ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY)

Transkrypt

1 ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) wersja robocza Edukacja Karol Suchoń Korepetycje, zajęcia, przygotowanie do egzaminu kontakt: kontakt@karolsuchon.pl Skrypt jest przeznaczony do użytku wewnętrznego i zewnętrznego. Skrypt jest bezpłatny, kopiowanie i rozpowszechnianie jest dozwolone. Kraków 2018

2

3 Spis treści 1. Podstawowe równania i nierówności 4 2. Wartość bezwzględna - równania, nierówności, wykresy 7 3. Dowody algebraiczne 9 4. Funkcja kwadratowa Wielomiany Funkcje wymierne Funkcja wykładnicza Logarytmy Trygonometria Ciągi Planimetria Dowody planimetryczne Geometria analityczna Stereometria Analiza matematyczna i zadania optymalizacyjne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Dodatkowe zadania - przypomnienie i uzupełnienie Odpowiedzi do zadań 51 3

4 1. Podstawowe równania i nierówności Do matury rozszerzonej niezbędne jest biegłe rozwiązywanie wszelkiego rodzaju równań (liniowe, kwadratowe, wielomianowe, wymierne, z wartością bezwzględną). Konieczna jest zatem sprawność w rachunku algebraicznym (w tym wyciąganie wspólnego czynnika poza nawias) oraz bezbłędne posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia, rozkład na czynniki z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia oraz grupowania wyrazów, a także zastosowanie wyróżnika trójmianu kwadratowego (delty) oraz schematu Hornera w rozkładzie wielomianów na czynniki. Dopuszcza się oczywiście rozkładanie w pamięci tzn. bez użycia wyróżnika czy schematu Hornera Równania i nierówności liniowe. Rozwiąż następujące równania i nierówności: (1) (x 2) 2 (x + 1) 2 = 3x, (2) x x+5 6 = x+1 2, (3) (x + 3) 2 (x 5)(x + 5) = 0, (4) x 3x 1 2 = 4 1 2, (5) (x + 1) 2 + (x 1) 2 = 2(x ), (6) 3(x + 2) (3x 2) > 2( x 2 + 3), (7) x x 5 (3 + x), (8) x x (9) (x + 1) 3 < x 2 (x + 3) (10) (x 2) 3 > x(x 2)(x + 2) 6x Równania i nierówności kwadratowe. Rozwiąż równania i nierówności: (11) (x 3)(x + 2) = 0 (12) x(x 3) = 0 (13) x 2 6 = 0 (14) x = 0 (15) x 2 + 4x = 0 (16) x 2 x = 0 (17) x 2 + 2x + 3 = 0 (18) 2x 2 + 5x + 3 = 0 (19) x 2 2x 2 = 0 (20) 3x 2 = 5x + 2 (21) x 2 + 4x + 4 = 0 (22) x 2 + 5x 6 = 0 (23) x 2 0 (24) x (25) x > 0 (26) x < 0 (27) x 2 8x < 0 (28) (x 3)(x + 5) 0 (29) (x + 2)(x 4) < 0 (30) (x + 3)(2 x) 0 (31) (x 1)(3 x) > 0 (32) (4 x)(1 x) > 0 (33) x 2 + x 2 < 0 4

5 (34) x 2 + 8x 15 0 (35) x 2 4x 3 0 (36) (x + 3)(x 2) 0 (37) x (38) x 2 > 9 (39) x 2 + 3x + 6 < 0 (40) x 2 + x 4 < 0 (41) x x (42) x 2 + 8x 16 < Równania i nierówności wielomianowe. Rozwiąż równania i nierówności: (43) (x 3)(2x + 4)(x 4) = 0 (44) (x 2 9)(x ) = 0 (45) x 3 5 = 0 (46) x 3 = 64 (47) x 3 = 7 (48) x = 0 (49) x 3 + 6x x + 8 = 0 (50) x 3 3x 2 + 3x 1 = 0 (51) x 3 30x x 1000 = 0 (52) x 3 x = 0 (53) x 3 + x = 0 (54) x 3 + x 2 = 0 (55) x 3 + 3x 2 + 2x = 0 (56) 2x 3 + 3x 2 5x = 0 (57) x 3 5x 2 4x + 20 = 0 (58) 2x 3 + x 2 + 2x + 1 = 0 (59) x 3 4x 2 9x + 36 = 0 (60) x 3 + 2x 2 25x 50 = 0 (61) x 3 + 3x 2 + 5x + 15 = 0 (62) x 3 + 4x 2 2x 8 = 0 (63) x = x 2 + 4x (64) x 3 + x 2 + x 3 = 0 (65) x 3 4x 15 = 0 (66) 2x 3 + 3x 2 5x 6 = 0 (67) x 3 + 4x 2 22x + 20 = 0 (68) x 4 5x = 0 (69) x 6 + 7x 3 8 = 0 (70) x 4 2x 2 15 = 0 (71) x 4 + 3x = 0 (72) (x 1)(x 3)(x 5) > 0 (73) (x + 3)(x 2 4)(x 1) 2 0 (74) (x + 1) 3 (x 3) 2 (x + 5) 0 (75) x 2 (x 1) 2 (x 2 1) < 0 (76) x 3 > 1 (77) x 4 x 2 0 (78) x 4 + x 3 8x 8 > 0 (79) x 3 3x 2 + 3x 1 0 5

6 (80) x 3 + x 2 + 5x + 5 < 0 (81) x 3 2x 2 4x (82) x 4 5x > 0 (83) x 3 9x (84) x 4 + 6x 3 x 2 6x < 0 (85) x 4 2x 3 27x Równania i nierówności wymierne. Rozwiąż równania i nierówności: 1 (86) = 4x 5 x 2 3x 2 (87) 2x = x x 2 1 x+1 x 1 (88) x x+1 = 10 x+1 x (89) x 3 0 x 6 (90) x 3 > 4 x 6 (91) x(x+1)(x+2) 0 1 x 2 4 (92) + 2x 2 1 x 2 2x x 2 4 6

7 2. Wartość bezwzględna - równania, nierówności, wykresy 2.1. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiąż równania i nierówności: (93) x = 5 (94) x + 1 = 0 (95) x 3 = 2 (96) 2x 5 = 11 (97) x < 3 (98) x 4 (99) x < 0 (100) x 3 (101) x (102) x (103) x 4 > 2 (104) x x + 49 < 2 (105) x 2 10x (106) x (107) x + 1 > 2 (108) x 2 0 (109) x + 7 > 0 (110) 2x (111) 3x 1 < 5 (112) x 3 = 2x 9 (113) x = 2 (114) x 4 = 2 (115) x 3 2 = 5 (116) x 3 + x + 1 = 4 (117) x + 2x 4 x + 5 = 3 (118) x + 3 = 2x 6 (119) x 2 = x + 2x (120) x 2 2 x (121) x + 3 x 1 3 < 4 (122) x 3 4 > 2 (123) 2 3 x < 1 (124) x + 3 4x (125) 2x + 1 > x 1 (126) 5 x < x + 1 (127) x x + 1 < 3 (128) 3x 6 4 x + 5 > 2x 5 (129) 3 x 4 4x + 8 > 4 3x (130) x 4 + 2x 4 + 4x 4 9 (131) 6 2x Wartość bezwzględna - pozostałe zadania. Naszkicuj wykres funkcji oraz zbadaj liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m: (132) f(x) = x 1 2 (133) f(x) = x 1 x 2 + x 3 7

8 5 x dla x < 0 (134) f(x) = 2x 6 dla x 0 (135) Dla jakich wartości m równanie x 2 + 2x+4 = m ma dwa ujemne rozwiązania? (136) Dla jakich wartości m równanie x 2 = m 2 3m 2 ma dwa pierwiastki różnych znaków? Rozwiąż układy równań: x + 2y = 3 (137) x 2y = 1 x + y = 3 (138) x 3 y = 7 x y = 3 (139) x + y = 13 8

