Błędy obliceń w analiach systemów obsługi funkcjonujące na budowie D inż. Andej Więckowski, Politechnika Kakowska Populane modele teoii kolejek opisują funkcjonowanie systemów obsługi w nieskońconym pediale casu. Natomiast ecywiste wykonywanie obót odbywa się w oganiconych okesach casu twania mian obocych. Badania pepowadono na pykładie wykonywania wykopu kopaką odwoem guntu samochodami jeżdżącymi w obiegu amkniętym Wykoystując opacowany, tw. numeycny model kolejkowy stwiedono, że obieżności wyników py pominięciu waunków opocęć oa akońceń mian są bado nacące. Pykłądowo, błędy wględne śedniej licby jedntek w kolejce mogą wynić nawet kilkadiesiąt pocent. Peanaliowano ównież mienność tych obieżności uwagi na wielkość pediału casu miany obocej. 1. Wpowadenie Do opisu systemu obsługi np. odwoowującego pacę kopaki i samochodów odwożących gunt, scególnie dawniej stowano achunek deteministycny. W modelach analitycnych wykoystywano wielkości śednie casów twania pcególnych opeacji, a skutki niepewidianych akłóceń w takcie ealiacji obót oa stopień wykoystania casu dysponowanego miany obocej, odwoowywano współcynnikami dobieanymi spobem ekspeckim okeślonych pediałów watości. Zapewne aletą takiego podejścia są nieskomplikowane modele i pte oblicenia. Natomiast poważnym mankamentem jest bak ależności ujmujących wajemne oddiaływania jedntek funkcjonujących w espole. Możliwość badania stat casu występujących e wględu na współpacę jedntek, istnieje w pypadku stowania achunku pawdopodobieństwa. Wówcas do analiy funkcjonowania espołów awycaj wykoystuje się istniejące modele teoii obsługi masowej (tom) o pyjętych schematach diałania i ałożonych chaakteystykach pocesów [1, 2, 3, 4, 7]. Modele te umożliwiają badanie aów- PReglĄd budowlany 3/2008 no casu pacy opeacyjnej, jak i casu pew technologicnych spowodowanych koniecnością wajemnego ocekiwania. Dużym poblemem są jednak obieżności wyników obliceń wględem eultatów uyskiwanych w wykonawstwie. Znacącym upceniem w modelach tom jest pyjęcie ciągłego funkcjonowania systemów w nie - skońcenie długim pediale casu. Natomiast w budownictwie paca jest wykonywana okesowo, jej codiennym opocynaniem i końceniem. W atykule peanaliowano wielkości błędów obliceń wynikające nieuwględnienia w modelu tom waunku ealiacji pacy w oganiconych pediałach casu mian obocych. Równoceśnie należy auważyć, że w okesach mian poa pacą opeacyjną są wykonywane obsługi technicne spętu i występują pewy koniecne oa staty casu, któe awycaj ównież nie są uwględniane w modelach tom, a powodują obieżności wyników wględem wykonawstwa [6]. Zagadnienie tych obieżności i towaysących im błędów obliceń nie tało pedstawione, uwagi na oganiconość teści niniejsego atykułu. W celu odwoowania ealiacji pocesów w waunkach bliżonych do ecywistych, auto opacował tw. numeycny model kolejkowy (nmk). Model umożliwia opis funkcjonowania systemu obsługi m.in. w oganiconym okesie casu, opocynaniem pacy na pocątku miany i końceniem w chwili jej ukońcenia, jak ównież py uwględnieniu składowych casu dysponowanego oa chaakteystyk pocesów obsługi i obiegu okładami pesuniętymi wględem pocątku układu współędnych. W atykule dokonano oceny obieżności międy wynikami uyskanymi na ptawie nmk py uwględnieniu ecywistego casu twania miany eultatami wg tom. Dla pykładu wykonywania wykopu odwoem guntu okeślono wielkości błędów obliceń pawdopodobieństw pestojów apaatu obsługi i głeń oa śednich licb jedntek w kolejce, w pypadku nieuwględnienia oganiconego casu pacy. 47
