Algebra 2008/9 Notatki do wyk ladów. A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH

Algebra 2008/9 Notatki do wyk ladów A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH 21 stycznia 2009

Spis treści 1 Wyk lad I. 1.X.2008 3 1.1 Wstep................................. 3 1.2 Arytmetyka liczb ca lkowitych.................... 5 1.3 Grupy................................. 6 2 Wyk lad 2. 8.X.2008 7 2.1 Grupy c.d................................ 7 2.2 Grupy cykliczne............................ 8 3 Wyk lad 3. 15.X.2008 9 3.1 Grupy c.d................................ 9 3.1.1 Twierdzenia Cayleya i Lagrange a............. 9 4 Wyk lad 4. 22.X.2008 11 4.1 Grupy c.d................................ 11 4.1.1 Wnioski z twierdzenia Lagrange a.............. 11 4.1.2 Twierdzenie Eulera i Ma le Twierdzenie Fermata..... 11 4.2 Ćwiczenia............................... 11 4.3 Chińskie twierdzenie o resztach równania modularne........................ 12 5 Wyk lad 5. 29.X.2008 13 5.1 Grupy c.d................................ 13 5.1.1 Zliczanie orbit grupy - teoria Burnside a-polyi....... 13 6 Wyk lad 6. 5.XI.2008 15 6.1 Grupy - c.d............................... 15 6.1.1 Lemat Burnside a...................... 15 6.1.2 Grupy alternujace...................... 15 6.1.3 Podgrupy normalne..................... 16 7 Wyk lad 7. 12.XI.2008 17 7.1 Grupy c.d................................ 17 7.1.1 Podgrupy normalne..................... 17 7.2 Pierścienie............................... 18 1

SPIS TREŚCI 2 7.2.1 Przyk lady pierścieni..................... 19 8 Wyk lad 8. 19.XI.2008 20 8.1 Podpierścienie............................. 20 8.2 Zadania................................ 20 8.2.1 Idea ly............................. 21 8.2.2 Wielomiany.......................... 22 8.2.3 Podzielność w pierścieniach................. 22 9 Wyk lad 9. 26.XI.2008 25 9.0.4 Pierścienie Gaussa...................... 25 9.1 Wielomiany nad pierścieniem (c.d.)................. 27 10 Wyk lad 10. 3.XII.2008 29 10.0.1 Pierścienie g lówne (c.d.)................... 29 10.1 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki................. 30 11 Wyk lad 11. 10.XII.2008 31 11.0.1 Cia lo u lamków pierścienia ca lkowitego........... 31 11.1 Pierścienie ilorazowe......................... 32 11.2 Homomorfizmy pierścieni...................... 33 12 Wyk lad 12. 17.XII.2009 34 12.1 Wielomiany wielu zmiennych.................... 34 12.1.1 Wielomiany symetryczne.................. 34 12.1.2 Twierdzenie Wilsona..................... 35 13 Wyk lad XIII, 7.I.2009 36 13.1 Zasadnicze Twierdzenie Algebry.................. 36 13.2 Pierścienie wielomianów nad pierścieniami Gaussa........ 36 14 Wyk lad XIV, 14.I.2009 38 14.1 Twierdzenie Gaussa......................... 38 14.2 Rozszerzenia cia l........................... 38 14.2.1 Rozszerzenia skończone, algebraiczne i przestepne..... 39 15 Wyk lad XV, 21.I.2009 40 15.1 Cia lo rozk ladu............................ 40 Bibliografia 41

Rozdzia l 1 Wyk lad I. 1.X.2008 1.1 Wst ep Zacznijmy od kilku informacji o historii nazwy przedmiotu. Nazwa algebra pochodzi od tytu lu dzie la arabskiego matematyka dzia lajace- go w IX wieku w Bagdadzie, Muhammada Ibn Mussa Al Chwarizimi: Hisab al-dżabr wal mukabala (w transkrybcji polskiej, oczywiście). Algebra jest zniekszta lconym al-dżabr z owego tytu lu 1. Tytu l ten oznacza Sztuka redukcji i przenoszenia, zaś samo dzie lo arabskiego matematyka dotyczy lo rozwiazywania równań algebraicznych stopni pierwszego i drugiego. Al Chwarizimi by l g lówna postacia znakomitej instytucji która by l bagdadzki Dom Nauki, prekursor późniejszych uniwersytetów i instytucji naukowych. Nazwisko Al Chwarizimiego, także zniekszta lcone 2, sta lo sie źród lem nazwy algorytm, tak ważnej we wspó lczesnej matematyce i informatyce. Zainteresowanych historia matematyki namawiam goraco do przeczytania pie- knej ksiażki Marka Kordosa Wyk lady z historii matematyki dzieki której można poznać historie matematyki, prześledzić jak powstawa la i zrozumieć jak bardzo niebanalnymi by ly, dla pozbawionych wspó lczesnego formalizmu algebraicznego uczonych, dzia lajacych we wcale niedawnej przesz lości wieków średnich, najprostsze operacje algebraiczne. Poza aspektami historycznymi, warto w tym miejscu zwrócić uwage na jeszcze jedna sprawe. Ta cześć algebry, która jest obiektem Notatek, najcześciej nazywana jest algebra abstrakcyjna. To piekna i dobra nazwa, która wyróżnia ten dzia l od algebry liniowej. Niestety przymiotnik abstrakcyjna sugruje też: niekoniecznie potrzebna. To oczywista nieprawda - nawet podczas tego wyk ladu 1 W jezykach angielskim i francuskim podobieństwo s lowa algebra czy też algèbre do arabskiego orygina lu jest znacznie wyraźniejsze niż w jezyku polskim. 2 Tytu l dzie la Al Chwarizimiego przet lumaczony na lacine brzmia l Algorithmi de numero Indorum, co mia lo znaczyć: Al Chwarizimiego dzie lo o liczbach indyjskich. To w laśnie dzieki temu dzie lu Europa pozna la dziesiatkowy system pozycyjny i liczbe zero, które matematycy arabscy przejeli od Hindusów. 3

ROZDZIA L 1. WYK LAD I. 1.X.2008 4 bedziecie mieli okazje do poznania niektórych zastosowań. Czasu nie wystarczy lo, by przedstawić ich wiecej. Poznacie je z pewnościa na innych przedmiotach (kodowanie, matematyka dyskretna, teoria algorytmów...). Po refleksji doszed lem do wniosku, że do l aczanie do niniejszego tekstu zestawu pytań by loby szkodliwe. Podczas ostatniego wyk ladu stara lem sie ten poglad obszernie uzasadnić. Życze Wam (i sobie) powodzenia podczas sesji. Nie tylko, choć przede wszystkim, z algebry. A. Pawe l Wojda Kraków 21 stycznia 2009

ROZDZIA L 1. WYK LAD I. 1.X.2008 5 1.2 Arytmetyka liczb ca lkowitych Przypomnijmy twierdzenie o dzieleniu liczb ca lkowitych. Twierdzenie 1.1 Dla dowolnych liczb ca lkowitych a i b, b > 0 istnieja jednoznacznie wyznaczone liczby q, r Z takie, że a = bq + r, przy czym 0 r < b. Liczby q oraz r nazywamy, odpowiednio, ilorazem i reszta dzielenia a przez b. Warto podkreślić, że twierdzenie 1.1 nie jest tym, które wiekszość studentów pamieta ze szko ly 3. Mówimy, że d jest najwiekszym wspólnym dzielnikiem liczb ca lowitych a i b jeżeli d a i d b oraz dla każdego c Z: c a c b c d Algorytm Euklidesa Niech a, b Z, a, b 0. Tworzymy rekurencyjnie ciag (r n ): r 0 = a, r 1 = b r n 1 = q n r n + r n+1, gdzie 0 r n+1 < r n. Twierdzenie 1.2 Niech a, b Z, a, b 0. Istnieje takie k ca lkowite, że r k 0, r k+1 = 0 (gdzie ciag (r n ) jest wyznaczony przy pomocy algorytmu Euklidesa). Co wiecej, mamy wówczas r k =NWD(a, b). Jeśli NWD(a, b)= 1, wówczas mówimy, że a i b sa wzglednie pierwsze i piszemy (a, b)= 1 lub a b. Twierdzenie 1.3 Niech a, b Z, nie równe równocześnie zero. NWD(a, b) = min{d > 0 : d = ax + by, x, y Z} Wniosek 1.4 Jeśli a, b Z, a b, to istnieja α, β Z: αa + βb = 1 Co wiecej, α i β dadza sie znaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Twierdzenie 1.5 (Euklides) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. 3 Sprawdź, jaki jest wynik dzielenia liczby 9 przez 7?