9 3. Dowody algebraiczne 3.1. Dowodzenie równości. (140) Mając dane a + b = 6 oraz ab = 4, oblicz wartości wyrażeń: a 2 + b 2, a 3 + b 3, a 4 + b 4, 1 + 1, a b a2 b + ab 2, (a b) 2, a b. (141) Udowodnij, że jeśli a + b = 10 oraz a 2 b 2 = 70, to a b = 7. (142) Dane jest a b = 8 oraz a 2 b 2 = 200. Wykaż, że a + b = 25. (143) Dane jest ab = 3 oraz a + b = 2. Wykaż, że a 3 + b 3 = 26 (144) Dane jest ab = 3 oraz a b = 2. Wykaż, że a 2 + b 2 = 8 (145) Wiedząc, że a + b = 6 oraz a 3 b + ab 3 = 154 oblicz wartość wyrażenia ab. (146) Wiedząc, że a 3 + b 3 = 91 oraz ab = 12 wykaż, że a + b = 7 (147) Udowodnij, że liczba (148) Wykaż, że liczba jest całkowita jest całkowita. (149) Udowodnij, że liczba jest całkowita. (150) Wykaż, że jeżeli (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2, to ad = bc. (151) Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a 2 + b 2 = 7, to a 4 + b 4 = 31 (152) Wykaż, że jeżeli różne od zera liczby a, b, c spełniają zależności a b, b c i 1 c a to zachodzi równość = 1 a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) abc (153) Udowodnij, że jeżeli a b oraz a 2 + a = b 2 + b, to a + b = 1 (154) Uzasadnij, że jeśli liczby x i y są różne od zera oraz 1 1 = x y, to x = y lub x y xy = 1. (155) Mając dane k + 1 = 5 oblicz k k2 + 1 oraz k k 2 k 3 (156) Wiedząc, że a > 0 oraz a = 34, oblicz a + 1. a 2 a 3.2. Dowodzenie nierówności. (157) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x 2 + y 2 2xy. (158) Wykaż, że jeżeli x jest liczbą ujemną, to liczba x + 1 jest nie większa niż -2. x (159) Uzasadnij, że kwadrat sumy dwóch dowolnych liczb rzeczywistych jest nie mniejszy niż czterokrotność ich iloczynu. (160) Udowodnij, że jeżeli liczby a i b są tego samego znaku, to zachodzi nierówność a + b 2. b a (161) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y ( ) 2 x+y zachodzi nierówność 2 x 2 +y 2. 2 (162) Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b zachodzi nierówność a 4 + b 4 a 3 b + ab 3. (163) Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b zachodzi nierówność a + b a 2 + b 2. b a (164) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y zachodzi nierówność 4x 2 + 8xy + 5y 2 0. (165) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y zachodzi nierówność x y xy + 2y. (166) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność x 4 2x 3 + 2x 2 10x (167) Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej m i dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność 0, 5x 2 + 3(m + 1)x + 2m 2 + 3m + 4 > 0. 9

10 (168) Wykaż, że nierówność x 4 5x 2 2x + 10 > 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x. (169) Wykaż, że dla różnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y zachodzi nierówność x 3 + y 3 > xy(x + y). (170) Wykaż, że jeżeli a > b > c > 0, to a+b+c 3 < a+b 2. (171) Wykaż, że jeżeli a + b 0, to (a b)(a 2 b 2 ) 0. (172) Wykaż, że jeśli a > b, to a 3 + a 2 b b 3 + b 2 a. (173) Udowodnij, że dla każdych nieujemych liczb a i b zachodzi nierówność a a + b b ab( a + b). (174) Wykaż, że jeżeli a < 1 i b < 1, to ab + 1 > a + b. (175) Wykaż, że jeśli a > 1 oraz b > 1 oraz a > b, to a 2 2a > b 2 2b. (176) Udowodnij, że jeżeli liczby a i b są nieujemne, to zachodzi nierówność 4a 3 + b 3 3ab 2. (177) Udowodnij, że dla dowolnych liczb a, b i c zachodzi nierówność a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc. (178) Udowodnij, że dla dowolnych liczb a i b zachodzi nierówność a 2 +b 2 2(a+b 1). (179) Udowodnij, że dla dowolnych liczb a i b zachodzi nierówność a 2 +b 2 +1 a+b+ab. x (180) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x 4 2 (181) Dodatnie liczby a i b oraz większa od 1 liczba c spełniają warunek (a + b c) 2 = a 2 + b 2 + c 2. Udowodnij, że ab > a + b. (182) Udowodnij, że dla dowolnych liczb a, b i c zachodzi nierówność a 2 + b 2 + c (a + b + c). (183) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b i c zachodzi nierówność a 3 + b 3 + c (a + b + c). a b c (184) Udowodnij, że dla dowolnych liczb a, b i c zachodzi nierówność a 2 +4b 2 +3c a + 12b + 6c. (185) Udowodnij, że jeżeli m > 1 i m 0, to m m 2 ( (186) Wykaż, że jeśli a > 0, b > 0 i c > 0, to (a + b + c) 1 a + 1 b + 1 c ) 9. (187) Udowodnij, że gdy a + b = 4, to a 2 + b 2 8. (188) Udowodnij, że gdy a + b = 4, to ab 4. (189) Uzasadnij, że jeśli xy > 10, to (x + y) 2 > 20 (190) Wykaż, że jeżeli liczby a i b są dodatnie oraz ab = 49, to (a + 1)(b + 1) 64 (191) Udowodnij, że gdy a 2 + b 2 = 8 oraz a, b 0, to ab 4. (192) Udowodnij, że gdy a 2 + b 2 = 8 oraz a, b 0, to a + b 4. (193) Udowodnij, że gdy ab = 4 oraz a, b 0, to a + b 4. (194) Wykaż, że jeżeli a > b, to 4a 3 3ab 2 + b 3. (195) Wykaż, że jeżeli x + y > 0, to 9x 3 + 3x 2 y 5xy 2 + y 3 0. (196) Udowodnij, że jeżeli x y, to prawdziwa jest nierówność 1 x+x 2 +y xy+y 2 > 0 (197) Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 20x 2 24mx + 18m 2 4x + 12m Dowodzenie podzielności. (198) Wykaż, że (199) Wykaż, że (200) Wykaż, że jeżeli n N, to 25 3 n+3 3 n n (201) Wykaż, że (202) Wykaż, że

