2. Wstęp do analiz wektorowej 2.1. Pojęcia podstawowe Wielkości wektorowe (1) Wektorem (P) w punkcie P trójwmiarowej przestrzeni euklidesowej nazwam uporządkowan zbiór trzech liczb (skalarów, składowch ) (P), (P), z (P) przpisanch punktowi P o współrzędnch P, P, z P. Ilocznem skalarnm dwóch wektorów, np. (P) i H(P) w punkcie P nazwam wrażenie Współrzędną (wersorem) przestrzeni nazwam wektor u k (P) (k=,, z) taki że Własnośd (I): Zbiór wektorów u k (P) o własności (I) nazwam ortogonalną bazą (układem współrzędnch kartezjaoskich) przestrzeni 2 1
Wielkości wektorowe (2) Miarą (modułem, długością) wektora (P) nazwam wrażenie Składowe wektora można obliczd z zależności Składowe, z analogicznie Cosinusami kierunkowmi wektora nazwam wrażenia u u Własnośd (II): Składowe n, n z analogicznie z u z 3 Układ współrzędnch u z =u z u z=z u u r P u kartezjaoski (,, z) clindrczn (r,, z) u z u z P r u u r u u kartezjaoski (,, z) sferczn (r, ) r Przeliczanie współrzędnch 4 2
Obrót kartezjaoskiego układu współrzędnch Transformację wektora z układu 0 do układu 0vw otrzmujem rzutując każdą ze składowch w osiach, na osie v, w (na płaszczźnie) Kąt spełniają Operacja obrotu w zapisie macierzowm Wprowadzając cosinus kierunkowe mam 5 Podstawowe operacje matematczne na wektorach Niech Dodawanie wektor A jest sumą wektorów składowch A 2 A suma wektorów A + jest wektorem C, którego składowe są sumą składowch dodawanch wektorów, znak składowej zależ od jej położenia względem układu współrzędnch np. A 2 >0, 2 <0 Mnożenie przez skalar u 2 u u 2 u 2 u u 1 A 1 2 1 u 1 u 1 Rozdzielnośd ilocznu skalarnego względem dodawania 6 3
Iloczn wektorow (1) Pojęcie ilocznu wektorowego jest związane z dodatnim kierunkiem obrotu w prawoskrętnm kartezjaoskim układzie współrzędnch u 3 u 1 u 2 Przez analogię -u 3 u 2 Dla wektorów u, v dowolnie ustuowanch u 1 Stąd reguła korkociągu u 3 7 Iloczn wektorow (2) Dwa dowolnie ustuowane wektor A, zawsze możem rozłożd na składowe w wbranm układzie współrzędnch. Niech A 3 = 3 =0 A A u 2 Par wektorów A 1, 1 = 0 oraz A = 0 2, 2 są współliniowe Następstwo wektorów A 1, 2 zgodne A u 1 Następstwo wektorów A 2, 1 przeciwne Stąd i przez analogię Ogólnie 8 4
Pole wektorowe Niech w każdm punkcie P przestrzeni jest określona wartośd każdej ze składowch wektora co oznacza, że dane są funkcje 1 (P), 2 (P) P P 1 (P)= 0.40 2 P u 2 1 (P)=-0.31 2 (P)=+0.25 u 1 9 Pochodna i całka wektora (względem czasu) Niech w danm punkcie przestrzeni składowe wektora A będą pewnmi funkcjami czasu A 1 (t), A 2 (t) A(t) Pochodna wektora A wnosi u 2 A 2 (t) A(t) A(t+ t) A 1 (t) Całka wektora A w przedziale (0, t) wnosi u 1 Dla dostatecznie małego przedziału t 10 5
2. Podstaw analiz wektorowej 2.2. Operator wektorowe i tożsamości całkowe Pojęcie operatora Operatorem działającm na wielkości A,, C... nazwam skrócon zapis pewnch operacji matematcznch wkonwanch na wielkościach A,, C... Przkład: iloczn skalarn dwóch wektorów <A, >, pochodna wektora względem czasu da(t)/dt, strumieo wektora C przez powierzchnię S u n jednostkow wektor normaln do S 12 6
