Bryła sztywna. Matematyka Stosowana

Bryła sztywna Matematyka Stosowana

Prawdziwe obiekty fizyczne Można przesuwać (punkt materialny też!) Można obracać (punktu materialnego nie!) Można ściskać, rozciągać, skręcać, wyginać, Mechanika ośrodków ciągłych

Bryła sztywna Model prawdziwego obiektu fizycznego Elementy obiektu nie mogą się przemieszczać względem siebie Co może robić bryła sztywna? Przesuwać się w jednym z trzech kierunków Obracać się względem jednej z trzech osi Punkt materialny uproszczenie bryły sztywnej, założenie ruch obrotowy nie istotny

Środek masy (ciężkości) m 1 m 2 x 1 x śm x 2 x śm = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 x śm = 1 M i m i x i x śm = 1 M xdm

Środek masy (ciężkości) Ԧr śm = m 1 Ԧr 1 + m 2 Ԧr 2 + m 3 Ԧr 3 + m 1 + m 2 + m 3 + = σ i=1 N m i Ԧr i σ N = 1 i=1 m i M m i Ԧr i i Ԧr śm = 1 M Ԧrdm

Analogia: średnia = środek ciężkości

Stabilność i środek masy Stabilność wzrasta: Niżej położony środek masy Większa podstawa Przedmiot przechylony przewróci się jeśli pionowa linia od jego środka ciężkości wypadnie poza jego podstawę. http://www.schoolphysics.co.uk/age11-14/mechanics/statics/text/stability_/index.html

Ruch środka masy r śm = 1 M i m i r i Ԧv śm = d Ԧr śm dt = 1 M d σ dt i=1 N m i Ԧr i = 1 σ M i=1 N Ԧv i m i d Ԧr i dt N N Ԧv śr = 1 M i=1 m i Ԧv i M Ԧv śm = m i Ԧv i = P i=1

Ruch środka masy r śm = 1 M i m i r i N Ԧv śr = 1 M i=1 N m i Ԧv i M Ԧv śm = i=1 m i Ԧv i = P Ԧa śm = d Ԧv śr dt N = 1 M i=1 d Ԧv i m i dt = 1 N M i=1 m i Ԧa i N M Ԧa śm = i=1 II zas. dyn III zas. dyn m i Ԧa i = ԦF i = ԦF zewn

Ruch środka masy Jeżeli na ciało (zbiór cząstek) działają siły zewnętrzne to środek masy porusza się tak, jakby skupiona w nim była cała masa i jakby działała na niego siła wypadkowa. UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Ruch środka masy

Równanie Newtona dla środka masy ԦF zewn = M Ԧa śm = M d Ԧv śm dt = dm Ԧv śm dt = dp dt UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Fosbury Flop (Flop) złoty medal na igrzyskach olimpijskich w Meksyku, 1968 (rekord 2,24 m) Dick Fosbury, 1947

Fizyka w sporcie dr hab. Adam Sieradzki

Obroty wokół osi Ustalona oś Kurczak rożnie Wiatrak Wskazówki Jak opisać ruch obrotowy? Śledź punkt P (x, y)? OP jest stałe dlaczego? Wystarczy θ UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Jak zmierzyć kąt θ? Mierzymy kąt w radianach Wartość kąta w radianach: θ = s r Iloraz dwóch długości bezwymiarowy ( czysta liczba) 1 rad = 3600 2π = 57.30 180 0 = π rad UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Prędkość kątowa Średnia prędkość kątowa: ω śr z = θ 2 θ 1 = Δθ t 2 t 1 Δt Prędkość kątowa: Δθ ω z = lim Δt 0 Δt = dθ dt UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Przyśpieszenie obrotowe i liniowe v = rω dv dt = d(rω) dt a n = r dω dt a n = rα Przyśpieszenie dośrodkowe: a rad = v2 r = (rω)2 r α = rω 2

Prędkość liniowa i kątowa Konie na dole karuzeli przebywają dłuższy dystans niż te na górze Konie na dole karuzeli mają większą prędkość liniową niż te na górze Ale kątową prędkość mają taką samą!

