Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Wykªad 9: Przestrzenne modele panelowe (9) Ekonometria Przestrzenna 1 / 37

Plan wykªadu 1 Podstawowe poj cia ekonometrii panelowej Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Elementy diagnostyki modeli panelowych 2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne Model panelowy SARAR Estymacja ML 3 Rozbudowa specykacji panelowych modeli przestrzennych Modele statyczne Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki (9) Ekonometria Przestrzenna 2 / 37

Plan prezentacji 1 Podstawowe poj cia ekonometrii panelowej 2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne 3 Rozbudowa specykacji panelowych modeli przestrzennych (9) Ekonometria Przestrzenna 3 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Dane panelowe y t,i : dane indeksowane w dwóch wymiarach czas i obserwowane jednostki t: przestrze«jednowymiarowa o zdeniowanym zwrocie (przeszªo± przyszªo± ) i: jednostki w panelach aprzestrzennych niezale»ne od siebie nawzajem Map powi za«mi dzy jednostkami W mo»emy potencjalnie odnie± do wymiaru przestrzennego panelu, i. Wyró»niamy panele: zbilansowane: dost pne T N obserwacji dla wszystkich zmiennych niezbilansowane: braki w danych (konsekwencje w ekonometrii przestrzennej powa»niejsze) (9) Ekonometria Przestrzenna 4 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (1) obs = 7 5 2 (9) Ekonometria Przestrzenna 5 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (2) obs = 7 5 3 (9) Ekonometria Przestrzenna 6 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (3) obs = 7 5 4 3 (9) Ekonometria Przestrzenna 7 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (4) obs = 7 5 4 3; ρ 1?, ρ 2, a w konsekwencji β 2 (9) Ekonometria Przestrzenna 8 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (5) obs = 5 5 4 3 (9) Ekonometria Przestrzenna 9 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model pooled (klasyczna regresja liniowa) Model pooled: Notacja macierzowa: y = 1 NT 1 y t,i = c + x t,i β + ε i,t ε i,t N ( 0, σ 2) i.i.d. c + X NT 1 1 1 ε MVN β NT KK 1 ( 0, σ 2 I NT NT ) + ε NT 1 (9) Ekonometria Przestrzenna 10 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model z efektami ustalonymi (FE, xed eects) Model FE: Notacja macierzowa: y = NT 1 y t,i = α i + x t,i β + ε i,t ε i,t N ( 0, σ 2) i.i.d. ( 1 T 1 I N N N ε MVN ) µ N 1 + X β NT K ) ( 0, σ 2 I NT NT K 1 + ε NT 1 (9) Ekonometria Przestrzenna 11 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Iloczyn Kroneckera [ 1 1 α = 2 1 3 1 1 ] α 1 α 2 α 3 = 1 α 1 1 α 2 1 α 3 1 α 1 1 α 2 1 α 3 (9) Ekonometria Przestrzenna 12 / 37

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model z efektami losowymi (RE, random eects) Model RE: y t,i = α + x t,i β + u i, u i = α i + ε i,t, α i N ( 0, σ 2 α) i.i.d., ui,t N ( 0, σ 2 u) i.i.d. Notacja macierzowa: y = 1 NT 1 c + X NT 1 1 1 ( µ MVN 0, σµ 2 I N N β NT KK 1 ) ( + 1 T 1 I N, u MVN N N ) µ N 1 ( 0, σ 2 u I NT NT + u NT 1 ) (9) Ekonometria Przestrzenna 13 / 37

Elementy diagnostyki modeli panelowych Wybrane post powania testowe Testy efektów indywidualnych: poolability FE (Walda) wariancji RE (Breuscha-Pagana) Test Hausmana: H 0 : estymator RE zgodny (i wówczas preferowany jako efektywniejszy) H 1 : estymator RE niezgodny (i wówczas preferowany FE mimo ni»szej efektywno±ci) Testy efektów przestrzennych w modelach aprzestrzennych. (9) Ekonometria Przestrzenna 14 / 37

Elementy diagnostyki modeli panelowych Modele specjalne Modele dynamiczne: Arellano-Bonda, Blundella-Bonda, itd. Modele ograniczonej zmiennej zale»nej Modele z kointegracj Dynamiczny rozwój literatury w ostatnich 10 latach Nie s przedmiotem tego wykªadu, ale: Elhorst P., 2014, Spatial Econometrics: From Cross-Sectional Data to Spatial Panels (ch. 4) Oprogramowanie: wi cej w Stata (np. modele niezbilansowane) (9) Ekonometria Przestrzenna 15 / 37

