WSTĘP DO EKONOMETRII DANYCH PANELOWYCH. Spis treści

Transkrypt

1 WSTĘP DO EKONOMETRII DANYCH PANELOWYCH Spis treści Czym są dane panelowe... 2 Analiza regresji dla danych panelowych Analiza naiwna - pooled estimator Model z efektami stałymi fixed effect (FE Model z efektami losowymi random effect (RE... 9 Testowanie istotności zróżnicowania efektów indywidualnych Model z efektami stałymi Model z efektami losowymi Test Hausmana Modele dwukierunkowe Dynamiczne modele dla danych panelowych Inne modele dla danych panelowych Literatura dla zainteresowanych... 18

2 Czym są dane panelowe Dane panelowe to dane opisujące pewną zbiorowość w więcej niż jednym okresie czasu. Dane panelowe posiadają więc jednocześnie cechy danych przekrojowych (opisujących zbiorowość w pojedynczym momencie i cechy szeregów czasowych (opisujących jednostkę w różnych okresach. Uwaga! Nie każde dane zawierające informacje o pewnej zbiorowości w kolejnych okresach są danymi panelowymi. Obserwowane muszą być te same jednostki, co więcej muszą być one oznaczone pewnym identyfikatorem, tak by możliwe było prześledzenie zachowań każdej jednostki w czasie. Notacja zmiennej w danych panelowych w porównaniu do zmiennej w danych przekrojowych i szeregu czasowym: Dane przekrojowe: y i ; gdzie i=1,...,n Szeregi czasowe - y t ; gdzie t=1,...,t Dane panelowe - y it ; gdzie i=1,...,n; t=1,...,t

3 Rodzaje danych panelowych: mikropanel - dane zebrane z obserwacji pojedynczych jednostek (osób, gospodarstw domowych, przedsiębiorstw, etc. Zebranie danych o charakterze mikropanelu wymaga przeprowadzenia kosztownego badania. makropanel - dane, w których jednostką obserwacji jest pewna zbiorowość (państwo, sektor gospodarki, jednostka samorządowa, etc. Zebranie danych o charakterze makropanelu jest zwykle możliwe na podstawie dostępnych danych statystycznych. Przykłady danych panelowych (spróbuj stwierdzić dla każdego przykładu czy jest to mikro czy makropanel: Duże badania społeczne, w Polsce - Badanie Budżetów Gospodarstw Domowych, EU- SILC Informacje o wskaźnikach makroekonomicznych gospodarek krajowych w kolejnych latach Bazy danych firm ubezpieczeniowych, banków i innych firm o swoich klientach Kartoteka lekarza rodzinnego Baza policji zawierająca dane o punktach karnych kierowców Najważniejsze zastosowania: Badania społeczne Epidemiologia/medycyna Analizy zachowań klientów (ubezpieczenia, banki, etc.

4 Zalety i wady danych panelowych Możliwość zwiększenia zbioru danych - dla przykładu chcąc wykonać analizę dla pewnej zmiennej makroekonomicznej w krajach UE dysponujemy jedynie 28 obserwacjami. Jeśli jednak dla każdego kraju zgromadzimy po kilka obserwacji z kolejnych lat, możemy zwielokrotnić wielkość próby. Śledzenie wielu jednostek w kolejnych okresach może umożliwić identyfikację przyczyn pewnych zjawisk czy śledzenie dynamiki zjawisk na poziomie mikro. Krótszy okres zbierania danych eliminuje (przynajmniej częściowo problemy występujące w analizie szeregu czasowego (niestacjonarność. Możliwość kontrolowania i/lub identyfikacji nieobserwowalnych efektów indywidualnych w modelach regresji. Zbieranie danych mikropanelowych jest zwykle bardzo kosztowne i kłopotliwe (odmowy kontynuacji uczestnictwa w badaniu, trudność z dotarciem do jednostek badania.

5 Analiza regresji dla danych panelowych 1. Analiza naiwna - pooled estimator W modelu pooled dokonujemy regresji na wszystkich dostępnych obserwacjach, tak jakby były danym przekrojowymi Zakłada się brak efektów indywidualnych (homogeniczność zbiorowości po uwzględnieniu różnic w dostępnym wektorze zmiennych obserwowalnych oraz brak zmian analizowanego zjawiska w czasie. Przy takich założeniach można potraktować wszystkie obserwacje jak pochodzące z prostej próby losowej i zastosować KMNK: = + + (1 Zwykle jednak populacja nie jest jednorodna i stosowanie tego typu estymatora prowadzić będzie do nieefektywnych czy nawet obciążonych oszacowań. Problem do przemyślenia: podaj przykład zbioru danych panelowych, możliwej analizy metodą regresji liniowej i występujących efektów indywidualnych. Problem do przemyślenia 2: czym w praktyce różni się efekt indywidualny od zmiennej objasniającej?

