1 Otwarto± i domkni to±

Topologia 1 1 Otwarto± i domkni to± (X, O) przestrze«topologiczna rodzina zbiorów otwartych O 2 X speªnia (i), X O, (ii) U 1, U 2 O U 1 U 2 O, (iii) ( j J U j O ) j J U j O. X D zbiór domkni ty X \ D O; D = {D 2 X : X \ D O}. 2 X B baza topologii O U O {Bj} j J B U = j J B j U O x U B B x B U. 2 X P podbaza topologii O { k i=1 P i : i=1,...,k P i P, k N } stanowi baz O. (Kryterium bazowo±ci ) 2 X B baza pewnej topologii O na X (i) x X B B x B, (ii) B1,B 2 B x B1 B 2 B B x B B 1 B 2. (Aksjomaty topologii zbiorów domkni tych ) D 2 X speªnia (i), X D, (ii) D 1, D 2 O D 1 D 2 D, (iii) ( j J D j D ) j J D j O. Zadanie 1.1. [Zbiory otwarte i domkni te] Sprawdzi,»e (X, O) stanowi przestrze«topologiczn, gdy 1. (dyskretna) O = 2 X, 2. (antydyskretna) O = {, X}, 3. O = {A 2 X : A p} { }, p X ustalony punkt, 4. (kosko«czona Zariskiego) O = {A 2 X : card (X \ A) < ℵ 0 } { }, 5. O = {A 2 X : card (X \ A) ℵ 0 } { }, 6. (dwupunktowa Sierpi«skiego) X = {0, 1}, O = {, {0}, {0, 1} }, 7. X = R, O = {(a, ) : a R} {, R}. Opisa zbiory domkni te w powy»szych topologiach. Zadanie 1.2. [Bazy] Sprawdzi,»e B 2 X stanowi baz pewnej topologii, gdy 1. (metryczna) B = {B(x, ε) : x X, ε E}, d metryka w X, B(x, ε) = {y X : d(y, x) < ε}, E = (0, ) lub (0, ) Q lub { 1 m : m N}, 2. (prosta Sorgenfreya = strzaªka) X = R, B = {[a, q) : a R, q Q}, 3. X = R, B = {[a, ) : a R}, 4. X = R, B = { (, 0], [ 1 n, ) : n N }, 5. X = Q, B = {(, q) Q : q Q} {, Q}, 6. (pªaszczyzna Niemyckiego) X = {(x, y) R 2 : y 0} = R [0, ), { ( B = B (x, y), 1 ) ( (, B x, 0 + 1 ), 1 ) } {(x, 0)} : x R, y > 0, n N. n n n W ka»dym z przypadków poda (o ile mo»liwe) drug baz B tak, by B B =. Dlaczego podane bazy nie s topologiami (nawet po doª czeniu do nich i X)? Zadanie 1.3. [Podbazy] Potwierdzi,»e P 2 X stanowi podbaz pewnej topologii, gdy

Topologia 2 1. (lewa strzaªka) X = R, P = {(p, q] : p, q Q}, 2. X = R, P = {(, b), [a, ) : a, b R}. Sprawdzi,»e podane podbazy nie s bazami; wygenerowa stosowne bazy. Zadanie 1.4. Zbada, czy zbiór A X jest otwarty b d¹ domkni ty w znanych topologiach na X, gdy 1. X = R, A = (0, 2), [0, 2), (0, 2], (0, ), [0, ), ( 2 3, ), (, 0), (, 0], (, 0) (0, ), (, 0] [1, ), Q, Z, R \ Q, Q \ Z, 2. X = R [0, ), A = R {0}, R (0, ), [0, 1] {0}, [0, 1] [0, 1], (0, 1) (0, 1), (0, 1) [0, 1), (0, 1) (0, 1) {(0, 0)}, (0, 1) (0, 1) {( 1 2, 0)}. Zadanie 1.5. [Sªaba topologia] Niech G 2 X. Czy zawsze istnieje najsªabsza (najmniejsza wzgl dem inkluzji) topologia O 2 X, w sensie której wszystkie zbiory z G s otwarte? Poda przykªad G, gdzie rzeczywi±cie tak si dzieje, ale G nie stanowi ani bazy ani podbazy. Zadanie 1.6. Je±li P 2 X stanowi pokrycie X (tzn. P P P X), to P jest podbaz pewnej topologii O 2 X. 2 Domkni cie, wn trze i brzeg Int A = {x X : U O x U A} = A U O A = {x X : x U O A U } = A D D U wn trze A X. D domkni cie A X. Fr A = {x X : x U O A U (X \ A) U} brzeg A X. (Aksjomaty