Model panelowy SARAR Model SARAR z efektami indywidualnymi ( ) ρ I T T T W N N y NT 1 + X β NT KK 1 y = NT 1 + (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε }{{} NT 1 ε MVN ( 0, σ 2 εi ) Opcja spatial.error w komendzie R spml: none: λ = 0 (SAR) b: λ 0 kkp: autokorelacja przestrzenna obejmuje równie» efekty indywidualne (Kapoor i in., 2007 nie omawiamy tego przypadku poni»ej, pozostawiam jako wiczenie) [I NT λ (I T W)] 1 [(1 T 1 I N ) µ + ε] Powy»szy przypadek ªatwo uszczegóªowi do modelu SEM (ρ = 0, lag = FALSE). (9) Ekonometria Przestrzenna 17 / 37

Model panelowy SARAR Macierz wag przestrzennych Macierz mno»ników przestrzennych (I T W) ma teraz ukªad blokowo-diagonalny: W W macierz powiązań w 1 okresie W W macierz powiązań w 2 okresie W W macierz powiązań w 3 okresie.... W W macierz powiązań w T okresie Wa»ne! Zakªadamy,»e kolejno± obserwacji w macierzach y i X wg schematu: region 1 okres 1, region 2 okres 1, region 1 okres 2, region 2 okres 2... W spml w R prawie bez znaczenia jak zaimportujemy dane (szczegóªy w kodzie), ale poni»sze wyprowadzenia prawdziwe tylko w takim przypadku. (9) Ekonometria Przestrzenna 18 / 37

Model panelowy SARAR Rodzaje efektów indywidualnych Efekty indywidualne mog równie» dotyczy okresów, a nie tylko regionów (effect: individual, time, twoways). Pod wzgl dem statystycznym, model przestrzenny równie» mo»emy traktowa na dwa sposoby, tak jak aprzestrzenny: FE: L ( y X, β, ρ, λ, σε, 2 µ ) RE: L ( ) ( y X, β, ρ, λ, σε, 2 σµ 2, gdzie µ MVN 0; σ 2 µ I ) (9) Ekonometria Przestrzenna 19 / 37

Estymacja ML Konstrukcja skªadnika losowego Odnotujmy relacj mi dzy postaci strukturaln a zredukowan : gdzie y = [I NT ρ (I T W)] 1 Xβ + [I NT ρ (I T W)] 1 ν ν = ε (FE, SAR) µ traktujemy wtedy jako cz ± X ν = (1 T 1 I N ) µ + ε (RE, SAR) ν = [I NT λ (I T W)] 1 ε (FE, SARAR) µ traktujemy wtedy jako cz ± X ν = (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε (RE, SARAR) Niezale»nie od powy»szego wariantu: ν y = [I 1 NT ρ (I T W)] = I T (I N ρw) I T M ρ (9) Ekonometria Przestrzenna 20 / 37

Estymacja ML Funkcja wiarygodno±ci W przestrzennych modelach panelowych zawsze b dziemy korzystali z ogólnej postaci funkcji wiarygodno±ci obserwacji, której logarytm wyra»a si wzorem: N T ln (2π)+ln 2 ν y ln L ( y X, β, ρ, λ, σε, 2... ) = 1 2 ln Σν 1 2 ν (y X, β, ρ, W,...) Σ 1 ν ν (y X, β, ρ, W,...) N wymiar przestrzenny T wymiar czasowy y, X dane W znana macierz wspóªzale»no±ci przestrzennych ν wektor skªadników losowych Σ ν macierz wariancji-kowariancji ν ν y Jakobian relacji mi dzy postaci strukturaln a zredukowan (pochodna wektora ν po wektorze zmiennej obja±nianej) Uwaga! Przedeniowanie ν wymusza przedeniowanie Σ ν i ν y. (9) Ekonometria Przestrzenna 21 / 37

Estymacja ML Estymacja ML modelu FE-SARAR (1) Skªadnik losowy: ν = [I NT λ (I T W)] 1 ε = I T (I N λw) 1 ε I T M λ ε Jego macierz wariancji-kowariancji (w dalszej cz ±ci prezentacji: T liczba okresów jako liczba lub indeks dolny, transpozycja): ( ) Σ υ = (I T M λ σεi 2 (I T M λ ) = σε 2 (I T M λ ) I T M λ = ( ) ( ) = σε 2 I T I T M λ M λ = σεi 2 T (M ) λ M λ Σ 1 υ = 1 I σε 2 T (M ) 1 λ M λ ln Σ υ = NT ln σε 2 + T ln M λ M λ (9) Ekonometria Przestrzenna 22 / 37

