Ocena ryzyka kredytowego

Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr zimowy 2017/18)

Uwaga Niniejszy materia nie stanowi ca ości wyk adu i nie wystarcza do przygotowania egzaminu. Niektóre fragmenty (szczególnie dowody i przyk ady) b ¾ed ¾a prezentowane tylko podczas wyk adu na tablicy.

1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro zenie; mo zliwość straty, szkody, nieosi ¾agni ¾ecia zamierzonego celu dzia ania. 2. Neutralna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro zenie, ale jednocześnie szansa; mo zliwość uzyskania efektu ró zni ¾acego si ¾e od zamierzonego celu (efekt ten mo ze być gorszy lub lepszy od oczekiwanego).

1.2 Rodzaje ryzyka 1. Ryzyko rynkowe - wynika ze zmian cen na rynkach nansowych i towarowych. 2. Ryzyko kredytowe - wynika z mo zliwości niedotrzymania warunków kontraktu przez osob ¾e lub instytucj ¾e, której udzielono kredytu. 3. Ryzyko operacyjne - ryzyko straty wynikaj ¾acej z nieprawid owo dzia aj ¾acych procesów wewn ¾etrznych, ludzi i systemów informatycznych. 4. Ryzyko p ynności - ryzyko nieoczekiwanego spadku p ynności nansowej podmiotu gospodarczego (p ynność oznacza zdolność podmiotu do regulowania zobowi ¾azań w terminie).

5. Ryzyko prawne - ryzyko uchwalenia nowych aktów prawnych maj ¾acych wp yw na sytuacj ¾e danego podmiotu gospodarczego. 6. Ryzyko biznesu - ryzyko spowodowane zmianami warunków ekonomicznych prowadzenia dzia alności gospodarczej przez podmiot. 7. Ryzyko wydarzeń - ryzyko wyst ¾apienia wydarzeń losowych maj ¾acych wp yw na sytuacj ¾e podmiotu gospodarczego (np. powódź, po zar, napad na bank).

1.3 Podzia ryzyka kredytowego 1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez drug ¾a stron ¾e p atności wynikaj ¾acych z kontraktu (koncepcja negatywna). 2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - mo zliwość zmiany wiarygodności kredytowej drugiej strony (koncepcja neutralna).

2 Przestrzeń probabilistyczna Niech b ¾edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z ¾acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nast ¾epuj ¾ace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 i=1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynika, ze do F nale z ¾a zdarzenia: pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe). (zdarzenie

Najmniejsze -cia o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy - cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowoln ¾a funkcj ¾e P : F! R spe niaj ¾ac ¾a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P 0 1 1[ 1X @ A i A = i=1 i=1 P (A i ): (1)

Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk ¾e (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. W asności prawdopodobieństwa. Je zeli (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a i zbiory A; B; A 1 ; :::; A n nale z ¾a do F, to spe nione s ¾a poni zsze warunki: W1. P (;) = 0. W2. Je zeli A i \ A j = ; dla i 6= j, to P S ni=1 A i = P ni=1 P (A i ). W3. P (na) = 1 P (A). W4. Je zeli A B, to P (BnA) = P (B) P (A).

W5. Je zeli A B, to P (A) P (B). W6. P (A) 1. W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B). W8. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to X!2 P (f!g) = 1: (2) Zadanie 1. Udowodnić w asności W1 W4. Zadanie 2. Udowodnić w asności W5 W8.

Zadanie 3. Eksperci wskazali na 5 mo zliwych stanów gospodarki w ci ¾agu najbli zszego roku oraz na prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia: stan gospodarki skrót prawdopodobieństwo du zy rozwój DRO 0; 1 niewielki rozwój NRO 0; 25 stagnacja STA 0; 2 niewielka recesja NRE 0; 35 du za recesja DRE 0; 1 Zde niować przestrzeń probabilistyczn ¾a tak, aby zdarzeniami elementarnymi by y stany gospodarki, a ich prawdopodobieństwami liczby wymienione w powy zszej tabeli. Wykazać, ze przestrzeń ta spe nia warunki (A1) (A3). Zde niować zdarzenia: rozwój i brak rozwoju oraz obliczyć ich prawdopodobieństwa.

3 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wektorem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Zadanie 4. Wykazać, ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienn ¾a losow ¾a.

Przyk ad 1. Ustalono, ze stopa zysku akcji A zale zy od stanu gospodarki w nast ¾epuj ¾acy sposób: stan gospodarki prawdop. wyst ¾apienia stopa zysku R A akcji A DRO 0; 1 20% NRO 0; 3 10% STA 0; 2 2% NRE 0; 3 5% DRE 0; 1 5% Wówczas funkcja R A :! 7! R A (!) jest zmienn ¾a losow ¾a. Zauwa zmy, ze mo ze ona przyjmować te same wartości dla ró znych zdarzeń elementarnych, np. R A (NRE) = R A (DRE) = 5%. Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcj ¾e P X : B(R n )! R dan ¾a wzorem P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (3)

Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyj ¾ać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny.

3.1 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartości ¾a oczekiwan ¾a (lub średni ¾a) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmuj ¾acej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb ¾e EX := X i2i x i P (X = x i ); (4) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). Wartości ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (5)

3.2 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwan ¾a, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartości ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb ¾e EX := Z XdP: (6) De nicja (6) jest uogólnieniem de nicji (4). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (5) przy za- o zeniu, ze wszystkie wspó rz ¾edne maj ¾a wartość oczekiwan ¾a.

Ze wzoru (5) i z podstawowych w asności ca ki wynika nast ¾epuj ¾ace twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech X i Y bed ¾ a¾ zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja¾ warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (7)

4 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a określaj ¾ac ¾a efektywność inwestycji. Określamy j ¾a wzorem gdzie: K p R := K k ; (8) K p K p > 0 kapita pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu inwestycji), K k kapita końcowy (posiadany na końcu inwestycji). Stop ¾e zysku R podaje si ¾e zwykle w procentach.

Przekszta caj ¾ac wzór (8), otrzymujemy wzór na kapita końcowy: K k = K p (1 + R): (9) 4.1 Metoda 1 na podstawie danych z przesz ości W metodzie tej wykorzystuje si ¾e dane z pewnej ilości okresów poprzedzaj ¾acych okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona wzorem R i = P i P i 1 + D i P i 1 ; (10) gdzie P i, P i 1 oznaczaj ¾a wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a D i dywidend ¾e wyp acan ¾a w okresie i.

Wzór (10) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (8), gdzie kapita pocz ¾atkowy K p przyjmujemy jako równy P i 1, a kapita końcowy K k jako równy P i + D i. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d ugości) mo zemy u zyć średniej arytmetycznej R = 1 n nx i=1 R i : (11)

4.2 Metoda 2 wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej rmy oraz ca ej gospodarki, mo zna próbować ocenić mo zliwe stopy zysku w ró znych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowania przysz ej stopy zysku u zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod ¾e t ¾e nazywamy prognozowaniem ekspertowym. Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb ¾e ER := nx i=1 p i R i ; (12) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n liczba mo zliwych ró znych scenariuszy rozwoju.

5 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jeśli E h (X EX) 2i < 1, to t ¾e liczb ¾e nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E h (X EX) 2i : (13) Mo zna atwo wykazać, ze Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (14) Ze wzorów (13) i (4) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończon ¾a ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X i2i P (X = x i )(x i EX) 2 : (15)

Twierdzenie 2. Je sli X jest zmienna¾ losowa, ¾ dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. (b) Var(X) = 2 Var X (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (16)

6 Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja neutralna) Ryzyko inwestycji nansowej oznacza niepewność wyst ¾apienia oczekiwanej sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono tak ze skal ¾e zró znicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych. Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartościowe s ¾a wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego.

