1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t )

Podobne dokumenty
PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ MES. Piotr Nikiel

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

x y

Metoda elementów skończonych

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu

Wykład 2. Transformata Fouriera

Metoda elementów brzegowych

y i b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta

Γ D Γ Ν. Metoda elementów skończonych, problemy dwuwymiarowe. problem modelowy: w Ω. warunki brzegowe: Dirichleta. na Γ D. na Γ N.

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =

Przekształcenia liniowe

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Inżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

Układy równań liniowych

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

Równania dla potencjałów zależnych od czasu

ANALIZA MATEMATYCZNA

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Równania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

1 Relacje i odwzorowania

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Wprowadzenie do Mathcada 1

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.

Wykład 5. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju prostokątnym.

2. Definicja pochodnej w R n

Fakty wstępne Problem brachistochrony Literatura. Rachunek wariacyjny. Bartosz Wróblewski

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Informatyka I Lab 06, r.a. 2011/2012 prow. Sławomir Czarnecki. Zadania na laboratorium nr. 6

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

ZASTOSOWANIE METODY R-FUNKCJI DO WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA PRZEJMOWANIA CIEPŁA

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA

Analiza funkcjonalna 1.

ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO

Metody rozwiązania równania Schrödingera

Obliczanie indukcyjności cewek

WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15

1 Układy równań liniowych

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

numeryczne rozwiązywanie równań całkowych r i

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA. Poszukiwanie optymalnej średnicy rurociągu oraz grubości izolacji

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP

FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua

Całkowanie numeryczne

KADD Minimalizacja funkcji

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Transkrypt:

pis treści ymulacja procesów cieplnych Algorytm ME 3 Implementacja rozwiązania 4 Całkowanie numeryczne w ME 3 ymulacja procesów cieplnych Procesy cieplne opisuje równanie różniczkowe w postaci: ( k x (t) t ) + ( k y (t) t ) + ( k z (t) t ) + Q = 0 () z z gdzie k x (t), k y (t), k z (t) to anizotropowe współczynniki przewodzenia ciepła zależne od temperatury, a Q to prędkość generowania ciepła. W Metodzie Elementów kończonych rozwiązanie zagadnienia otrzymujemy poprzez minimalizację funkcjonału odpowiadającego danemu równaniu różniczkowemu. W naszym przypadku funkcjonał będzie następujący: ( k x (t) ( ) t + k y (t) ( ) t + k z (t) ( ) t Qt) d () z W przypadku materiału izotropowego funkcjonał upraszcza się do postaci: ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) k(t) t t t + + Qt d (3) z Aby równanie różniczkowe miało jednoznaczne rozwiązanie należy zadać warunki brzegowe. W przypadku zagadnień cieplnych możliwe są następujące warunki: na powierzchni zadana jest temperatura na powierzchni zadany jest strumień ciepła q zgodnie z prawem konwekcji: ( t k(t) a x + t a y + t ) z a z = α konw (t t 4) na powierzchni zadany jest strumień ciepła zgodnie z prawem wymiany ciepła przez promieniowanie: ( t k(t) a x + t a y + t ) z a ( z = σ rad t 4 t 4 ) (5) na powierzchni zadany jest strumień ciepła będący efektem konwekcji i promieniowania: ( t k(t) a x + t a y + t ) z a z = α (t t 6) gdzie α to efektywny współczynnik wymiany ciepła dany wzorem: α = α konw + σ rad ( t t ) (t + t 7)

Zadanie warunków brzegowych polega na dodaniu do funkcjonału czynnika: α (t t ) d + qtd (8) gdzie to powierzchnia, na której zadane są warunki brzegowe. Zatem ostatecznie otrzymujemy funkcjonał w postaci: ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) k(t) t t t α + + Qt d + z (t t ) d + qtd (9) Algorytm ME Algorytm rozwiązania zadania za pomocą ME jest następujący: Dyskretyzacja zadania: podział obszaru na elementy skończone, wybór funkcji kształtu Obliczenie składowych lokalnej macierzy sztywności dla każdego elementu skończonego z uwzględnieniem warunków brzegowych Wstawienie lokalnych macierzy sztywności do globalnej macierzy i rozwiązanie układu równań Wizualizacja wyników obliczeń i ich interpretacja 3 Implementacja rozwiązania Pierwszym krokiem do rozwiązania zadania jest dyskretyzacja postawionego problemu. Zajmiemy się problemem cieplnym w przypadku dwuwymiarowym. Dziedzina naszego zadania przedstawiona jest na rysunku: Rysunek : Dziedzina Warunki brzegowe są następujące: Tempeatura początkowa wynosi t 0 = 00 C Temperatura otoczenia wynosi t ot = 00 C Współczynnik przewodzenia ciepła wynosi k=5mk Współczynnik konwekcyjnej wymiany ciepła wynosi α = 000W/m