Kuratowskiego) : 2 X 2 X speªnia Int :2 X 2 X speªnia (i) =, (i) Int X = X, (ii) A A, (iii) A = A, (iv) A B = A B. (ii) Int A A, (iii) Int Int A = Int A, (iv) Int (A B) = Int A Int B. Zadanie 2.1. Przy wszelkich znanych sobie topologiach na X znale¹ domkni cie A, wn trze Int A i brzeg Fr A zbioru 1. A = {x X : x < 2 1 3 }, X = R lub Q, 2. A = {(x 1, x 2 ) X : 1 < x 1 + x 2 4}, X = R [0, ). Zadanie 2.2. Uzasadni wzory (A, A j, B X): 1. D D A D A, 2. O U A U Int A, 3. A B ( A B Int A Int B ), 4. Int (X \ A) = X \ A, 5. A = A A Fr A A D, 6. Int A = A A O, 7. A B = A B, 8. j J A j j J A j, 9. Int A B = Int A B, 10. Int Int A = Int A, 11. Int j J A j = j J Int A j, 12. Fr A = A X \ A = A \ Int A, 13. Int Fr A =, 14. Fr =, 15. Fr Fr A Fr A, 16. Fr (A B) Fr A Fr B, 17. A B Fr A B Fr B, 18. Fr A = Fr (X \ A).

Topologia 3 Co ogólnie mo»na powiedzie o ci gu Fr A Fr Fr A Fr Fr Fr A...? Zadanie 2.3. Niech O 1 O 2 topologie na X. Porówna wynik operacji brania domkni cia, wn trza oraz brzegu A X przy jednej i drugiej topologii. 3 Ci gªo± f : (X, O X ) (Y, O Y ) przeksztaªcenie (cgp) ci gªe w punkcie x 0 X f(x0) W O Y x0 U O X f(u) W, (cg) ci gªe V OY f 1 (V ) O X ; (hom) homeomorzm, gdy f jest ci gªe oraz posiada ci gªe odwrotne f 1 : (Y, O Y ) (X, O X ). (Ci gªo± zªo»enia) Je±li f : (X, O X ) (Y, O Y ) ci gªe [w x 0 ], g : (Y, O Y ) (Z, O Z ) ci gªe [w f(x 0 )], to g f : (X, O X ) (Z, O Z ) ci gªe [w x 0 ]. (Charakteryzacje ci gªo±ci ) Ci gªo± f : (X, O X ) (Y, O Y ) jest równowa»na któremukolwiek spo±ród warunków: (i) B BY f 1 (B) O X, gdzie B Y baza O Y, (ii) P PY f 1 (P ) O X, gdzie P Y podbaza O Y, (iii) D DY f 1 (D) D X, gdzie D X, D Y rodziny zbiorów domkni tych w X, Y, (iv) A X f( A ) f(a), (v) B Y f 1 (B) f 1 ( B ), (vi) B Y f 1 (Int B) Int f 1 (B), (vii) B Y Fr f 1 (B) f 1 ( Fr B ). Zadanie 3.1. [Funkcje jednej zmiennej] Zbada ci gªo± f : (R, O 1 ) (R, O 2 ) przy ró»nych topologiach O 1, O 2 na R, gdy f(x) = x 2, [x], max{0, x}, χ R\Q (x), χ R\{0} (x). Zadanie 3.2. [Funkcje dwu zmiennych] Zbada ci gªo± f : (R [0, ), O 1 ) (R [0, ), O 2 ) przy ró»nych topologiach O 1, O 2 na R [0, ), gdy f(x, y) = (x, y), (x, y 2 ), (x + y, y), (y, y), (x, 0), ( 3, χ R\Q (x + y) ). Zadanie 3.3. [Póªci gªo± ] Funkcja f : R R jest póªci gªa z góry [odp. z doªu], gdy przy r R otwarte s zbiory postaci {x : f(x) < r} [odp. {x : f(x) > r}]. Opisa stosowne topologie w przeciwdziedzinie, wzgl dem których ci gªo± daje powy»sze póªci gªo±ci. Poda przykªady odwzorowa«póªci gªych, ale nie ci gªych. Zadanie 3.4. [Jednostronna ci gªo± ] Niech f : R R. Opisa stosowne topologie w dziedzinie, wzgl dem których ci gªo± wyra»a prawo- [odp. lewo-] stronn ci gªo± (tzn. lim x x + f(x) = f(x 0 ), odp. lim 0 x x f(x) = 0 f(x 0 ), dla x 0 R). Poda przykªady odwzorowa«jednostronnie ci gªych, ale nie ci gªych. Zadanie 3.5. [Sªaba topologia] Niech f j : X (Y j, T j ), j J. Skonstruowa najsªabsz (najmniejsz wzgl dem