6.1 Prognozowanie ekspertowe W przypadku prognozowania ekspertowego wariancj ¾e papieru wartościowego de niujemy nast ¾epuj ¾aco: V := nx i=1 p i (R i ER) 2 ; (17) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem (12). Im mniejsza wartość V, tym mniejsze ryzyko osi ¾agni ¾ecia oczekiwanej stopy zysku. Najmniejsz ¾a mo zliw ¾a do osi ¾agni ¾ecia wartości ¾a jest 0. Wyst ¾epuje ona wtedy, gdy wszystkie mo zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si ¾e jednakow ¾a stop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta ym oprocentowaniu.

Zadanie 5. Eksperci ocenili zachowania akcji A i B na podstawie ich notowań z przesz ości. Np. sprawdzono, ze w czasie silnej hossy na gie dzie wartość akcji A wzrasta a średnio o 40% w ci ¾agu miesi ¾aca, w czasie powolnego wzrostu ros a o 20%, itd. Analizuj ¾ac sytuacj ¾e na gie dzie, mo zna określić prawdopodobieństwa wyst ¾apienia poszczególnych stanów (od silnej hossy do silnej bessy). sytuacja prawdop. prognozowana zmiana na gie dzie wyst ¾apienia akcja A akcja B silna hossa 0; 1 40% 12% powolny wzrost 0; 2 20% 6% stabilizacja 0; 4 5% 1% powolny spadek 0; 2 15% 5% silna bessa 0; 1 20% 8% oczekiwana stopa zysku 1% 1%

Oczekiwana stopa zysku dla akcji A i B jest taka sama. Inwestycja w któr ¾a akcj ¾e jest bardziej ryzykowna i dlaczego?

6.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku Zak ada si ¾e, ze rozk ad przysz ych stóp zysku b ¾edzie si ¾e charakteryzowa takim samym ryzykiem, jakie wyst ¾epowa o w dotychczasowych notowaniach. Wariancj ¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si ¾e wed ug wzoru V := 1 n nx i=1 (R i R) 2 ; (18) gdzie n liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, R i stopy zysku uzyskane w kolejnych okresach, R średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (11). Poniewa z nie s ¾a określone prawdopodobieństwa wyst ¾apienia poszczególnych stóp zysku R i, przyjmuje si ¾e, ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = R zgodnie z wzorem (12), a zatem (18) jest szczególnym przypadkiem (17), gdzie p i = 1=n dla i = 1; :::; m.

W przypadku ma ej liczby danych (n 30) do prognozowania wariancji stopy zysku stosuje si ¾e wyra zenie ^V := 1 n 1 nx i=1 (R i R) 2 : (19) Sens u zycia tego wzoru wynika z faktu, ze ^V jest tzw. estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji, co jest wyjaśnione dok adniej w moich materia ach z analizy portfelowej (dost ¾epnych na stronie internetowej). W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy pierwiastek z odpowiedniego wyra zenia, tzn. p V lub p ^V.

7 Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja negatywna) Jeśli ryzyko rozwa zane jest w kategoriach zagro zenia, to pod uwag ¾e bierze si ¾e tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zysku. Wówczas zamiast wariancji rozwa za si ¾e semiwariancj ¾e stopy zysku określon ¾a nast ¾epuj ¾aco: gdzie d i := SV := nx i=1 ( Ri ER; gdy R i ER < 0; 0; gdy R i ER 0: p i d 2 i ; (20) (21)

Odpowiednikiem odchylenia standardowego jest semiodchylenie standardowe stopy zysku: s := p SV : (22)

8 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (23) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie.

Twierdzenie 3. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa¾ niezale zne i maja¾ warto sć oczekiwana, ¾ to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n i=1 X i i zachodzi równo sć E 0 1 ny ny @ X i A = i=1 i=1 EX i : (24) Twierdzenie 4. Przy za o zeniach Twierdzenia 3 zachodzi równo sć Var 0 1 nx nx @ X i A = i=1 i=1 Var X i : (25)

9 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancj ¾a ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj ¾acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb ¾e Mo zna atwo wykazać, ze Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (26) Cov(X; Y ) = E(XY ) EX EY: (27) Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi.

Zadanie 6. Udowodnić nast ¾epuj ¾ac ¾a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (28) przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale zności ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (29) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb ¾e (X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (30) Z nierówności (28) wynika, ze j(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności mi ¾edzy zmiennymi X i Y.

Uwaga. Z Twierdzenia 3 i z równości (27) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y s ¾a niezale zne i maj ¾a wartość oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane. Podać przyk ad zmiennych losowych X, Y zale znych i niesko- Zadanie 7. relowanych. Zadanie 8. Za ó zmy, ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane s ¾a skończone ci ¾agi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ci ¾ag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze nx i=1 Wykazać, ze p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (31) Cov(X; Y ) = nx i=1 p i (x i EX) (y i EY ) : (32)

Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj ¾e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (25)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego. Twierdzenie 5. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja¾ wariancje, ¾ to istnieje te z wariancja sumy P n i=1 X i i zachodzi równo sć Var 0 1 nx nx @ X i A = i=1 i=1 Var X i + 2 X 1i<jn Cov(X i ; X j ): (33) Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maj ¾ a wariancj ¾ e i s ¾ a parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (25).

10 Macierz kowariancji wektora losowego Niech X :! R m b ¾edzie wektorem losowym. Jeśli istniej ¾a wariancje Var X j, j = 1; :::; m, to macierz C := [c ij ] m i;j=1, gdzie c ij = Cov(X i ; X j ); (34) nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X 1 ; :::; X m ). Istnienie kowariancji Cov(X i ; X j ) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj ¾etego za o zenia i ze wzoru (28).

Twierdzenie 6. Macierz kowariancji ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) jest symetryczna, tzn. c ij = c ji dla dowolnej pary (i; j), (b) jest dodatnio określona, tzn. ucu T = mx i;j=1 u i u j c ij 0 dla ka zdego u 2 R m : (35) Dowód. (a) wynika ze wzoru (26).

(b) Rozwa zmy zmienn ¾a losow ¾a Y := P m i=1 u i X i. Jeśli EX i = i (i = 1; :::; m), to EY = P m i=1 u i i oraz 0 Var Y = E h (Y EY ) 2i = E 20 6 mx 4@ i=1 u i (X i i ) 1 A23 7 5 = E 2 mx 4 i;j=1 u i u j (X i i )(X j j ) = mx i;j=1 3 5 = mx i;j=1 u i u j E h (X i i )(X j j ) i u i u j Cov(X i ; X j ) = ucu T. (36)

Mówimy, ze macierz C jest ściśle dodatnio określona, je zeli ucu T > 0 dla ka zdego u 2 R m nf0g: (37) Twierdzenie 7. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest scísle dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja¾ takie liczby u 1 ; :::; u m nie wszystkie równe zeru, ze zmienna losowa P m i=1 u i X i jest sta a z prawdopodobieństwem jeden. Dowód. Zaprzeczenie warunku (37) oznacza, ze istnieje taki wektor u 6= 0, ze ucu T = 0. Na mocy (36) jest to równowa zne warunkowi E 20 6 mx 4@ 1 A23 mx 7 u i X i u i i 5 = 0: (38) i=1 i=1

Wiadomo, ze wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobieństwem 1. Zatem warunek (38) oznacza, ze P m i=1 u i X i jest z prawdopodobieństwem 1 równa sta ej P m i=1 u i i. Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest scísle dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych X i zale zy (z prawdopodobieństwem jeden) w sposób liniowy od pozosta ych zmiennych losowych. Dowód. Na mocy Twierdzenia 7 macierz C nie jest ściśle dodatnio określona, 9u 6= 0, P m i=1 u i X i = z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewn ¾a sta ¾a. Wybieraj ¾ac spośród liczb u i jedn ¾a ró zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a u s ), otrzymamy równowa zny warunek (tak ze z prawdopodobieństwem 1) X s = 1 u s 0 1 @ X u i X i + A. i6=s

11 Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuant ¾a zmiennej losowej X :! R nazywamy funkcj ¾e F : R! [0; 1] określon ¾a wzorem F (t) := P (X t): (39) Twierdzenie 8. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) F jest niemalejaca. ¾ (b) F jest prawostronnie ciag a. ¾ (c) lim t! 1 F (t) = 0, lim t!+1 F (t) = 1.