Kąt i prędkość kątowa mogą być ujemne UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Prędkość kątowa jako wektor Dotychczas obroty wokół osi z i składowa ω z Ogólnie ω = (ω x, ω y, ω z ) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Skoro tak to musi tu gdzieś być iloczyn wektorowy ω = dφ dt, v = rω ω = v r Ale: v = vsinθ czyli: ω = vsinθ r To już trochę przypomina iloczyn skalarny. Pomnóżmy licznik i mianownik przez r: ω = vrsinθ r 2 ω = r v r 2

Przyśpieszenie kątowe Średnie przyśpieszenie kątowe: α śr z = ω 2z ω 1z t 2 t 1 Przyśpieszenie kątowe : Czyli: = Δ ω z Δt Δω z α z = lim Δt 0 Δt = dω z dt α z = dω z dt = d dt dθ dt = d2 θ dt 2 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Przyśpieszenie kątowe jako wektor Gdy oś obrotu jest stała przyspieszenie kątowe i prędkość kątowa leżą wzdłuż tej osi Jeśli przyśpieszenie zgodne z prędkością przyśpiesza Jeśli przyśpieszenie przeciwne do prędkością zwalnia UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym K = 1 2 m 1v 1 2 + 1 2 m 2v 2 2 + = 1 2 i m i v i 2 K = 1 2 i m i r i ω 2 i = 1 2 ω2 2 m i r i i Moment bezwładności K = 1 2 Iω2 I = i m i r i 2

Moment bezwładności zależy od osi! UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Twierdzenie Steinera (osie równoległe) Moment bezwładności zależy od osi obrotu I śm - moment bezwładności ciała o masie M dla osi przechodzącej przez środek masy I d - moment bezwładności dla osi równoległej oddalonej o d: I d = I śm + Md 2 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Przykład: pręt I śm = 1 12 ML2 d = L 2 I d = I śm + Md 2 = 1 12 ML2 + M L 2 = 1 12 ML2 + 1 4 ML2 = 4 12 ML2 = 1 3 ML2 2 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Dowód twierdzenia Steinera Dwie osie równoległe: Środek masy (cm) Punkt P I śm = m i x i 2 + y i 2 i I p = m i x i a 2 + y i b 2 i UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Dowód twierdzenia Steinera I p = m i x i a 2 + y i b 2 = i m i x 2 i + a 2 2ax i + y 2 i + b 2 2by i = i m i x 2 i + y 2 i + a 2 + b 2 i i m i 2a m i x i 2b m i y i i i UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Dowód twierdzenia Steinera I p = i m i x i 2 + y i 2 + a 2 + b 2 i m i 2a m i x i 2b m i y i i i = I śm + Md 2 2aMx śm 2bMy śm = I śm + Md 2 x śm = 1 M i m i x i y śm = 1 M i m i y i

Moment bezwładności I = i m i r i 2 I = r 2 dm = ρ = dm dv = r2 ρdv = ρ r 2 dv gęstość UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Moment bezwładności wydrążonego walca I = ρ r 2 dv = ρ න R 2 R 2 r 2 2πrLdr = 2πρL න r 3 dr R 1 R 1 I = 2πρL 1 4 R 2 4 R 1 4 I = 1 2 πρl R 2 4 R 1 4 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Moment bezwładności wydrążonego walca I = 1 πρl R 2 2 4 R 4 1 = 1 πρl R 2 2 2 2 R 1 R 2 2 2 + R 1 Objętość walca: V = πl R 2 2 2 R 1 Masa walca: M = Vρ = πρl R 2 2 2 R 1 I = 1 2 M R 2 2 2 + R 1 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Co jeśli oś obrotu się porusza? Ruch postępowy i obrotowy K = 1 2 Mv śm 2 + 1 2 I śmω 2 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Toczenie się bez poślizgu Koło obróciło się o kąt θ Środek masy przemieścił się o s s = θr Zróżniczkujmy po czasie ds dt = d Rdθ θr = dt dt Warunek: v śm = Rω Physics for Scientists and Engineers by Serway and Jewett

Złożenie ruchów postępowy i obrotowy Ruch postępowy wszystkie punkty poruszają się w prawo z taką prędkością jak śm Ruch obrotowy wszystkie punkty poruszają się po okręgu z prędkością kątową ω Ԧv i = Ԧv śm Ԧv i Ԧv j, ω i = ω j Ԧv i = 2 Ԧv śm Ԧv śm Ԧv śm = 0 Ԧv śm Ruch postępowy Translacje Ruch obrotowy Ruch postępowy + obrotowy

Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał Takie same masy Bez poślizgu tarcie nie wykonuje żadnej pracy Na górze wszystkie ciała mają U 1 = Mgh, K 1 = 0 Na dole U 2 = 0, K 2 =? Walter Lewin, 4:56 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał K 1 + U 1 = 1 2 Mv śm 2 + 1 2 I śmω 2 + U 2 Mgh = 1 2 Mv śm 2 + 1 v 2 cmr2 śm R 2 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał Mgh = 1 2 Mv śm 2 + 1 v 2 cmr2 śm R 2 Mgh = 1 2 Mv śm 2 1 + c v śm = 2gh 1 + c UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Ruch bryły sztywnej ruch postępowy + obrotowy (analogie) Ruch postępowy Masa M Prędkość Ԧv = d Ԧr dt Przyśpieszenie Ԧa = dv dt Siła ԦF Ruch obrotowy Moment bezwładności I Prędkość kątowa ω = d Ԧθ dt Przyśpieszenie kątowe Ԧα = dω dt Moment siły Ԧτ = Ԧr ԦF

