ALGORYTMY ESTYMACJI KĄTA FAZOWEGO

Prace Naukowe Istytutu Maszy, Napędów i Pomiarów Elektryczych Nr 64 Politechiki Wrocławskiej Nr 64 Studia i Materiały Nr 3 1 Daiel DUSZA*, Jerzy BARTOSZEWSKI* kąt fazowy, przesuięcie fazowe, oka czasowe ALGORYTMY ESTYMACJI KĄTA FAZOWEGO W artykule przedstawioo wybrae algorytmy estymacji kąta fazowego oraz pokazao kształty fukcji okie czasowych mogących zaleźć zastosowaie podczas projektowaia przyrządów wirtualych służących do wyzaczaia wartości kąta fazowego i kąta przesuięcia fazowego między dwoma sygałami. W badaiach symulacyjych przedstawioych w rozdziale 4 skupioo się a algorytmie estymacji kąta fazowego wykorzystującego cetrowaą trasformatę Fouriera wraz z dobraym okem czasowym Kaisera. 1. WSTĘP Algorytmy estymacji kąta przesuięcia fazowego dzieli się a dwie zasadicze grupy [3]: algorytmy określoe w dziedziie czasu oraz algorytmy określoe w dziedziie częstotliwości. Algorytmy realizowae w dziedziie częstotliwości są częściej stosowae iż algorytmy określoe w dziedziie czasu i pomimo iż są oe miej dokłade, to cechują się zaczie miejszym akładem obliczeń. Jeżeli celem działaia algorytmu opierającego się a aalizie widma częstotliwościowego jest otrzymaie wyiku estymacji w czasie rzeczywistym, to algorytmy działające w dziedziie częstotliwości są bardziej kokurecyje [5]. Algorytmy estymacyje działają a ciągach próbek, uzyskaych poprzez próbkowaie oraz przetwarzaie sygałów pomiarowych a postać cyfrową. Algorytmy te umożliwiają wyzaczeie wartości chwilowej kąta fazowego oraz wartości kąta przesuięcia fazowego. Podstawowym problemem związaym z realizacją algorytmów estymacyjych bazujących a trasformatach Fouriera oraz Wigera jest zjawisko aliasigu i przecieku widma. Efekt przecieku widma może być częściowo elimioway przez stosowaie okie czasowych oraz odpowiedich filtrów. * Politechika Wrocławska, Istytut Maszy, Napędów i Pomiarów Elektryczych, ul. Smoluchowskiego 19, 5-37 Wrocław, daiel.dusza@pwr.wroc.pl, jerzy.bartoszewski@pwr.wroc.pl

446. ALGORYTMY ESTYMACJI KĄTA FAZOWEGO.1. ALGORYTM ESTYMACJI KĄTA FAZOWEGO WYKORZYSTUJĄCY TRANSFORMATĘ FOURIERA W celu wyzaczeia kąta fazowego, przy wykorzystaiu cetrowaej dyskretej trasformaty Fouriera (DFT), baday sygał jest próbkoway a astępie zamieiay a cyfrowy ciąg próbek. Ogóla postać siusoidalego sygału zespoloego, ma postać [1] jα π N 1 x[ T ] = Ae exp j μ, (1) N gdzie: =, 1,..., N 1, N liczba próbek sygału, T okres próbkowaia sygału, A amplituda sygału, α kąt fazowy, μ częstotliwość uormowaa. Celem działaia algorytmu jest estymacja parametru α, który reprezetuje kąt fazowy sygału zespoloego w chwili czasowej (N 1)T/, będący cetralym puktem przedziału czasu obserwacji. Efekt przecieku widma, który występuje ze względu a brak sychroizacji długości czasu obserwacji z okresem T sygału, moża zmiimalizować stosując oko czasowe o odpowiedio dobraych parametrach [6]. W rezultacie otrzymuje się wyrażeie zawierające w sobie zarówo sygał mierzoy x, jak i oko czasowe w x [ T ] = x[ T ] w[ T ]. () Widmo częstotliwościowe sygału charakteryzuje się za pomocą DFT X ( λ) = N 1 = Tx[ T ]exp π N 1 j λ = Ae N jα W ( λ μ), (3) gdzie λ [, N ), a W określa widmo częstotliwościowe fukcji oka. Brak sychroizacji, występujący pomiędzy długością czasu obserwacji a iecałkowitą liczbą okresów przebiegów powoduje, że wartość częstotliwości uormowaej μ ie jest liczbą całkowitą μ = m + δ, (4) gdzie m określa całkowitą składową uormowaej częstotliwości, przy czym δ.5.

