Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3

Podobne dokumenty
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

Matematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.

Ciagi liczbowe wykład 4

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Ciągi liczbowe wykład 3

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Ciągi liczbowe. - oznacza, że a(1) = a 1, a(2) = a 2, a(n) = a n a 1, a 2, a 3, a 4,... a n a(n) a n

Imię i nazwisko... suma punktów... ocena... Grupa 1

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel

Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5.

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

CIĄGI wiadomości podstawowe

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

(a b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I

(x 1), 3 log 8. b) Oblicz, ile boków ma wielokat wypukły, w którym liczba przekatnych jest pięć razy większa od liczby boków.

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019

Rozkład materiału nauczania

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

WYMAGANIA EDUKACYJNE. rok szkolny 2018/2019

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Ciągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka

Funkcje elementarne. Matematyka 1

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Program kursu. Czas trwania: 12 dni od do (po 5 godzin lekcyjnych z sobotami włącznie w godzinach od 9.00 do 14.

Granice ciągów liczbowych

Skrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II

Rozkład materiału nauczania

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY)

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

Matematyka podstawowa V. Ciągi

WZÓR OGÓLNY CIĄGU GEOMETRYCZNEGO

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Transkrypt:

Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3

Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym razem N = {1, 2, }. Będziemy stosować oznaczenie (a n ), co oznacza {a n : n N}.

Wykres ciągu liczbowego a n = ( 1) n ma następujący wykres: 1.0 0.5 5 10 15 20 0.5 1.0

Różne sposoby przedstawiania ciągu wzór jawny a n = 5 + 4(n 1) ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 5 i różnicy 4 a n = a 1 + r(n 1) ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a 1 i różnicy r a n = 3 2 n 1 ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 3 i ilorazie 2 a n = a 1 q n 1 ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q a n = 2 n n 2

Różne sposoby przedstawiania ciągu wzór rekurencyjny a 1 = 5, a n+1 = a n + 4 dla n 1 a 1 = 3, a n+1 = 2 a n dla n 1 a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2 dla n 3 (ciąg Fibonacciego)

Różne sposoby przedstawiania ciągu opisowo a n przybliżenie z niedomiarem do n-tego miejsca po przecinku liczby 2; a 1 = 1,4, a 2 = 1,41, a n n-ta z kolei liczba pierwsza, a 1 = 2, a 2 = 3,

Własności ciągów ograniczoność Ciąg (a n ) nazywamy ograniczonym, jeśli istnieją takie liczby m oraz M, że m a n M dla dowolnego n N. Na przykład ciąg a n = sin n jest ograniczony ( 1 sin n 1), a ciąg b n = 2 n nie jest ograniczony.

Własności ciągów monotoniczność Ciąg (a n ) nazywamy rosnącym (malejącym), jeśli dla dowolnego n N zachodzi nierówność a n+1 a n (a n+1 a n ). Na przykład ciąg a n = 2 n jest rosnący, ciąg b n = ( 1 2 )n jest malejący, a ciąg c n = ( 1) n nie jest ani rosnący ani malejący.

Jak sprawdzić, czy ciąg jest monotoniczny (rosnący lub malejący)? Przykład : a n = Trzy metody: n n+1

Granice ciągów 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 a n = 1 n

Definicja Ciąg (a n ) jest zbieżny do liczby rzeczywistej a wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 N ε n>n ε a n a < ε Zbieżność ciągu (a n ) do liczby a zapisujemy: lim n a n = a. Inne spojrzenie na definicję: a n a < ε ε < a n a < ε a ε < a n < a + ε

Twierdzenie 1 Jeśli ciągi (a n ) oraz b n mają granice właściwe, to: lim n a n ± b n = lim n a n ± lim n b n lim n a n b n = lim n a n lim n b n lim n a n /b n = lim n a n /lim n b n, lim n b n 0

Twierdzenie 2 (o trzech ciągach) Jeśli dla każdego n n 0 zachodzą nierówności a n b n c n oraz lim n a n = lim n c n = g, to lim n b n = g. Dowód Przykład: lim n n 2 n + 3 n = 3

Twierdzenie 3 Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.

Definicja liczby e a n = (1 + 1 n )n lim n a n = e ograniczoność ciągu (a n ): 1 a n 3 monotoniczność ciągu (a n ): a n+1 a n > 1

Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Ćwiczenia 3

Sprawdzian nr 1 1. Naszkicuj wykres funkcji: A. f x = ( 1 2 )x 1 B. f x = log 2 4x 2. Oblicz wartości: A. log 2 sin( π 6 ), log 2 cos(π 4 ) B. arctg 3/3, arcctg 1, arcsin 1

Ciąg arytmetyczny Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego, w którym a 2 = 5, a 9 = 26. Uzasadnij, że w ciągu arytmetycznym dowolny wyraz, począwszy od drugiego, jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.

Ciąg geometryczny Znajdź wzór ogólny ciągu geometrycznego, w którym a 2 = 10, a 4 = 250. Uzasadnij, że w ciągu geometrycznym o wyrazach nieujemnych dowolny wyraz, począwszy od drugiego, jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Wyraz ogólny ciągu Znajdź wyraz ogólny ciągu: 1, 1/2, 1/4, -1, 1, -1, 1, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,

Zastosowanie funkcji wykładniczej Czas połowicznego rozpadu, okres połowicznego rozpadu (zaniku) czas, w ciągu którego liczba nietrwałych obiektów lub stanów zmniejsza się o połowę. Zadanie Okres połowicznego rozkładu dla pewnej radioaktywnej substancji wynosi 20 dni. Początkowa masa tej substancji wynosi 5 g. Po jakim czasie pozostanie 1 g tej substancji? Odp. Około 46 dni i 10 godzin.

Ograniczoność ciągu Sprawdź, czy następujące ciągi są ograniczone: a n = 1 ( 1 2 )n b n = n+2 n c n = 2n+1 n

Monotoniczność ciągu Sprawdź, czy następujące ciągi są monotoniczne: a n = 1 ( 1 2 )n b n = n+2 n c n = 2n+1 n

Przykłady Podaj przykład ciągu: ograniczonego i monotonicznego nieograniczonego i monotonicznego ograniczonego i niemonotonicznego nieograniczonego i niemonotonicznego

Ciąg rekurencyjny Oblicz 6-ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie: a 1 = 2, a n+1 = a n 2 + 1.

Zadanie domowe Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego, w którym a 3 = 4, a 9 = 34. Oblicz sumę pierwszych 50 wyrazów tego ciągu. Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu wyraża się wzorem S n = n2 +7n. Uzasadnij, że ciąg 2 ten jest arytmetyczny. (zadanie dla chętnych ) Zbadaj ograniczoność i monotoniczność ciągu a n = n 2 + 3n + 2. Podaj przykład ciągu, który jednocześnie jest geometryczny i arytmetyczny. Zadanie ze slajdu nr 25.