ROZDZIA L 1. WYK LAD I. 1.X.2008 6 1.3 Grupy Definicja 1.1 (Przypomnienie) Zbiór G z dzia laniem l acznym, posiadaja- cym element neutralny w G i taki, że każdy element w G ma element odwrotny nazywamy grupa. O grupie G mówimy, że jest przemienna (lub abelowa) jeśli dzia lanie jest przemienne. h : G 1 G 2 jest homomorfizmem grupy (G 1, ) w grupe (G 2, ) jeśli h(x y) = h(x) h(y) dla dowolnych x, y G 1. Homomorfizm h jest: monomorfizmem, jeśli h jest injekcja, epimorfizmem, jeśli h jest surjekcja, izomorfizmem, jeśli h jest bijekcja. W tym ostatnim przypadku mówimy, że grupy G i H sa izomorficzne. Przyk lad 1.1 Przyk lady grup: (Z, +), (Q, +) (Q +, ) (Z n, +), (R, +),... grupy przemienne (Q = Q {0}), Q + = {a Q a > 0}. (S(X), ) grupa permutacji zbioru X, nieprzemienna dla X 3 Z dok ladnościa do izomorfizmu, istnieje tylko jedna grupa o co najwyżej 3 elementach. Istnieja dok ladnie dwie grupy (z dok ladnościa do izomorfizmu) rzedu 4: grupa (Z 4, +) oraz grupa Kleina (materacowa) (Z 2 Z 2, +). Twierdzenie 1.6 Niech n N i niech a Z n. a jest elementem odwracalnym ze wzgledu na dzia lanie mnożenia w Z n wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i n sa wzglednie pierwsze. Przyk lad 1.2 (Z 8, ) oczywiście nie jest grupa. Co wiecej, także (Z 8, ), gdzie Z = Z {0}, nie jest grupa. Grupa przemienna natomiast jest (Z 8, ), gdzie Z 8 = {1, 3, 5, 7}.

Rozdzia l 2 Wyk lad 2. 8.X.2008 2.1 Grupy c.d. Definicja 2.1 Niech n N. Definiujemy Z n = {z Z n : a n}. Oczywiście prawdziwe jest nastepuj ace: Twierdzenie 2.1 Niech n N. Wówczas (Z n, ) jest grupa przemienna. Definicja 2.2 (Funkcja ϕ Eulera) Niech n N. Przez ϕ(n) oznaczamy liczbe takich a N, że a n = 1 (a i n sa wzglednie pierwsze). Funkcje ϕ : N N nazywamy funkcja Eulera. Nast epne twierdzenie nie wymaga dowodu. Twierdzenie 2.2 Dla każdej liczby naturalnej n 2 ϕ(n) = Z n. W lasności funkcji Eulera: Niech P bedzie liczba pierwsza. Wówczas ϕ(p) = p 1, ϕ(p 2 ) = p 2 p, ϕ(p n ) = p n p n 1 Jeśli także q jest pierwsze, to ϕ(pq) = pq p q + 1 = (p 1)(q 1). 7

ROZDZIA L 2. WYK LAD 2. 8.X.2008 8 Twierdzenie 2.3 (Formu la Sita 1 lub Zasada W l aczania i Wy l aczania) Niech A 1, A 2,..., A n bed a zbiorami skończonymi. Wówczas zachodzi wzór A 1 A 2... A n = ( 1) k+1 A i1 A i2... A ik. 1 i 1<i 2<...<i k n Formu la sita pos luży nam do wykazania nastepuj aego twierdzenia. Twierdzenie 2.4 Niech n = p 1...p t, gdzie p i sa różnymi liczbami pierwszymi dla i = 1,..., t. Wówczas ϕ(n) = n n n... n + n +...+ n n n... +...± ( 1)t n p 1 p 2 p t p 1 p 2 p t 1 p t p 1 p 2 p 3 p t 2 p t 1 p t p 1 p 2...p t ) ) ) = n (1 (1 1p1 1p2... (1 1pt Przyk lad 2.1 ϕ(42) = ϕ(2 3 7) = 12 Wniosek 2.5 Wzór na ϕ z twierdzenia 2.4 pozostaje identyczny jeśli po lożymy n = p a1 1... pat t gdzie p 1 <... < p t sa liczbami pierwszymi, a 1,..., a t N. 2.2 Grupy cykliczne Definicja 2.3 (Generator grupy) Mówimy, że element g jest generatorem grupy G z dzia laniem, jeżeli każdy element grupy G można otrzymać jako wynik dzia lania na elementach g i g 1. Przyk lad 2.2 1 (a także 1) jest generatorem grupy Z (addytywnej grupy liczb ca lkowitych). 2 jest generatorem (multyplikatywnej) grupy Z 5. Twierdzenie 2.6 Jeżeli G jest multyplikatywna grupa skończona, g G, wówczas istnieje n N takie, że g n = g 1 Dow.... Definicja 2.4 Jeśli grupa G na skończona liczbe elementów, wówczas mówimy, że G jest skończona a jej liczbe elementów nazywamy rzedem grupy G. 1 Dok ladniej: sita Eratostenesa. Eratostenes, (276-194 p.n.e) by l kustoszem Biblioteki Aleksandryjskiej i jednym z najwiekszych umys lów starożytności. Sito Eratostenesa s luży lo do odsiewania liczb pierwszych od plew innych liczb (por. twierdzenie 2.4 i wniosek 2.5). Jego innym, wielkim osiagni eciem by la próba zmierzenia promienia Ziemi przez zmierzenie d lugości cieni rzucanych w po ludnie przez dwie tyczki: jednej ustawionej w Aleksandrii, drugiej zaś w Syene (dzisiejszy Asuan). Wynik jaki otrzyma l różni l sie tylko o 1% od nam znanego, a by lo to w czasach kiedy w kulistość Ziemi wierzy l ma lo kto!