11 (203) Udowodnij, że liczba jest podzielna przez (204) Wykaż, że jeśli n jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż 2, to liczba 3 n+2 3 n+1 +3 n jest wielokrotnością liczby 63. (205) Wykaż, że suma każdych trzech kolejnych potęg liczby 3 jest podzielna przez 13. (206) Udowodnij, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. (207) Udowodnij, że jeżeli suma dwóch liczb naturalnych jest parzysta, to ich różnica także jest parzysta. (208) Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest liczbą podzielną przez 3. (209) Wykaż, że jeżeli liczba n nie jest podzielna przez 3, to liczba n 2 1 jest podzielna przez 3. (210) Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8. (211) Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9. (212) Udowodnij, że jeżeli suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą, to ich iloczyn jest liczbą parzystą. (213) Dane są trzy kolejne liczby naturalne, z których pierwsza jest parzysta. Wykaż, że iloczyn tych liczb jest podzielny przez 24. (214) Udowodnij, że jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to liczba n 2 1 jest wielokrotnością liczby 8. (215) Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych z dzielenia przez 3 daje resztę 2. (216) Udowodnij, że różnica kwadratów liczb niedzielących się przez 3 jest podzielna przez 3. (217) Udowodnij, że różnica czwartych potęg dwóch liczb, z których pierwsza przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, a druga 2, jest podzielna przez 5. (218) Udowodnij, że jeśli liczba m przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, to jej sześcian pomniejszony o 1 jest liczbą podzielną przez 7. (219) Udowodnij, że dla dowolnych liczb całkowitych a i b liczba a 2 b+ab 2 jest parzysta. (220) Udowodnij, że dla dowolnych liczb całkowitych a i b liczba ab(a + b)(a b) jest podzielna przez 3. (221) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n(n + 1)(2n + 1) jest podzielna przez 6. (222) Wykaż, że jeśli n N, to 30 n 5 n (223) Wykaż, że jeżeli n jest liczbą całkowitą, to liczba n 3 19n jest podzielna przez 6. (224) Wykaż, że jeżeli n jest parzysta, to liczba n 4 4n 3 4n n jest podzielna przez 384. (225) Wykaż, że jeżeli liczba n jest podzielna przez 3, to liczba n 4 + 6n 3 + 9n 2 jest podzielna przez 324. (226) Wykaż że dla każdej liczby naturalnej n liczba (n 3 n)(n 2 4) jest podzielna przez 60. (227) Wykaż że dla każdej liczby naturalnej n liczba 16n 3 4n jest podzielna przez 12. (228) Wykaż że dla każdej liczby nieparzystej n liczba n 3 + 3n 2 n 3 jest podzielna przez

12 (229) Udowodnij, że jeżeli n jest liczbą parzystą, to liczba n 3 + 6n 2 + 8n jest podzielna przez 48. (230) Wykaż, że jeżeli n jest liczbą parzystą to liczba n 4 +4n 3 +4n 2 jest liczbą podzielną przez 64. (231) Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n + n2 + n3 jest całkowita (232) Wykaż, że jeżeli liczba n nie jest podzielna ani przez 2, ani przez 3, to liczba n 2 1 jest podzielna przez 24. (233) Wykaż, że jeśli k jest liczbą całkowitą, to liczba 2k3 +3k 2 +k 6 także jest całkowita. (234) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba (n 4 + 3n n + 14)(n 4 + 3n n + 20) + 9 jest kwadratem liczby naturalnej. (235) *Wykaż, że iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych powiększony o 1 jest kwadratem liczby całkowitej. 12

13 4. Funkcja kwadratowa 4.1. Własności funkcji kwadratowej. (236) Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne (3, 2), a punkt A(1, 2) należy do wykresu tej funkcji. (237) Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że liczba 4 jest jedynym miejscem zerowym tej funkcji, a wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o rzędnej 4. (238) Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są 3 i 1, a wykres zawiera punkt (2, 10) (239) Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta x = 4 jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty (3, 1) oraz (6, 2) należą do wykresu tej funkcji. (240) Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział 6, + ), współczynnik przy x 2 jest jednym z rozwiązań równania x 1 = 2, a średnia arytmetyczna pierwiastków tej funkcji wynosi 4. (241) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = x 2 4 2x i określ liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m. (242) Wyznacz takie wartości współczynnika c, aby wykres funkcji f(x) = x 2 + 2x + c przecinał oś OX w dwóch punktach. (243) Wyznacz takie wartości współczynnika c, dla których najmniejsza wartość funkcji f(x) = x 2 + 2x + c wynosi 3. (244) Wyznacz takie wartości współczynnika c, aby wierzchołek paraboli f(x) = x 2 + 2x + c należał do paraboli o równaniu y = 2x 2 7x + 1. (245) Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = (3m 5)x 2 (2m 1)x + 0, 25(3m 5). Wyznacz te wartości parametru m, dla których najmniejsza wartość funkcji f jest liczbą dodatnią. (246) Znajdź wszystkie wartości m, dla których funkcja f(x) = (m 2 1)x 2 +2(m 1)x+ 2 przyjmuje tylko wartości dodatnie. (247) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których funkcja f(x) = (m 2 1)x 2 2mx + 4m + 5 jest rosnąca w przedziale (, 1) i malejąca w przedziale (1, + ). (248) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja f(x) = (x a)(x b)+ (x b)(x c) + (x c)(x a) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. (249) Określ liczbę pierwiastków równania (k 2 1)x 2 (k + 1)x 0, 5 = 0 w zależności od parametru k. (250) Dla jakich wartości m nierówność x 2 2mx+m > 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste x? (251) Wyznacz te wartości m, dla których nierówność mx 2 mx + m + 1 > 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste x. (252) Wyznacz te wartości m, dla których nierówność (m 1)x 2 2x + m jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste x. (253) Wyznacz takie wartości m, dla których dziedziną funkcji f(x) = mx 2 + (m 1)x + 1 m jest zbiór liczb rzeczywistych. (254) Wyznacz takie wartości m, dla których wykres funkcji f(x) = 2x 2 (2 m)x + (m + 4) ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi Zadania z wykorzystaniem wzorów Viéte a. (255) Wyznacz takie wartości m, dla których równanie x 2 + 2mx + m 2 m = 0 ma dwa różne rozwiązania, których iloczyn wynosi 2. 13

14 (256) Wyznacz takie wartości m, dla których równanie x 2 + 2mx + m 2 m = 0 ma dwa różne rozwiązania tego samego znaku. (257) Wyznacz takie wartości m, dla których równanie mx 2 + (m + 5)x + m + 8 = 0 ma dwa różne rozwiązania tego samego znaku. (258) Dla jakich wartości parametru m równanie 3x 2 mx + m 3 = 0 ma dwa różne dodatnie pierwiastki? (259) Dla jakich wartości m funkcja f(x) = x 2 + (m + 3)x + m ma dwa ujemne miejsca zerowe? (260) Wyznacz te wartości m, dla których różne pierwiastki równania x 2 2x + m = 0 spełniają warunek x x 2 2 < 8. (261) Dane jest równanie x 2 (m 4)x + m 2 7m + 12 = 0 z niewiadomą x. Wyznacz te wartości parametru m, dla których iloczyn różnych pierwiastków danego równania jest równy połowie sumy tych pierwiastków. (262) Dla jakich wartości parametru m równanie x 2 mx + m 2 2m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest o 1 większa od ich iloczynu? (263) Dla jakich wartości parametru a równanie 2ax 2 (a + 2)x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma jest liczbą z przedziału 1, 1? (264) Dane jest równanie (2m+1)x 2 (m+3)x+2m+1 = 0 z niewiadomą x. Wyznacz te wartości parametru m, dla których suma odwrotności różnych pierwiastków tego równania jest większa od 1. (265) Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x 2 + 3x m 2 = 0 ma m 3 dwa pierwiastki, których suma sześcianów jest równa -9. (266) Dla jakich wartości k równanie x 2 2x k 5 ma takie dwa pierwiastki jednakowych znaków, których suma kwadratów jest nie mniejsza od 3. k+3 (267) Równanie 2x 2 + bx + 5 = 0 ma dwa dodatnie pierwiastki. Kwadrat różnicy pierwiastków tego równania jest równy 6. Wyznacz wartość współczynnika b. (268) Wyznacz te wartości m, dla których równanie x 2 + mx + m = 0 ma dwa różne pierwiastki x 1, x 2 spełniające warunek x 2 1x 2 + x 1 x 2 2 = 9. (269) Dla jakich wartości m równanie (m + 1)x 2 (6m 2)x + m + 1 = 0 ma 2 różne rozwiązania x 1, x 2 spełniające warunek x 1 x 2 + x 2 x 1 > 82? 9 (270) Dla jakich wartości m równanie x 2 (m + 1)x + m = 0 ma 2 różne rozwiązania x 1, x 2 spełniające warunek (x 1 + 3x 2 )(x 2 + 3x 1 ) = 16? (271) Dla jakich wartości m równanie x 2 mx m 1 = 0 ma 2 różne rozwiązania x 1, x 2 spełniające warunek x 3 1x 2 + x 1 x ? (272) Wyznacz te wartości parametru a, dla których różne pierwiastki x 1, x 2 równania x 2 3x a + 1 = 0 spełniają warunek 3x 1 + 2x 2 = 4. (273) Liczba a jest odwrotnością liczby b i obie te liczby spełniają równanie x 2 +(3m 2)x + 2m 3 = 0, gdzie x jest niewiadomą. Znajdź te liczby. (274) Wyznacz te wartości m, dla których równanie x 2 + m x + 5 = 0 ma cztery różne 4 rozwiązania. (275) Dla jakich wartości m funkcja f(x) = (m 4)x 2 4x + m 3 ma dwa miejsca zerowe, z których jedno jest mniejsze od 1, a drugie większe od 1? (276) Dla jakich wartości m równanie x 2 (2m 1)x + m 2 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste mniejsze od 4? (277) Dla jakich wartości m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste mniejsze od 1? (278) Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x 2 (m 3)x+m 1 = 0 ma dwa rozwiązania x 1, x 2 spełniające warunek x 2 1x 2 + x 1 x x 1 x 2 = 2. 14

