Całki powierzchniowe

Całki powierzchniowe Całki powierzchniowe niezorientowane. Całki powierzchniowe zorientowane. Elementy analizy wektorowej. Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego oraz tokesa. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki powierzchniowe str. 1/68

Płaty powierzchniowe NiechD R 2 będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcja wektorowa dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie r:d R 3. Funkcję taką będziemy zapisywali w postaci r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)], gdzie(u,v) D. v D v R 2 r z r(u, v) R 3 O u u O y x Całki powierzchniowe str. 2/68

Własności płatów powierzchniowych Mówimy, że funkcja wektorowa r jest różnowartościowa na obszarzed, gdy (u 1,v 1 ) (u 2,v 2 ) r(u 1,v 1 ) r(u 2,v 2 ), dla dowolnych(u 1,v 1 ),(u 2,v 2 ) D. Jeżeli funkcjex,y,z są ciągłe na obszarzed, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest ciagła na obszarzed. Jeżeli funkcjex,y,z mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarzed, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest różniczkowalna w sposób ciagły na obszarzed. Całki powierzchniowe str. 3/68

Własności płatów powierzchniowych NiechD będzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa r:d R 3, r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącied. Płatem prostym powierzchniowym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej r ={ r(u,v):(u,v) D}. Zbiór w przestrzeni, taki że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy płatem powierzchniowym. Całki powierzchniowe str. 4/68

z O y x Zbiór jest płatem powierzchniowym Całki powierzchniowe str. 5/68

z O y x Zbiór nie jest płatem powierzchniowym Całki powierzchniowe str. 6/68

Płat powierzchniowy ={ r(u, v):(u, v) D}, gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a funkcja wektorowa r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D, nazywamy płatem gładkim, gdy na obszarzedspełniony jest warunek r u r v 0, gdzie r ] ] u =[ x u, y u, z u oraz r v =[ x v, y v, z v. Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów kawałkami gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim. Całki powierzchniowe str. 7/68

z z O y O y x Płat powierzchniowy gładki x Płat powierzchniowy kawałkami gładki Całki powierzchniowe str. 8/68

Równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych Płaszczyzna przechodząca przez punkt(x 0,y 0,z 0 ) i rozpięta na wektorach a=[x 1,y 1,z 1 ], b=[x 2,y 2,z 2 ] ma przedstawienie parametryczne : gdzieu R,v R. x=x 0 +x 1 u+x 2 v y=y 0 +y 1 u+y 2 v z=z 0 +z 1 u+z 2 v, Całki powierzchniowe str. 9/68

Równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych fera o środkuo(0,0,0) i promieniur ma przedstawienie parametryczne : gdzieu 0,2π,v π 2,π 2. x=r cosu cosv y=r sinu cosv z=r sinv, Całki powierzchniowe str. 10/68

Równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych z=k x 2 +y 2, gdziex 2 +y 2 r 2 Powierzchnia stożka określona równaniem ma przedstawienie parametryczne : x=v cosu y=v sinu z=k v, gdzieu 0,2π,v 0,r. Całki powierzchniowe str. 11/68

Równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych Powierzchnia paraboloidy obrotowej określona równaniem z=k ( x 2 +y 2), gdziex 2 +y 2 r 2 ma przedstawienie parametryczne : gdzieu 0,2π,v 0,r. x=v cosu y=v sinu, z=k v 2 Całki powierzchniowe str. 12/68

Równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych Powierzchnia walcowa określona równaniem x 2 +y 2 =r 2, gdzie0zh ma przedstawienie parametryczne : x=r cosu y=r sinu z=v, gdzieu 0,2π,v 0,H. Całki powierzchniowe str. 13/68

Postacie płatów powierzchniowych Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci: 1.:z=f(x,y),(x,y) D 1, gdzied 1 jest obszarem na płaszczyźniexoy ; 2.:x=g(y,z),(y,z) D 2, gdzied 2 jest obszarem na płaszczyźnieyoz; 3.:y=h(x,z)(x,z) D 3, gdzied 3 jest obszarem na płaszczyźniexoz. Jeżeli funkcjef,g,h mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to płaty powierzchniowe są gładkie. Całki powierzchniowe str. 14/68