Zadanie 9. Udowodnić Twierdzenie 8. Twierdzenie 9. Je zeli funkcja F : R! [0; 1] spe nia warunki (a) (c) Twierdzenia 9, to jest dystrybuanta¾ pewnej zmiennej losowej; jej rozk ad jest wyznaczony jednoznacznie. Zadanie 10. Udowodnić Twierdzenie 9. Twierdzenie 10. ka zdego t 2 R, Je zeli F jest dystrybuanta¾ zmiennej losowej X, to dla P (X < t) = F (t ) := lim s!t F (s): (40)

Dowód. Istnienie granicy lewostronnej F (t ) wynika z monotoniczności funkcji F. Korzystaj ¾ac ze znanej w asności, ze prawdopodobieństwo sumy wst ¾epuj ¾acego ci ¾agu zdarzeń jest równe granicy ich prawdopodobieństw, otrzymujemy P (X < t) = P 0 @ 1[ n=1 = lim n!1 F t X t 1 n 1 n 1 A = lim n!1 P X t = F (t ): (41) Niech X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a n-wymiarow ¾a (wektorem losowym). Rozk ad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zde niowany ogólnie wzorem (3). Rozk ad ten nazywamy rozk adem ¾acznym wektora losowego X. Gdy znamy rozk ad ¾aczny, to znamy tak ze rozk ad ka zdej wspó rz ¾ednej: 1 n P (X j 2 B) = P (X 1 2 R; :::; X j 1 2 R; X j 2 B; X j+1 2 R; :::; X n 2 R): (42)

Rozk ady (42) nazywamy rozk adami brzegowymi wektora losowego X. Dystrybuant ¾a wektora losowego X nazywamy funkcj ¾e F : R n! [0; 1] określon ¾a wzorem F (t 1 ; :::; t n ) := P (X 1 t 1 ; :::; X n t n ): (43) Dystrybuantami brzegowymi F 1 ; :::; F n nazywamy dystrybuanty odpowiednio zmiennych losowych X 1 ; :::; X n.

12 Ryzyko kredytowe Ryzyko kredytowe b ¾edziemy rozpatrywać w ramach koncepcji negatywnej, tzn. jako ryzyko niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorc ¾e (osob ¾e lub instytucj ¾e). Dla banku udzielaj ¾acego wielu kredytów istotna jest tak ze ocena ryzyka jednoczesnego wyst ¾apienia wielu przypadków niewyp acalności klientów oraz badanie zale zności mi ¾edzy tymi zdarzeniami losowymi.

12.1 Przypadek pojedynczego kredytobiorcy Podstawow ¾a zmienn ¾a losow ¾a, któr ¾a tutaj rozwa zamy, jest strata, oznaczana przez L (od ang. loss). Jest ona dana wzorem gdzie: L := EAD SEV Y; (44) EAD (exposure at default) maksymalna wartość, jaka mo ze być utracona w przypadku niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorc ¾e. Jest to wartość ustalona, a wi ¾ec nie jest zmienn ¾a losow ¾a. SEV (severity) zmienna losowa o wartościach w przedziale [0; 1]; podaje ona, jaki procent wartości EAD jest faktycznie tracony przy zajściu zdarzenia niedotrzymania warunków.

Y zmienna losowa o wartościach w zbiorze f0; 1g; przyjmuje wartość 0, gdy kredytobiorca dotrzyma warunków, a 1 w przeciwnym przypadku. Zmienn ¾a Y nazywamy wskaźnikiem niedotrzymania warunków. Ponadto de niujemy: LGD (loss given default) strata (jako procent wartości EAD) w przypadku niedotrzymania warunków. Jest to parametr modelu, który zwykle wyznacza si ¾e z wzoru LGD = E(SEV ): (45) RR (recovery rate) stopa odzysku; wskazuje, jaki procent wartości EAD zostanie odzyskany przez instytucj ¾e udzielaj ¾aca kredytu, gdy dojdzie do niedotrzymania warunków umowy. Mamy zale zność LGD = 1 RR: (46)

P D (probability of default) prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków. Wówczas wartość oczekiwana wskaźnika niedotrzymania warunków wyra za si ¾e wzorem EY = 1 P D + 0 (1 P D) = P D: (47) Za ó zmy, ze bank udzieli kredytu w wysokości K jednostek pieni ¾edzy na okres 1 roku, a stopa oprocentowania tego kredytu wynosi R. W przypadku dotrzymania warunków umowy bank otrzyma po roku kwot ¾e EAD = K(1 + R): (48) Jest to jednocześnie maksymalna kwota, jak ¾a bank mo ze stracić w przypadku niedotrzymania warunków. W praktyce w wi ¾ekszości przypadków bankowi udaje si ¾e odzyskać cz ¾eść tej kwoty.

Wysokość tej odzyskanej kwoty przyjmujemy jako EAD(1 LGD). Wartość oczekiwana kwoty uzyskanej przez bank po roku wynosi zatem K(1 + R)(1 P D) + K(1 + R)(1 LGD)P D = K(1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D]: (49) Przyjmuje si ¾e, ze wartość ta powinna być równa kwocie kredytu wolnej od ryzyka, tj. obliczonej dla tzw. stopy procentowej wolnej od ryzyka (risk-free rate), oznaczanej R f : K(1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D] = K(1 + R f ): (50) Z równości (50) mo zna otrzymać dwa inne wzory, podane w poni zszych zadaniach.

Zadanie 11. Udowodnić wzór na implikowane prawdopodobieństwo niedotrzymania (implied default probability) jest to prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków umowy wynikaj ¾ace z przyj ¾etego modelu: P D = 1 1+R f 1+R LGD : (51) Zadanie 12. Udowodnić wzór na spread kredytowy (credit spread), czyli ró znic ¾e mi ¾edzy stop ¾a procentow ¾a uwzgl ¾edniaj ¾ac ¾a ryzyko a stop ¾a woln ¾a od ryzyka: LGD P D R R f = (1 + R f ) 1 LGD P D : (52)

Oczekiwan ¾a strat ¾a (expected loss) nazywamy wartość oczekiwan ¾a straty (44). Zak adaj ¾ac niezale zność zmiennych losowych SEV i Y, otrzymujemy na mocy Twierdzenia 3 oraz (45) i (47) EL = E(EAD SEV Y ) = EAD E(SEV ) E(Y ) = EAD LGD P D: (53) Nieoczekiwan ¾a strat ¾a (unexpected loss) nazywamy odchylenie standardowe straty (44) L = p q q Var L = Var(EAD SEV Y ) = EAD Var(SEV Y ): (54) Dla uzyskania bardziej przydatnego w praktyce wzoru na L skorzystamy z poni zszego twierdzenia.

Twierdzenie 11. Niech X i Y bed ¾ a¾ zmiennymi losowymi o warto sciach rzeczywistych, o dystrybuantach odpowiednio F X i F Y. Wówczas: (a) X i Y sa¾ niezale zne wtedy i tylko wtedy, gdy F (X;Y ) (s; t) = F X (s)f Y (t); 8s; t 2 R; (55) gdzie F (X;Y ) oznacza dystrybuante¾ wektora losowego (X; Y ). (b) Je zeli X i Y sa¾ niezale zne, to X 2 i Y 2 sa¾ te z niezale zne.