15 (279) Wyznacz dziedzinę i wzór funkcji f(m) = x x 2 2, gdzie x 1 i x 2 są różnymi pierwiastkami równania x 2 mx + (m 1) 2 = 0. (280) Funkcja kwadratowa g ma dwa miejsca zerowe. Ich iloczyn jest równy 2, a suma ich sześcianów wynosi 95. Znajdź równanie prostej, która jest osią symetrii wykresu funkcji g. (281) Wyznacz te wartości m, dla których równanie x 2 mx + 8 = 0 ma dwa różne rozwiązania x 1, x 2 spełniające warunek 2x 1 + 3x 2 = 16. (282) Wyznacz te wartości m, dla których równanie x 2 mx + 27 = 0 ma dwa różne rozwiązania x 1, x 2 spełniające warunek x 1 = x 2 2. (283) Wyznacz te wartości m, dla których równanie x 2 + mx m 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania x 1, x 2 spełniające warunek x 1 x 2 = 5. (284) Dla jakich wartości m funkcja f(x) = mx 2 4x + m osiąga wartość największą oraz ma dwa miejsca zerowe x 1 i x 2, których suma wynosi m 2 + 4m 1? 15

16 5. Wielomiany (285) Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 3 większa od pierwszej, a trzecia o 1 mniejsza od drugiej, jest równy -30. Wyznacz te liczby. (286) Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest równy 192. Jakie to liczby? (287) Wyznacz wartość a wiedząc, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 3 3x 2 + ax 12. (288) Wyznacz wartości a i b wiedząc, że liczby -1 i -2 są pierwiastkami wielomianu W (x) = x 3 + 6x 2 + ax + b. (289) Nie wykonując dzielenia sprawdź, dla jakiej wartości m wielomian W (x) = x 3 2x 2 mx + 6 jest podzielny przez dwumian x 2. (290) Wyznacz takie wartości a i b, aby wielomian W (x) = x 4 + 2x 3 x 2 + ax + b był podzielny przez wielomian P (x) = (x + 1)(x 2). (291) Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x 4 2x 3 + 3x 2 4x 5 przez dwumian x 2. (292) Wyznacz wartość m, dla której reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 3x 4 4x 2 + 5x + m przez dwumian x 1 wynosi 5. (293) Dobierz tak wartości a i b, aby reszty z dzielenia wielomianu W (x) = x 5 3x 3 + 6x 2 + ax + b przez dwumiany x 1 i x + 3 wynosiły odpowiednio 6 i (294) Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x 3 3x 2 +2x 5 przez wielomian P (x) = (x + 4)(x 1). (295) Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x przez wielomian P (x) = x 2 1. (296) Wyznacz takie wartości a i b, aby wielomian W (x) = x 3 + ax 2 + bx + 56 był podzielny przez wielomian P (x) = x 2 5x 14. (297) Wyznacz takie wartości a i b, aby wielomian W (x) = x 4 + ax 3 3x 2 4x + b był podzielny przez wielomian P (x) = x 2 4. (298) Wyznacz takie wartości a i b, aby wielomian W (x) = ax 3 + bx 2 7x + 4 był podzielny przez wielomian P (x) = (x 1) 2 (299) Wyznacz takie wartości a i b, aby wielomian W (x) = x 4 + x 3 + 3x 2 + ax + b był podzielny przez wielomian P (x) = x (300) Wyznacz takie wartości a i b, aby wielomian W (x) = x 3 + x 2 + ax + b przy dzieleniu przez trójmian T (x) = (x 3)(x + 2) dawał resztę 3x + 7. (301) Reszta z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian Q(x) = x 3 3x 2 jest trójmianem kwadratowym R(x) = 3x 2 4x+1. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez dwumian x + 1. (302) Wielomian W (x) przy dzieleniu przez (x 4) daje resztę 7, a przy dzieleniu przez (x 2) resztę 3. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P (x) = (x 4)(x 2). (303) Wielomian W (x) przy dzieleniu przez dwumiany (x + 2), (x 5) daje reszty odpowiednio równe 15 oraz 8. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x) = x 3 4x 2 7x + 10 wiedząc, źe liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) (304) Wyznacz takie wartości a, dla których wielomian P (x) = ax 3 (a + 3)x 2 + a(a 10)x + 36 jest podzielny przez dwumian Q(x) = x a. (305) Wielomian W (x) = x 4 4x 3 +10x 2 12x+9 jest kwadratem innego wielomianu. Jakiego? (306) Wyznacz takie wartości m i n, dla których wielomian W (x) = x 4 + 2x 3 + mx 2 + nx + 1 jest kwadratem innego wielomianu. 16

17 (307) Dany jest wielomian W (x) = x 4 + 6x x 2 + 6x. Wykaż, że jeżeli n jest liczbą całkowitą, to W (n) jest liczbą podzielną przez 24. (308) Rozwiąż nierówność x 3 3x + 1 < 1 (309) Liczby -1 i -3 są pierwiastkami wielomianu P (x) = x 4 +x 3 7x 2 +ax+b. Wyznacz a i b oraz rozwiąż nierówność P (x) 0. (310) Dany jest wielomian W (x) = x x 3 90x 81. Rozłóż ten wielomian na czynniki liniowe i wykaż, że jeżeli x > 3, to W (x) > 0. (311) Rozłóż na czynniki liniowe wielomian W (x) = (x 2 + 4x 1) 2 16 i podaj jego pierwiastki. (312) Jednym z pierwiastków wielomianu W (x) = x 3 bx 2 3x + c jest 3. Znajdż pozostałe pierwiastki tego wielomianu wiedząc, że W ( 2) = 5. (313) Jednym z rozwiązań równania x 4 +11x 2 + dx +30 = 5x 3 jest 3. Znajdź pozostałe rozwiązania tego równania. (314) Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x p i przez dwumian x q, gdzie p q. Wynikiem dzielenia W (x) przez x p jest wielomian P (x) = x 2 +10x 16, a dzieląc W (x) przez x q otrzymamy wielomian Q(x) = x 2 +52x 100. Oblicz W (49). (315) Dzieląc wielomian W (x) przez dwumian x 2009 otrzymamy iloraz Q(x) = x x i resztę Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x (316) Wielomian trzeciego stopnia W (x) jest podzielny przez każdy z dwumianów x 11, x 13, x 15, a reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x 10 jest równa 60. Oblicz W (14). (317) Wielomian W (x) = x 3 +bx 2 +cx+24 jest podzielny przez dwumian U(x) = x 4, a przy dzieleniu wielomianu W (x) przez dwumian V (x) = x+2 otrzymamy resztę 36. Znajdź pierwiastki wielomianu W (x). (318) Dany jest wielomian W (x) = (x 2 + 8x + 15) (x 2 + 6x + 5) Sprawdź, czy wielomian W (x) jest podzielny przez wielomian P (x) = x + 5 i uzasadnij, że reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x + 2 jest równa (319) Dany jest wielomian trzeciego stopnia, którego fragment wykresu jest przedstawiony na rysunku poniżej. Oblicz W (10). (320) Zapisz wielomian W (x) = x 4 +2x 3 +5x 2 +4x+3 jako iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych dodatnich. (321) Znajdź wszystkie liczby niewymierne a takie, że reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x 3 4x 2 + x + 4 przez dwumian x + a jest równa a. 17