Estymacja ML Estymacja ML modelu FE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L FE = N T ln (2π) + ln 2 ν 1 y 2 ln Σν 1 2 υ Σ 1 ν υ = = N T ln (2π) T ln M 2 ρ N T ln ( ) σ 2 2 ε T 2 M λ M λ + ( 1 2σε 2 υ [I ) ] 1 T M λ M λ υ υ = [I NT ρ (I T W)] y Xβ (1 T 1 I N ) µ Sposób maksymalizacji: 1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego y i,t warto± ȳ i = 1 T ΣT t=1y i,t (i podobnie dla X). 2 Maksymalizacja ln L FE ze wzgl du na ρ, λ, β, σ 2 ε z pomini ciem skªadników (1 T 1 I N ) µ. 3 Wyznaczenie µ jako v i = 1 T ΣT t=1ˆv i,t po takiej estymacji. (9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37

Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (1) Zªo»ony skªadnik losowy: ν = (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε = (1 T 1 I N ) µ + I T (I N λw) 1 ε (1 T 1 I N ) µ + (I T M λ ) ε Jego macierz wariancji-kowariancji (przy zaªo»eniu niezale»no±ci µ i ε): Σ υ = Var ( [(1 T 1 I N ) µ] ( + Var ) [(I T ( M λ ) ε] ) = ( ) = σµ 2 1 T 1 1 T 1 I N I N + σε 2 I T I T M λ M λ = = σε 2 σ µ 2 (1 σε 2 T T I N ) + I T (M ) λ M λ }{{} } φ {{ } Σ υ Σ 1 υ = 1 1 Σ σε 2 υ ln Σ υ = NT ln σε 2 Σ + ln υ (9) Ekonometria Przestrzenna 24 / 37

Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L RE = N T 2 ln (2π) + ln ν 1 ln Σν + y 2 1 2 υ Σ 1 ν υ = = N T N T ln (2π) T ln Mρ 2 2 ln ( σε 2 υ Σ υ (λ, φ) 1 υ 1 2σ 2 ε υ = {[I NT ρ (I T W)] y Xβ} ) 1 2 Σ ln υ (λ, φ) + Sposób maksymalizacji: 1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ (0), ρ (0), φ (0). 2 Na podstawie warunków pierwszego rz du dla lnl oraz ustalonych w poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ 2 v. 3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ 2 v wyznaczamy nowe warto±ci λ, ρ, φ maksymalizuj c ln L RE. 4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci. (9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37

Modele statyczne Panelowe wersje przestrzennych modeli przekrojowych SAR, SEM, SARAR: estymacja jak wy»ej metod najwi kszej wiarygodno±ci SLX: estymacja jak w przypadku aprzestrzennych modeli FE/RE SDM, SDEM: rozbudowa SAR albo SEM o dodatkowy regresor (I T W) X Estymacja model <- spml(formula =..., model =..., effect =, lag =..., spatial.error =...) (9) Ekonometria Przestrzenna 27 / 37

Modele statyczne Testy specykacji w panelowych modelach przestrzennych (1) Baltagi i in., 2003: Test H 0 dodatkowe zaªo»enia bsktest(test =...) LM 1 σµ 2 = 0 ρ = 0 LM1 LM 2 ρ = 0 σµ 2 = 0 LM2 LM H ρ = σµ 2 = 0 LMJOINT LM λ ρ = 0 σµ 2 0 CLMlambda LM µ σµ 2 = 0 ρ ( 1; 1) CLMmu (9) Ekonometria Przestrzenna 28 / 37

Modele statyczne Testy specykacji w panelowych modelach przestrzennych (2) Przestrzenna wersja testu Hausmana (Mutl, Pfaermayr, 2011): sphtest Niezale»nie od wyniku testu, stosowanie modelu RE do danych przestrzennych ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników (Elhorst vs LeSage). Argumenty zwolenników: efektywno± RE i problematyczne asymptotyczne wnioskowania o µ ze wzgl du na N zgodno± (o ile wyka»e j test Hausmana); Argumenty przeciwników: dane przestrzenne obejmuj zwykle kompletn populacj jednostek, a nie próbk losowan z jakej± szerszej populacji / procesu o wariancji σ 2 µ nie okre±lamy schematu potencjalnego losowania z takiej populacji, ale wiemy,»e wpªywaªby on na sie powi za«w nie musimy wnioskowa o µ, a problem z asymptotyk N nie wpªywa na β Lancaster, 2000 (9) Ekonometria Przestrzenna 29 / 37

Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Dynamika w panelowych modelach przestrzennych Uwzgl dnienie wymiaru czasowego zwielokrotniªo liczb potencjalnych specykacji modelu. Mo»liwo± wyst pienia opó¹nie«czasowych komplikuje spraw jeszcze bardziej... (Elhorst, 2001). Poni»szy schemat nie uwzgl dnia nawet»adnych opó¹nie«x. (9) Ekonometria Przestrzenna 30 / 37

Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Podstawowy problem w specykacji dynamicznych paneli Nakªadanie si ró»nych wymiarów oddziaªywa«: czas: y t 1 y t przestrze«: Wy t y t zmienne: x t y t w efekcie: y t x t, y t 1, Wy t, Wy t 1, x t 1, Wx t, Wx t 1,... Wymiar czasowy i przestrzenny nie s niezale»ne, przestrzenne panele nale»y rozpatrywa ª cznie jako czasowo-przestrzenny proces (Cook i in., 2017: Right Place, Right Time badanie Monte Carlo). Konsekwencja: cz ste obci»enia szacowanych parametrów przy zªej specykacji procesu (Elhorst, 2010). (9) Ekonometria Przestrzenna 31 / 37

Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Podstawowe zasady Pomini cie czasowej autoregresji zwykle prowadzi do przeszacowania parametru przestrzennej autoregresji (lub zale»no±ci od WX) Achen (2000). To z kolei do niedoszacowania β (Hays, 2003). Nale»y zachowa szczególn ostro»no± przy próbach wnioskowania od szegóªu do ogóªu (nie mo»na ich wykluczy, gdy» problem sªabej identykowalno±ci parametrów przestrzennych przy bogatej dynamice czasowo-przestrzennej jest jeszcze silniejszy): Minimum: oszacowa przynajmniej dynamiczny model aprzestrzenny i sprawdzi, czy nie zachodzi autokorelacja przestrzenna reszt (Beck i Katz, 2011). Lepiej: rozwa»y ª cznie jedno opó¹nienie przestrzenne i jedno czasowe (testy istotno±ci LR). (9) Ekonometria Przestrzenna 32 / 37

Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Model STADL Uogólnienie: model STADL(p, q, r, P, Q, R) Spatio-Temporal Autoregressive Distributed Lag: Fy t = X tg + Hε t F = }{{} I (φ 1 L +... + φ p L p ) ρ 1 W... ρ P W P }{{}}{{} F T G = (β 0 + L β 1 +... + (L q ) β q W θ 1... ( W Q) ) θq H = ( I δ 1 L... δ r L r λ 1 W... λ R W R) 1 Stacjonarno± przestrzenno-czasowa procesu: uogólnienie poj typowych dla ekonometrii szeregów czasowych i przestrzennej. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego F powinny by poza koªem jednostkowym. (9) Ekonometria Przestrzenna 33 / 37 F S

Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Stacjonarno± przestrzenno-czasowa Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Stacjonarno± czasowa (dla ρ 1 = 0): φ 1 < 1 Stacjonarno± przestrzenna (dla φ 1 = 0): λ MIN < ρ 1 < λ MAX, gdzie λ MAX, λ MIN warto±ci wªasne W o najwy»szym i najni»szym module W najcz stszych przypadkach: normalizacji W wierszami oraz ρ 1 > 0 warunek upraszcza si do: ρ 1 < 1. Stacjonarno± czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008): F T (F S ) 1 < 0 W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ 1 > 0, warunek sprowadza si do: φ 1 + ρ 1 < 1. (9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37

Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Mno»niki przestrzenno-czasowe Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Mno»niki aprzestrzenne: y i krótkookresowy: x i = β 0 y dªugookresowy: i x i = β 0 1 φ 1 Mno»niki przestrzenne: statyczny (φ 1 = 0) / krótkookresowy: y x k = (I ρ 1 W) 1 β 0,k y dªugookresowy: x k = (I φ 1 L ρ 1 W) 1 β 0,k (9) Ekonometria Przestrzenna 35 / 37

Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki A je»eli to W si zmienia? To bardzo prawdopodobne, je»eli posªugujemy si abstrakcyjnym, niegeogracznym kryterium odlegªo±ci. W zasadzie nie stanowi to problemu, bo zamiast (I T W) mo»na zdeniowa : W 1 W 2 W 3... W T Problem pojawia si wówczas, gdy zmiany W maj charakter endogeniczny! (9) Ekonometria Przestrzenna 36 / 37

Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Modele ko-ewolucji sieci Rozwi zanie: modele ko-ewolucji sieci Franzese, Hays, Kachi, 2011. 1 Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracowników korporacji w ci gu T = 24 miesi cy. 2 Fakt jego podj cia od szeregu indywidualnych charakterystyk (X), jak równie» od tego, czy sie naszych najbli»szych znajomych pali (Wy). 3 Sie naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymi sªabn, z innymi si wzmacniaj (W t ). 4 Niewykluczone,»e pracownicy zawieraj bli»sze znajomo±ci z tymi, których spotykaj w palarni (W t = f (y t 1 )). (9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37