Gradient funkcji skalarnej (1) Niech (,,z) oznacza funkcję skalarną, ciągłą i różniczkowalną w pewnej objętości V. Gradientem tej funkcji nazwam wektor Operator grad jest rozdzieln względem dodawania Izolinią (izopowierzchnią w 3D) funkcji skalarnej nazwam miejsce geometrczne punktów o tej samej wartości funkcji. Różniczką I rzędu (elementarnm przrostem funkcji nazwam wrażenie - 0.1-0.2-0.3-0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 gdzie,, z są składowmi elementarnego wektora przemieszczenia v = [,, z] T Stąd v 13 Dla danego pola skalarnego funkcji wbieram dostatecznie mał wektor przemieszczenia v leżąc na pewnej izopowierzchni Różniczka (przrost funkcji) jest w takim wpadku równa zeru Gradient funkcji skalarnej (2) - 0.1-0.2-0.3-0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 v grad Możliwe są dwa rozwiązania: 1. const w całm obszarze grad (trwialne) 2. grad prostopadł do v (konwencja: wektor grad jest skierowan w stronę wzrostu Pole funkcji skalarnej generuje pole jej gradientu Pochodną kierunkową / n w punkcie P funkcji nazwam iloczn skalarn wektorów: u n o jednostkowej długości oraz grad (P) P w kierunku n P u n 14 7
Strumieo wektora Rodzaje powierzchni: 1. zamknięta S(V) jest powierzchnią zewnętrzną objętości V 2. otwarta S(l) jest powierzchnią o krzwej brzegowej l ds ds Krzwizna powierzchni jest określona w każdm jej punkcie wektorem ds = u n ds. o jednostkowej długości i skierowanm normalnie zewnętrznie (dla S(V)) Strumieniem wektora przez powierzchnię S nazwam wrażenie Nazwa wrażenia wnika z przkładowego zastosowania dla oznaczającego profil prędkości ciecz przepłwającej przez powierzchnię S wówczas jest objętością ciecz przepłwającej przez powierzchnię S w jednostce czasu. 15 Dwergencja funkcji wektorowej Definicja operatora dwergencji (wzór niezależn od rodzaju układu współrzędnch) Operator div jest rozdzieln względem dodawania Dwergencja w kartezjaoskim układzie współrzędnch Dla dostatecznie małej objętości V = z o krawędziach ustuowanch wzdłuż osi układu współrzędnch można przjąd z z u n u n ( ) ( ) dla pozostałch powierzchni analogicznie 16 8
Twierdzenie Gauss a Dowolna objętośd V może bd przedstawiona jako suma objętości składowch V k V k Na powierzchni granicznej S 12 pomiędz dowolnie wbranmi elementarnmi objętościami V 1, V 2 zachodzi S 12 Stąd u n1 u n2 V 2 dla wszstkich granicznch powierzchni Ostateczna postad twierdzenia Gauss a V 1 17 Rotacja funkcji wektorowej Definicja n-tej składowej operatora rotacji (wzór niezależn od rodzaju układu współrzędnch) Operator rot jest rozdzieln względem dodawania Rotacja w kartezjaoskim układzie współrzędnch Dla dostatecznie małej powierzchni S z = o krawędziach ustuowanch wzdłuż osi układu współrzędnch można przjąd, że całka liniowa wzdłuż l( S z ) wnosi z Po podzieleniu przez otrzmuje się l( S z ) 18 9
Twierdzenie Stokes a Dowolna powierzchnia S może bd przedstawiona jako suma powierzchni składowch S k S k z Na linii granicznej l 12 pomiędz dowolnie wbranmi elementarnmi powierzchniami S 1, S 2 zachodzi Stąd S 1 u l2 u l1 S 2 dla wszstkich granicznch linii Ostateczna postad twierdzenia Stokes a 19 Operator nabla Skrócenie zapisu operacji wektorowch w kartezjaoskim układzie współrzędnch uzskuje się po wprowadzeniu operatora nabla zapiswanego jako Nabla jest bezwmiarowm wektorem o jednostkowch składowch będącch operatorami różniczkowania skalarnego. Operator gradientu, dwergencji i rotacji zapisad można jako Laplasjanem nazwam operator 2 równ 20 10