18 (322) Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej x wartość wielomianu W (x) = x 5 5x 3 + 4x jest liczbą podzielną przez 120. (323) Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność x 4 +2x > 2x x. (324) Udowodnij, że jeżeli wielomian W (x) = x 3 + px + q ma trzy różne pierwiastki, to p jest liczbą ujemną. (325) Dla jakich liczb rzeczywistych c wielomian W (x) = (x 2)(x 2 + 2x + c) ma trzy różne pierwiastki? (326) Znajdź te wartości współczynnika b, dla których wielomian W (x) = x 3 + bx 2 + x ma trzy różne nieujemne pierwiastki. (327) Znajdź wszystkie takie liczby rzeczywiste b, aby wielomian W (x) = (x 2 + bx + 4)(x 1) miał trzy różne pierwiastki, których suma jest mniejsza od 9. (328) Dla jakich wartości m równanie (x + 2)[(m + 1)x 2 4mx + m + 1] = 0 ma trzy różne pierwiastki ujemne? (329) Zbadaj, dla jakich wartości m równanie (m 2)x 4 2(m + 3)x 2 + m + 1 = 0 ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste. (330) Dla jakich wartości m równanie x 5 + (1 2m)x 3 + (m 2 1)x = 0 ma pięć pierwiastków? (331) Dla jakich wartości a i b liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 3 5x 2 + ax + b? (332) Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 4 + 3x 3 + mx 2 + nx 12. Rozwiąż nierówność W (x) 0. (333) Wyznacz takie wartości m, dla których wielomian W (x) = x 3 mx + m 1 ma trzy pierwiastki rzeczywiste. (334) Wyznacz takie wartości m, dla których równanie (x 1)(x 2 mx + 6) = 0 ma trzy różne pierwiastki takie, że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. (335) Udowodnij, że jeżeli równanie x 3 +ax+b ma pierwiastek podwójny, to 4a 3 +27b 2 = 0. (336) Dla jakich wartości p równanie (x + 1)[x 2 + (p + 2)x + (p 1) 2 ] = 0 ma tylko jedno rozwiązanie? (337) Dla jakich wartości m równanie x 4 2mx 2 = m 2 4 ma trzy różne rozwiązania? (338) Dla jakich wartości m równanie x 4 + 2(m 2)x 2 + m 2 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania? 18

19 (339) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 3x+7 (340) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2x. 6. Funkcje wymierne x+3. x 2 (341) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 3 x 8. x 3 (342) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2x 4, a następnie wyznacz takie wartości m, x+1 dla których równanie f(x) = m nie ma rozwiązań rzeczywistych. (343) Rozwiąż nierówność x+ x+2 1. x+1 1 (344) Rozwiąż nierówność 1. x 3 x x (345) Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x2 +8x+m x+3 = 0 ma jedno rozwiązanie. (346) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = x2 +2x+1 x 2 +4x+3. (347) Dana jest funkcja f(x) = x2 1. Dla jakich wartości m równanie f(x) = m ma x 3 x jedno rozwiązanie? (348) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = x 2 (x2 1) i podaj jej zbiór wartości. x 2 (349) Wykaż, że funkcja g(x) = x + 9 dla dodatnich argumentów przyjmuje wartości x nie mniejsze od 6. (350) Dziedziną funkcji f(x) = x2 +bx+c jest zbiór R \ {1, 2}. Znajdź miejsca zerowe tej x 2 +cx+b funkcji. (351) Dla jakich wartości m funkcja f(x) = x2 2(m 3)x+1 jest określona dla wszystkich x 2 +3x+m+2 liczb rzeczywistych x i ma dwa różne miejsca zerowe? (352) Łódź musi popłynąć 60 km w dół rzeki, a następnie 10 km w górę rzeki. Prędkość prądu rzeki wynosi 5 km/h. Jaka powinna być prędkość własna łodzi, aby cała podróż nie trwała dłużej niż 10 godzin? (353) Woda może wpływać do basenu z dwóch kranów. Za pomocą pierwszego kranu basen można napełnić w czasie o 2 godziny dłuższym, a za pomocą drugiego kranu w czasie o 4,5 godziny dłuższym, niż przy napełnianiu basenu z wykorzystaniem obu kranów. W jakim czasie można napełnić ten basen odkręcając tylko pierwszy albo tylko drugi kran? (354) Dwóch korektorów, pracując razem, jest w stanie dokonać poprawek w tekście w czasie 8 godzin. Jeżeli każdy z nich wykonywałby tę pracę sam, to pierwszy, bardziej doświadczony korektor zakończyłby ją o 12 godzin wcześniej niż drugi. W ciągu ilu godzin każdy z korektorów wykonałby tę pracę samodzielnie? (355) Koparka A może wykonać pewną pracę w czasie o 5 dni krótszym niż koparka B. Obie koparki pracując jednocześnie mogą wykonać tę pracę w 6 dni. Po dwóch dniach wspólnej pracy koparka A zepsuła się. Ile dni po wycofaniu koparki A musi pracować koparka B aby dokończyć pracę? (356) Znajdź wzór funkcji homograficznej wiedząc, że asymptotami tego wykresu są proste o równaniach x = 3 oraz y = 4, a wykres ten przechodzi przez punkt A(1, 2). 19

20 7. Funkcja wykładnicza (357) Wykaż, że jeśli a = ( ) ,, a b = 1 2 to a = 4b. ( ) 2 (358) Udowodnij, że liczba ( ) ( ) 1 2 jest całkowita. (359) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2 x i podaj jej zbiór wartości. (360) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 1 9 3x 3 i zbadaj, dla jakich wartości m równanie f(x) = m ma dokładnie jedno rozwiązanie. (361) Dla jakich wartości m równanie 3 x 1 = m 2 6 ma dwa rozwiązania różnych znaków? (362) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2 x +x. ) x+5 określonej dla x (3, 6 (363) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = ( 2 3 (364) Do wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem f(x) = a x należy punkt P ( 2, 3). Wyznacz wartość a oraz naszkicuj wykres funkcji g(x) = f( x 2). (365) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 25 x x 9 określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych x. (366) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 9 x x 11 określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych x. (367) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 0, 16 x 6 0, 4 x + 8 określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych x. (368) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 5 x2 +4x 3 określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych x. ) x 2 +10x 27 określonej dla wszystkich (369) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = ( 1 2 liczb rzeczywistych x. (370) Wyznacz te wartości parametru k, dla których funkcja f(x) = 2 x2 +kx+k przyjmuje tylko wartości większe od 1. 20