48 2. Model M/M/1/FIFO/N/F Pacę espołu łożonego kopaki i N samochodów odwożących gunt, któych każdy pacuje w cyklu amkniętym, tj. aa po oładunku waca po kolejną pocję guntu do wywou, godnie [2, 5, 7] można opisać modelem M/M/1/FIFO/N/F (ys. 1). Model taki onaca system obsługi masowej, w któym tw. cas obiegu (licony od chwili opuscenia stanowiska obsługi pe głenie do chwili jego ponownego powotu) jest godny okładem wykładnicym o paamete λ oa cas obsługi (któy ównież chaakteyuje się okładem wykładnicym) o paamete µ. System ten piada 1 kanał obsługi, kolejką twooną wg dyscypliny FIFO (obsługa głeń w kolejności ich pybywania) N jedntkami pacującymi w cyklu amkniętym F. N Rys. 1. Model M/M/1/FIFO/N/F Model teoetycny M/M/1/FIFO/N/F jest okeślony dla pypadku pocesów, obiegu i obsługi spełniających waunki: stacjonaności (pawdopodobieństwo ajścia jednego daenia w małym pediale casu od t do t + h jest ówne w pybliżeniu λh dla każdego t), ównomieności (pawdopodobieństwo ajścia dwóch lub więcej daeń w powyżsym pediale casu od t do t + h jest pomijalne w poównaniu λh, tn. jest ędu niżsego niż λh), nieależności (ilość daeń w dowolnym pediale casu jest nieależna od ilości takich daeń w innym ołącnym pediale), ponadto: analia opocyna się w chwili, kiedy pocesy są już ustabiliowane i ich ealiacja twa wystacająco długo, np. od chwili mieającej -, oa badanie obejmuje bado długi pediał casu, akońceniem w chwili mieającej do +. Relacje chaakteyujące model M/M/1/FIFO/N/F scegółowo ped stawione w liteatue [1, 2, 5] są następujące. Pawdopodobieństwo tego, że apaat obsługi ma pestój wyni: μ (1) Natomiast pawdopodobieństwo pestoju głeń w kolejce: Śednia aś licba głeń w kolejce wyni: 3. Numeycny model kolejkowy Do badania pacy systemów X/Y/1/FIFO/N/F, py wykoystaniu metod symulacji, można astować numeycny model kolejkowy. Model nmk służy do oblicania podobnych chaakteystyk, jak w modelach tom, międy innymi cęstości pestojów: p o apaatu obsługi i p głeń oa q śedniej licby jedntek w kolejce. Konstukcja modelu nmk powala na odwoowanie wielu scegółowych ałożeń towaysących wykonawstwu. Do opisu casów obiegu i obsługi jest możliwe astowanie okładów standadowych i dowolnych. Badanie funkcjonowania systemów może dotycyć okesu twania mian obocych, deklaacją waunków opocynania i końcenia pacy, jak ównież ustaleń w akesie pocesów towaysących w takcie ealiacji pacy. Spób obliceń w modelu nmk jest godny następującą asadą. Najpiew są okeślane chwile potencjalne, w któych mogą nastąpić daenia. Faktycne ich ajście następuje dopieo wtedy, kiedy powalają na to waunki ealiacyjne. Na pykład, już od chwili pybycia głenia, potencjalnie może być ealiowana jego obsługa. Jednak faktycnie, opocnie się ona dopieo po spełnieniu wsystkich waunków koniecnych, m.in. ukoń cenia obsługi głeń, któe pybyły wceśniej. Obsługa nie tanie ównież ealiowana, jeśli np. chwile potencjalnego opocęcia lub akońcenia występują po akońceniu miany obocej. Z uwagi na obseność algoytmu obliceniowego modelu nmk, poniżej pedstawiono tylko jego fagmenty. Waunki opocęcia: (2) (3) (4) (4a) (4b) (4c) (4d) (4e) PReglĄd budowlany 3/2008