447 Z rówaia j α X ( m) = Ae W ( δ ) (5) wyika wartość trasformowaej próbki dla częstotliwości uormowaej ajbliższej częstotliwości sygału, z której wyzacza się wartość poszukiwaej wartości kąta fazowego α = arg[ X ( m)] arg[ X ( α)]. (6) Przy założeiu, że stosowae oko czasowe jest symetrycze względem środka przedziału obserwacji, to trasformata Fouriera tak zdefiiowaego sygału przyjmuje wartości rzeczywiste. Drugi składik estymatora przyjmuje wartość zerową, iezależą od dewiacji częstotliwości δ, co upraszcza rówaie (6) do postaci α = arg[ X ( m)]. (7) Algorytm cechuje bardzo duża dokładość wyików. Jest o odpory a pojawiające się w widmie częstotliwościowym, harmoicze oraz zakłóceia sygałów... ALGORYTM ESTYMACJI KĄTA FAZOWEGO BAZUJĄCY NA PARAMETRACH ENERGETYCZNYCH Algorytm estymacji kąta fazowego bazujący a parametrach eergetyczych pozwala wyzaczyć z bardzo duża dokładością wartości amplitud, częstotliwości i kąta fazowego badaego sygału. W przeciwieństwie do iych algorytmów działających w dziedziie częstotliwości do estymacji szukaych wartości wymagaa jest o wiele miejsza liczba aalizowaych próbek [5]. Sygał o częstotliwości f moża zapisać w postaci j(π f t +α ) x ( t) = A e. (8) i Wartości amplitudy A, częstotliwości f oraz wartości kąta fazowego α są iezae, atomiast zaa jest oczekiwaa wartość częstotliwości f. Przy założeiu, że czas obserwacji jest skończoy i zawiera się w przedziale [,5 T ;, 5T ] to efekt w w

448 przecieku widma może zostać zredukoway poprzez zastosowaie symetryczego oka czasowego w(t) j(π f t +α ) x( t) = x ( t) w( t) = A e w( t). (9) i Jeżeli zastosowae jest ciągłe oko czasowe, którego wartości skraje są rówe zeru, czyli w(,5t w ) =, w(,5t w ) =, to moża wyzaczyć parametry eergetycze badaego przebiegu: eergia sekwecji oka N 1 x = T x( T ) A Ew N = E =, (1) eergia sekwecji { x ( T )} uzyskaa poprzez próbkowaie pochodej sygału N 1 E x1 = T x ( T ) = A [(π f) Ew + Ew1], (11) N = eergia sprzężoej części c(t) sekwecji oka gdzie: N 1 N = ( T ) = A αew Ec = T c cos, (1) 1 * jπf t c( T ) = [ x( T ) + x( T ) ] = A cosα e w( T ). (13) Występujące w relacjach (1), (11), (1) wyrażeia E w oraz E w1 są sprzężoe z próbkami fukcji okie i zależe jedyie od kształtu zastosowaego oka. Wartości te mogą zostać wyzaczoe przed przystąpieiem do aalizy sygału. Wyzaczoe parametry eergetycze pozwalają a wyzaczeie poszukiwaych wartości amplitudy, częstotliwości i kąta fazowego ze wzorów:

449 E x A =, (14) Ew f 1 E = 4π E x1 x E E w1 w, (15) E E c α arccos. (16) = x Omówioy algorytm jest przydaty do pomiaru kąta przesuięcia fazowego w czasie rzeczywistym. Wyik uzyskiway jest przy bardzo małej liczbie obliczeń oraz charakteryzuje się dużą dokładością..3. ALGORYTM ESTYMACJI KĄTA FAZOWEGO WYKORZYSTUJĄCY ADAPTACJĘ PRÓBKOWANIA Wymagaa przez algorytm maksymala częstotliwość próbkowaia, która zajduje się poiżej częstotliwości Nyquista, określoa poprzez podstawową częstotliwość sygału f i wartość jego ajwyższej harmoiczej h wymagaa przez algorytm wyosi [4]: próbek f s = ( h + ) f. (17) s W adaptacyjym próbkowaiu, częstotliwość próbkowaia rozpoczya się od 3 próbek/cykl a astępie wzrasta do mometu, w którym zostaie spełioy waruek wyzaczeia kąta fazowego z założoą dokładością. Okresowy przebieg sygału moża zapisać w postaci szeregu Fouriera h 1 h x( t) a + a cos(π ft) + b si(πft) = A cos(πft α ), (18) 1 h 1 gdzie: f podstawowa częstotliwość sygału, h ajwyższa harmoiczą zawarta w badaym sygale, a składowa stała, A amplituda -tej harmoiczej, α kąt fazowy -tej harmoiczej.

45 Z rówaia (18) moża określić wartość kąta fazowego, który wyosi α b tg 1 = a (19) Współczyiki Fouriera a, b moża opisać za pomocą rówań (), w których T jest okresem badaego sygału a b = T = T T T x( t)cos(πft) dt, x( t)si(πft) dt. () Dla sygału dyskretego moża przekształcić rówaie (.) do postaci a b d d = K = K N 1 i= N 1 i= x( it )cos(πfiδt, x( it )si(πfiδt, (1) gdzie: K stała proporcjoala, ΔT okres próbkowaia, N liczba próbek aalizowaych w każdym z cykli. Wykorzystaie estymatora prowadzi do poprawych wyików tylko w przypadku, gdy współczyiki -tej harmoiczej ciągu dyskretego ie są ziekształcoe w wystąpieiem efektu aliasigu. Poieważ współczyiki szeregu Fouriera, odpowiadające dyskretemu ciągowi próbek, są okresowe w okresie ΔT, to waruek braku efektu jest spełioy, gdy [3]: 1 ΔT f > hf c. () Estymator wykorzystujący adaptacje próbkowaia pozwala a uzyskaie bardzo dużej dokładości pomiarowej przy wyzaczaiu wartości kąta fazowego, dla sygałów zawierających wyższe harmoicze. Algorytm ie jest zalecay dla pomiarów wymagających uzyskaia wyiku estymacji w krótkim czasie, atomiast jego dużą zaleta jest iewielka liczba wymagaych próbek potrzebych do określeia kąta fazowego.

451 3. OKNA CZASOWE Pomiary bazujące a aalizie FFT (Fast Fourier Trasform) często obarczoe są błędem związaym z przeciekiem widma. Błąd te pojawia się, gdy widmo częstotliwościowe obliczae z ciągu próbek ie jest rówe pełej liczbie okresów, czyli gdy czas obserwacji ie jest wielokrotością okresu sygału badaego. Efekt przecieku widma moża skorygować poprzez stosowaie okie czasowych o odpowiedich parametrach i kształcie. Przy źle dobraym okie czasowym, błąd może być wprowadzoy w charakterystykę widmową w postaci błędie odzwierciedloych parametrów, takich jak amplituda, częstotliwość oraz ogóly kształt widma. Pomożeie sygału przez oko czasowe zmieia baday sygał w sygał składający się z całkowitej liczby okresów. Jedym z ważiejszym parametrów oka jest jego rozdzielczość częstotliwościowa, która zależy od szerokości główego listka. Im szerszy jest główy listek, tym gorsza rozdzielczość oka czasowego. Wyika z tego, że jeżeli aalizoway sygał zawiera składowe częstotliwościowe położoe blisko siebie, to do aalizy widmowej ie moża stosować oka czasowego o szerokim listku główym. Iym parametrem określającym właściwości okie czasowych jest jego dyamika, czyli zdolość rozróżiaia składowych spektralych o bardzo małej amplitudzie. Dyamikę oka moża określić a podstawie aalizy jego charakterystyki częstotliwościowej im większa jest różica amplitud listków główego i boczych, tym lepsza uzyskiwaa jest dyamika oka czasowego. Na rysukach 1 5 przedstawioo kształty fukcji okie czasowych oraz ich charakterystyki częstotliwościowe. Na podstawie tych charakterystyk moża wstępie oceić właściwości daego oka czasowego, dla określoych sygałów wejściowych. Rys. 1. Oko Blackmaa Fig. 1. Blackma widow