inkluzji) topologi w X, przy której wszystkie odwzorowania f j s ci gªe. Opisa sªab topologi w R wyznaczon przez f : R (R, T ) (T topologia naturalna prostej), gdy f(x) = [x], x, x 3, 4, e x, sgn x. 4 Oddzielanie (X, O) T 0 ( x1,x 2 X x 1 x 2 i=1,2 Ui O x i U i x 3 i ), (X, O) T 1 ( x1,x 2 X x 1 x 2 i=1,2 Ui O x i U i x 3 i ), (X, O) T 2 (Hausdora) ( x1,x 2 X x 1 x 2 U1,U 2 O x 1 U 1, x 2 U 2, U 1 U 2 = ), (X, O) T 3 (regularna) ( A D x X x A U1,U 2 O x U 1, A U 2, U 1 U 2 = ), ( ) (X, O) T 3 1 (caªkowicie regularna) 2 A D x X x A f:(x,o) [0,1], ci gªa f(x) = 0 a A f(a) = 1, (X, O) T 4 (normalna) ( A,B D A B = U1,U 2 O A U 1, B U 2, U 1 U 2 = ). (Lemat Urysohna) W przestrzeni normalnej (X, O) zbiory domkni te mo»na oddziela funkcyjnie: A,B D A B = f:(x,o) [0,1], ci gªa ( a A f(a) = 0) ( b B f(b) = 1).

Topologia 4 Zadanie 4.1. Sklasykowa ze wzgl du na aksjomaty oddzielania wszystkie znane sobie przykªady przestrzeni topologicznych. Zadanie 4.2. (X, O) speªnia 1. T 1, gdy x X {x} = {x}, 2. T 4, gdy jest T 1 i U,D X ( D = D U O V O D V V U ). Zadanie 4.3. Przestrze«sko«czona speªniaj ca T 2 musi by dyskretna. Co z T 1? Zadanie 4.4. Niech f : (X, O) (Y, T ) b dzie ci gªe oraz Y = f(x) (surjekcja). Je±li X speªnia warunek T i, to czy równie» Y musi speªnia warunek T i? Czy je±li Y speªnia T i, to równie» X musi speªnia T i? 5 Operacje na przestrzeniach Podprzestrze«M X przestrzeni (X, O) zaopatrujemy w topologi indukowan O M = {U M : U O}. Produkt Tichonowa ( j J (X j, O j ) = j J X j, ) j J O j przestrzeni (X j, O j ), j J, to iloczyn kartezja«ski j J X j zaopatrzony w topologi j J O j dan za pomoc bazy B = U j : j J U j O j, card {j J : U j X} < ℵ 0. j J (Charakteryzacja ci gªo±ci odwzorowa«w produkt ) Niech π j : j J X j X j rzutowanie na j-t wspóªrz dn, π j ( (x j ) j J ) = x j. Przeksztaªcenie g : (Z, T ) j J (X j, O j ) jest ci gªe j J π j g : (Z, T ) (X j, O j ) s ci gªe. Zadanie 5.1. [Podprzestrze«] Niech A M X. Pokaza,»e dla topologii indukowanej O M z (X, O) na M 1. A jest domkni ty w (M, O M ), gdy jest postaci A = D M, gdzie D jest domkni ty w (X, O), 2. A M = A M. Zadanie 5.2. [Sªaba topologia] Topologia O M indukowana na M X z (X, O) to sªaba topologia wyznaczona przez zanurzenie i : M (X, O), z M i(z) = z. Zadanie 5.3. Je±li f : (X, O) (Y, T ) jest ci gªe, M X, to f M : (M, O M ) (Y, T ) jest ci gªe. Zadanie 5.4. Niech f : (X, O) (Y, T ), X = D 1 D 2, X D 1, D 2 domkni te. Wówczas f jest ci gªe dokªadnie wtedy, gdy obci cia f Dj : (D j, O Dj ) (Y, T ) s ci gªe przy j = 1, 2. Zadanie 5.5. Niech L = R {0}, M = R (0, ), póªpªaszczyzna L M = R [0, ) b dzie zaopatrzona w topologi Niemyckiego O. Pokaza,»e 1. (L, O L ) = (L, 2 L ) dyskretna, 2. (M, O M ) = (M, T M ), gdzie (R 2, T ) pªaszczyzna z topologi naturaln (euklidesow ). Zadanie 5.6. [Produkt sko«czony] Uzasadni,»e w (X Y, O T ) 1. A B = A B, 2. Int (A B) = Int A Int B, 3. Fr (A B) = (Fr A B) (A Fr B).