Pole płata powierzchniowego Niech={ r(u,v):(u,v) D} będzie gładkim płatem powierzchniowym. Wtedy pole tego płata wyraża się wzorem: = D r u r v dudv. Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiz=f(x,y), gdzie (x,y) D, to jego pole wyraża się wzorem: ) = 1+( f 2 ( ) f 2 + dxdy. x y D Całki powierzchniowe str. 15/68

Pole płata powierzchniowego Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjix=g(y,z), gdzie (y,z) D, to jego pole wyraża się wzorem: ) = 1+( g 2 ( ) g 2 + dydz. y z D Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiy=h(x,z), gdzie (x,z) D, to jego pole wyraża się wzorem: ) = 1+( h 2 ( ) h 2 + dxdz. x z D Całki powierzchniowe str. 16/68

Rozważmy gładki płat powierzchniowy ={ r(u, v):(u, v) D}, gdzie D jest domkniętym obszarem regularnym na płaszczyźnie. O v D u r z O y x Całki powierzchniowe str. 17/68

Oznaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanej: P={ D 1, D 2,..., D n }, podział obszarud na obszary regularne D k (o rozłącznych wnętrzach), gdzie1kn; d k śednica obszaru D k, t.j kres górny odległości punktów zbioru D k, gdzie1kn; δ(p)= max 1kn d k - średnica podziałup; Ξ={(u 1,v 1 ),(u 2,v 2 ),...,(u n,v n)}, gdzie(u k,v k ) D k dla 1kn zbiór punktów pośrednich podziałup k część płata odpowiadajaca obszarowi D k w podanej wyżej parametryzacji; k pole płata k, gdzie1kn; (x k,y k,z k ) punkt płata k odpowiadajacy punktowi(u k,v k ) D k w podanej parametryzacji, gdzie1kn. Całki powierzchniowe str. 18/68

Całka powierzchniowa niezorientowana Niech funkcjaf będzie ograniczona na gładkim płacie. Całkę powierzchniowa niezorientowana z funkcjif po płacie definiujemy wzorem f(x,y,z)d def = lim δ(p) 0 n k=1 f(x k,y k,z k) k, o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziałup obszarudani od sposobu wyboru punktów pośrednichξ. Uwaga: Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcjif po płacie oznaczamy też symbolem: fd. Całki powierzchniowe str. 19/68

Całka powierzchniowa niezorientowana po płacie kawałkami gładkim Niech będzie płatem złożonym z płatów gładkich 1, 2,... m oraz niechf będzie funkcją ograniczoną na płacie. Całkę powierzchniowa niezorientowana z funkcjif po płacie definiujemy wzorem: fd def = 1 fd+ 2 fd+...+ o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. m fd, Całki powierzchniowe str. 20/68

Liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej Jeżeli funkcjef ig są całkowalne na kawałkami gładkim płacie, to i gdziec R. (f+g)d= fd+ (c f)d=c fd, gd Całki powierzchniowe str. 21/68

Zamiana całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójna Jeżeli funkcjaf jest ciągła na płacie gładkim ={ r(u,v):(u,v) D}, gdzie obszard R 2 jest regularny, to f(x,y,z)d= UWAGA: D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) r u r v dudv. Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiz=g(x,y), gdzie (x,y) Doraz funkcjag jest ciągła nad, to wzór na zamianę całek ma postać: f(x,y,z)d= D ( g f(x,y,g(x,y)) 1+ x ) 2 + ( ) 2 g dxdy. y Całki powierzchniowe str. 22/68

Zamiana całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójna UWAGA: Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjix=ĝ(y,z), gdzie (y,z) Doraz funkcjaĝ jest ciągła nad, to wzór na zamianę całek ma postać: f(x,y,z)d= D f(ĝ(y,z),y,z) 1+( ĝ y ) 2 + ( ) 2 ĝ dydz. z Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiy=h(x,z), gdzie (x,z) Doraz funkcjahjest ciągła nad, to wzór na zamianę całek ma postać: f(x,y,z)d= D ( h f(x,h(x,z),z) 1+ x ) 2 + ( ) 2 h dxdz. z Całki powierzchniowe str. 23/68

Zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych Pole płata Pole kawałkami gładkiego płata wyraża się wzorem: = d. Całki powierzchniowe str. 24/68

Zastosowania powierzchniowych niezorientowanych Masa płata Masa płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyraża się wzorem: M= (x, y, z)d. Całki powierzchniowe str. 25/68

Momenty statyczne Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyrażają się wzorami: M xy = M xz = M yz = z (x,y,z)d, y (x,y,z)d, x (x,y,z)d. Całki powierzchniowe str. 26/68

Współrzędne środka masy Współrzędne środka masy płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyrażają się wzorami: x C = M yz M, y C = M xz M, z C = M xy M. Całki powierzchniowe str. 27/68

Momenty bezwładności Momenty bezwładności względem osiox,oy,oz płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyrażają się wzorami: I x = I y = I z = (y 2 +z 2 ) (x,y,z)d, (x 2 +z 2 ) (x,y,z)d, (x 2 +y 2 ) (x,y,z)d. Całki powierzchniowe str. 28/68

Moment bezwładności względem punktuo(0,0,0) Moment bezwładności względem punktuo(0,0,0) płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyraża się wzorem: I O = (x 2 +y 2 +z 2 ) (x,y,z)d. Całki powierzchniowe str. 29/68

Płaty powierzchniowe zorientowane Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono dwie strony: ujemna i dodatnia nazywamy płatem zorientowanym. Powiemy wówczas, że płat został zorientowany od strony nazywanej ujemną do strony nazywanej dodatnia. Zorientowanie płata powoduje ustalenie pewnego kierunku normalnej (od ujemnej do dodatniej strony płata) w każdym jego punkcie. Jeżeli oznacza płat zorientowany, to oznacza płat różniący się od tylko zorientowaniem (orientacją). Płaty i są przeciwnie zorientowane. Dla płatów, które są wykresami funkcji postaciz=f(x,y), x = g(y, z), y = h(x, z) za stronę dodatnią przyjmujemy zwykle górną część takiego płata. Całki powierzchniowe str. 30/68

Płaty powierzchniowe zorientowane Niech płat gładki ma przedstawienie parametryczne = { r(u,v) def =[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]:(u,v) D }. Wtedy wersor normalny n płata w punkcie(x 0,y 0,z 0 ) tego płata, odpowiadającym punktowi(u 0,v 0 ) obszarud, wyraża się wzorem: n=± r u r v r u r v gdzie wektory r u, r v są obliczone w punkcie(u 0,v 0 ). Znak "±" ustala się na podstawie orientacji płata. Przymujemy, że wersor normalny płata zorientowanego jest skierowany od jego strony ujemnej do dodatniej., Całki powierzchniowe str. 31/68

UWAGA: Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiz=f(x,y), gdzie(x,y) D, to wersor normalny n tego płata w punkcie (x 0,y 0,z 0 ), gdziez 0 =f(x 0,y 0 ) wyraża się wzorem: n= 1+ ( f x f x ) 2+ ( f y ) 2, 1+ ( f x f y ) 2+ ( f y ) 2, Wersor normalny n można przedstawić w postaci 1+ ( f x 1 ) 2+ ( f y n =[cos α, cos β, cos γ], gdzie α, β, γ oznaczają kąty między tym wersorem, a dodatnimi częściami odpowiednio osiox,oy,oz. ) 2. Całki powierzchniowe str. 32/68

z n O y z 7 n=[cosα,cosβ,cosγ] O y x x Całki powierzchniowe str. 33/68

Całka powierzchniowa zorientowana Niech F=[P,Q,R] będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym. Całkę powierzchniowa zorientowana z pola wektorowegof po płacie definiujemy wzorem P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy def = ( F(x,y,z) n(x,y,z) ) d= = (P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ)d, gdzie n(x, y, z) =[cos α, cos β, cos γ] oznacza wersor normalny płata zorientowanego wystawiony w punkcie(x,y,z) tego płata. Całki powierzchniowe str. 34/68