Watości chaakteystyk: Algoytm obliceniowy nmk można intepetować następująco. W waunkach opocęcia a ło żono, że chwila bieżąca casu e gaowego t, pyjmuje watości e biou R licb ecywistych, t R. Chwila t odpowiada ko lejnym chwilom wystąpienia daeń w ealiowanych pocesach. Na pocątku, cas egaowy od powiada chwili t 0 opocęcia diałania systemu, t= t 0 (4). Licąc od chwili t 0, po okesie t m funkcjonowania systemu (odpowiadającego casowi twania miany obocej) następuje chwila akońcenia t m, stąd t m = t 0 + t m (4a). Pyjęto, że w chwili t 0 nie występuje ealiacja pocesów i jest akońcona obsługa głeń. Stąd py opocęciu obliceń, chwila t w akońcenia obsługi głeń: t w = t 0 (4b). Model odwoowuje następujący system: jeden apaat obsługi i N głeń w obiegu amkniętym. Każde głenie ma pypisany nume identyfikacyjny i. Zatem kolejne głenia i=1,..., N twoą N-elementowy bió I taki, że I i, (4c). W najcęściej analiowanych pypadkach, py nieuwględnieniu pybyć głeń ped chwilą opocęcia miany, dla wsystkich i-tych głeń, i I pyjmuje się, że chwile t ps i piewsych pybyć, odpowiadającą chwili opocęcia, stąd t ps i = t 0, i I (4d). Z chwil t ps i pybyć głeń, utwoono N-elementowy bió T ps, taki że T ps t ps i, (4e). W ecywistych ealiacjach, awycaj piewse pyjady samochodów, aby ająć dobe miejsce w twoącej się kolejce, następują nacnie ped chwilą t 0 opocęcia miany obocej. Dla uwględnienia takich pypadków, altenatywnie pepowada się następujące oblicenia: Wtedy cas t ls licony od chwili pybycia głenia, do chwili t 0 opocęcia funkcjonowania systemu jest okeślony jako watość miennej lowej, funkcji odwotnej dystybuanty okładu casu piewsych pybyć głeń do systemu x(f ls -1 (l: 0,1 )). Zatem, PReglĄd budowlany 3/2008 (5) (5a) (5b) (5c) (5d) chwila t ps i piewsego pybycia i-tego głenia wyni: t ps i = t 0 t ls (nak minus wynika pybyć jedntek jesce ped chwilą opocęcia miany). Kok powtaalny symulacji pacy systemu jest ealiowany dopóki chwila t casu egaowego występuje ped chwilą t m akońcenia miany obocej, tj. dla t < t m. Watości chaakteystyk są oblica ne po akońceniu symulacji, jeśli cas egaowy ówna się chwilą akońcenia miany: t t m. Cęstość p o pestojów apaatu obsługi, okeślono jako iloa skumulowanego casu twania jego pestojów t k do casu funkcjonowania systemu t m, stąd p o = t k / t m (5). Cęstość obsług głeń pestojem w kolejce p k oblicono jako iloa licby ocekiwań k do licby cykli obsługi c, p k =k/c (5a). Cęstość występowania kolejki p okeślono jako ilocyn cęstości obsług pestojem w kolejce p k i skumulowanego casu ajętości (pacy opeacyjnej) apaatu obsługi t m = t m t k, podielony pe cas funkcjonowania systemu t m. Stąd elacja: p = p k t p / t m (5b) Śedni cas pestoju głeń w kolejce w jest ówny iloaowi skumulowanego casu ich pestojów t s pe licbę ocekiwań k, w =t s /k (5c). Śednia aś licba głeń w kolejce q jest okeślona, jako ilocyn cęstości występowania kolejki p i śedniego casu pestoju w kolejce w oa śedniej stopy obsługi m, atem q = p w m (5d). 4. Błędy pominięcia waunków akońcenia i opocęcia miany obocej Aby ocenić błąd pycyny pominięcia scegółowych waunków ealiacyjnych występujących py akońceniu miany obocej, waunki opocęcia oa ealiacja obsługi w poównywanych modelach musą być takie same. Dlatego w tym pypadku, w modelu nmk astowano waunki opocęcia godne modelem analitycnym M/M/1/FIFO/11/F. Pyjęto, że jedntki już pacowały wystacająco długo i pocesy obiegu są ustabiliowane. W chwili t 0 = 0 apaat obsługi opocyna pacę, a pybycia kolejnych jedno stek do systemu następują w chwilach lowych akońceń ealio wanych obiegów. Również waunki pacy systemów są takie same. Występuje natomiast niegodność waunków akońcenia. W modelu tom okes funkcjonowania syste mu miea do nieskońconości, aś w modelu nmk naśladują cym waunki wykonawstwa, twa do chwili t m akońcenia miany obocej. Ta odmienność casu funkcjonowania systemów powo duje óżnice w obsłude głeń w okesie ped akońceniem miany obocej. Występują sytuacje, że w chwili t ps t m pybywa głenie, któego potencjalna obsługa twa do 49