Dowód (b). Sprawdzimy, ze X 2 i Y 2 spe niaj ¾a warunek (55). Dla dowolnych s; t 0 mamy F (X 2 ;Y 2 ) (s; t) = P X 2 s; Y 2 t = P X 2 h p p i h p p i s; s ; Y 2 t; t : (56) p p h p p i Poniewa z przedzia y [ s; s] i t; t s ¾a zbiorami borelowskimi, wi ¾ec z niezale zności X i Y (por. wzór (23)) otrzymujemy P X 2 h p p i h p p i s; s ; Y 2 t; t = P X 2 h p s; p s i P Y 2 h p t; p t i = P X 2 s P Y 2 t = F X 2(s)F Y 2(t): (57) Z (56) i (57) wynika (55) dla nieujemnych s; t. Jeśli przynajmniej jedna z liczb s; t jest ujemna, to po obu stronach równości (55) mamy zera.

Twierdzenie 12. Je zeli zmienne losowe SEV i Y sa¾ niezale zne, to q L = EAD Var(SEV )P D + LGD 2 P D(1 P D): (58) Dowód. Obliczymy najpierw wariancj ¾e iloczynu SEV Y. Korzystaj ¾ac kolejno ze wzorów (14) i (24), otrzymujemy Var (SEV Y ) = E (SEV Y ) 2 (E(SEV Y )) 2 = E SEV 2 Y 2 (E(SEV ) EY ) 2 : (59) Teraz do pierwszego sk adnika zastosujemy wzór (24) (mo ze on być u zyty, bo na mocy Twierdzenia 11(b) SEV 2 i Y 2 s ¾a niezale zne), a do drugiego sk adnika wzory (45) i (47): E SEV 2 Y 2 (E(SEV ) EY ) 2 = E SEV 2 E Y 2 LGD 2 P D 2 : (60) Poniewa z Y 2 Y, wi ¾ec E Y 2 = EY = P D.

Zatem praw ¾a stron ¾e (60) mo zemy przekszta cić nast ¾epuj ¾aco: E SEV 2 E Y 2 LGD 2 P D 2 = E SEV 2 P D LGD 2 P D 2 = E SEV 2 P D LGD 2 P D + LGD 2 P D LGD 2 P D 2 = h E SEV 2 LGD 2i P D + LGD 2 P D(1 P D) = h E SEV 2 (E(SEV )) 2i P D + LGD 2 P D(1 P D) = Var(SEV )P D + LGD 2 P D(1 P D): (61) Z równości (54) i (59) (61) wynika (58).

12.2 Portfel wielu kredytów B ¾edziemy teraz rozwa zać ryzyko portfela P z o zonego z m kredytów. Podstawow ¾a zmienn ¾a ryzyka w tym przypadku jest strata z portfela L P określona wzorem L P := mx i=1 L i = mx i=1 EAD i SEV i Y i ; (62) gdzie wszystkie zmienne z dolnym indeksem i dotycz ¾a i-tego kredytu. Oczekiwana strata z portfela P jest równa, zgodnie z (53), E(L P ) = mx i=1 E(L i ) = mx i=1 EAD i LGD i P D i ; (63) przy za o zeniu, ze dla ka zdego i zmienne losowe SEV i i Y i s ¾a niezale zne. Nieoczekiwan ¾a strat ¾a z portfela P nazywamy odchylenie standardowe (L P ) straty z portfela.

Twierdzenie 13. (L P ) = v u mx t i;j=1 EAD i EAD j Cov SEV i Y i ; SEV j Y j : (64) Dowód. Wykonuj ¾ac analogiczne przekszta cenia jak w (36), otrzymamy Var(L P ) = Var = 0 @ mx i;j=1 mx i=1 St ¾ad i z (16) wynika (64). EAD i SEV i Y i 1 A EAD i EAD j Cov SEV i Y i ; SEV j Y j : (65)

Twierdzenie 14. Za ó zmy, ze poziom straty w przypadku niedotrzymania warunków jest sta y i jest taki sam dla wszystkich sk adników portfela: SEV i LGD i = LGD; 8i 2 f1; :::; mg: (66) Wówczas (L P ) = gdzie v u mx t i;j=1 EAD i EAD j LGD 2 ij qp D i (1 P D i )P D j (1 P D j ); (67) ij := SEV i Y i ; SEV j Y j = (Yi ; Y j ): (68)

Dowód. Dla ka zdego i mamy na mocy po ¾aczonych równości (59) i (60) oraz za o zenia (66) Var (SEV i Y i ) = E SEVi 2 E Y 2 i LGD 2 P Di 2 Z równości (30) i (69) wynika, ze = E LGD 2 P D i LGD 2 P D 2 i = LGD 2 P D i LGD 2 P Di 2 = LGD 2 P D i (1 P D i ): (69) Cov SEV i Y i ; SEV j Y j = ij r Var (SEV i Y i ) Var SEV j Y j St ¾ad i z (64) wynika (67). = LGD 2 ij qp D i (1 P D i )P D j (1 P D j ):

13 Modele portfeli kredytowych Rozwa zmy portfel z o zony z m kredytów dla ustalonego horyzontu czasowego T. Niech S = (S 1 ; :::; S m ) b ¾edzie wektorem losowym takim, ze wspó rz ¾edna S i przyjmuje wartości ze zbioru f0; 1; :::; Ng. Wartości te reprezentuj ¾a stany zwi ¾azane z ocen ¾a danego kredytobiorcy przez bank, przy czym 0 oznacza niewyp acalność (niedotrzymanie warunków umowy), a liczby dodatnie s ¾a rosn ¾acymi klasami wiarygodności kredytowej. Zak ada si ¾e, ze w momencie pocz ¾atkowym t = 0 ka zdy d u znik jest w jakimś stanie ró znym od zera.

W przypadku, gdy interesuje nas tylko dotrzymanie lub niedotrzymanie warunków, rozwa zamy wektor losowy Y = (Y 1 ; :::; Y m ), gdzie Y i jest wskaźnikiem niedotrzymania warunków dla i-tego d u znika. Zwi ¾azek pomi ¾edzy zmiennymi losowymi Y i i S i jest nast ¾epuj ¾acy: Y i = ( 1; jeśli Si = 0; 0; jeśli S i > 0: (70) Ilość niewyp acalnych d u zników w momencie t = T jest dana jako zmienna losowa M := mx i=1 Y i : (71)

13.1 Modele ukrytej zmiennej Niech X = (X 1 ; :::; X m ) b ¾edzie wektorem losowym o ci ¾ag ych dystrybuantach brzegowych F i (x) = P (X i x). Dla i 2 f1; :::; mg niech 1 = D i 1 < Di 0 < ::: < Di n = 1 (72) b ¾edzie ci ¾agiem tzw. poziomów odci ¾ecia. Przyjmijmy, ze S i = j, X i 2 (Dj i 1 ; Di j ]; j 2 f0; :::; ng; i 2 f1; :::; mg: (73) Wówczas model X i ; Dj i nazywamy modelem ukrytej zmiennej dla wektora stanów S. 1jn 1im X i i D i 0 mo zna interpretować jako wartości odpowiednio aktywów i zobowi ¾azań d u znika i w czasie T. Niewyp acalność nast ¾epuje, gdy pierwsza z tych wartości spada poni zej drugiej.