Interpolacja wartości temperatury będzie wykonana za pomocą liniowych funkcji kształtu. Aby zminimalizować funkcjonał liczymy jego pochodne cząstkowe względem temeratury i przyrównujemy do zera. Otrzymamy w ten sposób układ równań: J {t} = ( ( { } { } T { } { } ) ) T k {N} {N} + {N} {N} {t} d + (0) + α ( ) {N} T {t} t {N}d + q {N} d = 0 Po uporządkowaniu równań dostaniemy układ równań linowych w postaci: gdzie: [H = k (t) ( { {N} } { } T {N} + Natomiast wektor prawej strony układu jest równy: {P } = 4 Całkowanie numeryczne w ME [H {t} + {P } = 0 () { } { } ) T {N} {N} d + α{n}{n} T d () α {N} t d + q {N} d (3) Aby utworzyć lokalną macierz pojemności cieplnej dla danego elementu skończonego musimy obliczyć całki: ( { {N} } { } T { } { } ) T {N} {N} {N} I = k (t) + d e (4) e I = α{n}{n} T d e e (5) Do wyznaczenia wartości współrzędnych wektora obciążeń konieczne jest obliczenie: I 3 = α {N} t d e + e q {N} d e e (6) Najpierw zajmijmy się całką I. Wiemy, że: oraz: tąd: Zatem: = + J = [ [ [ [ = J [ = J [ (7) (8) (9) (0) () 3

Funkcje kształtu są następujące: A więc: N = 0.5( ξ)( η) N = 0.5( + ξ)( η3) N 3 = 0.5( + ξ)( + η4) N 4 = 0.5( ξ)( + η5) H e ij = = = ( k i e T + i ) d + I = [(J k 00 i + J 0 i J 00 3 3 k=0 l=0 [(J k 00 i k + J0 i l J00 + J 0 k + J0 i + J i + J0 l + J 0 i k J 0 + J i l J0 + J k ) detjdηdξ + I = ) + J l detj + I (6) 4

Wróćmy teraz do naszego zadania: Rysunek : iatka elementów skończonych oraz warunki brzegowe Węzły ponumerowane są na czarno liczbami arabskimi, natomiast elementy na niebiesko liczbami rzymskimi. Na krawędzi czerwonej zadajemy strumień ciepła, na zielonej wymianę ciepła z otoczeniem. Bok każdego elementu skończonego ma długość. Potrzebne dane do obliczeń: Temperatura początkowa T 0 = 00 o C Temperatura otoczenia T ot = 00 o C Współczynnik przewodzenia ciepła k = 5 Współczynnik wymiany ciepła α = 300W/m trumień ciepła q = 000W Obliczmy teraz dla przykładu element macierzy lokalnej elementu trzeciego (III) o wpółrzędnych H : globalny numer węzła lokalny numer węzła x y ξ η 0 0.0.0 -.0 -.0 7.0.0.0 -.0 8.0 3.0.0.0 3 3 0.0 3.0 -.0.0 Tabela : Współrzędne globalne i lokalne węzłów elementu trzeciego Numer punktu całkowania x g y g 0-0.577-0.577 0.577-0.577 0.577 0.577 3-0.577 0.577 Tabela : Współrzędne punktów całkowania Gaussa dla całek powierzchniowych 5

Funkcje kształtu: N 0 (ξ, η) = 0.5( ξ)( η7) 0 (ξ, η) 0 (ξ, η) = 0.5( η8) = 0.5( ξ9) Obliczamy Jacobian dla każdego węzła w elemencie: [ N (ξ, η) = 0.5( + ξ)( η30) (ξ, η) (ξ, η) = 0.5( η3) = 0.5( + ξ3) N (ξ, η) = 0.5( + ξ)( + η33) (ξ, η) (ξ, η) = 0.5( + η34) = 0.5( + ξ35) N 3 (ξ, η) = 0.5( ξ)( + η36) 3 (ξ, η) 3 (ξ, η) = = 0.5( + η37) = 0.5( ξ38) [ 3 i=0 i x i 3 i i=0 x i 3 i i=0 y i 3 i i=0 y i (39) Dla macierzy o wymiarach x macierz odwrotną można bardzo łatwo obliczyć: dla danej macierzy: [ J00 J 0 J 0 J J = [ J J 0 detj J 0 J 00 Obliczamy teraz pochodne funkcji kształtu względem współrzędnych lokalnych i i g i g = i g J00 + i g J0 = i g J0 + i g J i oraz : (40) (4) (4) Teraz już możemy wstawić wyrazy do macierzy lokalnej: ( i H ij = k + i ) detj (43) Wystarczy jeszcze tylko dodać warunki brzegowe, warunki brzegowe nałożone są tylko na niektóre zewnętrzne powierzchnie modelu. Dlatego do macierzy pojemności cieplnej należy dodać wartości całki I tylko w pozycjach, które odpowiadają węzłom, na których 6

zadano wymianę ciepła. Wartości tej całki moṅa obliczyć analitycznie. Całkowanie odbywa się po powierzchni elementu (wzdłuż odcinka). Potraktujemy powierzchnie te jak elementy skończone jednowymiarowe z liniowymi funkcjami kształtu: N 0 = ξ N = ξ (44) Wyznacznik jakobianu dla takiego przekształcenia jest równy długości elementu L. A więc: αnn T d e = α( ξ)ξldξ = αl (ξ ξ )dξ (45) e 0 0 CałkĘ tę można obliczyć analitycznie i otrzymamy: 6 αl 6 αl 6 αl 6 αl (46) Pozostaje nam obliczyć składowe wektora obciążeń. Jeżeli w węźle i tym zadano wymianę ciepła z otoczeniem: Jeżeli w węźle i tym zadano strumień ciepła: P [i = αnt d e = e P [i = qnd e = e 0 0 αt ξdξl = 0.5αt L (47) qξldξ = 0.5qL (48) Ostatnim etapem rozwiązania zadania jest wstawienie macierzy lokalnych w odpowiednie pozycje w macierzy globalnej oraz rozwiązanie układu równań. 7