t p s t v s 0 τ t τ o k t τ m T 1 Rys. 2. Pypadek 1 stat głeń o chaakteystykach t t ps < t m < t vs, opis w tekście (opacowanie własne) chwili t vs występującej już po akońceniu miany. Ponieważ chwila akońcenia obsługi jest po akońceniu miany obocej t vs > t m, faktycna obsługa nie taje podjęta i ma miejsce stata głenia. Podobna sytuacja jest py głeniu ocekującym w kolejce, jeśli nie tanie obsłużone do akońcenia miany. Występują dwa pypadki stat głeń, kiedy apaat obsługi ma pestój lub jest ajęty. Pypadek 1 dotycy stanów, w któych apaat obsługi ma pestój od chwili t, a stacone głenie chaakteyują chwile t t ps < t m < t vs (ys. 2). W modelu nmk, e wględu na statę głenia, apaat obsługi ma pestój do chwili akońcenia miany, pe okes t ok + t 1 (dla upcenia oumowania, pominięto okes wykonywania pac akońceniowych). Natomiast w modelu tom, py dłużsym funkcjonowaniu systemu niż do chwili t m ma miejsce ealiacja obsługi, a pestój apaatu twa tylko pe okes t ok. Stąd w wykonawstwie więksenie casu twania pestoju, w poównaniu modelem analitycnym wyni: t ok + t 1 t ok = t 1, gdie: t ok 0, gdyż t ps t oa t 1 > 0, gdyż t ps < t m. Oblicając w podobny spób inne potebne chaakteystyki otymuje się następujące elacje okeślające wielkości błędów acji pominięcia waunków akońcenia miany obocej, dla pypadku 1. Błąd wględny cęstości cekania apaatu obsługi wyni: Błąd cęstości cekania wg powyżsej elacji chaakteyuje się watością dodatnią, δ po 1 > 0, gdyż cynniki są dodatnie: t 1 > 0, t k > 0, (t k skumulowany cas pestoju apaatu obsługi w pediale casu miany obocej). Casy twania dodatkowych pestojów t 1, mają watości ustalone (są oganicone). Py casie twania miany obocej mieającej do nieskońconości, t m, do nieskońconości więksają się ównoceśnie watości t k. Zatem błąd wględny cęstości cekania apaatu obsługi miea do ea: Natomiast błąd wględny cęstości cekania głeń w kolejce wyni: W powyżsej elacji pcególne watości są dodatnie: skumulowana licba głeń w pediale casu analiowanej miany obocej c>1, skumulowany cas pacy apaatu obsługi t p > 0 oa j.w. t 1 > 0. Py casie twania miany obocej mieającej do nieskońconości t m, do nieskońconości mieają ównież watości t p. Zatem błąd wględny cęstości występowania kolejki miea do ea: Kolejny błąd wględny, śedniej licby jedntek w kolejce jest podobnie bieżny do ea. Pypadek 2 opisuje stany, w któych apaat obsługi jest ajęty, a stacone głenie chaakteyują chwile t ps < t s = t < t m < t vs (ys. 3). Ze wględu na statę głenia apaat ma pestój od chwili t s = t, do chwili t m akońcenia miany, pe okes t 2, gdie: t 2 > 0, gdyż t s < t m. Natomiast w modelu tom, py dłużsym funkcjonowaniu systemu niż do chwili t vs, apaat nie ma pestoju, gdyż od chwili t s obsługuje to głenie. t p s t s t v s 0 τ t t m T τ o s τ 2 Rys. 3. Pypadek 2 stat głeń o chaakteystykach t ps < t s = t < t m < t vs, opis w tekście (opacowanie własne) 50 PReglĄd budowlany 3/2008