Okazuje si ¾e, ze ró zne modele ukrytej zmiennej mog ¾a prowadzić do tego samego rozk adu wektora losowego S. To sugeruje nast ¾epuj ¾ac ¾a de nicj ¾e równowa- zności modeli: Niech X i ; Dj i 1jn 1im i ~X i ; ~D i j 1jn 1im (74) b ¾ed ¾a modelami ukrytej zmiennej dla wektorów stanów odpowiednio S i ~S. Modele te nazywamy równowa znymi, je zeli S ~S (tzn. S i ~S maj ¾a te same rozk ady prawdopodobieństwa).

13.2 Modele wymienne Wektor losowy S :! R m nazywamy wymiennym, je zeli (S 1 ; :::; S m ) (S (1) ; :::; S (m) ) (75) dla dowolnej permutacji ((1); :::; (m)) liczb (1; :::; m). Model portfela kredytów nazywamy wymiennym, je zeli jego wektor stanów S jest wymienny. Dla modelu wymiennego, dla dowolnego k 2 f1; :::; m 1g, wszystkie mo zliwe k-wymiarowe dystrybuanty brzegowe, których jest m k, s ¾a identyczne. Mo zna wi ¾ec wprowadzić nast ¾epuj ¾ace uproszczone oznaczenia dla prawdopodobieństw niedotrzymania i ¾acznych prawdopodobieństw niedotrzymania: k := P (Y i1 = 1; ::; Y ik = 1); fi 1 ; :::; i k g f1; :::; mg; k 2 f1; :::; mg; (76) := 1 = P (Y i = 1); i 2 f1; :::; mg: (77)

Twierdzenie 15. Dla modelu wymiennego portfela kredytów zachodza¾ nastepu- jace ¾ ¾ równo sci: (a) E(Y i ) = E(Y 2 i ) = P (Y i = 1) = dla dowolnego i. (b) E(Y i Y j ) = P (Y i = 1; Y j = 1) = 2 dla i 6= j. (c) Cov(Y i ; Y j ) = 2 2 dla i 6= j. (d) (Y i ; Y j ) = 2 2 2 dla i 6= j. (e) Dla dowolnego k 2 f1; :::; mg, P (M = k) = m P (Y1 = 1; :::; Y k = 1; Y k+1 = 0; :::; Y m = 0) k mx k = ( 1) i m! i!k!(m k i)! k+i: (78) i=0

Zadanie 13. Udowodnić Twierdzenie 15(a) (d). 14 Miary ryzyka Dana jest przestrzeń probabilistyczna (; F; P ) oraz horyzont czasowy T > 0. Oznaczmy przez L 0 (; F; P ) przestrzeń liniow ¾a wszystkich zmiennych losowych X :! R (dok adniej, elementami tej przestrzeni s ¾a klasy równowa zności funkcji mierzalnych, tzn. uto zsamia si ¾e funkcje, które ró zni ¾a si ¾e z prawdopodobieństwem zero). Rozwa zamy pewien podzbiór M L 0 (; F; P ). Zak ada si ¾e, ze zbiór M jest sto zkiem wypuk ym, tzn. spe nia warunki: (X; Y 2 M) ) (X + Y 2 M); (79) (X 2 M; > 0) ) (X 2 M): (80)

Jako miary ryzyka rozwa za si ¾e funkcje : M! R spe niaj ¾ace pewne dodatkowe warunki. W zastosowaniach mo ze być ustalonym zbiorem scenariuszy rozwoju, a X wartości ¾a portfela inwestycyjnego w momencie T w zale zności od zrealizowanego scenariusza (rozwa zamy wartości zdyskontowane na okres bie z ¾acy). Wówczas liczb ¾e (X) mo zna interpretować jako zabezpieczenie kapita owe inwestycji, tzn. (X) jest minimaln ¾a wielkości ¾a kapita u, która, jeśli j ¾a dodamy do wartości portfela i zainwestujemy w sposób pozbawiony ryzyka, czyni inwestycj ¾e akceptowaln ¾a.

Odwzorowanie : M!R nazywamy miar ¾a ryzyka (risk measure), je zeli spe nia nast ¾epuj ¾ace dwa warunki dla dowolnych X; Y 2 M: (a) monotoniczność (monotonicity) je zeli X Y, to (X) (Y ); (81) (b) niezmienniczość wzgl ¾edem translacji (translation invariance): je zeli m 2 R, to (X + m) = (X) m: (82) Znaczenie nansowe monotoniczności jest nast ¾epuj ¾ace: jeśli portfel Y ma wi ¾eksz ¾a wartość od portfela X dla wszystkich mo zliwych scenariuszy, to ryzyko portfela X jest wi ¾eksze ni z ryzyko portfela Y.

Niezmienniczość wzgl ¾edem translacji ma nast ¾epuj ¾ac ¾a interpretacj ¾e. Za ó zmy, ze (X) jest kapita em ekonomicznym wymaganym w banku dla zabezpieczenia nieoczekiwanych strat w przypadku ryzyka kredytowego. Wówczas, jeśli pozbawiona ryzyka suma pieni ¾edzy m zostanie dodana do inwestycji X, to wymagany kapita (X) mo zna pomniejszyć o m. W szczególności, z wzoru (82) wynika, ze (X + (X)) = (X) (X) = 0: (83) Miar ¾e ryzyka nazywamy wypuk ¾a miar ¾a ryzyka (convex risk measure), jeśli spe nia warunek (X +(1 )Y ) (X)+(1 )(Y ), 8X; Y 2 M, 2 [0; 1]: (84)

Znaczenie praktyczne warunku wypuk ości jest takie, ze dywersy kacja inwestycji nansowej nie powoduje wzrostu ryzyka. Jeśli np. X i Y s ¾a wartościami dwóch pojedynczych akcji, to X + (1 )Y jest wartości ¾a portfela z o zonego z tych akcji o udzia ach odpowiednio i (1 ). Wówczas ryzyko portfela (X + (1 )Y ) nie mo ze być wi ¾eksze ni z odpowiednia kombinacja ryzyk (X) i (Y ). Warunkiem s abszym od wypuk ości jest quasi-wypuk ość (quasi-convexity): (X + (1 )Y ) maxf(x); (Y )g, 8X; Y 2 M, 2 [0; 1]; (85) która zapewnia jedynie, ze ryzyko portfela z o zonego np. przekroczy wi ¾ekszego spośród ryzyk tych akcji. z dwóch akcji nie Wypuk ¾a miar ¾e ryzyka nazywamy spójn ¾a miar ¾a ryzyka (coherent risk measure), je zeli spe nia warunek dodatniej jednorodności: je zeli 0, to (X) = (X): (86)

Zadanie 14. Wykazać, ze przy za o zeniu dodatniej jednorodności wypuk ość miary ryzyka jest równowa zna subaddytywności, tj. warunkowi: (X + Y ) (X) + (Y ): (87) Subaddytywność jest w asności ¾a, która umo zliwia decentralizacj ¾e zarz ¾adzania ryzykiem: np. jeśli poszczególne sk adniki portfela inwestycyjnego s ¾a zarz ¾adzane przez ró zne oddzia y tego samego banku, to mamy gwarancj ¾e, ze ryzyko ca ego portfela nie przekroczy sumy ryzyk poszczególnych sk adników.

15 Kwantyle Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a i niech 2 (0; 1). Liczb ¾e q 2 R nazywamy -kwantylem zmiennej losowej X je zeli P (X < q) P (X q): (88) Przy pomocy dystrybuanty F zmiennej losowej X warunek (88) mo zna zapisać nast ¾epuj ¾aco: F (q ) F (q): (89)

Dolnym i górnym -kwantylem zmiennej losowej X nazywamy odpowiednio liczby q (X) i q + (X) określone wzorami: q (X) := inf fx 2 R : P (X x) g = sup fx 2 R : P (X x) < g ; (90) q + (X) := inf fx 2 R : P (X x) > g = sup fx 2 R : P (X x) g : (91) W dalszym ci ¾agu b ¾edziemy pomijać (X) przy symbolach kwantyli, jeśli nie b ¾edzie w ¾atpliwości, o jak ¾a zmienn ¾a losow ¾a chodzi. Uwaga. Drugie równości we wzorach (90) i (91) wynikaj ¾a z faktu, ze oba rozwa zane zbiory s ¾a niepuste i w sumie daj ¾a zbiór R.