Topologia 5 Zadanie 5.7. [Sªaba topologia] Topologia produktowa O T w X Y to sªaba topologia wyznaczona przez rzutowania π X : X Y (X, O), π Y : X Y (Y, T ), π X (x, y) = x, π Y (x, y) = y, (x, y) X Y. Zadanie 5.8. Dla ci gªych f i : (X i, O i ) (Y i, T i ), i = 1, 2, deniujemy f 1 f 2 (x 1, x 2 ) = (f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 )) dla (x 1, x 2 ) X 1 X 2. Wykaza ci gªo± f 1 f 2 : (X 1 X 2, O 1 O 2 ) (Y 1 Y 2, T 1 T 2 ). Zadanie 5.9. Sprawdzi,»e produkt dwu przestrzeni [anty]dyskretnych jest [anty]dyskretny. Zadanie 5.10. [Produkt pudeªkowy] Produkt j J X j przestrzeni topologicznych (X j, O j ) mo»na stopologizowa za pomoc bazy B = { } j J U j : j J U j O j. Pokaza,»e rzutowania π j : j J X j X j, π j ((x j ) j J ) = x j, j J, s ci gªe w tej topologii. Zadanie 5.11. [Produkt Tichonowa] Wyposa»amy zbiór ci gów rzeczywistych R N = n N R w topologi produktow Tichonowa, przy czym w ka»dym z czynników R zadana jest jedna i ta sama wybrana przez nas topologia prostej. Sprawdzi, które spo±ród poni»szych zbiorów s domkni te albo otwarte: 1. {(x n ) n N : x 1 = x 3 = 0}, 2. {(x n ) n N : x 1 < 0, x 4 > 0}, 3. {(x n ) n N : x 1 0, x 5 2}, 4. {(x n ) n N : n N 0 x n 1} = n N [0, 1], 5. {(x n ) n N : n N 0 < x n < 1} = n N (0, 1), 6. {(x n ) n N : n N 0 < x n < 1}. Zadanie 5.12. Niech f : n N X n n N X n, f ( (x n ) n N ) = (x 1, x 1, x 3, x 3, x 5, x 5,...). Pokaza,»e gdy w dziedzinie i przeciwdziedzinie zadano t sam topologi produktow, albo Tichonowa, albo pudeªkow, to f jest przeksztaªceniem ci gªym. Przedyskutowa sytuacj, gdy topologie produktowe w dziedzinie i w przeciwdziedzinie s ró»ne. Zadanie 5.13. [Oddzielanie pooperacyjne] Czy podprzestrze«t i -przestrzeni speªnia warunek T i? Czy produkt T i -przestrzeni speªnia warunek T i? W przypadku, gdy tak udowodni stosowne twierdzenie, w przypadku, gdy nie poda stosowny kontrprzykªad. 6 Zwarto± i spójno± (X, O) przestrze«spójna O D = {, X}. {U j } j J pokrycie otwarte zbioru A (X, O) j J U j A, j J U j O. {U i } i I podpokrycie pokrycia {U j } j J zbioru A j J U j A, I J. (X, O) przestrze«zwarta (X, O) przestrze«hausdora speªniaj ca {U j } j J, pokrycie otwarte X {U jk } n k=1, podpokrycie sko«czone X. (X, O) A zwarty/spójny (A, O A ) podprzestrze«zwarta/spójna. (Twierdzenie Tichonowa) Produkt Tichonowa przestrzeni zwartych jest zwarty. (Niezmienniczo± na ci gªe obrazy ) Niech f : X Y ci gªe. Je±li A X jest zwarty/spójny, to f(a) Y równie» jest zwarty/spójny. (Twierdzenie Weierstrassa) Funkcja ci gªa f : X R na przestrzeni zwartej X przyjmuje kresy tzn. x,x X f(x ) = inf x X f(x), f(x ) = sup x X f(x). Je±li