Całka powierzchniowa zorientowana UWAGA: W zapisie wektorowym definicja całki powierzchniowej zorientowanej przyjmuje postać: F( r) d def = gdzied def =[dydz, dzdx, dxdy]. ( F( r) n( r) ) d, Całki powierzchniowe str. 35/68

Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowegof po płacie oznaczamy też krótko: Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, a w notacji wektorowej F d. z O F( r) r n( r) y x Całki powierzchniowe str. 36/68

Całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim Niech będzie kawałkami gładkim płatem powierzchniowym zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich 1, 2,..., m, o orientacjach pokrywających się z orientacją płata. Niech F będzie polem wektorowym na płacie. Całkę powierzchniowa z pola wektorowegof po płacie definiujemy wzorem: F d def = 1 F d + 2 F d +...+ o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. m F d, Całki powierzchniowe str. 37/68

UWAGA: Jeżeli jest płatem zorientowanym zamkniętym, to wtedy piszemy: w miejsce. Całki powierzchniowe str. 38/68

O liniowości całki powierzchniowej zorientowanej Jeżeli istnieją całki powierzchniowe zorientowane z pól wektorowychf ig po kawałkami gładkim płacie powierzchniowym zorientowanym, to i Ponadto ( ) F+ G d= F d + G d ( ) c F d=c F d, gdziec R. F d = orientacji przeciwnej do płata. F d, gdzie jest płatem o Całki powierzchniowe str. 39/68

Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójna Jeżeli pole wektorowe F=[P,Q,R] jest ciągłe na gładkim i zorientowanym płacie = { r(u,v) def =[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]:(u,v) D }, gdziedjest obszarem regularnym na płaszczyźnie, to P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= =± D [ P(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) y u z u y v z v +Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) +R(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) znak ±" ustala się na podstawie orientacji płata. x u y u z u x u x v y v ] z v x v dudv. Całki powierzchniowe str. 40/68

Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójna UWAGA: W zapisie wektorowym wzór ma postać: F( r) d =± D F( r(u,v)) ( ) r u r v dudv Całki powierzchniowe str. 41/68

Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójna Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiz=f(x,y), gdzie (x,y) D, oraz pole wektorowe F jest ciągłe na, to P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= D [ ( P(x,y,f(x,y)) f ) x +Q(x,y,f(x,y)) ( f ) y +R(x,y,f(x,y))]dxdy. Całki powierzchniowe str. 42/68

Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójna Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjix=g(y,z), gdzie (x,y) D, oraz pole wektorowe F jest ciągłe na, to P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= D [ ( P(g(y,z),y,z)+Q(g(y,z),y,z)) g y ( +R(g(y,z),y,z) g z ) )] dydz. Całki powierzchniowe str. 43/68

Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójna Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiy=h(x,z), gdzie (x,y) D, oraz pole wektorowe F jest ciągłe na, to P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= D [ ( P(x,h(x,z),z) h ) x +Q(x,h(x,z),z)) +R(x,h(x,z),z) ( h )] z dxdz. Całki powierzchniowe str. 44/68

trumień pola wektorowegof przez powierzchnię zorientowana trumień pola wektorowegof przez powierzchnię zorientowana (ze strony ujemnej na dodatnią, to jest w kierunku wersora n) określamy wzorem: Φ def = F d. Całki powierzchniowe str. 45/68

Elementy analizy wektorowej Jeżeli każdemu punktowim pewnego obszaru przyporządkowana jest określona wartość pewnej skalarnej wielkości fizyczneju=u(m), to mówimy, że w tym obszarze określone jest pole skalarne. Zbiór punktów płaszczyzny, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy liniami równych wartości (poziomicami albo izoliniami) płaskiego pola skalarnego. Zbiór punktów przestrzeni, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy powierzchnia równych wartości (warstwica) przestrzennego pola skalarnego. Całki powierzchniowe str. 46/68