Zadanie 15. Wykazać, ze dla ustalonej liczby 2 (0; 1), zbiór wszystkich - kwantyli zmiennej losowej X jest przedzia em domknietym ¾ [q ; q + ]. Przedzia ten sk ada sie¾ z jednego punktu dla wszystkich liczb poza zbiorem co najwy zej przeliczalnym. Zadanie 16. Wykazać, ze równo sć q = q + zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P (X x) = dla co najwy zej jednej warto sci x. W przypadku, gdy q < q +, mamy fx : P (X x) = g = ( [q ; q + ); gdy P (X = q + ) > 0; [q ; q + ]; gdy P (X = q + ) = 0: (92)

16 Wartość zagro zona Dla zmiennej losowej X :! R na przestrzeni probabilistycznej (; F; P ) de niujemy wartość zagro zon ¾a (value at risk) na poziomie 2 (0; 1) nast ¾epuj ¾aco: VaR (X) := inffm 2 R : P (X + m < 0) g: (93) Interpretacja tego wzoru jest nast ¾epuj ¾aca: je zeli X jest wartości ¾a portfela inwestycyjnego, a ma ¾a liczb ¾a, to VaR (X) jest najmniejsz ¾a wielkości ¾a dodatkowego kapita u, jaki musimy przyj ¾ać jako zabezpieczenie tego portfela, aby mieć zagwarantowane z prawdopodobieństwem 1, ze pozostaniemy z nieujemnym kapita em (tzn. strata z portfela, równa X, nie przekroczy m). Liczb ¾e nazywamy poziomem tolerancji, a liczb ¾e 1 poziomem ufności.

Inaczej mówi ¾ac, VaR jest to najmniejsza strata wartości taka, ze prawdopodobieństwo jej przekroczenia w danym okresie jest nie wi ¾eksze ni z zadany poziom tolerancji. Dla dowolnej zmiennej losowej X i liczby 2 (0; 1) za- Twierdzenie 16. chodzi równo sć VaR (X) = q 1 ( X): (94) Dowód. Z de nicji VaR (wzór (93)) otrzymujemy VaR (X) = inffm 2 R : P (X + m < 0) g = inffm 2 R : 1 P (X + m < 0) 1 g = inffm 2 R : P (X + m 0) 1 g = inffm 2 R : P ( X m) 1 g = q 1 ( X):

Przyk ad 1. (przybli zone wyznaczanie VaR na podstawie danych historycznych). Za ó zmy, ze inwestor posiada 20 000 $ zainwestowane w fundusz indeksu S&P 500, zatem jego zyski b ¾ed ¾a zyskami tego funduszu. Potrzebne jest oszacowanie VaR dla okresu 24 godzin i poziomu ufności 95% (tzn. dla = 0; 05). Do oszacowania VaR u zyto 1000 codziennych notowań stopy zysku indeksu S&P 500 dla okresu kończ ¾acego si ¾e 4.03.2003 r. Poniewa z 5% z liczby 1000 wynosi 50, wi ¾ec do przybli zenia liczby VaR 0;05 mo ze pos u zyć 50-ta od do u dzienna stopa zysku, która wynosi 0; 0227. Inaczej mówi ¾ac, dzienna stopa zysku 0; 0227 lub mniejsza wyst ¾api a w 5% przypadków w danych historycznych, zatem mo zemy oszacować, ze jest szansa 5% na zysk tej wielkości lub mniejszy w ci ¾agu nast ¾epnej doby. Zysk o stopie 0; 0227 z kapita u 20 000 $ daje ujemny dochód 454 $, zatem oszacowana wartość zagro zona wynosi VaR 0;05 = 454 $. Ogólnie, VaR przybli za si ¾e poprzez dolny -kwantyl z próby danych historycznych. Za ó zmy, ze próba ta sk ada si ¾e z n notowań stóp zysku R 1 ; :::; R n.

Niech k b ¾edzie liczb ¾a n zaokr ¾aglon ¾a do najbli zszej liczby naturalnej. Uporz ¾adkujmy liczby R 1 ; :::; R n w kolejności rosn ¾acej: R 1:n R 2:n ::: R n:n : (95) Wówczas dolnym -kwantylem z próby (R 1 ; :::; R n ) nazywamy k-ty najmniejszy zysk, czyli R k:n. Liczb ¾e t ¾e nazywamy tak ze statystyk ¾a porz ¾adkow ¾a k-tego rz ¾edu z próby (R 1 ; :::; R n ) i oznaczamy R (k). Wówczas, jeśli S jest zainwestowanym kapita em pocz ¾atkowym, to VaR = S R (k) : (96) Zadanie 17. Wykazać, ze VaR jest dodatnio jednorodna¾ miara¾ ryzyka na M. Uwaga. VaR nie jest jednak subaddytywna, a zatem nie jest spójn ¾a miar ¾a ryzyka, co pokazuje poni zszy przyk ad.

Przyk ad 2. Dwie korporacje C 1 i C 2 sprzedaj ¾a obligacje. Dla ka zdej z tych korporacji prawdopodobieństwo jej bankructwa w rozpatrywanym okresie wynosi 0; 04. Bankructwo jednej korporacji jest niezale zne od bankructwa drugiej. Stopa zysku z inwestycji w obligacje korporacji C i wynosi R i = ( 0; gdy Ci nie zbankrutuje, 1; gdy C i zbankrutuje. W drugim przypadku tracimy ca ¾a zainwestowan ¾a kwot ¾e (jest to model uproszczony, nie uwzgl ¾edniaj ¾acy dochodu z odsetek z obligacji). Niech Y b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a, której wartości ¾a jest liczba korporacji, które zbankrutowa y w rozwa zanym okresie.

Dla wyznaczenia rozk adu tej zmiennej pos u zymy si ¾e schematem Bernoulliego przy n = 2 (liczba prób) z prawdopodobieństwami sukcesu (bankructwo) p = 0; 04 i pora zki (brak bankructwa) q = 0; 96: P (Y = 0) = 2 (0; 04) 0 (0; 96) 2 = 0; 9216; 0 P (Y = 1) = 2 (0; 04) 1 (0; 96) 1 = 0; 0768; 1 P (Y = 2) = 2 (0; 04) 2 (0; 96) 0 = 0; 0016: 2 Niech P i b ¾edzie portfelem obligacji korporacji C i o wartości pocz ¾atkowej 1000 $ (i = 1; 2). Za ó zmy, ze wymagany poziom tolerancji wynosi = 0; 05.

Wówczas VaR (P 1 + P 2 ) = 1000; (97) poniewa z prawdopodobieństwo bankructwa obu korporacji jest mniejsze od, a prawdopodobieństwo przetrwania przynajmniej jednej z nich wynosi P (Y = 0) + P (Y = 1) = 0; 9216 + 0; 0768 = 0; 9984 i jest wi ¾eksze od 1. W drugim przypadku wystarczy oczywiście zabezpieczenie w wysokości 1000 $. Natomiast VaR (P i ) = 0, i = 1; 2; (98) poniewa z prawdopodobieństwo bankructwa pojedynczej korporacji jest mniejsze od. Z równości (97) i (98) otrzymujemy VaR (P 1 + P 2 ) > VaR (P 1 ) + VaR (P 2 ); co dowodzi, ze funkcja VaR nie jest subaddytywna.