f jest tylko póªci gªa z góry, to przyjmuje maksimum, a gdy tylko póªci gªa z doªu, to minimum. (Twierdzenie Darboux ) Funkcja ci gªa f : X R na przestrzeni spójnej X przyjmuje wszystkie warto±ci po±rednie tzn. x1,x 2 X y R f(x 1 ) < y < f(x 2 ) x X y = f(x). Zadanie 6.1. Zwerykowa pod k tem zwarto±ci i spójno±ci znane sobie przykªady przestrzeni. Zadanie 6.2. X K zwarty z ka»dego otwartego pokrycia K mo»na wybra podpokrycie sko«czone. Zadanie 6.3. [Charakteryzacja niespójno±ci za pomoc zbiorów rozgraniczonych] X S niespójny =A,B X S = A B, (A B) (A B) =. Zadanie 6.4. Zbada w ró»nych topologiach na X zwarto± i spójno± A X, gdy

Topologia 6 1. X = R, A = (, 0], (, 0), ( 2 3, ), [ 1 3, ), [0, 1], [0, 1), [0, 1] [2, 3]. 2. X = R [0, ), A = [0, 1] {0}, {0} [0, 1], [0, 1] (0, 1]. Zadanie 6.5. Je±li S X jest spójny, to S te» jest spójny. Co z Int S? Zadanie 6.6. Je±li S 1, S 2 X s spójne, przy czym S 1 S 2, to ich suma S 1 S 2 te» jest spójna. Co ze spójno±ci przekroju S 1 S 2? Zadanie 6.7. Je»eli K 1, K 2 X s zwarte, to suma K 1 K 2 X równie». Zadanie 6.8. [Produkt sko«czony] Produkt dwu przestrzeni X Y jest zwarty/spójny wtedy i tylko wtedy gdy obie przestrzenie X, Y s zwarte/spójne. Zadanie 6.9. [Podprzestrze«] Je±li X jest zwarta, to K X jest zwarty, gdy jest domkni ty. Zadanie 6.10. [Twierdzenie RieszaCantora] Niech K n X b d zwarte i niepuste dla n = 1, 2,..., przy czym rodzina (K n ) n=1 zst puje (tzn. n N K n+1 K n ). Wówczas przekrój n=1 K n jest niepusty i zwarty. Zadanie 6.11. [Oddzielanie] Ka»da zwarta przestrze«hausdora jest regularna (T 3 ) i normalna (T 4 ). Zadanie 6.12. [O odwzorowaniu domkni tym] Je±li X jest zwarta, Y Hausdora, a f : X Y ci gª injekcj, to f jest domkni te (tzn. obrazy domkni tych s domkni te). W konsekwencji odwzorowanie odwrotne z obrazu f 1 : Y f(x) X jest ci gªe; inaczej: f : X f(x) stanowi homeomorzm. 7 Przestrze«odwzorowa«w C(X, Y ) wyz- Niech C(X, Y ) b dzie przestrzeni funkcji ci gªych. Podbaz topologii zwarto-otwartej naczaj zbiory postaci K, U = {f C(X, Y ) : f(k) U}, gdzie X K zwarty, Y U otwarty. W przypadku, gdy X jest zwart przestrzeni metryczn, a Y przestrzenia metryczn topologia zwarto-otwarta jest zgodna z topologi zbie»nosci jednostajnej wyznaczon przez metryk supremum Czebyszewa. Topologi zbie»no±ci punktowej w C(X, Y ) Y X nazywamy topologi indukowan z topologii Tichonowa w produkcie Y X = x X Y x = x X Y, Y x = Y. Zadanie 7.1. [Twierdzenie Diniego] Niech X b dzie zwarta, f n, f C(X, R), n N. Je±li ci g funkcyjny (f n ) n=1 zbiega do f punktowo, f n f, i monotonicznie, n N n f n f n+1, to zbiega równie» jednostajnie f n n f.