Elementy analizy wektorowej Jeżeli każdemu punktowim pewnego obszaru przyporządkowany jest pewien wektor F(M), to mówimy, że w tym obszarze określone jest pole wektorowe. Linia pola wektorowego jest to krzywa, która w każdym swoim punkcie jest styczna do wektora odpowiadajacego temu punktowi. F M Całki powierzchniowe str. 47/68

Elementy analizy wektorowej Operator Hamiltona (nabla) określany jest wzorem: def = i x + j y + k z. Niech funkcjaf ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarzev R 3. Gradient funkcjif określony jest wzorem: gradf def = f= [ f x, f y, f z ] Całki powierzchniowe str. 48/68

Własności gradientu Niech funkcje wektorowef ig mają gradienty na obszarze V R 3. Wtedy: grad(f+g)=gradf+gradg, grad(af)=agradf, gdziea R, grad(f g)=g gradf+f gradg grad ( f g ) = g gradf f gradg g 2 gradh(f)=h (f) gradf f const gradf 0 df d v =(gradf) v, gdzie v jest wersorem. Całki powierzchniowe str. 49/68

Pole wektorowe potencjalne Pole wektorowe F nazywamy potencjalnym na obszarzev R, jeżeli istnieje funkcjau:v R, taka że F=gradu. Funkcjęunazywamy potencjałem pola wektorowego F. Powierzchnia równopotencjalna nazywamy zbiór wszystkich punktów, dla których potencjał polau(x,y,z) ma stałą wielkość. Całki powierzchniowe str. 50/68

Rotacja (wirowość) pola wektorowego Niech F=[P,Q,R] będzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na obszarzev R 3. Rotację (wirowość) pola wektorowego F określamy wzorem: rot F def = F= x i j k y z P Q R Pole wektorowe o tej własności, że w każdym jego punkcie rotacja jest równa 0 nazywamy polem potencjalnym albo bezwirowym. Całki powierzchniowe str. 51/68

Własności rotacji Niech funkcjaf ma gradient na obszarzev R 3 oraz niech pola wektorowef ig będą różniczkowalne na tym obszarze. Wtedy: rot( F+ G)=rot F+rot G, rot(af)=arot F, gdziea R, rot(ff)=(gradf) F+f rot F. Ponadto dla funkcjiudwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły nav mamy rot(gradu)= 0. Całki powierzchniowe str. 52/68

Dywergencja (rozbieżność) pola wektorowego Niech F=[P,Q,R] będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarzev R 3. Dywergencję (rozbieżność) pola wektorowego F określamy wzorem: div F def = F= P x + Q y + R z. Całki powierzchniowe str. 53/68

Własności dywergencji Niech funkcjaf oraz pola wektorowef ig będą różniczkowalne sposób ciągły na obszarzev R 3. Wtedy: div( F+ G)=div F+div G, div(af)=adiv F, gdziea R, div(ff)=(gradf) F+f div F, div( F G)= G rot F F rot G. Ponadto jeżeli pole wektorowef dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły nav, to div ( rotf ) =0. Całki powierzchniowe str. 54/68

JeżelidivF(M 0 )>0, to punktm 0 nazywamy źródłem, a jeżeli divf(m 0 )<0, to punktm 0 nazywamy upustem (ujściem lub ściekiem). W przypadku gdydivf(m 0 )>0, to w dowolnym nieskończenie małym obszarze otaczającym punktm 0 ciecz jest wytwarzana, a w przypadku gdydivf(m 0 )<0 ciecz znika. Wartość bezwzględna dywergencji charakteryzuje natężenie źródła lub upustu. Pole wektorowe, w którego każdym punkcie dywergencja jest równa zeru nazywamy polem solenoidalnym (lub bezźródłowym). Całki powierzchniowe str. 55/68

u=gradu, F=div F, F=rot F. Operator ymbol Definicja Argument Wynik gradient grad u u skalar wektor dywergencja div F F wektor skalar rotacja rot F F wektor wektor ( F ) =divrot F=0 ( u)=rotgradu=0 2 u= ( u)=divgradu= u, gdzie operator Laplace a ( 2 = ) u(x,y,z)= 2 u u u x 2+ 2 y 2+ 2 z 2 Całki powierzchniowe str. 56/68