Brak subaddytywności jest istotn ¾a wad ¾a wartości zagro zonej jako miary ryzyka. Wed ug tej miary dywersy kacja portfela powi ¾eksza ryzyko, co jest niezgodne ze wskazaniami innych miar ryzyka (wariancja, odchylenie standardowe) oraz z danymi empirycznymi. Pomimo tej wady wartość zagro zona jest nadal stosowana w wielu sytuacjach. 17 Warunkowa wartość oczekiwana Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Dla dowolnego A 2 F takiego, ze P (A) > 0, zde niujmy funkcj ¾e P A : F! R wzorem P A (B) := P (Bj A) = P (B \ A) : (99) P (A)

Zadanie 18. Wykazać, ze P A jest rozk adem prawdopodobieństwa na, tzn. spe nia aksjomaty (A1) (A3) de nicji prawdopodobieństwa. Dla dowolnej zmiennej losowej X :! R posiadaj ¾acej wartość oczekiwan ¾a de niujemy jej warunkow ¾a wartość oczekiwan ¾a pod warunkiem zajścia zdarzenia A nast ¾epuj ¾aco: E (Xj A) := Z XdP A: (100) Wzór podany w poni zszym twierdzeniu oznacza, ze E (Xj A) jest średni ¾a wartości ¾a zmiennej losowej X na zbiorze A. Twierdzenie 17. Je zeli P (A) > 0 i X jest zmienna¾ losowa¾ o skończonej warto sci oczekiwanej, to E (Xj A) = 1 P (A) Z A XdP: (101)

Zde niujemy teraz warunkow ¾a wartość oczekiwan ¾a wzgl ¾edem -cia a generowanego przez co najwy zej przeliczaln ¾a liczb ¾e zdarzeń. Do tego potrzebne nam b ¾edzie nast ¾epuj ¾ace oznaczenie: dla dowolnego zdarzenia A 2 F, symbol 1 A oznacza zmienn ¾a losow ¾a określon ¾a nast ¾epuj ¾aco: 1 A (!) := ( 1 dla! 2 A; 0 dla! 2 na: (102) Niech = S i2i A i, gdzie I jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, zaś zdarzenia A i o dodatnim prawdopodobieństwie stanowi ¾a rozbicie przestrzeni. Niech G = (A i ; i 2 I) b ¾edzie najmniejszym -cia em zawieraj ¾acym zbiory A i. Dla dowolnej zmiennej losowej X :! R posiadaj ¾acej wartość oczekiwan ¾a de niujemy jej warunkow ¾a wartość oczekiwan ¾a pod warunkiem -cia a G jako zmienn ¾a losow ¾a E (Xj G) :! R zde niowan ¾a wzorem E (Xj G) (!) := X i2i E (Xj A i ) 1 Ai (!);! 2 : (103)

Twierdzenie 18. Warunkowa warto sć oczekiwana E (Xj G) posiada nastepu- jace ¾ ¾ w asno sci: (a) E (Xj G) jest mierzalna wzgledem ¾ -cia a G. (b) Je zeli B 2 G, to ZB XdP = Z B E (Xj G) dp: (104) Powy zsze twierdzenie umo zliwia uogólnienie de nicji warunkowej wartości oczekiwanej na przypadek dowolnego -cia a G. Warunkow ¾a wartości ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X pod warunkiem -cia a G nazywamy dowoln ¾a zmienn ¾a losow ¾a E (Xj G) spe niaj ¾ac ¾a warunki (a) i (b) Twierdzenia 18.

Twierdzenie 19. Niech G bedzie ¾ dowolnym -cia em zawartym w F i niech X :! R bedzie ¾ zmienna¾ losowa¾ posiadajac ¾ a¾ warto sć oczekiwana. ¾ Wówczas: (a) Istnieje warunkowa warto sć oczekiwana dla X pod warunkiem G i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dok adno scia¾ do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero: je zeli Y 1 i Y 2 sa¾ takimi warto sciami oczekiwanymi dla X, to P (Y 1 6= Y 2 ) = 0. (b) Zachodzi równo sć EX = E(E (Xj G)): (105)

Je zeli X :! R jest zmienn ¾a losow ¾a posiadaj ¾ac ¾a wartość oczekiwan ¾a, a Y :! R n dowolnym wektorem losowym, to mo zemy zde niować warunkow ¾a wartość oczekiwan ¾a zmiennej losowej X przy warunku zmiennej losowej Y : E (Xj Y ) := E (Xj (Y )) ; (106) gdzie (Y ) oznacza najmniejsze -cia o, przy którym zmienna losowa Y jest mierzalna. Wówczas z wzoru (105) otrzymujemy EX = E(E (Xj Y )): (107) Dla dowolnego zdarzenia B 2 F i dowolnego -cia a G F, prawdopodobieństwem warunkowym B wzgl ¾edem G nazywamy zmienn ¾a losow ¾a P (Bj G) określon ¾a wzorem P (Bj G) := E (1 B j G) : (108)

Analogicznie do (106), określamy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B wzgl ¾edem zmiennej losowej Y : P (Bj Y ) := P (Bj (Y )) = E (1 B j (Y )) : (109) Funkcj ¾e h : R n! R m nazywamy borelowsk ¾a, je zeli h 1 (B) 2 B(R n ) dla ka zdego B 2 B(R m ). Twierdzenie 20. Je zeli X :! R jest zmienna¾ losowa¾ posiadajac ¾ a¾ warto sć oczekiwana, ¾ a Y :! R n dowolnym wektorem losowym, to istnieje funkcja borelowska h : R n! R taka, ze E (Xj Y ) = h(y ): (110)

18 Konstrukcja spójnej miary ryzyka Dla dowolnej zmiennej losowej X :! R o skończonej wartości oczekiwanej i dowolnej liczby 2 (0; 1), de niujemy doln ¾a i górn ¾a ogonow ¾a wartość oczekiwan ¾a (lower and upper tail conditional expectation) na poziomie odpowiednio wzorami TCE (X) : = E (Xj X q ; (111) TCE + (X) : = E (Xj X q+ : (112) Uwagi. (a) Znak minus wyst ¾epuj ¾acy w powy zszych wzorach wynika z faktu, ze w zastosowaniach ogonowa wartość oczekiwana jest miar ¾a straty, która przyjmuje wartość dodatni ¾a, gdy wartość portfela X jest ujemna.

(b) Mo zna wykazać, ze zadna z wielkości q, q +, TCE, TCE + nie de niuje w ogólnym przypadku subaddytywnej miary ryzyka. Zajmiemy si ¾e teraz konstrukcj ¾a spójnej miary ryzyka, spe niaj ¾acej w szczególności warunek subaddytywności. Zauwa zmy, ze je zeli = A% 2 (0; 1), to miara VaR odpowiada na pytanie, jaka jest minimalna strata ponoszona w A% najgorszych przypadków. Bardziej sensowne by oby zadanie pytania, jaka jest oczekiwana strata ponoszona w tych A% przypadków. Dla uzyskania przybli zonej odpowiedzi rozwa zmy, dla dostatecznie du zej liczby n, wektor (X 1 ; ::; X n ) z o zony z n realizacji zmiennej losowej X. Podobnie jak w przyk adzie 1, sortujemy wartości X i w kolejności rosn ¾acej X 1:n X 2:n ::: X n:n ; (113) po czym przybli zamy ilość najgorszych wartości (stanowi ¾ac ¾a A% wszystkich wartości) za pomoc ¾a liczby k := maxfl : l n, l 2 Ng: (114)

Mo zna te z u zyć innego sposobu zaokr ¾aglenia n do liczby naturalnej. Naturalnym estymatorem oczekiwanej straty w A% najgorszych przypadków jest średnia arytmetyczna strat ponoszonych w tych przypadkach: ES n (X) := 1 k kx i=1 X i:n : (115) Liczb ¾e (115) nazywamy oczekiwanym niedoborem (expected shortfall) z próby (X 1 ; ::; X n ). Poni zsze stwierdzenie pokazuje, ze funkcja ES n jest subaddytywna. Twierdzenie 21. Dla dowolnych liczb n 2 N i 2 (0; 1) oraz zmiennych losowych X; Y zachodzi nierówno sć ES n (X + Y ) ES n (X) + ES n (Y ): (116) (Dowód pomijamy.)