Rozdzia l 3 Wyk lad 3. 15.X.2008 3.1 Grupy c.d. Definicja 3.1 Najmniejsze n N takie, że g n = e (3.1) nazywamy rzedem elementu g grupy, jeśli n N spe lniajace (3.1) nie istnieje, wówczas mówimy, że rzedem g jest. Jeśli grupa zawiera generator, to nazywamy ja cykliczna. Przyk lad 3.1 Grupa (Z 4, +) jest cykliczna, grupa Kleina nie. Twierdzenie 3.1 Każda grupa cykliczna jest przemienna. Dowód oczywisty tym bardziej trzeba umieć! Twierdzenie 3.2 Każda skończona grupa cykliczna G jest izomorficzna z (Z n, +), gdzie n jest rz edem grupy G. 1 3.1.1 Twierdzenia Cayleya i Lagrange a Definicja 3.2 (Grupa transformacji) Dowolna podgrupe grupy permutacji S(X) nazywamy grupa transformacji. Twierdzenie 3.3 (Tw. Cayleya) Dowolna grupa jest izomorficzna z pewna grupa tranformacji. Twierdzenie 3.4 (Lagrange a) Niech H bedzie podgrupa grupy skończonej G, a = H, b = G. Wówczas a b. 1 Inaczej: jedyna, z dok ladnościa do izomorfizmu, grupa skończona o n elementach jest (Z n, +). 9

ROZDZIA L 3. WYK LAD 3. 15.X.2008 10 Definicja 3.3 (Przystawanie modulo pó lgrupa) Niech H bedzie podgrupa grupy G, a, b G. Mówimy, że a przystaje do b modulo H (piszemy a b (mod H) lub ar H b) jeżeli ab 1 H. Lemat 3.5 Jeżeli H jest podgrupa G wówczas relacja przystawania modulo H jest w G relacja równoważności. Lemat 3.6 Niech G bedzie dowolna grupa, zaś H jej podgrupa. Wówczas klasa elementu neutralnego grupy G modulo H jest zbiór H. Lemat 3.7 Niech G bedzie dowolna grupa, zaś H jej podgrupa. Wówczas dowolne dwie klasy równoważności modulo H sa równoliczne (bijektywne) 2. Oczywiście twierdzenie Lagrange a wynika natychmiast z lematu 3.7. 2 W przypadku gdy G jest grupa skończona oznacza to, że dowolne dwie klasy równoważności modulo H maja taka sama liczbe elementów.

Rozdzia l 4 Wyk lad 4. 22.X.2008 4.1 Grupy c.d. 4.1.1 Wnioski z twierdzenia Lagrange a Wniosek 4.1 Każdy element grupy skończonej G ma rzad bed acy dzielnikiem rzedu grupy G. Wniosek 4.2 Jeśli rzad grupy G jest liczba pierwsza, to G jest cykliczna. Wniosek 4.3 (stary) Jedynymi grupami grupami rzedu 4 sa Z 4 i grupa Kleina. 4.1.2 Twierdzenie Eulera i Ma le Twierdzenie Fermata Twierdzenie 4.4 (Eulera) Jeśli liczby naturalne a, n sa wzglednie pierwsze, wówczas a ϕ(n) 1 (mod n) Twierdzenie 4.5 (Ma le Twierdzenie Fermata) Jeśli p jest liczba pierwsza, a Z, to a p a( mod p) 4.2 Ćwiczenia 1. Niech G bedzie grupa. Wykaż, że podzbiór niepusty H G jest podgrupa G wtedy i tylko wtedy, gdy x, y H : xy 1 H. 2. Wykaż że jeśli w grupie skończonej G zbiór S jest zamkniety ze wzgledu na dzia lanie grupowe, wówczas S jest podgrupa. 3. Wykaż, że podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. 11

ROZDZIA L 4. WYK LAD 4. 22.X.2008 12 4.3 Chińskie twierdzenie o resztach równania modularne Twierdzenie 4.6 Równanie modularne ax 1 (mod n) (4.1) ma rozwiazanie wtedy i tylko wtedy gdy a i n sa wzglednie pierwsze (oczywiście takie rozwiazanie jest jedyne w Z n i jest postaci x a 1 b (mod n), lub inaczej: x = x 0 + kn, gdzie k Z n, zaś x 0 jest równy a 1 b przy czym a 1 jest el. odwrotnym do a w Z n ze wzgledu na mnożenie). Uwaga. Sposobem znajdowania elementu odwrotnego do elementu a w Z n jest skorzystanie z algorytmu Euklidesa. Jest to możliwe zawsze wtedy gdy taki element istnieje, a mianowicie gdy a i n sa wzglednie pierwsze. Rzeczywiście, a n wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieja s i t ca lkowite spe lniajace sa + tn = 1 Wówczas sa = 1 + ( t)n, co oznacza, że s jest w Z n elementem odwrotnym do a. Twierdzenie 4.7 (Chińskie o resztach 1 ) Niech a, b Z, m, n N, m n. Wówczas uk lad równań { x a ( mod m) (4.2) x b ( mod n) ma rozwiazanie. Co wiecej, każde dwa rozwiazania tego uk ladu różnia sie o wielokrotność mn (można też powiedzieć, że rozwiazanie jest jedyne modulo mn lub, że zbiór rozwiazań 4.3 jest postaci {x 0 + k(mn) k Z}). Twierdzenie 4.7 pozwala latwo (indukcyjnie) udowodnić nastepuj ace uogólnienie chińskiego twierdzenia o resztach. Twierdzenie 4.8 Niech m 1,..., m k N bed a parami pierwsze (t.zn. m i m j dla i j). Wówczas uk lad równań x a 1 ( mod m 1 ) x a 2 ( mod m 2 )... x a k ( mod m k ) ma jednoznaczne rozwiazanie modulo m 1... m k. (4.3) 1 Twierdzenie to udowodni l ok. 350 roku n.e. Sun Tsu Suan-Ching.

Rozdzia l 5 Wyk lad 5. 29.X.2008 5.1 Grupy c.d. 5.1.1 Zliczanie orbit grupy - teoria Burnside a-polyi Niech G bedzie grupa multyplikatywna. Mówimy, że G dzia la na zbiorze X jeśli jest określone odwzorowanie ϕ : G X X spe lniajace nastepuj ace dwa warunki (piszemy g(x) zamiast ϕ(g, x)): 1. dla dowolnych g 1, g 2 G oraz dla każdego x X (g 1 g 2 )(x) = g 1 (g 2 (x)) 2. dla dowolnego x X e(x) = x (gdzie e jest elementem neutralnym grupy G). Przyk lady... Twierdzenie 5.1 Jeśli grupa G dzia la na zbiorze X, g G, to g jest bijekcja. Dla grupy G dzia lajacej na zbiorze X oraz el. x X stabilizatorem x nazywamy Stab x = {g G : g(x) = x} Przyk lad.. Twierdzenie 5.2 Stabilizator dowolnego elementu x X jest podgrupa grupy G. Orbita elementu x X nazywamy zbiór Relacja R określona przez jest w X równoważnościowa. Orb x = {g(x) : g G} xry g G : g(x) = y 13

ROZDZIA L 5. WYK LAD 5. 29.X.2008 14 Twierdzenie 5.3 Jeśli skończona grupa G dzia la na zbiorze X, wówczas dla każdego x X G = Stab x Orb x Dowód... Liczne przyk lady naszyjniki, liczby różnych pokolorowań wierzcho lków wielościanów.

Rozdzia l 6 Wyk lad 6. 5.XI.2008 6.1 Grupy - c.d. 6.1.1 Lemat Burnside a Dla danej grupy G dzia lajacej na zbiorze X oraz ging zbiór punktów sta lych g oznaczamy przez F ix g: F ix g = {x X : g(x) = x} Twierdzenie 6.1 (Lemat Burnside a) Niech G bedzie grupa skończona dzia lajac a na zbiorze skończonym X. Wówczas liczba N orbit zbioru X ze wzgledu na G wynosi N = 1 F ix g G Przyk lady... Dowód... g G 6.1.2 Grupy alternujace Definicja 6.1 S n grupa permutacji zbioru [1, n] A n podzbiór permutacji parzystych S n Twierdzenie 6.2 A n jest podgrupa grupy S n. Twierdzenie 6.3 A n = n! 2 Twierdzenie 6.4 Grupa A n jest generowana przez 3-cykle. 15

ROZDZIA L 6. WYK LAD 6. 5.XI.2008 16 6.1.3 Podgrupy normalne Warstwy prawo- i lewostronne Już wiemy (dowiedzieliśmy sie tego przy okazji dowodu twierdzenia Lagrange a), że dla dowolnej podgrupy H grupy multyplikatywnej G relacja: arb ab 1 jest równoważnościowa. Klasa równoważności dowolnego elementu a G dla tej relacji jest zbiór Ha = {ha h H} zwany warstwa prawostronna. Podobnie można zdefiniować warstwe lewostronna elementu a: ah = {ah h H} Z latwościa można sprawdzić, że warstwy lewostronne sa klasami równoważności dla relacji (także równoważnościowej) L zdefiniowanej w G wzorem alb a 1 b H (gdzie H jest podgrupa G).