Pepowadając podobne jak wyżej analiy oa spawdając mienność błędów stwieda się, że wsystkie są bieżne do ea. Zatem ównież sumy błędów odpowiednich chaakteystyk dla pypadku 1 i 2 są także bieżne do ea. Scegółowe analiy błędów wynikających pominięcia waunków akońcenia, jak ównież opocęcia miany obocej są pedmiotem odębnego atykułu. Analiując skutki opocynania pacy w chwili t 0 opocęcia miany obocej stwieda się, że oddiaływanie jest inne. W wykonawstwie i podobnie w modelu nmk, od chwili t 0 = 0 opocęcia miany ma miejsce ciągła obsługa wsystkich N cekających jedntek. Ta obsługa, be pew, achodi od pocątku miany i twa pe okes casu t c = N t m (t m cas twania obsługi). W potałej cęści miany, w jej pocątkowym okesie, do chwili ustabiliowania się pocesów, występują skutki tej ciągłej obsługi. Więksa intensywność opuscania stanowiska, py N obsługach be pew, scególnie po piewsym obiegu, powoduje wyaźnie więksą intensywność pybyć jedntek niż w systemie ustabiliowanym. W eultacie, ciągła obsługa na pocątku miany i później więksa intensywność pybyć do casu ustabiliowania się pocesów powadi do mniejsenia pestojów apaatu obsługi i ównoceśnie do więksenia casu cekania jedntek w kolejce. 5. Pykład W dalsej analiie wykoystano dane badań pepowadonych na budowie Galeii Kakowskiej, py wykonywaniu wykopu seokopestennego, o objętości około 184000 m 3 i peciętnej głębokości 7,5 meta, na powiechni bliżonej do ptokąta o wymiaach 340 m x 105 m. Badaniami była objęta paca espołu łożonego kopaki o pojemności łyżki 1,8 m 3 i 11 samochodów samowyładowcych o ładownościach 12,6, 18 i 27 ton, pacujących w cyklu amkniętym, odwożących gunt na odkład stały w odległości 12,5 km od budowy. Na podstawie wyników pomiaów empiycnych cas obiegu samochodów chaakteyuje śednia t=0,8229 h, stąd dla okładu wykładnicego paamet λ = 1,2152. Podobnie dla casów obsługi stwiedonych w badaniach śednia t = 0,0631 h, atem dla okładu wykładnicego paamet µ = 15,8366. Dla oceny błędu nieuwględnienia w modelu tom oganiconego casu twania miany obocej dokonano poównania otymanych wyników eultatami wg nmk, w któym odwoowano ecywiste waunki opocęć i akońceń pacy. Zatem w obu modelach pyjęto takie same systemy odpowiadające espołowi pacującemu na budowie, to jest: 1 apaatem obsługi i 11 jedntkami funkcjonującymi w obiegu amkniętym. PReglĄd budowlany 3/2008 6. Wyniki obliceń W modelu analitycnym tom chaakteystyki systemu M/M/1/FIFO/11/F oblicone na podstawie elacji (1), (2) i (3) są okeślone w waunkach jak wyżej, tn. opocęciem analiy w chwili, gdy ealiacja pocesów twa już wystacająco długo oa badanie ównież jest wykonywane dtatecnie długo, do chwili mieającej do +. Wówcas pawdopodobieństwo pestoju apaatu obsługi p o =0,2886, pawdopodobieństwo pestoju głeń p =0,4678 oa śednia licba jedntek ocekujących w kolejce q=1,0172. W modelu nmk naśladującym ecywiste waunki wykonawstwa pyjęto, że w chwili t 0 = 0 opocęcia miany, wsystkie jedntki są w systemie, w kolejności ich pybyć (indeksów i=1, 2,..., N), aś apaat w chwili t 0 opocyna obsługę od głenia i=1. Następnie kontynuuje ją wględem kolejnych ocekujących i później głasających się po każdym obiegu, aż do akońcenia miany w chwili t m. Chaakteystyki modelu nmk tały oblicone na podstawie 10000 cykli symulacyjnych, py oganiconych casach funkcjonowania systemu. W celu oceny wpływu wielkości okesu twania miany obocej na watości pcególnych chaakteystyk, oblicenia pepowadono dla następujących pediałów casu: t m =8, 10, 20, 30,,100 godin. A. Błędy nieuwględnienia wa unków opocęcia Pyjęto, że błędem bewględnym Dx jest obieżność stanowiąca óżnicę międy watością x uyskaną na podstawie obliceń numeycnych nmk i odpowiednią watością x obliconą analitycnie wg tom [4], stąd: Dx=x x (6) Natomiast błąd wględny δx wy ni: (7) Wyniki obliceń cęstości pestojów apaatu obsługi p o, cęstości pestojów głeń w kolejce p 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1 Δ q 8 10 Δ ps Δ po 20 30 40 50 60 70 80 90 100 τ m h Rys. 4. Błędy bewględne cęstości pestojów apaatu obsługi D po i głeń D ps oa śednich licb jedntek w kolejce D q e wględu na pominięcie waunków opocęcia miany obocej (opacowanie własne) 51