Dla dowolnego wyra zenia logicznego p wprowadźmy oznaczenie [p] := ( 1; jeśli p jest prawdziwe, 0; jeśli p jest fa szywe. Wówczas wzór (115) mo zemy przekszta cić nast ¾epuj ¾aco: (117) = 1 k 0 nx @ i=1 kx nx ES n (X) = 1 X i:n = 1 k i=1 k X i:n [X i:n X k:n ] nx i=1 i=1 X i:n [i k] X i:n ([X i:n X k:n ] [i k]) 1 A : (118) Zadanie 19. Wykazać, ze [X i:n X k:n ] [i k] = ( 1; je sli i > k i Xi:n = X k:n ; 0; w przeciwnym przypadku.

St ¾ad i z (118) otrzymujemy ES n (X) = 0 = n @ 1 k n 1 k 0 @ nx i=1 nx nx X i [X i X k:n ] X k:n ([X i:n X k:n ] i=1 i=1 X i [X i X k:n ] X k:n 0 @ 1 n nx i=1 [X i X k:n ] k n [i k]) 11 AA : (119) 1 A Ostatnie przedstawienie ES n sugeruje nast ¾epuj ¾ac ¾a de nicj ¾e. niedoborem na poziomie 2 (0; 1) nazywamy liczb ¾e ES (X) := 1 h i E X X q + q + P X q + Oczekiwanym : (120) Twierdzenie 22. Je zeli zmienna losowa X ma ciag ¾ ¾ a dystrybuante, ¾ to ES (X) = TCE + (X): (121)

Dowód. Jeśli dystrybuanta F zmiennej losowej X jest ci ¾ag a, to na mocy warunku (89) mamy P (X q) = F (q) = dla ka zdego -kwantyla q. W szczególności q + jest -kwantylem na mocy Zadania 12, zatem P X q + =. Uwzgl ¾edniaj ¾ac t ¾e równość, a nast ¾epnie Twierdzenie 17, otrzymujemy = ES (X) = 1 E X h X q + i 1 = XdP fxq + g Z 1 P X q + XdP = E (Xj X fxq + g q+ = TCE + (X): Z Twierdzenie 23. Niech X :! R bedzie ¾ zmienna¾ losowa¾ posiadajac ¾ a¾ warto sć oczekiwana. ¾ Wówczas ES (X) = 1 (E (X [X q]) + q ( P (X q))) ; 8q 2 [q ; q + ]: (122)

Twierdzenie 24. Dla dowolnych zmiennych losowych X i Y takich, ze E(X ) < 1 i E(Y ) < 1, zachodzi nierówno sć dla ka zdego 2 (0; 1]. ES (X + Y ) ES (X) + ES (Y ); (123) Oznaczmy Z := X +Y. W dowodzie Tw. 24 skorzystamy z poni zszych zadań. Potrzebne b ¾edzie tak ze nast ¾epuj ¾ace oznaczenie dla dowolnej zmiennej losowej X :! R i dowolnego x 2 R: X () (x) := 8 < : [X x]; je zeli P (X = x) = 0; [X x] + P (Xx) [X = x]; P (X=x) je zeli P (X = x) > 0: Zadanie 20. Wykazać, ze E X () q (X) = :

Zadanie 21. Wykazać, ze X () q (X) 2 [0; 1]: Zadanie 22. Wykazać, ze (a) Je zeli X > q (X), to Z () q (Z) X () q (X). (b) Je zeli X < q (X), to Z () q (Z) X () q (X). Zadanie 23. Wykazać, ze ES (X) = 1 E X X () q (X) :

Dowód Twierdzenia 24. Z Zadania 23 otrzymujemy (ES (X) + ES (Y ) ES (Z)) = E(Z Z () q (Z) X X () q (X) Y Y () q (Y ) ) = E(X(Z () q (Z) X () q (X) )) +E(Y (Z () q (Z) Y () q (Y ) )): (124) Teraz, rozwa zaj ¾ac kolejno przypadki: (a) X > q (X), (b) X < q (X), (c) X = q (X), i korzystaj ¾ac z Zadania 22, sprawdzamy, ze E(X(Z () q (Z) X () q (X) )) q (X)E(Z () q (Z) X () q (X) ) (125) Podobna nierówność zachodzi, jeśli w (125) zast ¾apimy X przez Y. St ¾ad, z (124) oraz z Zadania 20 zastosowanego do zmiennych losowych X, Y i Z, otrzymujemy (ES (X) + ES (Y ) ES (Z)) q (X)( ) + q (Y )( ) = 0;

sk ¾ad wynika nierówność (123). Zadanie 24. Udowodnić, ze ES jest dodatnio jednorodn ¾a miar ¾a ryzyka. Uwaga. Z Twierdzenia 24 oraz z Zadań 14 i 24 wynika, ze ES jest spójn ¾a miar ¾a ryzyka. 19 Modele mieszaniny dla portfeli kredytów Zmienn ¾a losow ¾a Bernoulliego z parametrem p 2 [0; 1] nazywamy zmienn ¾a losow ¾a X :! f0; 1g o rozk adzie P (X = x) = p x (1 p) 1 x ; x 2 f0; 1g: (126)

Rozwa zamy portfel m kredytów dla ustalonego horyzontu czasowego T. Modelem mieszaniny nazywamy model, w którym zak ada si ¾e, ze prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków przez pojedynczego d u znika zale zy od pewnego skończonego zbioru (zwykle ma o licznego) czynników ekonomicznych. Przy ustalonych wartościach tych czynników wskaźniki niedotrzymania dla ró znych d u zników s ¾a niezale znymi zmiennymi losowymi. Za ó zmy, ze dana jest liczba naturalna r < m oraz wektory losowe: = ( 1; :::; r) wektor czynników ekonomicznych, Y = (Y 1 ; :::; Y m ) d u zników. wektor wskaźników niedotrzymania dla poszczególnych

Powy zszy model nazywamy modelem mieszaniny Bernoulliego, je zeli istniej ¾a takie funkcje borelowskie Q i : R r! [0; 1], i = 1; :::; m, ze przy warunku wektor losowy Y jest wektorem niezale znych zmiennych losowych Bernoulliego z parametrami Z warunków (126) i (127) wynika, ze P (Y i = 1j ) = Q i ( ) : (127) P (Y i = y i j ) = Q i ( ) y i (1 Q i ( )) 1 y i; y i 2 f0; 1g; i = 1; :::; m: (128) Dla dowolnego wektora y = (y 1 ; :::; y m ) 2 f0; 1g m, wyra zenie P (Y = yj ) obliczamy zgodnie z (109) i (106): P (Y = yj ) = E ([Y = y]j ( )) = E ([Y = y]j ) : (129)

Na mocy Twierdzenia 20 istnieje funkcja borelowska h : R r! R taka, ze E ([Y = y]j ) = h( ). Funkcj ¾e h mo zna wyznaczyć efektywnie, korzystaj ¾ac z równości (128). Istotnie, poniewa z zmienne losowe Y i s ¾a niezale zne przy warunku, wi ¾ec h( ) = P (Y = yj ) = my i=1 P (Y i = y i j ) = my i=1 Q i ( ) y i (1 Q i ( )) 1 y i: (130)