21 8. Logarytmy 100 (371) Oblicz wartość wyrażenia log log + 0,7 49 log (372) Oblicz wartość wyrażenia log log log log (373) Oblicz wartość wyrażenia log 3 25 log 5 3. (374) Oblicz wartość wyrażenia log 2 6+log 3 6. log 6 log 3 6 (375) Oblicz wartość wyrażenia log log log 5 log 2. (376) Oblicz wartość wyrażenia log 14 7 log log (377) Oblicz wartość wyrażenia 9 log log (378) Oblicz wartość wyrażenia log 2 (log 3 5) log2 (log 3 5) log 3 4+log (log 2 2 log 2 log 5+log 2 5) (379) Oblicz wartość wyrażenia (380) Wiedząc, że log 3 2 = a oraz log 3 5 = b, oblicz wartości wyrażeń log 3 10; log 3 6; log 3 (0, 4); log 3 60; log 9 (1, 5) oraz log (381) Wiedząc, że log a p = 2, log b p = 3 oraz log c p = 6 oraz abc 1, oblicz log abc p. (382) Niech m = log Wykaż, że log 7 27 = 3(1 m). m (383) Uzasadnij, że liczby 2 log 3 5 i 5 log 3 2 są równe. (384) Wykaż, że jeśli liczby b i c są dodatnie i log 2 b + log 2 c + 1 = log 2 (b 2 + c 2 ), to b = c. (385) Udowodnij, że jeżeli a, b, c > 0 oraz c 1 oraz a 2 + b 2 a+b = 7ab, to log c 1 (log 2 c a + log c b). (386) Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = log 16 x 2(x 3 + 3x 2 9x 27). (387) Poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji logarytmicznej f. 3 = Oblicz wartość funkcji f dla argumentu 9 3 oraz wyznacz taki argument, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 2 3. (388) Naszkicuj wykres i podaj zbiór wartości funkcji f(x) = log 0,5 (x 2 5x + 6) log 0,5 (x 3). (389) Punkt A ( 1, 8 3) należy do wykresu funkcji logarytmicznej f. Wyznacz wzór ( ) f(x). funkcji g(x) = 1 2 (390) Wykaż, że dla każdej liczby x > 1 zachodzi równość log 0,5 4 x 1 log 2(x 1) + log = 0. 21

22 (391) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = log 1 (x 2 2x + 10). 3 (392) Funkcja f określona w zbiorze liczb rzeczywistych, dana jest wzorem f(x) = log(x x 2 ). Wykaż, że jeżeli a + b = 0, to f(a) = f(b). (393) Znajdź takie wartości m, aby reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x 2 +log(m 2) x + log(m 2) przez dwumian x 2 była równa 10. (394) Liczby x 1 i x 2 są różnymi pierwiastkami równania mx 2 + mx + 2 = 0. Dla jakich wartości m spełniona jest nierówność log 2 x 1 + log 2 x 2 > 3? (395) Wyznacz te wartości parametru p, dla których równanie log 3 (x + 2) = 2p 1 ma dwa rozwiązania różnych znaków. (396) Wyznacz te wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji f(x) = log[(m 2)x 2 + (m 2)x + 1] jest zbiór liczb rzeczywistych. (397) Zaznacz na płaszczyźnie z układem współrzędnych zbiór A = {(x, y) : log x y = 2} (398) Zaznacz na płaszczyźnie z układem współrzędnych zbiór punktów (x, y) których współrzędne spełniają równanie log x y = log y x. 22

23 9. Trygonometria (399) Oblicz wartość wyrażenia sin 30 + tg 45 + cos 60. (400) Oblicz wartość wyrażenia sin π + tg π + cos π (401) Oblicz wartość wyrażenia sin tg cos 135. (402) Wiedząc, że sin α = 0, 6 oraz α ( ) 0, π 2 oblicz wartości cos α oraz tg α. (403) Wiedząc, że cos α = 5 oraz α ( ) π, 3π 13 2 oblicz wartości sin α oraz tg α. (404) Wiedząc, że tg α = 5 2 oraz α ( π, 3π 2 (405) Udowodnij tożsamość cos2 α 1 sin α sin2 α 1+cos α ) oblicz wartości sin α oraz cos α. = sin α + cos α (406) Udowodnij tożsamość 1 tg2 α = (cos α sin α)(cos α + sin α) 1+tg 2 α (407) Udowodnij tożsamość cos 4 α + sin 2 α = sin 4 α + cos 2 α tg α 1+tg 2 α (408) Udowodnij tożsamość = sin α cos α sin α (409) Udowodnij tożsamość + 1+cos α = 2 1+cos α sin α sin α (410) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = sin(2x + π) 2 (411) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = cos x 2 sin 2x 2 cos x (412) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = (413) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = tg x 1 (414) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 3 sin x + 4 (415) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = cos 2 x cos x + 3. (416) Oblicz wartość sin 15 (417) Oblicz wartość cos 105 (418) Uprość wyrażenie sin(π α) cos( π α) + cos(π + α) sin( 3π + α) 2 2 (419) Wiedząc, że cos x = 1 oblicz cos 2x 4 (420) Wiedząc, że sin x = 24 oraz x ( π, π) oblicz sin 2x 25 2 (421) Wiedząc, że sin(6π + α) > 0 oraz cos(π + α) = 5 oblicz tg α 13 (422) Uzasadnij, że wartość wyrażenia cos 2α + 8 sin 2 α 2 cos2 α nie zależy od wartości 2 zmiennej α. (423) Wykaż, że dla każdego kąta α zachodzi tożsamość 4(sin 6 α + cos 6 α) = cos 2 2α. (424) Udowodnij tożsamość 1 2 sin2 α 1+sin 2α sin 2α (425) Wykaż, że cos α = tg α 1+cos 2α 1+cos α 2 = 1 tg α 1+tg α. (426) Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi równość sin 2 x sin 2 y = sin(x + y) sin(x y). (427) Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi równość sin 2x + sin 2y + sin 2(x + y) = 4 cos x cos y sin(x + y). (428) Wiedząc, że sin x+cos x = m, oblicz wartości wyrażeń sin 2x, cos x sin x, tg x+ 1 tg x, sin3 x + cos 3 x. (429) Rozwiąż równanie sin x = 3 2 (430) Rozwiąż równanie cos x = 1 2 (431) Rozwiąż równanie tg x = 3 (432) Rozwiąż równanie cos 2 x = 3 4 (433) Rozwiąż równanie sin x 1 2 = 1 2 (434) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x 5 sin x + 2 = 0 (435) Rozwiąż równanie 2 cos 2 x sin x 1 = 0 (436) Rozwiąż równanie 2 cos 4 x 7 cos 2 x + 3 = 0 (437) Rozwiąż równanie sin 2x + sin x = 0 23

24 (438) Rozwiąż równanie cos 2x + cos x = 0 (439) Rozwiąż równanie sin(2x + π) = 1 w przedziale 0, 2π 3 2 (440) Rozwiąż równanie tg(0, 5x π ) = 1 w przedziale 0, 4π 4 (441) Rozwiąż równanie 3 sin x cos x = 1 (442) Rozwiąż równanie sin 3x + sin 5x + sin 7x = 0 (443) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x sin 2x = 0 (444) Rozwiąż równanie sin(x π ) cos(x + π ) = (445) Rozwiąż równanie 2 sin x + 3 tg x = 0 (446) Rozwiąż równanie tg 4 x 2 tg 3 x 2 tg 2 x + 6 tg x 3 (447) Rozwiąż równanie sin x cos x + tg x = 2, 5 sin x (448) Rozwiąż równanie sin x cos x + 1 = sin x cos x (449) Rozwiąż równanie sin x tg x 3 = tg x 3 sin x (450) Rozwiąż równanie (tg x + 1 cos x )2 + (tg x 1 cos x )2 = 14 (451) Rozwiąż równanie sin x + cos x cos x sin x = 8 sin 2x 3 (452) Rozwiąż równanie cos x + 1 sin x = 4 1 sin x cos x (453) Rozwiąż równanie (1 tg x)(1 + sin 2x) = 1 + tg x (454) Rozwiąż równanie sin 3 x + cos 3 x = 1 (455) Rozwiąż równanie cos 2x + sin 2x + 1 = 0 (456) Rozwiąż równanie sin 3x + sin x = sin 2x (457) Rozwiąż równanie sin 5x cos 2x + sin x = 0 (458) Rozwiąż równanie sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0 (459) Rozwiąż równanie sin x + cos x = 2 sin x 2 2 (460) Rozwiąż nierówność sin x > 1 2 (461) Rozwiąż nierówność sin x 3 2 (462) Rozwiąż nierówność cos x < 1 (463) Rozwiąż nierówność cos x > 1 2 (464) Rozwiąż nierówność tg x 0 (465) Rozwiąż nierówność cos 2x < 1 2 (466) Rozwiąż nierówność cos 5x > 1 2 dla x π, π (467) Rozwiąż nierówność tg(2x π 6 ) 3 3 w przedziale (0, π) (468) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność sin 8 x+cos 8 x 1 8 (469) Udowodnij, że dla dowolnej liczby x zachodzi nierówność cos(x + π 6 ) cos(x π 6 )