6 2. Model z efektami stałymi fixed effect (FE Jeśli przyjmiemy, że jednostki się różnią, co jest rozsądnym założeniem w większości analiz, dobrze będzie możliwość występowania tych różnic zapisać w modelu. Najprostszym założeniem jest występowanie stałych, nieznanych (nieobserwowalnych, ale stałych w czasie różnic pomiędzy jednostkami: = + + (2 gdzie: - jest stałym w czasie efektem indywidualnym dla obserwacji i. O parametrze można myśleć jak o indywidualnym dla każdej jednostki wyrazie wolnym w modelu. Jego interpretacja będzie zależeć od wiedzy ekonomicznej o badanym zjawisku. Oszacowanie zawierać będzie wpływ wszystkich charakterystyk niezawartych w wektorze zmiennych obserwowalnych. Estymacja modelu. Model postaci (2 wygodnie jest zapisać z użyciem zmiennych binarnych (przyjmujących wartości 0 i 1 oznaczonych przez : gdzie: = 0 1 = = + + (3 Estymator z równania (3 można szacować KMNK i nosi on nazwę least squares dummy variables (LSDV. Problem do przemyślenia: dlaczego w modelach (2 i (3 nie ma klasycznego wyrazu wolnego? Dlaczego nie może go być? Problem do przemyślenia 2: ile zmiennych objaśniających występuje w modelu (3? Jakie problemy natury technicznej będzie rodzić duża liczba zmiennych?

7 Transformacja wewnątrzgrupowa W celu uniknięcia konieczności estymowania wartości ustalonych efektów indywidualnych zaproponowano tzw. transformację wewnątrzgrupową. Od obydwu stron równania (2 odejmujemy średnie w czasie wartości odpowiednich zmiennych dla poszczególnych obserwacji: = + + (4 gdzie = dla każdej jednostki, ponieważ zakładaliśmy stałość w czasie efektów indywidualnych. W efekcie otrzymujemy: = ( + (5 Powyższy model nie zawiera efektów indywidualnych w swoim zapisie, nie wymaga ich szacowania (odwracania macierzy wysokiego rzędu, umożliwia jednak kontrolę nad nimi. Parametry modelu (5 można szacować KMNK: (6 $ %& = ( (' ' (' ' (' ' ( Oszacowania uzyskane przy pomocy KMNK parametru (6 są takie same, jak estymator LSDV (por. równanie 3. W efekcie jest to nieobciążony, zgodny i efektywny estymator przy założeniu ustalonych i stałych w czasie efektów indywidualnych oraz: ~++,(0;. 0 /,,,4,, 5(6 = 0 (ścisła egzogeniczność W kolejnym kroku można oszacować efekty indywidualne, w ten sam sposób w jaki szacujemy wartość wyrazu wolnego w modelu KMNK: 7 = $ %& (7

8 Problem do przemyślenia: O ile estymator parametru szacowany KMNK jest zgodny zarówno przy 8 jak i :, to estymator zadany (6 jest zgodny jedynie przy :, a nie przy 8. Wyjaśnij dlaczego?

9 3. Model z efektami losowymi random effect (RE W modelu z efektami losowymi każdej jednostce przypisujemy pewną zmienną losową, której realizacja odpowiada za efekt indywidualny w danym okresie. W modelu z efektami losowymi efekty indywidualne nie są jednakowe w kolejnych okresach. W rezultacie nie traktujemy efektów indywidualnych jak parametrów i nie szacujemy ich wartości. O ile w modelu z efektami stałymi efekty indywidualne mogliśmy interpretować jako indywidualny wyraz wolny, inny dla każdej jednostki, ale stały w czasie, to w modelu z efektem losowym efekty indywidualne możemy interpretować jako indywidualne składniki losowe. Do modelu wprowadzić możemy wyraz wolny: = ; (8 Do modelu (8 wprowadzamy łączny składnik losowy < = +, czyli zmienną losową stanowiącą sumę indywidualnego składnika losowego i białego szumu : = ; + + < (9 Dodatkowo zakłada się, że dla wszystkich jednostek i: ~++,(0;. 0 =,,,,, 6 (niezależność zmiennych objaśniających i efektów indywidualnych,,,,, (niezależność składnika losowego i efektów indywidualnych Problem do przemyślenia: Włączenie do grona zmiennych objaśniających opóźnionych wartości zmiennej objaśnionej prowadziłoby do złamani którego założenia?