Tabela 1. Watości chaakteystyk wg nmk i tępy wyników wględem modelu tom py pominięciu waunków opocęcia miany obocej [opacowanie własne] Cas twania miany obocej t m h Cęstości pestojów apaatu obsługi głeń w kolejce p o błąd D po p oa śedniej licby jedntek w kolejce q, py uwględnieniu tylko waunków opocęcia miany obocej, estawiono w tabeli 1. W tabeli tej ujęto ównież oblicone godnie elacją 6 odstępstwa tych wyników od wyliconych analitycnie, wg elacji tom. Są to odpowiednio błędy bewględne: cęstości pestojów apaatu obsługi D po, cęstości pestojów głeń D ps oa śedniej licby jedntek w kolej - ce D q. Zmienność tych błędów pedstawiono na ysunku 4. Na skutek pominięcia w modelu tom faktu cekania samochodów na aładunek w chwili opocęcia miany, mają miejsce obieżności wyników wględem nmk. Błędy bewględne cęstości cekania apaatu obsługi D po są ujemne i chaakteyują się watościami od 0,0493 do 0,0042, odpowiednio dla mian obocych od 8- do 100-godinnych. Błędy bewględne cęstości cekania głeń w kolejce D ps są natomiast dodatnie i podobnie, o tendencji bieżności do ea, mniejsają się od 0,0818 do 0,0062, odpowiednio dla mian obocych od 8- do 100-godin. W tym pypadku kolejka N cekających głeń w chwili opocęcia pacy, wpływa na więksenie cęstości cekania jedntek. Stąd watości błędów są dodatnie. Śednia licba głeń w kolejce błąd D ps q błąd D q 8 0,239288 0,04931 0,549644 0,081836 1,504883 0,487643 10 0,2518 0,0368 0,537204 0,069395 1,418492 0,401251 20 0,269089 0,01951 0,500199 0,032391 1,212441 0,195201 30 0,276518 0,01208 0,488152 0,020344 1,140736 0,123496 40 0,280114 0,00849 0,482664 0,014855 1,110613 0,093373 50 0,282083 0,00652 0,478922 0,011114 1,088029 0,070789 60 0,282661 0,00594 0,477432 0,009624 1,078177 0,060937 70 0,283123 0,00548 0,476327 0,008518 1,069703 0,052462 80 0,28391 0,00469 0,475494 0,007686 1,062254 0,045014 90 0,284075 0,00453 0,474504 0,006696 1,057906 0,040666 100 0,284373 0,00423 0,474053 0,006245 1,054154 0,036914 Watości błędów bewględnych śedniej licby głeń w kolejce D q są najwiękse i ównież dodatnie. Są skutkiem kolejki łożonej N cekających głeń już w chwili opocęcia pacy. Dla 8-godinnej miany obocej błąd jest najwyaźniejsy i wyni 0,4876. Wa e więksaniem casu twania miany błędy maleją, pyjmując dla miany 100-godinnej watość 0,0369. Poważnym poblemem jest fakt, że bado nacące błędy, o watościach kilku do kilkudiesięciu pocent występują py casach twania mian 8 i 10 godin, któe w wykonawstwie występują najcęściej. Watości błędów są ocywiście coa mniejse, tendencją bieżności do ea, wa e więksaniem pediału casu, godnie analią w punkcie 4. B. Błędy pominięcia waunków akońcenia Podobnie jak w punkcie A, ale py uwględnieniu tylko waunków akońcenia miany obocej, w tabeli 2 estawiono wyniki obliceń cęstości pestojów apaatu obsługi p o, cęstości pestojów głeń w kolejce p oa śedniej licby jedntek w kolejce q, jak ównież błędy bewględne cęstości pestojów apaatu obsługi D po, cęstości pestojów głeń D ps oa śedniej licby jedntek w kolejce D q. Tabela 2. Watości chaakteystyk na podstawie nmk i tępy wyników wględem modelu tom py pominięciu waunków akońcenia miany obocej [opacowanie własne] 52 Cas twania