Tożsamości wektorowe Twierdzenie Helmholtz a Dowolne pole wektorowe można przedstawid w postaci sum gdzie (P), (P) są pewnmi funkcjami, odpowiednio skalarną i wektorową, w punkcie P. Tożsamości algebraiczne Tożsamości generujące równania różniczkowe cząstkowe II rzędu 21 Przkład pól fizcznch +1 V +1 A -1 V -1 A Potencjał elektrczn skalarn,) wokół dwóch elektrod Potencjał magnetczn wektorow,)=u z A(,) wokół dwóch przewodów wiodącch prąd 22 11
Pole źródłowe i pole bezźródłowe V 1 V 1 V 2 pole grad,) pole rot,) 23 Całkowanie numerczne pól skalarnch (1) Całka liniowa funkcji skalarnej Dana jest skalarna funkcja () w przedziale [ 1, n ] Całka oznaczona F tej funkcji jest skalarem równm różnic pól powierzchni pomiędz funkcją i osią 0 nad i pod osią. 1 () + k ( k ) _ n Jeżeli funkcja jest dana zbiorem jej wartości w równoodległch punktach ( k ), k=1...n, to interpolujem jej przebieg łamaną, a całka F jest równa sumie pól trapezów o wsokości W przpadku, kied całkowanie odbwa się po konturze zamkniętm, na którm wznaczono n punktów l 1,...l n całka F jest równa (l) l l k (l k ) 24 12
Całkowanie numerczne pól skalarnch (2) Całka liniowa ilocznu skalarnego Dana jest pole wektorowe A(,, z) oraz kierunek u v (n, n, n z ), na którm określono przedział v [v 1,v n ] Skalarna funkcja (v) jest równa ilocznowi A,u v. Poszukiwana jest wartośd całki F z u v v 1 v n A(,,z) v W pierwszm etapie wznaczam wektor A w punktach v k ( k =n v k, k =n v k, z k =n z v k ), k=1...n Następnie obliczam ciąg wartości (v k ) i wznaczam wartośd całki F A,u v v 1 v v k (v k ) v n v Całkowanie po konturze zamkniętm wkonuje się analogicznie 25 Całkowanie numerczne pól skalarnch (3) Całka powierzchniowa funkcji skalarnej Dana jest skalarna funkcja (,) w przedziale [ 1, m ], [ 1, n ]. Całka oznaczona F tej funkcji jest skalarem równm różnic objętości pomiędz funkcją i płaszczzną 0 nad i pod płaszczzną. Jeżeli funkcja jest dana zbiorem jej wartości w równoodległch punktach ( j, k ), j=1...m, k=1...n, to całka F jest w przbliżeniu równa sumie objętości prostopadłościanów e i, i=1...mn, o podstawie i wsokości h i równej średniej wsokości krawędzi prostopadłościanu ( j, k ) e i 26 13
Całkowanie numerczne pól skalarnch (4) Całka powierzchniowa ilocznu skalarnego (dla pól 2D) Dana jest płaskie pole wektorowe (, ) oraz kierunek u w (n w, n w, 0) prostopadł do powierzchni S (z,v), v [v 1,v m ], z [z 1,z n ]. Skalarna funkcja (z,v) jest równa ilocznowi,u w. Poszukiwana jest wartośd całki F z (z,v) nad S - strumieo wektora przez powierzchnię S u z u u u z u w u v S Wektor v k określając położenie punktu Q k na powierzchni S we współrzędnch 0vz wnosi v k = Q k _ P. Stąd u u P u w n v u v n v v k Q k S 27 Całkowanie numerczne pól skalarnch (5) Transformacja pola wektorowego 2D do nowego układu współrzędnch Składowe wektora indukcji w punkcie Q w układzie współrzędnch 0vw nie zależą od wektora przesunięcia P początku tego układu względem układu 0, a jednie zależą od kąta obrotu v mierzonego od pierwszej współrzędnej układu globalnego (tu ) do pierwszej współrzędnej układu lokalnego (tu v), którego miarą jest cosinus kierunkow n v =cos v Wznaczenie składowej w (Q k ) u + v u P n w u w n w n v Wznaczenie strumienia wektora przez płaszczznę S n v u v v k Q k 28 14