Przykład: prymitywne jojo Założenia: Nić nieważka, nierozciągła, bez poślizgu Jaka prędkość v śm po h? Bez poślizgu v śm = Rω Początkowo energia kinetyczna K 1 = 0 Moment bezwładności I = 1 2 MR2 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Przykład: prymitywne jojo v śm = Rω, K 1 = 0, I = 1 2 MR2 K 2 = 1 Mv 2 śm 2 + 1 I 2 śmω 2 = 1 Mv 2 śm 2 + 1 2 1 2 MR2 v śm R 2 = = 1 2 Mv śm 2 + 1 4 Mv śm 2 = 3 4 Mv śm 2 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Przykład: prymitywne jojo v śm = Rω, K 1 = 0, I = 1 2 MR2 K 2 = 3 Mv 4 śm 2 Zasada zachowania energii: K 1 + U 1 = K 2 + U 2 0 + Mgh = 3 Mv 4 śm 2 + 0 v 2 śm = 4 3 gh < 2gh Tak by było dla masy punktowej UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Moment pędu C m Q Ԧr Q θ Ԧv Ԧp = m Ԧv Pęd - własność obiektu o masie m i prędkości Ԧv Moment pędu względem Q: L Q = Ԧr Q Ԧp = Ԧr Q Ԧv m L Q = mvr Q sinθ r Q r Q Zauważ, że L C = 0 dla każdego punktu na linii Ԧv Moment pędu nie jest własnością obiektu L Q zależy od punktu Q, względem którego liczymy

Przykład rzut ukośny t Ԧr(t) Q t = 0 Dla t = 0, L C = 0 Dla innej chwili t, L C 0 Moment pędu zmienia się w czasie Nic dziwnego prędkość też się zmienia w czasie

Przykład prędkość się zmienia, ale Ԧv t, Ԧv t = v = const C Ԧr C (t) L C = Ԧr C m Ԧv = mr C v sin π 2 = mr c v Q Moment pędu względem C jest stały! Względem Q się zmienia co gdy przechodzi przez Q? Tylko względem C jest stały! Jak to jest ogólnie?

Moment siły Ԧv t, ԦF G Ԧr C (t) C Ԧτ C = Ԧr C ԦF G = 0 L Q = Ԧr Q Ԧp dl Q dt = d Ԧr Q dt Ԧp + Ԧr Q d Ԧp dt dl Q dt = Ԧv Ԧp + Ԧr Q ԦF = Ԧτ Q 0 moment siły dl Q dt = Ԧτ Q, Ԧτ Q = Ԧr Q ԦF Jeśli nie ma momentu siły (Ԧτ Q = 0) to moment pędu zachowany: L Q = const

Moment pędu dysku obracającego się wokół środka masy C ω R C Ԧv i Ԧr i M m i Względem punktu C: L Ci = Ԧr i Ԧp i = m i (Ԧr i Ԧv i ) L Ci = m i r i v i = m i r i 2 ω L Cdysk = ω m i r i 2 = ωi C A i Jeśli nie ma momentu siły (Ԧτ Q = 0) to moment pędu zachowany: L Q = const Co jeśli liczymy względem punktu A?

Zachowanie momentu pędu Jeśli Ԧτ Q = 0 to L Q = ωi C = const Przybliżymy profesora ze złączonymi rękami przez M = 75kg, R = 20cm, m = 2kg, r = 90cm 23:15 Walter Lewin, 8.01x Lect 20 - Angular Momentum, Torques, Conservation I = 1 2 MR2 = 1.5 m r r m R I = 1 2 MR2 + 2mr 2 = 4.5 M I = 1 3 I UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Co się dzieje dla układu obiektów? Planety oddziałujące grawitacyjnie Cząstki gazu się zderzają Wiele kulek na sprężynach Dowolne inne oddziaływania w układzie Dzięki za III zasadę dynamiki Newtona wewnątrz wszystko się kasuje! F 1 na 2 = F 2 na 1 1 F 2 na 1 i,j F i na j = F i na j σf wew = 0 στ wew = 0 2 F 1 na 2 dl Q dt = Ԧr Q ԦF zew = Ԧτ Qzew

Zachowanie pędu i momentu pędu II zasada dynamiki Newtona: d Ԧp dt = σ ԦF = σ ԦF wew + σ ԦF zew III zasada dynamiki Newtona: σ ԦF wew = 0 1 F 2 na 1 d Ԧp dt = σ ԦF zew 2 F 1 na 2 dl Q dt = σԧτ Qzew