25 10. Ciągi (470) Zbadaj monotoniczność ciągu a n = 2n 2 + 3n. (471) Zbadaj monotoniczność ciągu b n = 3n+5 n+1 (472) Zbadaj monotoniczność ciągu c n = n + 1 n (473) Dla jakich wartości k ciąg (a n ) określony wzorem a n = 3 + k (2k 4)n jest niemalejący? (474) Suma n początkowych wyrazów ciągu a n dana jest wzorem S n = n 3 3n. Oblicz a 1, a 2, a 3, a 10 oraz a n. (475) Suma n początkowych wyrazów ciągu a n dana jest wzorem S n = n 3 4n 2. Który wyraz ciągu a n jest równy 47? (476) Ciąg a n określony jest wzorem rekurencyjnym: a 1 = 3, a n+1 = 2 a n + 1. Oblicz a 4. (477) Ciąg a n określony jest wzorem rekurencyjnym: a 1 = 3, a n+1 = a 2 n 4n. Oblicz a 4. (478) W ciągu arytmetycznym dane są a 1 + a 3 = 14 oraz a 2 a 4 = 21. Oblicz a 1, r oraz a 8. (479) Suma n początkowych wyrazów ciągu a n wyraża się wzorem S n = 4n 2 3n. Wyznacz wzór ogólny ciągu a n, wykaż, że ciąg (a n ) jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 100. (480) Między liczby 8,5 oraz 1 wstaw 4 liczby tak, aby utworzyły one wszystkie ciąg arytmetyczny. (481) Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego (a n ) jest równy 10. Oblicz a 4 + a 8 + a 9 oraz S 13. (482) Ile początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem a n = 4n 3 należy zsumować, aby otrzymać 231? (483) Oblicz sumę wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3. (484) Dla jakich wartości x liczby x 1, 2x 3, x 2 9 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny? (485) Dla jakich wartości x liczby log x, log(x + 2), log(x + 5) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny? (486) Ciąg (x, 2x + 3, 4x + 1,...) jest arytmetyczny. Wyznacz wartość x oraz sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu. (487) Wykaż, że jeżeli ciąg (a n ) jest arytmetyczny, to ciąg (b n ) określony wzorem b n = 3a n 5 także jest arytmetyczny (488) Udowodnij, że jeżeli liczby a 2, b 2, c 2 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, to liczby 2b 2, ac, (a + c) 2 także tworzą ciąg arytmetyczny. (489) W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a 1 a 3 = 24 oraz a 1 + a 2 = 36. Oblicz a 1, q oraz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. (490) Między liczby 81 a 16 wstaw trzy liczby tak, aby razem z podanymi utworzyły one malejący ciąg geometryczny. (491) W niemonotonicznym ciągu geometrycznym (a n ) dane są a 1 a 5 =100 oraz a 3 + a 4 = 30. Oblicz a 5. (492) W ciągu geometrycznym (a n ) dane są S 3 = 6 oraz S 4 = 5. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu a n. (493) Ciąg a n jest określony rekurencyjnie: a 1 = 1 oraz a 3 n+1 = 2a n dla n 1. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. (494) Suma n początkowych wyrazów ciągu a n wyraża się wzorem S n = 3(4 n 1). Wyznacz pierwszy, drugi, trzeci, szósty i n-ty wyraz tego ciągu oraz wykaż, że ciąg a n jest geometryczny. 25

26 (495) Ciąg geometryczny (a n ) ma 100 wyrazów. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 3, a suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych 12. Oblicz iloraz tego ciągu. (496) Dla jakich wartości x ciąg ( 2 cos(x π 3 ), cos x, 2 cos(x + π 3 )) jest geometryczny? (497) Ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny a suma jego wyrazów to 33. Ciąg (a, b 1, c + 3) jest geometryczny. Oblicz a, b, c. (498) Ciąg (a, b, c) jest geometryczny a suma jego wyrazów to 19. Ciąg (a, b, c 1) jest arytmetyczny. Oblicz a, b, c. (499) Ciąg (a, b, c) jest geometryczny (a 0). Ciąg (a, b, c 2) jest arytmetyczny, a ciąg (a + 1, b, c 2) jest znów geometryczny. Oblicz a, b, c. (500) Ciąg (a, b, c) jest geometryczny o ilorazie różnym od 1. Ciąg (b, a, c) jest arytmetyczny, a ciąg (b + 5, a, c 4) jest znów geometryczny. Oblicz a, b, c. (501) Ciąg (a n ) określony jest wzorem a n = 3 xn, gdzie (x n ) jest arytmetyczny. Wykaż, że ciąg (a n ) jest geometryczny. (502) Suma dwóch początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 15, a suma trzech 19. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. (503) W nieskończonym ciągu geometrycznym każdy następny wyraz jest dwukrotnie mniejszy od poprzedniego. Wykaż, że suma wszystkich wyrazów jest 4 razy większa od wyrazu drugiego. (504) Rozwiąż równanie x + x 2 + x 3 + = 1 2x. (505) Ciąg (a n ) określony wzorem a n = log 3 x n jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o różnicy -2. Suma wszystkich wyrazów ciągu x n wynosi 9 8. Oblicz x 1. (506) Wyznacz tak liczby a i b, żeby trzy różne pierwiastki wielomianu W (x) = x 3 9x 2 + ax + b utworzyły ciąg arytmetyczny o różnicy 2. (507) Wyznacz tak liczby a i b, żeby trzy różne pierwiastki wielomianu W (x) = x 3 13x 2 + ax + b utworzyły ciąg geometryczny o ilorazie 3. (508) Rozwiąż równanie cos x + cos 3 x + cos 5 x + = 2 3. (509) Rozwiąż nierówność 1 + x + x(1 + x) + x 2 (1 + x) + 3. (510) Dany jest nieskończony ciąg kwadratów K n. Kwadrat K 1 ma bok długości a. Przekątna kwadratu K n+1 jest równa bokowi kwadratu K n dla n 1. Oblicz sumę obwodów oraz sumę pól wszystkich kwadratów. 4 6n (511) Oblicz granicę lim n 2n+1 (512) Oblicz granicę n lim (513) Oblicz granicę lim (514) Oblicz granicę n lim (515) Oblicz granicę lim (516) Oblicz granicę lim n 3 +3n+7 n 3 2n 2 +n+2 (3 2n) 2 n n n 4 +17n 3 +3 (2n+1)(5 n) n 2 +4n+6 n 100n n n 3n 2 +5 (517) Oblicz granicę n lim n 3 + 4n 2 + 5n 3 4 (518) Oblicz granicę lim n +3 n n 3 2 n +5 4 n (519) Oblicz granicę lim 5 n n+2 n 3 n n 1 (520) Oblicz granicę n lim n2 + 4n n (521) Oblicz granicę lim 4n2 + 6n 4n 2 2n n 3 (522) Oblicz granicę n lim n n 2 + 7n n 26