10 Zastosowanie KMNK do oszacowania parametrów modelu postaci (9 dałoby nieobciążone i zgodne oszacowania, nie byłyby one jednak efektywne. W modelu tym bowiem może występować autokorelacja składnika losowego:?@<(<,< 4 = 5(< 0(< 4 0 = 5( + ( + 4 = 5( 0 0 =. = Rozwiązaniem jest zastosowanie estymatora uogólnionej metody najmniejszych kwadratów (często zwanym po prostu estymatorem RE: $ A& = B (' ' (' ' + C: (' ' (' ' D E B (' ' ( + C: (' ' ( D (10 gdzie:. / 0 C =. 0 / + :. 0 = Problem do przemyślenia: W jakiej sytuacji estymator RE zadany przez (10 będzie taki sam jak estymator FE zadany przez (6. Dokładne wyznaczenie wartości estymatora (10 nie jest możliwe, gdyż nie są znane wariancje składnika losowego i efektów losowych. W praktyce estymuje się te wartości w pierwszym kroku i podstawia do równania (10.

11 Problem do przemyślenia: Wariancja estymatora dla modelu FE (6 równa jest: E G($ %& =. 0 / HII(' ' (' ' J Natomiast wariancja estymatora RE (10 jest równa: E G($ A& =. 0 / HII(' ' (' ' + C: I(' ' (' ' J gdzie:. / 0 C =. 0 / + :. 0 = Który estymator i w jakich warunkach jest bardziej efektywny?

12 Testowanie istotności zróżnicowania efektów indywidualnych 1. Model z efektami stałymi. Konstrukcja modelu postaci (2 będzie miała sens, o ile efekty indywidualne są różne dla poszczególnych jednostek. Istnieje statystyczny test Walda, który bada istotność zróżnicowania efektów indywidualnych. W teście tym hipoteza zerowa mówi o braku zróżnicowania, a statystyka testowa oparta jest na różnicy współczynników determinacji liniowej w modelach (1 i (2 oszacowanych dla tych samych danych: K : ; = K : ; a statystyka testowa przyjmuje postać: (A N O EA P O /(E (EA N O /(EER (11 i posiada rozkład F-Snedeckora z N-1 i NT-N-K stopniami swobody. Hipotezę zerową będziemy odrzucać, jeśli różnica S 0 0 S będzie stosunkowo wysoko, tj. model z efektami indywidualnymi będzie wyraźnie lepiej dopasowany do danych niż model ze stałym wyrazem wolnym.

13 2. Model z efektami losowymi. W przypadku modelu z efektami losowymi (7 będziemy testować, czy wariancja składnika losowego indywidualnego jest różna od zera. Jeśli wariancja ta byłaby równa zero, to składnik indywidualny nie ma zmienności, jest stały dla wszystkich jednostek i można go zastąpić wyrazem wolnym w modelu. K :. 0 = = 0 K :. 0 = 0 Do testowania hipotez wykorzystamy test Breuscha -Pagana ze statystyką testową postaci: T = U ( <V 0(E 0 0 / <V 1 która ma rozkład chi-kwadrat z jednym stopniem swobody. W (12

14 3. Test Hausmana. Ostatnim z omawianych testów będzie test Hausmana, który może pomóc w odpowiedzi na pytanie który z efektów - stałe czy losowe - występuje w analizowanej zbiorowości. W przypadku spełnienia założenia o niezależności zmiennych obserwowalnych od efektów indywidualnych estymator RE będzie zgodny i nie mniej efektywny (zwykle bardziej niż estymator FE. Przy stosunkowo dużych próbach wyniki szacowania tych dwóch modeli nie powinny się istotnie różnic. Jeśli jednak założenie to nie jest spełnione, to estymator RE nie jest zgodny i będzie dawał inne wyniki niż FE. Hipotezy mają postać: K : Założenie niezależności jest spełnione, obydwa estymatory są nieobciążone, a estymator RE jest bardziej efektywny K : Założenie nie jest spełnione, estymator FE jest nieobciążony zaś RE jest obciążony, lub nastąpił błąd specyfikacji modelu Statystyka testowa zadana jest przez: W = YβZ [\ βz ]\^UV`(βZ [\ V`(βZ ]\ W E YβZ [\ β a ]\^ (13 i posiada rozkład chi-kwadrat z liczbą stopni swobody równą liczbą parametrów szacowanych w obydwu modelach, tj. bez wyrazu wolnego, który nie jest szacowany w modelu FE.