45 Rys.. Oko Flat top Fig.. Flat top widow Rys. 3. Oko Hammiga Fig. 3. Hammig widow Rys. 4. Oko Haiga Fig. 4. Haig widow

453 Rys. 5. Oko Kaisera β = Fig. 5. Kaiser widow β = Hammig Flat top Blackma Haig Kaiser Rys. 6. Względy błąd przesuięcia fazowego w fukcji zmiay zadaego kąta fazowego Fig. 6. Phase shift relative error i fuctio of phase agle chages W przypadku pomiaru kątów fazowych, wybór właściwego oka czasowego do algorytmu jest uwarukoway uzyskaiem jak ajmiejszego błędu estymacji kąta prze-

454 suięcia fazowego. Na rysuku 6 zostały przedstawioe symulacyje charakterystyki względego błędu przesuięcia fazowego δϕ w fukcji zadaego przesuięcia fazy, dla różych okie czasowych. Z charakterystyk pokazaych a rysuku 6 wyika, że ajmiejszy błąd występuje przy zastosowaiu oka czasowego Kaisera, dla którego podczas przeprowadzaia symulacji dla oka Kaisera, przyjęto wartość parametru β rówą. 4. WYNIKI BADAŃ SYMULAYJNYCH Do szczegółowych badań symulacyjych wybrao algorytm wykorzystujący cetrowaą trasformatę Fouriera opisaą w rozdziale.1 oraz zaimplemetowao do algorytmu oko czasowe Kaisera o wartości parametru β =. Hammig Flat top Blackma Haig Kaiser Rys. 7. Błąd względy kąta przesuięcia fazowego w fukcji zmiay kąta fazowego Fig. 7. Phase shiftig agle relative error i fuctio of phase agle chages Badaie algorytmu estymującego kąt przesuięcia fazowego przeprowadzoo w środowisku LabView. Do geeracji fukcji użyto geerator fukcji siusoidalych

455 Sie Wave.vi. Sygały badae były próbkowae z częstotliwością rówą f p = 1 khz, a liczba badaych próbek wyosiła N = 1. Przyjęto szerokość oka czasowego rówa okresowi testowaych przebiegów, co pozwoliło a jedozaczą oceę określeia kąta przesuięcia fazowego. Przedstawioy zależością (3) względy błąd pomiaru ϕz ϕr δϕ = 1%, (3) ϕ r pozwala a określeie dokładości estymacji kąta przesuięcia fazowego w fukcji zmia kąta fazowego dla różych wartości częstotliwości wyiki zestawioo graficzie a rysuku 7. Rys. 8. Zmiay wartości błędu w fukcji częstotliwości Fig. 8. Chages of error values i frequecy fuctio Z przeprowadzoych badań symulacyjych algorytmu estymacji kąta przesuięcia fazowego wyika że ajwiększą dokładość uzyskał algorytm dla ajwyższej częstotliwości sygałów. Błąd te zmieia wartość o kilka rzędów dla różych częstotliwo-

