów dyfrakcyjnych siatki) zależy od długości fali λ. Właściwość ta stanowi podstawę działania spektroskopów siatkowych.
Na rys. 7 pokazano schematycznie bieg promieni trzech najniższych rzędów ugięcia (m = -1, 0,+1) dla siatki transmisyjnej i odbiciowej oświetlonych pod kątem θ i względem normalnej. rząd m=+1 rząd m=0 θ i rząd m=-1 θ i rząd m=-1 rząd m=0 rząd m=+1 Rys. 7 Wiązka oświetlająca siatkę dyfrakcyjną amplitudową (a) i fazową odbiciową (b) oraz trzy najniższe rzędy ugięcia (m = -1, 0, +1). Trzy rzędy dyfrakcyjne otrzymuje się gdy transmitancja siatki amplitudowej ma postać 1 + cos(π/d) = 1 + ½ ep(iπ/d) + ½ ep(-iπ/d), lub gdy transmitancję siatki fazowej (odbiciowej) można zapisać jako ep[ibcos(π/d)] = 1 + ibcos(π/d). W przypadku siatki fazowej należy zwrócić uwagę na przesunięcie fazowe rzędów ugięcia +1 i 1 o π/ względem rzędu zerowego.
Inne funkcje modulacji amplitudowej lub fazowej (lub obu tych modulacji łącznie) generują wyższe rzędy dyfrakcyjne. Przykładowo, rozważmy jeszcze raz przypadek binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej oświetlonej falą płaską i składającej się z linii o transmitancji 1 (linie przeźroczyste) i 0 (linie czarne ), patrz wzory (17-0). Jej zespoloną transmitancję amplitudową można przedstawić w postaci szeregu Fouriera ( ) V,y,0 = anep inπ n= d gdzie, jak poprzednio, d oznacza okres funkcji; a n oznacza amplitudę n-tej harmonicznej. Funkcja ta jest funkcją prostokątną o współczynniku wypełnienia s/d definiowanym jako iloraz szerokości szczeliny (linii o transmitancji 1) do okresu, rys. 8. s v Rys. 8 Transmitancja binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej o okresie d i współczynniku wypełnienia (s/d). 0 d // Dla funkcji prostokątnej nieograniczonej wzdłuż osi współczynniki szeregu Fouriera a n dane są wzorami a n = sinc (nπs/d), a 0 = (s/d), gdzie sinc() = sin()/. Kąty propagacji n-tych harmonicznych dla oświetlenia wzdłuż normalnej do siatki wyznacza się ze wzoru sinθ n = n (λ/d). Z ostatnich wzorów wynika (jak już wspomniano wyżej), że w przypadku tzw. siatki Ronchi o współczynniku wypełnienia s/d = 0.5 brak jest parzystych rzędów ugięcia (parzystych harmonicznych). Ogólne równanie siatki dyfrakcyjnej gdy θ i 0 ma postać sinθ n sinθ i = n (λ/d), gdzie, jak poprzednio, n = 0, ±1, ±,... d okres (stała) siatki, θ i kąt padania wiązki oświetlającej, θ n kąt ugięcia n-tego rzędu dyfrakcyjnego (kąty mierzone względem normalnej do płaszczyzny siatki). (1)