Rozdzia l 7 Wyk lad 7. 12.XI.2008 7.1 Grupy c.d. 7.1.1 Podgrupy normalne Twierdzenie 7.1 Jeśli grupa G jest przemienna, to dla dowolnej podgrupy H i a G ah = Ha Definicja 7.1 Mówimy, że podgrupa H grupy G jest normalna (lub niezmiennicza), jeśli dla dowolnego a H i dla każdego b G zachodzi b 1 ab H. Twierdzenie 7.2 Podgrupa H grupy G jest normalna wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego c G ch = Hc Twierdzenie 7.3 Niech H bedzie podgrupa grupy multyplikatywnej G. H jest podgrupa normalna wtedy i tylko wtedy gdy relacja R (zdefiniowana wzorem arb ab 1 H) jest zgodna z dzia laniem grupowym grupy G. Twierdzenie 7.4 Jeśli H jest podgrupa normalna grupy G, to G/H z dzia laniem zdefiniowanym wzorem Ha Hb = Hab jest grupa (zwana grupa ilorazowa). Twierdzenie 7.5 (O morfiźmie grup) Jeśli f : G H jest morfizmem grup, to grupa ilorazowa G/Ker f jest izomorficzna z Im f. Dok ladniej: jeśli oznaczymy przez k : G G/Ker f morfizm kanoniczny dany wzorem k(g) = (Ker f)g, zaś przez h : G/Ker f Im f odwzorowanie zadane wzorem h((ker f)a) = f(a), to h jest izomorfizmem grup i zachodzi wzór f = h k. 17

ROZDZIA L 7. WYK LAD 7. 12.XI.2008 18 7.2 Pierścienie W definicji pierścienia, która podajemy poniżej, stosujemy powszechnie znana ze zbiorów liczbowych (R, N, Z etc) konwencje nie pisania znaku dzia lania (inaczej: dzia lania multyplikatywnego), o ile tylko nie prowadzi to do nieporozumień. W wyrażeniach postaci (ab)+c opuszczamy nawias i piszemy ab+c, co oznacza, że jeśli nie ma nawiasu, to stosujemy regu l e pierwszeństwa mnożenia przed dodawaniem (w laściwie powinniśmy powiedzieć: pierwszeństwa dzia lania multyplikatywnego (to znaczy: oznaczanego przez ) przed dzia laniem addytywnym (to znaczy: oznaczanym przez +)). Bedziemy pisać a b zamiast a + ( b). Definicja 7.2 Zbiór P z dwoma dzia laniami + (dodawania) oraz (mnożenia) nazywamy pierścieniem jeśli: P z dzia laniem dodawania jest grupa przemienna, dzia lanie mnożenia jest l aczne, dla dowolnych elementów a, b, c P : a(b + c) = ab + ac oraz (a + b)c = ac + bc (rozdzielność mnożenia wzgl edem dodawania) Element neutralny dla dzia lania + pierścienia P nazywamy zerem pierścienia (i najcześciej oznaczamy przez 0). Jeśli dzia lanie jest przemienne to P nazywamy pierścieniem przemiennym. Jeśli ab = 0 a = 0 lub b = 0 to P jest pierścieniem bez dzielników zera. Jeśli zaś w P istnieje taki element 1 P, że dla dowolnego x P zachodzi: 1x = x1 = x to P nazywamy pierścieniem z jedynka (a element 1 jedynka pierścienia P ). Pierścień przemienny z jedynka i bez dzielników zera nazywamy pierścieniem ca lkowitym. Pierścien ca lkowity P w którym każdy element różny od zera ma element odwrotny ze wzgledu na mnożenie 1 nazywamy cia lem. Twierdzenie 7.6 Pierścień P jest bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy dla dowolnych elementów spe lniony jest warunek: a, b, c P, c 0 { ac = bc a = b ca = cb a = b ( prawa skracania) (7.1) Dowód. Przypuśćmy wpierw, że w pierścieniu P spe lniony jest warunek (7.1) oraz, że dla pewnych a, b P zachodzi ab = 0. Wówczas mamy ciag implikacji: ab = 0 ab = a0 ab a0 = 0 a(b 0) = 0 a(b 0) = a0. Z ostatniej równości oraz z drugiej z implikacji warunku (7.1) wynika, że jeśli a 0, wówczas b 0 = 0, a wiec b = 0. 1 Inaczej: dla każdego a P, a 0 istnieje a P taki, że aa = 1.

ROZDZIA L 7. WYK LAD 7. 12.XI.2008 19 Przypuśćmy teraz, że pierścień P jest bez dzielników zera. Wówczas, dla dowolnego c P, c 0 prawdziwe sa implikacje ac = bc ac bc = 0 ac+( b)c = 0 (a + ( b))c = 0 a + ( b) = 0 a = b. Podobnie dowodzimy prawa lewostronnego skracania. 7.2.1 Przyk lady pierścieni Z pewnościa najlepiej znanymi pierścienimi sa zbiory liczbowe: liczb ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych ze zdefiniowanymi w znany sposób dzia laniami dodawania zczególna role w teorii pierścieni odgrywa pierścień liczb ca lkowitych.// Z latwościa można sprawdzić, że poniższe zbiory ze wskazanymi w nich dzia laniami sa pierścieniami. Zbiór macierzy R n n, (o n wierszach i n kolumnach), z dzia laniami określonymi w zwyk ly sposób. Latwo sprawdzić, że w zbiorze liczb ca lkowitych Z relacja przystawania modulo n zdefiniowana przez a b (mod n) n b a jest zgodna z dzia laniami dodawania i mnożenia w Z. Można wi ec zdefiniować dzia lania indukowane dodawania i mnożenia w zbiorze klas Z/(mod n). Nietrudno także wykazać, że z tymi dzia laniami Z/(mod n) jest pierścieniem.

Rozdzia l 8 Wyk lad 8. 19.XI.2008 8.1 Podpierścienie Podpierścieniem pierścienia P nazywamy dowolny podzbiór A P, A jeśli A wraz z dzia laniami + i (zacieśnionymi do zbioru A) jest pierścieniem. Twierdzenie 8.1 Niech P b edzie pierścieniem. A P, A. A jest podpierścieniem P wtedy i tylko wtedy, gdy 1. a, b A a b A, 2. a, b A ab A. 8.2 Zadania Zadanie 1 Sprawdź, że zbiory: Z < 1 >= {a + ib a, b Z} Z < 3 >= {a + 3b a, b Z} z dzia laniami dodawania i mnożenia w zbiorze liczb zespolonych lub rzeczywistych, sa pierścieniami. Podaj przyk lady innych, podobnie skonstruowanych pierścieni. Zadanie 2 W pierścieniu P oznaczmy przez P zbiór dzielników zera pierścienia P. Sprawdź, że w zbiorze P P mnożenie jest dzia laniem. Zbadaj w lasności mnożenia w P P dla pierścienia Z/(mod 6) Zadanie 3 Element a pierścienia P nazywamy nilpotentnym, jeżeli istnieje liczba ca lkowita l taka, że a p = 0. Jeśli dodatkowo zachodzi a l 1 0, to l nazywamy rz edem elementu nilpotentnego a 0. Rz edem elementu nilpotentnego 0 jest z definicji 1. 20