456 ści. Z charakterystyki wyika, że ajmiejszy błąd występuje przy wartości przesuięcia fazowego ϕ = 18, dla wszystkich badaych częstotliwości. Na rysuku 8 przedstawioo wpływ zmia częstotliwości sygału a wartość błędu przesuięcia fazowego dla wybraych wartości przesuięcia fazowego. Cechą charakterystyczą wykorzystaia algorytmów estymacji kąta fazowego jest ich mała wrażliwość a wartość składowej stałej zawartej w sygale pomiarowym. Stosując fizycze przyrządy występuje błąd dodatkowy pomiaru pochodzący od składowej stałej, który ależy odpowiedio kompesować []. Na rysuku 9 przedstawioo wpływ zmiay składowej stałej jedego z sygałów a wartość błędu względego przesuięcia fazowego. Rys. 9. Błąd względy wyzaczeia przesuięcia fazowego przy zmiaach wartości składowej stałej Fig. 9. Phase shift agle assigmet relative error by DC chages Procetową zmiaę wartości składowej stałej opisuje zależość Uoffset U DC % = 1%. (4) A

457 Zmiaa tej wartości wpływa a wyik estymacji, przy czym ajmiejszy błąd widoczy jest dla U DC% = 3%. Rys. 1. Wpływ zmiay amplitudy jedego z sygałów a błąd względy przesuięcia fazowego Fig. 1. Chage amplitude oe of the sigals effect o chase Shift agle relative error Na rysuku 1 przedstawioo odporość algorytmu a zmiay amplitudy jedego z sygałów. Zmiaa ta wyrażoa jest w procetowym stosuku wartości amplitud sygałów i ozaczoa jest współczyikiem k. 5. WNIOSKI Z przeprowadzoych badań kąta przesuięcia fazowego metodą symulacyją wyika, że wraz ze wzrostem częstotliwości badaych sygałów błąd estymacji maleje, w iektórych przypadkach awet o trzy rzędy. Zaletą badaego algorytmu jest fakt, że

458 ie wykazał dużej czułości a zmiaę wartości amplitudy sygałów. Wpływ składowej stałej a wyik estymacji, przedstawioy a rysuku 9 pokazuje, że błąd estymacji może zmieić się awet o dwa rzędy. Wyiki badań otrzymaych metodą symulacyją dla sygałów o częstotliwości f = 5 Hz charakteryzują się błędem a poziomie δϕ = 1 8, co jest bardzo dobrym wyikiem działaia badaego algorytmu. Należy się spodziewać, że wartość ta jest o kilka rzędów miejsza od błędów, które powstaą w układzie pomiarowym z rzeczywistymi sygałami doprowadzoymi do wejść karty pomiarowej. LITERATURA [1] BERTOCCO M., OFFELLI C., PETRI D., Dyamic Behavior of a Digital Phase Estimator, IEEE Trasactios o Istrumet ad Measuremet, 199. [] CZUBLA A., STĘPNIEWSKI J., KOMOPKA J., Pomiar różicy faz sygałów apięciowych, XXXIX Międzyuczeliaa Koferecja Metrologów. [3] GAJDA J., SROKA R., Pomiary kąta fazowego metody układy algorytmy, Wydawictwo Akademii Góriczo-Huticzej, Kraków. [4] MAHMUD S.M., High precisio phase measuremet usig adaptive samplig, IEEE Trasactios o Istrumetatio ad Measuremet, 1989. [5] OFFELLI C., PETRI D., A frequecy-domai procedure for accurate real-time sigal parameter measuremet, IEEE Trasactios o Istrumetatio ad Measuremet, 199. [6] Uderstadig FFT Widows, Applicatio Note AN14, LSD-group, 3. PHASE ANGLE ESTIMATION ALGORITHMS The paper presets the chose phase agle estimatio algorithms ad time widows shapes which ca be useful i virtual istrumets desigig to phase agle ad phase shift agle measuremets. I simulatio ivestigatio, preseted i chapter 4, authors cocetrated o phase agle estimatio algorithm with cetered Fourier trasform with well-chose Kaiser time widow.