Analiza płyt i powłok MES Jerzy Pamin e-mails: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: M. Radwańska, A. Wosatko ANSYS, Inc. http://www.ansys.com
Tematyka zajęć Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Elementy skończone dla płyt zginanych Elementy skończone dla powłok Teoria umiarkowanie dużych ugięć [1] T. Kolendowicz Mechanika budowli dla architektów. Arkady, Warszawa, 1996. [2] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementów skończonych w mechanice kostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005. [3] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwizania analityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009.
Podręczniki
Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Obniżenie wymiarowości: ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe) ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe) ustroje bryłowe (trójwymiarowe) Elementy skończone dla mechaniki: 1D - kratowy (truss) 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame) 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa (axial symmetry) 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell) 3D - bryłowy (volume)
Ustrój 2.5D - płyta [1] Zginanie Ścinanie Skręcanie Rysunki zaczerpnięte z [1]
Ustrój 2.5D - powłoka Rysunki z [1] ANSYS simulation: Ugięcia pod działaniem obciążenia równomiernego
Płyta zginana Ugięcie - podstawowa niewiadoma Rys. zaczerpnięte z [2] Naprężenia (uogólnione)
Zginanie - odkształcenia i naprężenia uogólnione Teoria płyt cienkich Kirchhoffa-Love a Krzywizny i spaczenie Momenty zginające i skręcające Rys. zaczerpnięte z [2]
Prostokątny element skończony do analizy płyt Węzłowe stopnie swobody i siły Funkcje kształtu Hermite a Rys. zaczerpnięte z [2] Uwaga na zadawanie warunków brzegowych (kinematycznych i statycznych)
Powłoka Geometria powłoki Rys. zaczerpnięte z [2]
Powłoka - naprężenia uogólnione Teoria powłok cienkich mało wyniosłych Stan naprężenia w powłoce Rys. zaczerpnięte z [2] Siły tarczowe + zginanie (wpływ ścianania poprzecznego pominięty)
Elementy skończone do analizy płyt i powłok Teoria Reissnera-Mindlina powłok umiarkowanie grubych Kąty obrotu są niezależnie aproksymowane Element skończony Ahmada - zdegenerowane continuum Uwzględniony wpływ ścinania poprzecznego Rys. zaczerpnięte z [2]
Nieliniowość geometryczna Równowaga układu zdyskretyzowanego: K u g = F t+ t ext gdzie styczna macierz sztywności: F t int K 0 - macierz sztywności liniowej K = K 0 + K u + K σ K u - macierz sztywności przemieszczeniowej (macierz dyskretnych związków kinematycznych B zależna od przemieszczeń) K σ - macierz sztywności naprężeniowej (zależna od naprężeń uogólnionych)
Teoria umiarkowanie dużych ugięć Karmana [3] Dopuszczamy ugięcie rzędu grubości Odkształcenia powierzchni środkowej ε x = ε L x + ε N x = u x + ( 1 w ) 2 2 x ( ) 2 ε y = ε L y + ε N y = v y + 1 w 2 y γ xy = γxy L + γxy N = u y + v x + w w x y Krzywizny i spaczenie jak w teorii liniowej κ x = κ L x = 2 w x, κ 2 y = κ L y = 2 w y, χ 2 xy = χ L xy = 2 2 w x y Układ dwu równań teorii Karmana płyt o umiarkowanie dużych ugięciach 2 2 F (x, y) + Eh 2 L(w, w) = 0 D m 2 2 w(x, y) L(w, F ) ˆp z = 0 gdzie: F (x, y) - funkcja naprężenia (n x = F,yy, n y = F,xx, n xy = F,xy ) L(a, b) = a,xx b,yy 2a,xy b,xy + a,yy b,xx
Teoria umiarkowanie dużych ugięć Aproksymacja MES Całkowita energia potencjalna (dodatkowa energia stanu tarczowego) Π m = U m + Ũn W m Dyskretyzacja u n = { u(x, y) v(x, y) Nieliniowe związki kinematyczne } = [ Nu 0 N v 0 ] { q n q m } w m = [w(x, y)] = [ 0 N w ] { q n q m } B (6 LSSE) = B L (6 LSSE) + BN (6 LSSE) B L (6 LSSE) = [ B n 0 0 B m ], B N (6 LSSE) = [ 0 B n w 0 0 ]
Teoria umiarkowanie dużych ugięć Aproksymacja MES Macierze dyskretnych związków kinematycznych B n = N u,x N v,y N u,y + N v,x, B m = N w,xx N w,yy 2N w,xy Gradienty ugięcia g = B n w = { w,x } = w,y w,x N w,x w,y N w,y w,x N w,y + w,y N w,x [ ] Nw,x q m = G m q m N w,y
Teoria umiarkowanie dużych ugięć Aproksymacja MES Macierz styczna elementu k e T = ke 0 + ke u + k e σ k e 0 = k e σ = A e k e u = A e A e [ ] B nt D n B n 0 0 B mt D m B m da [ ] 0 B nt D n B n w B nt w D n B n da 0 ] [ da, S n nx n = xy [ 0 0 0 G mt S n G m Wektor sił węzłowych reprezentujących siły wewnętrzne [ ] [ fint e B nt 0 S n = A e B nt w B mt S m n xy ] da n y ]
Płyta kwadratowa Umiarkowanie duże ugięcia y z, w C a a ˆp z Dane: L = L x = L y = 2a = 1.0 m h = 0.002 m E = 200000 MPa, ν = 0.25 x 0.30 0.15 Zależność ugięcia od obciążenia: ˆp z [kpa] MES (nieliniowość geometryczna) rozwiązanie liniowe: ˆpz L4 w C = 0.00406 D 0.001 0.002 0.003 w C [m]