ROZDZIA L 8. WYK LAD 8. 19.XI.2008 21 Co można powiedzieć o elementach nilpotentnych w pierścieniu ca lkowitym? Zbadaj elementy nilpotentne pierścienia Z/( mod 12). Wykaż, że suma i iloczyn elementów nilpotentnych jest nilpotenna. Co można powiedzieć o ich rz edzie (nilpotencji)? Zadanie 4 W przyk ladzie pierścieni Z/mod(n) wystapi ly sformu lowania latwo sprawdzić i nietrudno wykazać. Sprawdź wiec i wykaż. Przyjrzyj sie pierścieniom Z/mod(6) i Z/mod(7) (wypisz elementy tych pierścieni, utwórz tabelki zia lań, wskaż dzielniki zera (o ile istnieja)). 8.2.1 Idea ly Definicja 8.1 Niech P bedzie pierścieniem, I P, I. Mówimy, że I jest idea lem pierścienia P jeśli spe lnione sa nastepuj ace dwa warunki: 1. a, b P a b P 2. α P, a I αa I, aα I Przyk lad 8.1 W dowolnym pierścieniu P zbiory {0} i P sa idea lami. Przyk lad 8.2 W dowolnym pierścieniu przemiennym P, dla dowolnego a P, zbiór (a) = {αa α P } jest idea lem. Idea ly tej postaci nazywać bedziemy idea lami g lównymi. Definicja 8.2 Pierścień P nazywamy pierścieniem g lównym jeżeli każdy jego idea l jest idea lem g lównym. Najlepiej znanym przyk ladem pierścienia g lównego jest pierścień liczb ca lkowitych. Twierdzenie 8.2 Pierścień liczb ca lkowitych Z jest pierścieniem g lównym. Dowód. Przypuśćmy, że A jest idea lem w Z, A {0}. Zauważmy, że do A należy co najmniej jedna liczba dodatnia. Rzeczywiście, skoro A {0}, w A jest jakaś liczba a 0. Wobec tego także a A (wiemy, że 0 jest w dowolnym ideale, a zatem i 0 a = a A), zaś jedna z liczb: a lub a jest dodatnia. Niech teraz a 0 bedzie najmniejsza liczba dodatnia w A. Oczywiście A zawiera wszystkie wielokrotności liczby a, a wiec A (a). Wystarczy wiec wykazać, że A (a). Na mocy twierdzenia o dzieleniu z reszta w zbiorze liczb ca lkowitych, istnieja q, r Z spe lniajace b = qa + r, 0 r < a r = b qa, a wi ec r A, a ponieważ a jest najmniejszym dodatnim elementem A, mamy r = 0 i w konsekwencji a b.

ROZDZIA L 8. WYK LAD 8. 19.XI.2008 22 8.2.2 Wielomiany Definicja 8.3 Wielomianem o wspó lczynnikach w pierścieniu P nazywamy dowolny szereg formalny v = v 0 + v 1 x + v 2 x 2 +... o wspó lczynnikach w P dla którego istnieje takie k 0 P, że v k = 0 dla k k 0 (inaczej: wielomian to szereg formalny majacy tylko skończona liczbe wspó lczynników różnych od zera). Zbiór wielomianów o wspó lczynnikach w P oznaczamy przez P [x] 1. Dla wielomianu v = v 0 + v 1 x +... P [x] najwieksze k 0 dla którego v k0 0 nazywamy stopniem wielomianu v i oznaczmy przez (v). Stopniem wielomianu zerowego jest 2. Wspó lczynnik v k0 nazywamy wtedy wspó lczynnikiem dominujacym wielomianu v. Z latwościa można sprawdzić, prawdziwość nastepuj acych dwóch twierdzeń. Twierdzenie 8.3 Dla dowolnego pierścienia P zbiór P [x] jest pierścieniem. Jeśli P jest pierścieniem ca lkowitym, wówczas także P [x] jest pierścieniem ca lkowitym. Twierdzenie 8.4 Dla dowolnego pierścienia P i wielomianów v, w P [x] zachodza wzory: (v + w) max{ v, w} (vw) v + w Co wiecej, druga z tych nierówności jest równościa o ile P jest pierścieniem (przemiennym) bez dzielników zera. Zauważmy, że z każdym wielomianem w P [x], w = w 0 + w 1 x +... + w n x n można skojarzyć funkcje wielomianowa: w : P x w(x) = w 0 + w 1 x +... + w n x n P Zbiór funkcji wielomianowych o wspó lczynnikach w pierścieniu P oznaczamy przez P (x). Jest oczywiste, że także P (x) jest pierścieniem (przemiennym jeśli P jest przemienny, ca lkowitym, jeśli P jest ca lkowity). 8.2.3 Podzielność w pierścieniach Definicja 8.4 Niech P b edzie pierścieniem ca lkowitym, a, b P. Mówimy, że a dzieli b jeżeli istnieje c P takie, że b = ac. Piszemy wówczas a b. Jeśli a b i b a to elementy a i b nazywamy stowarzyszonymi. 1 Zwróćmy uwage, że sens definicji szeregów formalnych, jak i wielomianów, by lby dok ladnie taki sam, gdybyśmy je zdefiniowali jako ciagi v = (v n), w = (w n) z dzia laniami v + w = n (v n + w n), vw = ( k=0 v kw n k ). 2 Zauważmy, że wielomian zerowy v = 0 nie ma wspó lczynnika v k0 0. Można wiec postapić na dwa sposoby: albo nie definiować w ogóle stopnia wielomianu zerowego, albo zdefiniować go jako i definiujac a + = 0, max{a, } = a, dla dowolnego a Z, by wzory na stopień sumy i iloczynu wielomianów pozosta ly prawdziwe (sprawdź, że rzeczywiście tak jest!

ROZDZIA L 8. WYK LAD 8. 19.XI.2008 23 Przyk lady... Definicja 8.5 Elementy stowarzyszone z 1 (jedynka pierścienia) nazywamy jednościami pierścienia. Twierdzenie 8.5 Zbiór jedności pierścienia P tworzy grupe (multyplikatywna). (Grupe te nazywamy grupa jedności pierścienia). Przyk lady... Każde przedstawienie elementu a pierścienia P w postaci a = a 1... a n (8.1) nazywamy rozk ladem na czynniki. O rozk ladzie 8.1 mówimy, że jest w laściwy, jeśli 1. n 1, 2. żaden z czynników a 1,..., a n nie jest jednościa. Jeśli żaden w laściwy rozk lad elementu a nie istnieje, wówczas mówimy, że a jest nierozk ladalny. Element a pierścienia P nazywamy pierwszym, jeżeli zachodzi implikacja: a bc a b lub a c Wbrew temu co pamietamy ze szko ly, pojecia elementów nierozk ladalnych i pierwszych sa różne, choć ca lkowite liczby nierozk ladalne i pierwsze to jednak to samo. Poniższe twierdzenie podaje relacje zawierania pomiedzy zbiorami elementów pierwszych i nierozk ladalnych dowolnego pierścienia ca lkowitego. Twierdzenie 8.6 W dowolnym pierścieniu ca lkowitym P, każdy element pierwszy jest nierozk ladalny. Dowód. Niech a P b edzie elementem pierwszym pierścieni ca lkowitego P. Przypuśćmy, że istnieje rozk lad a, czyli a = a 1... a k (8.2) dla pewnego k 2. Wówczas istnieje i {1,..., k} takie, że a a i. Ponieważ (na mocy (8.2)) a i a, elementy a oraz a i sa stowarzyszone. Wykażemy teraz, że jeśli dwa elementy x, y sa stowarzyszone w pierścieniu ca lkowitym P, powiedzmy x y i y x, wówczas x = yz, gdzie z jest jednościa. Rzeczywiście, } x y z P : y = zx y = zty y x t P : x = ty