miany obocej t m h Cęstości pestojów apaatu obsługi głeń w kolejce p o błąd D po p Śednia licba głeń w kolejce błąd D ps q błąd D q 8 0,305423 0,016822 0,48913 0,021322 1,036967 0,019727 10 0,298546 0,009945 0,480026 0,012217 1,01725 1,01E-05 20 0,294814 0,006213 0,475221 0,007413 1,009672 0,00757 30 0,292829 0,004228 0,472531 0,004723 1,00665 0,01059 40 0,291638 0,003036 0,47123 0,003422 1,006137 0,0111 50 0,291139 0,002538 0,470651 0,002843 1,006121 0,01112 60 0,290758 0,002197 0,470344 0,002586 1,006148 0,01109 70 0,290427 0,001826 0,470113 0,002255 1,006264 0,01098 80 0,290217 0,001616 0,469936 0,002128 1,006448 0,01079 90 0,290094 0,001493 0,469868 0,002059 1,006512 0,01073 100 0,290017 0,001416 0,469719 0,001911 1,006646 0,01059 PReglĄd budowlany 3/2008
0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0-0,005-0,01-0,015 Δ ps Δ po 8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Δ q τ m h Rys. 5. Błędy bewględne cęstości pestojów apaatu obsługi D po i głeń D ps oa śednich licb jedntek w kolejce D q acji pominięcia waunków akońcenia miany obocej (opacowanie własne) Dla casów od 8 do 100 godin, watości błędów bewględnych cęstości pestoju apaatu obsługi D po są dodatnie i mniejsają się odpowiednio od 0,0168 do 0,0014. Jest to wynik ównocesnego oddiaływania błędów spowodowanych dodatkowymi pestojami t 1 i t 2 py akońceniach mian. Zmniejsanie się watości błędów D po jest natomiast skutkiem malejącego oddiaływania popocji: stałej watości dodatkowych pestojów t 1 i t 2 do coa dłużsych mian obocych. Z uwagi na pominięcie waunków akońcenia, błędy bewględne cęstości pestojów głeń D ps są ównież dodatnie, ale nieco więkse. Wyną od 0,0213 py 8-godinnej mianie obocej do 0,0019 py casie 100 h. Natomiast błędy bewględne cęstości pestojów głeń w kolejce D q uwagi na waunki akońcenia, są najpiew dodatnie dla mian 8- i 10-godinnych oa ujemne dla casów dłużsych (ys. 5). C. Błędy pominięcia waunków oganiconego casu twania miany obocej Suma odpowiednich błędów acji pominięcia waunków opocęcia i akońcenia stanowi błąd wypadkowy pominięcia waunków oganiconego casu twania miany obocej. Z uwagi na peciwne bądź takie same naki watości pcególnych błędów, wypadkowa jest óżnicą bądź sumą tych wielkości. Z powodu aś ponad dwukotnie więksych błędów opocęcia wględem akońcenia, mają one decydujący wpływ wypadkową (tab. 3, ys. 6). Py pominięciu waunków pocątkowych i akońcenia miany obocej, cęstości pestojów apaatu obsługi p o chaakteyują się watościami mniejsymi od obliconej powyżej p o =0,2886 na podstawie modelu tom. Stąd błędy bewględne D po są ujemne. Natomiast cęstości pestojów głeń p i śed - niej licby jedntek w kolejce q są więkse od odpowiednich p =0,4678 i q=1,0172 obliconych be uwględnienia oganiconego casu twania miany. Zatem błędy mają nak dodatni. 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 p o p o q q p p 8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 τ m h Rys. 6. Watości chaakteystyk na podstawie modelu tom oa nmk uwględniającego ecywiste waunki opocęcia i akońcenia miany obocej, gdie dla modeli odpowiednio, numeycnego i analitycnego: p o i p o cęstość i pawdopodobieństwo pestoju apaatu obsługi, p i p cęstość i pawdopodobieństwo występowania kolejki głeń, q i q śednie licby jedntek w kolejce, t m pediał casu [opacowanie własne] Tabela 3. Watości chaakteystyk na podstawie nmk i tępy wyników wględem modelu tom py pominięciu waunków oganiconego casu twania miany obocej [opacowanie własne] Cęstości