Jeżeli jest powierzchnią zamkniętą, to całkę po zewnętrznej stronie powierzchni będziemy oznaczali symbolem +, zaś całkę po wewnętrznej stronie powierzchni będziemy oznaczali symbolem. Całki powierzchniowe str. 57/68

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego Jeżeli jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, to który jest brzegiem obszaru domkniętegov R 3, pole wektorowe F=[P,Q,R] jest różniczkowalne sposób ciągły na obszarzev, + F d = V div FdV. Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór Gaussa-Ostrogradskiego) przyjmuje postać: + Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= V ( ) P x + Q y + R dxdydz. z Całki powierzchniowe str. 58/68

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego + Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= V ( ) P x + Q y + R dxdydz. z z F O V 3 y x Całki powierzchniowe str. 59/68

Twierdzenie tokesa Jeżeli jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem, którego brzegl to jest łukiem kawałkami gładkim skierowanym zgodnie z orientacją płata, pole wektorowe F=(P,Q,R) jest różniczkowalne sposób ciągły na płacie (łącznie z brzegieml), L F d r= ( rot F ) d. Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór tokesa) przyjmuje postać: L Pdx+Qdy+Rdz= ( R ) y Q z dydz+ ( P ) z R x dzdx+ ( Q x P y ) dxdy. Całki powierzchniowe str. 60/68

Wzór tokesa L Pdx+Qdy+Rdz= ( ) R y Q z dydz+ + ( P z R x ( Q x P y ) ) dzdx dxdy. z 3 2 L F 3 O y x Całki powierzchniowe str. 61/68

Wzór Greena jest szczególnym przypadkiem wzoru tokesa. Rzeczywiście, przyjmując, że XOY jest płatem zorientowanym o brzeguloraz, że pole wektorowe F określone na tym płacie ma postać F=[P,Q,0], przy czym funkcjep iq zależą tylko od zmiennychxiy otrzymamy: L P(x,y)dx+Q(x,y)dy= D ( Q x P y ) dxdy. Całki powierzchniowe str. 62/68

Zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych Objętość obszaruv ograniczonego płatem zamkniętym zorientowanym na zewnątrz wyraża się wzorami: V = 1 3 + xdydz+ydzdx+zdxdy= = + zdxdy xdydz= ydzdx + + Całki powierzchniowe str. 63/68

trumień pola wektorowego Ilość cieczy przepływajacej w jednostce czasu przez płat zorientowany (ze strony ujemnej na dodatnia) wyraża się wzorem: Φ= v(x,y,x) d, (1) gdzie v(x, y, z) oznacza prędkość cieczy w punkcie(x, y, z) tego płata. Jeżeli jest powierzchnią zamkniętą, ograniczającą pewien obszarv, a całka (1) jest brana po zewnętrznej stronie powierzchni, to wielkośćφ nazywamy strumieniem wektora v od wewnatrz powierzchni (tj. w kierunku normalnej zewnętrznej do tej powierzchni). Całki powierzchniowe str. 64/68

Całka v(x,y,x) d + jest równa różnicy między ilością cieczy jaka wypłynęła z obszaru V w jednostce czasu a ilością cieczy, jaka w tej samej jednostce czasu wpłynęła do obszaruv. Całki powierzchniowe str. 65/68

Zgodnie ze wzorem tokesa cyrkulacja pola wektorowego i jego rotacja są związane zależnością F d r= ( rot F ) d L oznaczająca, że cyrkulacja wektora po konturze zamkniętyml jest równa strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię, ograniczoną tym konturem. Całki powierzchniowe str. 66/68

Podsumowanie Płaty powierzchniowe. Całki powierzchniowe niezorientowane i ich zastosowania. Całki powierzchniowe zorientowane i ich zastosowania. Elementy analizy wektorowej. Całki powierzchniowe str. 67/68

Dziękuję za uwagę Całki powierzchniowe str. 68/68