ROZDZIA L 8. WYK LAD 8. 19.XI.2008 24 Stad i z faktu, że P jest pierścieniem ca lkowitym (a wiec z jedynka i prawem skracania) wnioskujemy latwo, że zt = 1, czyli, że z i t sa stowarzyszone z jedynka, czyli jednościami pierścienia P. Odnoszac te rozważania do a i a i otrzymujemy a = a 1... a i 1 a i+1... a k a i = a i z, przy czym z jest jednościa. Korzystajac z przemienności i ponownie z prawa skracania otrzymujemy, że a 1... a i 1 a i+1... a k = z, a wiec, jak latwo zauważyć, także a 1,..., a i 1, a i+1,..., a k sa jednościami, co kończy dowód. Bardzo znanym przyk ladem na to, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia 8.6 nie jest prawdziwe, jest pierścień Dedekinda Z[ 5i] = {a + bi 5 a, b Z}. Wykażemy wpierw, że liczba 2 jest elementem nierozk ladalnym pierścienia Dedekinda. rzeczywiście, 2 = (a + bi 5)(c + di 5) daje uk lad równań ac 5bd = 2 bcd + ad = 0 Traktujac ten uk lad jako uk lad o niewiadomych c i d otrzymamy c = 2a a 2 + 5b 2 d = 2b a 2 + b 2 (zauważmy, że a i b nie moga być równocześnie równe zero). Ponieważ c i d sa ca lkowite, zachodzi a 2 + 5b 2 2 a (lub a = 0). Stad i wobec tego a 2 a {0, 1, 1, 2, 2} Gdyby a = 0 wówczas mielibyśmy ac = 0 i w konsekwencji 2 = 5bd, co dla ca lkowitych b i d jest niemożliwe. Gdyby a = 1 mielibyśmy c = 2 1+5b, a wiec 2 b = 0 i w konsekwencji c = 2 i d = 0. Nasz rozk lad by lby wiec z konieczności postaci 2 = 1 2, a wiec nie by lby rozk ladem w laściwym (jeden z czynników jest jednościa). Gdyby a = 2 wówczas mielibyśmy c = 4 4+5b a stad 2 wnioskujemy latwo, że b = 0, c = 1, d = 0 i wobec tego 2 = 2 1 sprzeczność z przypuszczeniem, że rozk lad liczby 2 (w Z[ 5i]) jest w laściwy. Podobnie jak powyżej sprawdzamy, że a nie może być równe ani 1 ani 2. Zauważmy teraz, że 6 = 2 3 = (1 + i 5)(1 i 5) Wobec tego 2 6. Latwo także sprawdzić, że 2 nie dzieli ani 1 + 5 ani 1 5. Sprawdziliśmy, że w pierścieniu Dedekinda Z[ 5] liczba 2 jest elementem nierozk ladalnym, który nie jest elementem pierwszym.

Rozdzia l 9 Wyk lad 9. 26.XI.2008 9.0.4 Pierścienie Gaussa Definicja 9.1 Pierścień P nazywamy pierścieniem z rozk ladem jeżeli każdy, nie bed acy jednościa pierścienia P, element a P da sie przedstawić jako iloczyn skończonej liczby elementów nierozk ladalnych w P. Dwa rozk lady elementu a: a = a 1... a m a = b 1... b b nazywamy jednakowymi jeżeli 1. m = n, 2. istnieje permutacja σ : [1, m] [1, n] taka, że elementy a i oraz b σ(i) sa stowarzyszone. Pierścień ca lkowity P nazywamy pierścieniem Gaussa 1 jeśli każdy nie bed acy jednościa element pierścienia P ma rozk lad jednoznaczny (tzn. ma rozk lad na iloczyn elementów nierozk ladalnych i każde dwa rozk lady dowolnego elementu na iloczyn elementów nierozk ladalnych sa jednakowe). Przyk lad 9.1 Z, K[x] - gdzie K jest dowolnym cia lem, sa pierścieniami Gaussa (dowód tych faktów bedzie nieco później). Pierścień Dedekinda nie jest pierścieniem Gaussa (np. rozk lad liczby 6 w tym pierścieniu nie jest jednoznaczny: 6 = 3 2 = (1 + 5)((1 5)). Twierdzenie 9.1 Niech P b edzie pierścieniem ca lkowitym z rozk ladem. P jest pierścieniem Gaussa wtedy i tylko wtedy gdy każdy element nierozk ladalny w P jest elementem pierwszym. Dowód. 1 Carl Friedrich Gauss 1777-1855 25

ROZDZIA L 9. WYK LAD 9. 26.XI.2008 26 1. Przypuśćmy, że P jest pierścieniem Gaussa, a P jest elementem nierozk ladalnym w P i a dzieli iloczyn dwóch elementów pierścienia P, powiedzmy a bc, b, c P. Wykażemy, że a dzieli jeden z elementów b, c. Skoro a bc, istnieje d P takie, że bc = ad. Niech b = b 1... b n, c = c 1... c m, d = b 1... d k bed a rozk ladami elementów a, b, c, d na iloczyny elementów nierozk ladalnych. Wówczas b 1... b n c 1... c m = a d 1... d k Z jednoznaczności rozk ladu wynika, że element a jest stowarzyszony z jednym z elementów b i (i = 1,..., n) lub a jest stowarzyszony z jednym z elementów c j (j = 1,..., m). A wi ec a b lub a c. 2. Przypuśćmy, że każdy element nierozk ladalny pierścienia P jest w P elementem pierwszym. Wykażemy, że P jest pierścieniem Gaussa czyli, że każdy element a P ma rozk lad jednoznaczny. Dowód przeprowadzimy przez indukcj e. Mamy wykazać, że jeźeli a P ma dwa rozk lady na iloczyny elementów nierozk ladalnych: a = a 1... a m = b 1... b n (9.1) wówczas rozk lady te sa jednakowe. Jeśli m = n = 1, to jedyność rozk ladów jest oczywista. Przypuśćmy wiec, że jeśli a ma dwa rozk lady postaci (9.1) i m, n k, wówczas rozk lady te sa jednakowe i niech a = a 1... a k a k+1 = b 1... b n, (n k + 1) (9.2) b edzie rozk ladem a na iloczyn elementów nierozk ladalnych. Ponieważ a k+1 a 1... b m, oraz a k+1 jest z za lożenia elementem pierwszym, a k+1 dzieli jeden z elementów b 1,..., b n, powiedzmy a k+1 b m. Istnieje wiec w P element α taki, że b m = αa k+1. Skoro b m jest elementem nierozk ladalnym, α jest jednościa. Mamy wiec a 1... a k a k+1 = αb 1... b m 1 a k+1 i wobec tego (na mocy prawa skracania) a 1... a k = αb 1... b m 1 Oznaczajac przez b 1 stowarzyszony z nim element αb 1 otrzymujemy a 1... a k = b 1... b m 1 (9.3) Skoro m 1 k dowód kończymy stosuj ac do rozk ladów (9.3) za lożenie indukcyjne.