pestojów Śednia licba Cas twania apaatu obsługi głeń w kolejce głeń w kolejce miany obocej błędy błędy błędy t m h p o q D po PReglĄd budowlany 3/2008 d po p 8 0,2561 0,0324 0,1126 0,571 0,1032 0,2205 1,5246 0,5074 0,4988 10 0,2617 0,0269 0,0931 0,5494 0,0816 0,1745 1,4185 0,4012 0,3945 20 0,2753 0,0133 0,0461 0,5076 0,0398 0,0851 1,2049 0,1876 0,1845 30 0,2807 0,0079 0,0272 0,4929 0,0251 0,0536 1,1301 0,1129 0,1110 40 0,2832 0,0055 0,0189 0,4861 0,0183 0,0391 1,0995 0,0823 0,0809 50 0,2846 0,004 0,0138 0,4818 0,014 0,0298 1,0769 0,0597 0,0587 60 0,2849 0,0037 0,013 0,48 0,0122 0,0261 1,0671 0,0498 0,049 70 0,2849 0,0037 0,0127 0,4786 0,0108 0,0230 1,0587 0,0415 0,0408 80 0,2855 0,0031 0,0107 0,4776 0,0098 0,021 1,0515 0,0342 0,0336 90 0,2856 0,003 0,0105 0,4766 0,0088 0,0187 1,0472 0,0299 0,0294 100 0,2858 0,0028 0,0097 0,476 0,0082 0,0174 1,0435 0,0263 0,0259 D ps d ps D po d po 53
Analiując w tabeli 3 i na ysunku 6 pcególne watości chaakteystyk p o, p i q uyskanych na podstawie modelu nmk naśladującego waunki wykonawstwa w akesie oganiconego casu pacy oa wielkości p o, p oa q oblicone wg modelu tom, auważa się duże óżnice międy odpowiednimi wynikami, scególnie py mniejsych casach mian. Rtępy te są natomiast mniejse w pypadku więksych pediałów casu. W konsekwencji ównież błędy wględne podobnie jak bewględne dla coa więksych pediałów casu, od 8 do 100 godin funkcjonowania systemu, chaakteyują wielkości (bewględne) odpowiednio monotonicnie mniejsające się. Dla tak mieniających się pediałów casu funkcjonowania systemów, błędy wględne cęstości pestojów apaatu obsługi δ po są ujemne i wyną od 11,26% do 0,89%, natomiast dodatnie są błędy wględne cęstości pestojów głeń δ ps o watościach od 22,05% do 1,64%. Błędy aś śedniej licby jedntek w kolejce δ po wyną od 49,88% do 2,59%. Należy auważyć bado duże watości każdego odaju błędów, scególnie dla 8- i 10-godinnych mian obocych występujących w wykonawstwie. Najwiękse błędy wględne występują py śednich licbach głeń cekających w kolejce. Be mała połowę obliconej watości stanowi błąd wynący j.w. 49,88% py mianie 8-godinnej. 7. Podsumowanie Py stowaniu modelu M/M/1/FIFO/N/F do analiy pacy systemów obsługi e głeniami funkcjonującymi w obiegu amkniętym, należy wócić uwagę na godność ałożeń teoetycnych i odwoowywanych ecywistych waunków ealiacji. Pominięcie uwaunkowań tylko oganiconego casu twania miany obocej jest wiąane bado dużymi błędami obliceń. W badanym pykładie, py 8-godinnej mianie obocej, dla pawdopodobieństw pestojów apaatu obsługi i głeń błędy wględne wyną odpowiednio ponad 10% i 20%, aś dla śedniej licby jedntek w kolejce błąd stanowi aż około 50%. BIBLIOGRAFIA [1] Baccelli F., Bemaud P., Elements of Queueing Theoy, Spinge Velag, Belin Heidelbeg New Yok 2003 [2] Beue L, Baum D., An Intoduction to Queueing Theoy: and Matix-Analytic Methods, Spinge, Dodecht, The Nethelands 2005 [3] Filipowic B., Modele sieci kolejkowych, Wydawnictwa AGH, Kaków 1999 [4] Gs D., Hais C.M., Fundamentals of Queueing Theoy, John Wiley & Sons Inc., New Yok 1998 [5] Pybylski J., Modelowanie cyklicnych pocesów budowlanych o chaaktee lowym na pykładie masowych obót iemnych, Monogafia 43, Wyżsa Skoła Inżynieska, Zielona Góa 1998 [6] Więckowski A., Analia casu dysponowanego miany obocej, Pegląd Budowlany, Wasawa 1/2007, s. 20 24 [7] Wolscan J., Zastowania teoii masowej obsługi w tanspocie samochodowym, Wydawnictwa Komunikacji i Łącności, Wasawa 1970 54 PReglĄd budowlany 3/2008