Podsumowanie momentów ԦF Q Ԧr Q θ m Ԧv Ԧp Moment pędu względem Q: L Q = Ԧr Q Ԧp (1) Moment siły względem Q: Ԧτ Q = Ԧr Q ԦF (2) Moment siły prowadzi do zmiany momentu pędu: dl Q dt Qzew (3) Ԧτ Q = I Q α Q (4) L Q = I Q ω Q (5) Gdzie α Q = ሷ θ Q, ω Q = ሶ θ Q

Przykład Ziemia wokół Słońca ω C F Ԧv Ԧr C m L C = Ԧr C m Ԧv = mr C v = mr 2 C ω = mr 2 ω to z (1) ale możemy też liczyć z (5): L C = I C ω C = I C ω = mr 2 ω R Względem środka masy moment pędu jest zachowany! faktycznie zgadza się! Teraz możemy z (2): Ԧτ C = Ԧr C ԦF = 0 Czyli z (3) dl C dt = Ԧτ C = 0

Toczenie się bez poślizgu Q F N Wsinθ v Q = v = ωr czyste toczenie zawsze prawda Wcosθ a = v ሶ = ωr ሶ = αr Moment siły: Ԧτ = Ԧr ԦF, τ = rfsinα rf Jaki moment siły działa na punkt Q (środek masy)? Siły F N, W przechodzą przez punkt Q czyli ԦF Ԧr τ Q = 0 Siła tarcia Ԧf Ԧr Ԧτ Q = R Ԧf = Rf Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego: RN τ Q = Rf = I Q α = I Qa R

Toczenie się bez poślizgu - walec Q F N Wsinθ a =? v Q = v = ωr czyste toczenie zawsze prawda Wcosθ a = v ሶ = ωr ሶ = αr Rf = I Qa 1 Nie znamy, f i a R ma = mgsinθ f (2) Teraz możemy już obliczyć a, z (1) f = I Q a/r 2 Czyli z (2): ma = mgsinθ f = mgsinθ I Qa R 2

Toczenie się bez poślizgu - walec Q F N Wsinθ a =? ma = mgsinθ I Qa R 2 Wcosθ a m + I Q R 2 = mgsinθ a = mgr2 sinθ mr 2 + I Q Dla pełnego walca I Q = mr2 2 a = 2 3 gsinθ Dla pustego walca I Q = mr 2 a = 1 2 gsinθ

Oś obrotu zmienna w czasie Stała oś obrotu karuzela, kurczak na rożnie, planety Oś obrotu przesuwa się, ale kierunek stały toczenie W wielu przypadkach kierunek osi się zmienia! Wiele nieintuicyjnych zjawisk precesja Wyobraź sobie, że jesteś w przestrzeni kosmicznej Co się stanie?

Oś obrotu zmienna w czasie Wyobraź sobie, że jesteś w przestrzeni kosmicznej Dodatkowo zakręć teraz kołem Co się stanie? Gdyby się obracała to co z zachowaniem momentu pędu? Tylko na początku moment siły, ale potem nie, czyli 22:09 Walter Lewin, 8.01x - Lect 24 Rolling Motion, Gyroscopes, 24:14 Walter Lewin, 8.01x - Lect 24 Rolling Motion, Gyroscopes,

Zasady zachowania w mechanice Zasada zachowania energii Zasada zachowania pędu Zasada zachowania momentu pędu Twierdzenie Noether (1918) prawa zachowania związane z symetriami Lagrangianu Lagrangian: L q k, qሶ k = E kin E pot, gdzie q k to współrzędne uogólnione (tyle co stopni swobody) Liczba stopni swobody s = n w (wszystkie - więzy) Równanie Lagrange a: d L q k, ሶ dt qሶ k q k L q k, qሶ k = 0 q k

Symetrie Lagrangianu Niezmienniczość względem przesunięć w czasie zachowanie energii Niezmienniczość względem przesunięć w przestrzeni zachowanie pędu Niezmienniczość względem obrotów zachowanie momentu pędu Przykład: r i r i + Ԧa nie zmienia własności układu Ԧa R L r i, rሶ i = L r i + Ԧa, rሶ i + Ԧa ሶ - pęd zachowany

Mechanika - podsumowanie Układy Punkt materialny Bryła sztywna Ośrodki ciągłe (płyny) Równania ruchu Równania Newtona Równania Lagrange a Równania Hamiltona Zasady zachowania Energii: niezmienniczość względem przesunięć w czasie Pędu: niezmienniczość względem przesunięć w przestrzeni Momentu pędu: niezmienniczość względem obrotów zachowanie momentu pędu