ROZDZIA L 9. WYK LAD 9. 26.XI.2008 27 Zadania Zadanie 5 Wykaż, że w dowolnym pierścieniu ca lkowitym relacja stowarzyszenia elementów jest równoważnościowa. W znanych Ci przyk ladach pierścieni wskaż przyk lady klas równoważności elementów wzgl edem tej relacji. Zadanie 6 Wykaż, że jeśli element pierwszy p dzieli iloczyn n 1 elementów pierścienia, wówczas p dzieli jeden z czynników tego iloczynu. Zadanie 7 Zauważ, że w grupie Z< 3 > zachodzi (2+ 3) k (2 3) k = 1, dla każdego k Z. Co stad wynika dla liczności grupy jedności pierścienia Z< 3 >? Zadanie 8 Dokończ dowód faktu, że w pierścieniu Dedekinda 2 jest elementem nierozk ladalnym a także, że 2 nie dzieli ani 1 + 5i ani 1 5i. 9.1 Wielomiany nad pierścieniem (c.d.) Twierdzenie 9.2 (O dzieleniu wielomianów) Niech P bedzie pierścieniem ca lkowitym i niech p P [x] bedzie wielomianem którego wspó lczynnik dominujacy jest odwracalny. Dla każdego wielomianu v P [x] istnieja wielomiany q, r P [x] takie, że v = qp + r, r < p lub r = 0 (9.4) Wielomiany q i r o tych w lasnościach wyznaczone sa jednoznacznie. Dowód. Wykażemy wpierw istnienie wielomianów p oraz r. Oznaczmy przez k stopień wielomianu v i przez m stopień wielomianu p. Dowód poprowadzimy przez indukcje ze wzgledu na k. Twierdzenie jest prawdziwe dla k < m. Rzeczywiście, wówczas v = 0p + v, k = deg v < deg p = m. Przypuśćmy, że k m a także, że jeśli v P [x] jest wielomianem stopnia k < k wówczas istnieja wielomiany q oraz r takie, że v = q p + r, deg r < deg p lub r = 0. Oznaczmy przez v k i p m wspó lczynniki dominujace wielomianów v i p. Z za lożenia element p m jest odwracalny. Wielomian v = v v k p 1 m x k m p jest stopnia mniejszego od k. Z za lożenia indukcyjnego istnieja wiec wielomiany q oraz r takie, że v = qp+r, deg r < deg p lub r = 0. Wówczas v v k p 1 m x k m p = qp+r, a zatem v = (v k p 1 m x k m + q)p + r, co kończy dowód istnienia wielomianów q i r. Pozostaje wykazać jedyność wielomianów q i r spe lniajacych warunki (9.4). Przypuśćmy, że v = qp + r oraz v = qp + r przy czym r < p lub r = 0 i r < p lub r = 0. Wówczas r r = ( q q)p, (r r) < p lub r r = 0. Stad już latwo wywnioskować, że q = q i r = r.

ROZDZIA L 9. WYK LAD 9. 26.XI.2008 28 Wniosek 9.3 Niech P bedzie pierścieniem z jedynka. Reszta z dzielenia wielomianu v P [x] przez wielomian x c jest równa v(c). Dowód. Na mocy twierdzenia o dzieleniu wielomianów możemy napisać v = q(x c) + r gdzie deg r = 0 lub r = 0. Wówczas v(c) = q(c)(c c) + r(c), co oznacza, że r(c) = v(c). ponieważ zaś wielomian r może mieć jedynie wspó lczynnik r 0 różny od zera (mówimy, że r jest sta ly), r 0 = v(c). Element c pierścienia P nazywamy pierwiastkiem wielomianu v P [x] jeśli v(c) = 0. Niech v P [x], gdzie P jest pewnym pierścieniem ca lkowitym, x = q(x c) + r, gdzie r jest wielomianem stopnia zero. Z wniosku 9.3 wynika, że c jest pierwiastkiem wielomianu v wtedy i tylko wtedy, gdy x c dzieli v. Zapiszmy to spostrzeżenie Wniosek 9.4 Niech P b edzie pierścieniem ca lkowitym. Wielomian v P [x] jest podzielny przez wielomian x c wtedy i tylko wtedy, gdy c jest pierwiastkiem wielomianu v. Z wniosku 9.4 bardzo latwo można wykazać jeszcze jeden, bardzo ważny wniosek. Wniosek 9.5 Niech P bedzie pierścieniem ca lkowitym. v P [x] stopnia k ma co najwyżej k pierwiastków. Dowolny wielomian

Rozdzia l 10 Wyk lad 10. 3.XII.2008 10.0.1 Pierścienie g lówne (c.d.) Twierdzenie 10.1 Pierścień wielomianów K[x] nad dowolnym cia lem K jest pierścieniem g lównym. Dowód. Niech B bedzie idea lem pierścienia K[x]. Jeśli B = {0}, to B jest oczywiście idea lem g lównym, B = (0). Przypuśćmy wiec, że B {0}. Wtedy w B sa wielomiany niezerowe. Niech d bedzie wielomianem niezerowym, minimalnego stopnia w B. Wykażemy, że B = (d). W tym celu wystarczy wykazać, że dla dowolnego b B istnieje q K[x] takie, że b = qd. Z algorytmu dzielenia wielomianów (twierdzenie 9.2) wynika, że istnieja takie wielomiany q, r K[x], że b = qd + r deg r < deg d Stad r = b qd B. Jednak w ideale B jedynym wielomianem stopnia silnie mniejszego niż deg d jest wielomian r = 0, a wiec b = qd, co należa lo udowodnić. Już niebawem okaże sie, że bardzo ważna w lasnościa pierścieni g lównych jest, że dowolny wstepuj acy ciag idea lów pierścienia g lównego jest stacjonarny. Te w lasność wykażemy w nastepnym twierdzeniu. Twierdzenie 10.2 W pierścieniu g lównym P każdy wstepuj acy ciag idea lów C 1 C 2... C k... jest stacjonarny, tzn. istnieje k 0 N takie, że C k0 = C k0+1 =... Dowód. Suma idea lów C = i=1 C i iest idea lem (por. zad.??). Ponieważ P jest pierścieniem g lównym, istnieje a P takie, że C = (a). Oczywiście a C, a wi ec istnieje k 0 N takie, że a C k0. 29

ROZDZIA L 10. WYK LAD 10. 3.XII.2008 30 Z definicji C (jako mnogościowej sumy C I, i N): C k0 C. Z drugieje strony, skoro a C k0, to z definicji idea lu (a) C k0, a wiec C C k0 i ostatecznie: C = C k0. Najwiekszym wspólnym dzielnikiem elementów a i b pierścienia ca lkowitego P nazywamy element d P spe lniajacy warunek: d a, d b oraz dla każdego c P : c a, c b c d Najwi ekszy wspólny dzielnik elementów a i b oznaczamy przez NWD(a, b) lub, cz eściej, przez (a, b). W pierścieniach g lónych najwi ekszy wspólny dzielnik dwóch elementów zawsze istnieje i można go zapisać w specjalnej postaci. Twierdzenie które o tym mówi nazwiemy twierdzeniem o NWD w pierścieniu g lównym. Twierdzenie 10.3 Każde dwa elementy a, b pierścienia g lównego P maja najwiekszy wspólny dzielnik d P który jest ich kombinacja liniowa, tzn. istnieja s, t P takie, że d = sa + tb Dowód. Rozważmy zbiór S = {s 1 a + t 1 b s 1, t 1 P } Latwo sprawdzić (por. zadanie??), że S jest idea lem. Ponieważ z za lożenia P jest pierścieniem g lównym, idea l S jest g lówny, a wiec istnieje d P takie, że S = (d). Ponieważ zarówno a jak i b należa do S, d a oraz d b. Jeśli c a i c b, a wiec a = αc, b = βc (α, β P ), wówczas d = sa + tb = sαc + tβc = (aα + tβ)c i wobec tego c d. Jeżeli najwiekszym wspólnym dzielnikiem elementów a i b jest jedynka pierścienia (inaczej: jeżeli (a, b) = 1), wówczas mówimy, że a i b sa wzglednie pierwsze. Wówczas jedynymi wspólnymi dzielnikami a i b sa 1 i elementy stowarzyszone z 1 (a wiec, elementy odwracalne pierścienia). Zamiast pisać (a, b) = 1 czesto piszemy a b. Pierścień ca lkowity P nazywamy euklidesowym jeśli istnieje funkcja h : P N + taka, że dla wszystkich a P, b P istnieja q, r P : a = bq + r, i albo r = 0 albo h(r) < h(b). Twierdzenie 10.4 Każdy pierścień euklidesowy jest pierścieniem g lównym. ALGORYTM EUKLIDESOWY W PIERŚCIENIU EUKLIDESO- WYM) 10.1 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Twierdzenie 10.5 Każdy pierścień g lówny jest pierścieniem Gaussa.