15 Modele dwukierunkowe Dotychczas omawiane modele zakładały stałość w czasie efektów indywidualnych, były to tzw. modele jednokierunkowe (one-way models. Można uogólnić założenia i przyjąć, że efekty mogą różnić się w czasie. Problem do przemyślenia: Podaj przykład danych panelowych, w których efekty indywidualne będą: a. różnić się w czasie w podobny sposób dla wszystkich jednostek b. zmieniać się dla każdej jednostki w indywidualny sposób c. będą występować obydwie wyżej wymienione sytuacje jednocześnie Dopuszczenie zmienności efektów indywidualnych w czasie prowadzi do tzw. modeli dwukierunkowych (two-way models: = + + (14 Powyższy model nie jest identyfikowalny przy założeniu FE, bowiem dla każdej obserwacji zakłada inną wartość parametru, w efekcie występuje więcej parametrów niż obserwacji. Można go zmodyfikować do postaci: = + + b + (15 w której występuje jednakowy w czasie dla każdej jednostki efekt indywidualny oraz wspólny dla jednostek efekt danego okresu. Parametry tego modelu można szacować podobnie jak w przypadku modeli typu FE.

16 Dynamiczne modele dla danych panelowych Do tej pory omówione zostały jedynie modele statyczne, tzn. takie, w których wśród zmiennych objaśniających nie występowały opóźnione wartości zmiennej objaśnianej. Zależność taka nie może być modelowa w ramach modeli FE i RE ze względu na złamanie założenia ścisłej egzogeniczności (FE i egzogeniczności (RE, w efekcie otrzymalibyśmy obciążone oszacowania. Prosty model dynamiczny z jedną zmienną objaśnianą i stałymi w czasie efektami indywidualnymi można zapisać jako: = E + + (16 Najprostszą metodą estymacji jest metoda pierwszych różnic. Od równania (16 odejmujemy stronami równanie dla okresu t-1, tj.: E = E0 + + E (17 Ponieważ zakładamy stałość efektu w czasie efekty indywidualne zostaną wyrugowane z modelu, podobnie jak w przypadku transformacji wewnątrzgrupowej: = E + (18 gdzie = E. Parametry w równaniu (18 można szacować KMNK, następuje jednak utrata jednego okresu obserwacji, co w przypadku danych panelowych prowadzi do utraty N obserwacji, gdzie zwykle N jest duże w porównaniu do N*T. Inne metody estymacji modeli dynamicznych (dla zainteresowanych: metoda zmiennych instrumentalnych (estymator Andersona-Hsiao uogólniona metoda momentów (estymator Arellano-Bonda Metoda Blundella-Bonda

17 Inne modele dla danych panelowych modele dla binarnej zmiennej objaśnianej (regresja logitowa z FE lub RE modele z losowym parametrem (parametr stojący przy zmiennych obserwowalnych różni się dla poszczególnych jednostek = + + (19 model taki wymaga posiadania danych z dużą liczbą okresów T, gdyż w ogólnym przypadku estymowanych jest co najmniej N*M parametrów, gdzie M jest liczbą zmiennych obserwowalnych. Model będzie identyfikowalny, jeśli liczba obserwacji N*T>N*M, czyli T>M.

18 Literatura dla zainteresowanych Edward Greene, Econometric Analysis, nowsze wydanie Marek Gruszczyński (red., Mikreoekonometria, Oficyna Wolters Kluver business, 2012 Marek Gruszczyński, Damian Przekop (red., Zbiór zadań z mikreoekonometrii, Oficyna Wolters Kluver business, 2014 Hsiao, C.; Lahiri, K.; Lee, L. et al., (red., Analysis of Panels and Limited Dependent Variable Models. Cambridge: Cambridge University Press, 1999