27 11. Planimetria W dowolnym trójkącie ABC (o ile treść zadania nie stanowi inaczej) przyjmujemy oznaczenia: boki - BC = a, AC = b, AB = c, kąty naprzeciwko boków a, b, c to odpowiednio α, β, γ, wysokości opuszczone na te boki to odpowiednio h a, h b i h c. Promień okręgu wpisanego w trójkąt - r, zaś opisanego na trójkącie - R. (523) W trójkącie równoramiennym dane są AB = 30, a AC = BC = 25. Oblicz pole tego trójkąta, długość wysokości AD i długości odcinków, na jakie dzieli ona bok BC. (524) W trójkącie równoramiennym ABC ( AC = BC ) dane są AB = 13 oraz wysokość AD = 12. Oblicz obwód trójkąta ABC. (525) W trójkącie dane są a = 8, b = 3, γ = 60. Oblicz pole tego trójkąta, długość boku c oraz wysokość h b. (526) W trójkącie dane są a = 3, b = 5, c = 7. Oblicz miarę największego kąta w tym trójkącie. (527) Na ramieniu BC trójkąta równoramiennego ABC obrano punkt D, który podzielił to ramię w stosunku CD : DB = 2 : 1. Ponadto AB = 12 oraz AC = 24. Oblicz długość odcinka AD. (528) W trójkącie dane są a = 21, b = 20, c = 13. Oblicz pole tego trójkąta, promień okręgu wpisanego, promień okręgu opisanego na tym trójkącie oraz wysokość h a. (529) W trójkącie dane są a = 6, β = 60 oraz γ = 75. Oblicz długość b. (530) W trójkącie dane są a = 4, α = 30. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie. (531) W trójkącie dane są AB = 8, AC = 9, BC = 7. Oblicz długość d środkowej CD. (532) W trójkącie dane są AC = 10, BC = 15, ACB = 120. Oblicz długość dwusiecznej CD kąta ACB. (533) W równoramiennym trójkącie prostokątnym poprowadzono środkowe do ramion tego trójkąta. Oblicz kosinus kąta ostrego między tymi środkowymi. (534) W trójkącie prostokątnym dane są długości przyprostokątnych a = 6 oraz b = 8. Oblicz długość wysokości h c, promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. (535) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 4. Wpisujemy okrąg w ten trójkąt. Oblicz długości boków, na jakie podzielił przeciwprostokątną punkt styczności tego okręgu z nią. (536) W trójkącie prostokątnym najkrótszy bok ma długość a najmniejszy kąt miarę 30. Oblicz długość odcinka łączącego punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną z wierzchołkiem kąta prostego w tym trójkącie. (537) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 15 i 20. Oblicz odległości środka okręgu wpisanego w ten trójkąt od wszystkich wierzchołków tego trójkąta. (538) Oblicz długość podstawy trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że jego ramię ma długość 16 i że odległość środka ramienia od przeciwległego wierzchołka podstawy wynosi 12. (539) W trójkącie ABC dane są długości AC = 3 oraz BC = 7. Dwusieczna kąta przy wierzchołku C ma długość równą 3. Wyznacz długość boku AB. (540) * W trójkącie równoramiennym ABC ramię jest 2 razy dłuższe od podstawy. Oblicz stosunek pól figur, na jakie symetralna boku AC rozcina trójkąt ABC. 27

28 (541) W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów jest równy 3. Promień okręgu 5 wpisanego w ten trójkąt ma długość 7. Oblicz pole tego trójkąta. 3 (542) W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych wynosi 5, a pole tego trójkąta jest równe 20. Oblicz długość jego przeciwprostokątnej. (543) Wysokość AD opuszczona na przeciwprostokątną BC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 24, a stosunek długości przeciwprostokątnej do obwodu tego trójkąta wynosi 5. Oblicz pole trójkąta ABC. 12 (544) W trójkącie prostokątnym dane są: r = 6 i R = 17. Oblicz jego pole. (545) Pole trójkąta prostokątnego jest równe 180, a r = 4. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. (546) Oblicz pole wycinka koła o promieniu 6 wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 120. (547) W wycinek koła o promieniu 4 i kącie 90 wpisano koło. Oblicz promień tego koła. (548) W kąt o mierze 60 wpisano dwa okręgi jak na rysunku poniżej. Wiedząc, że promień okręgu o środku B ma długość 1, oblicz promień okręgu o środku C. (549) W prostokąt o bokach 16 i 18 wpisano dwa przystające okręgi tak, jak na rysunku. Oblicz ich promień. (550) Romb o kącie ostrym 30 jest opisany na okręgu o promieniu 2. Oblicz pole tego rombu. (551) W równoległoboku ABCD wysokość opuszczona na bok AB ma długość 2, a na bok BC- długość 3. Oblicz obwód tego równoległoboku wiedząc, że długości boków różnią się o 2. 28

29 (552) Oblicz sinus kąta ostrego przecięcia się przekątnych w prostokącie, którego boki mają długości 6 i 8. (553) Dwa boki równoległoboku są równe 6 i 10, a dłuższa przekątna 14. Oblicz miarę kąta ostrego tego równoległoboku i długość krótszej przekątnej. (554) Znając długości przekątnych równoległoboku d 1 = 6 i d 2 = 4 oraz bok a = 3, oblicz drugi bok oraz pole tego równoległoboku. (555) Oblicz pole trapezu wiedząc, że jego wysokość wynosi h, a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość d. (556) Oblicz pole trapezu równoramiennego ABCD wiedząc, że jego wysokość CE = h, a AE = d. (557) Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu o promieniu 4 jest równy 40. Znajdź pole tego trapezu, długości podstaw i długość przekątnej. (558) Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy 16, a przekątna trapezu ma długość 5. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez i promienia okręgu opisanego na nim. (559) W trapez równoramienny o obwodzie 20 i przekątnej 41 można wpisać okrąg. Oblicz wysokość tego trapezu a następnie odległości punktu przecięcia przekątnych od wszystkich boków tego trapezu. (560) Trapez, w którym ramię ma długość 5, wpisano w okrąg o promieniu 6,5. Oblicz pole tego trapezu wiedząc, że dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu. (561) W trapez prostokątny wpisano okrąg. Odległości środka tego okręgu od końców dłuższego ramienia trapezu wynoszą odpowiednio 5 oraz 2 5. Oblicz promień okręgu. (562) W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe sieczne, z których jedna ma długość 6, a druga 8. Oblicz odległość między tymi siecznymi (2 przypadki). (563) Cztery kolejne boki czworokąta wpisanego w okrąg mają długości AB = 3, BC = 8, CD = 6 i DA = 10. Oblicz długości przekątnych tego czworokąta. (564) Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Wiedząc, że AB = 5, BC = 8, ABC = 60, oblicz długość przekątnej AC oraz promień okręgu opisanego na tym czworokącie. Wiedząc dodatkowo, że AD : DC = 5 : 3 oblicz obwód czworokąta ABCD. (565) Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 3 i 5. Odcinek łączący środki ramion dzieli trapez na dwie figury, których stosunek pól wynosi 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu. (566) Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 9. Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie. (567) Promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym 60 ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka. (568) Trzy okręgi o promieniach 2,4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu, do którego należą punkty styczności tych okręgów. (569) Ramiona kąta o mierze 60 przecięto prostą l prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i do prostej l. Oblicz stosunek pól tych kół. (570) W trójkąt równoboczny, którego bok ma długość 2, wpisano kwadrat tak, że jeden bok kwadratu zawiera się w boku trójkąta, a dwa wierzchołki przeciwległego boku kwadratu zawierają się w pozostałych bokach trójkąta. Oblicz długość boku tego kwadratu. 29