Rozdzia l 11 Wyk lad 11. 10.XII.2008 11.0.1 Cia lo u lamków pierścienia ca lkowitego Niech P b edzie pierścieniem ca lkowitym, P = P {0}. wzbiorze Q = P P zdefiniujmy dwa dzia lania: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) (11.1) oraz relacj e R: (a, b) (c, d) = (ac, bd) (11.2) (a, b)r(c, d) ad = bc (11.3) Twierdzenie 11.1 Dla dowolnego pierścienia ca lkowitego P relacja R zdefiniowana przez 11.3 jest relacja równoważności zgodna z dzia laniami 11.1 i 11.2. Dzi eki twierdzeniu 11.1 w zbiorze ilorazowym P P /R można wprowadzić dzia lania dodawania i mnożenia: [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] (11.4) [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)] (11.5) Twierdzenie 11.2 (O ciele u lamków) Dla dowolnego pierścienia ca lkowitego P zbiór P P /R z dzia laniami zdefiniowanymi wzorami 11.4 i 11.5 jest cia lem przemiennym. Cia lo wystepuj ace w tezie twierdzenia 11.2 nazywamy cia lem u lamków pierścienia P. 31

ROZDZIA L 11. WYK LAD 11. 10.XII.2008 32 11.1 Pierścienie ilorazowe Twierdzenie 11.3 Niech P b edzie pierścieniem, a D P jego podpierścieniem. Relacja R D zdefiniowana w D wzorem jest relacja równoważności w D. ar D b a b D Zbiór klas równoważności P/R D nazywamy ilorazem pierścienia P przez podpierścień D i oznaczamy przez P/D. Twierdzenie 11.4 W dowolnym pierścieniu P i dla dowolnego podpierścienia D P relacja R D jest zgodna z dzia laniami pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy D jest idea lem pierścienia P. Twierdzenie 11.5 (O ilorazie pierścienia przez idea l) Jeśli I jest idea lem pierścienia P, to P/I jest pierścieniem (przemiennym, jeśli P jest przemienny, z jedynka, jeśli P jest z jedynka). Zauważmy, że zerem pierścienia P/I jest I. Jeśli P jest pierścieniem, zaś I jego idea lem, wówczas pierścień P/I nazywamy pierścieniem ilorazowym. Mówimy, że idea l I pierścienia P jest idea lem pierwszym, jeżeli dla dowolnych a, b P prawdziwa jest implikacja ab I a I lub b I Przyk lad. W Z idea lami pierwszymi sa idea ly generowane przez liczby pierwsze (inaczej: I Z jest idea lem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy I = (p), gdzie p jest pewna liczba pierwsza). Nast epne twierdzenie nazwiemy twierdzeniem o pierścieniach ilorazowych bez dzielników zera. Twierdzenie 11.6 Niech P b edzie dowolnym pierścieniem, zaś I jego idea lem. P I jest pierścieniem bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy I jest idea lem pierwszym. Lemat 11.7 Pierścień przemienny z jednościa jest cia lem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego idea l jest trywialny. Dowód.... Idea l I pierścienia P nazywamy maksymalnym, jeżeli jedynym idea lem zawierajacym I i różnym od I jest ca ly pierścień P. Twierdzenie 11.8 (O idea lach maksymalnych) Niech P bedzie pierścieniem przemiennym z jedynka. Idea l I jest idea lem maksymalnym pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień P/I jest cia lem. Dowód....

ROZDZIA L 11. WYK LAD 11. 10.XII.2008 33 11.2 Homomorfizmy pierścieni Odwzorowanie h : P Q pierścienia P w pierścień Q jest homomorfizmem jeśli spe lnia warunki 1. h(a + b) = h(a) + h(b) 2. h(ab) = h(a)h(b) dla dowolnych a, b P. Im h = h(p ) nazywamy obrazem zaś Ker h = h 1 [Q] jadrem homomorfizmu h. Twierdzenie 11.9 1. Obraz homomorfizmu pierścieni h : P Q jest podpierścieniem pierścienia Q. 2. Jadro homomorfizmu pierścieni h : P Q jest idea lem pierścienia P. Twierdzenie 11.10 Dla dowolnych pierścieni P, Q homomorfizm pierścieni h : P Q jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker h = {0}. Twierdzenie 11.11 (Podstawowe o izomorfiźmie pierścieni) Jeśli h : P Q jest epimorfizmem pierścienia na pierścień Q, wówczas zachodzi wzór h = h k gdzie k : P P/Ker h jest homomorfizmem kanonicznym, zaś h : P/Ker h Q izomorfizmem przyporzadkowuj acym zażdej klasie elementów P/Ker h ich wspólna wartość w homomorfiźmie k.

Rozdzia l 12 Wyk lad 12. 17.XII.2009 12.1 Wielomiany wielu zmiennych Twierdzenie 12.1 (Wzory Viety) Jeśli v K[x] v = a 0 + a 1 x +... + a n x n jest wielomianem stopnia n o n pierwiastkach α 1,..., α n (niekoniecznie różnych), wówczas v = k(x α 1 )... (x α n ) i zachodza wzory (zwane wzorami Viety): a n = k a n 1 = k(α 1 +... + α n ) a n 2 = k(α 1 α 2 + α 1 α 3 +... + α n 1 α n )... a 0 = k( 1) n α 1... α n 12.1.1 Wielomiany symetryczne r-tym podstawowym wielomianem symetrycznym S r (x 1,..., x n ) nazywamy wielomian n zmiennych x 1,..., x n który jest suma wszystkich różnych iloczynów r różnych zmiennych. Przyk lad. n = 4, r = 1: S 1 (x 1,..., x 5 ) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 n = 5, r = 3: S 3 (x 1,..., x 5 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 +... + x 3 x 4 x 5 Twierdzenie 12.2 Jeżeli α 1,..., α n L sa pierwiastkami wielomianu v K[x] (gdzie cia lo K jest podcia lem cia la L), v = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 0 to a r = ( 1) r S r (α 1,..., α n ) 34

ROZDZIA L 12. WYK LAD 12. 17.XII.2009 35 Wniosek 12.3 Jeśli α 1,..., α n L sa pierwiastkami wielomianu v K[x] (gdzie K jest podcia lem cia la L), to dla każdego r, 1 r n. S r (α 1,..., α n ) K Twierdzenie 12.4 (Podstawowe o wielomianach symetrycznych) W dowolnym opierścieniu z jedynka D dla każdego wielomianu symetrycznego v D[x 1,..., x n ] istnieje dok ladnie jeden wielomian w D[x 1,..., x n ] taki, że Dow... v(x 1,..., x n ) = w(s 1 (x 1,..., x n ),..., S n (x 1,..., x n )) 12.1.2 Twierdzenie Wilsona Twierdzenie 12.5 (Twierdzenie Wilsona) Liczba p N jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy (p 1)! + 1 0( mod p) Dow....

Rozdzia l 13 Wyk lad XIII, 7.I.2009 13.1 Zasadnicze Twierdzenie Algebry Twierdzenie 13.1 Cia lo liczb zespolonych jest algebraicznie zamkni ete. Dow.... Wniosek 13.2 Niech v R[x]. v ma nad R jednoznaczny rozk lad na iloczyn postaci: v = a n (x c 1 ) s1... (x c l ) s l (x 2 + p 1 x + q 1 ) t1... (x 2 + p r x + q r ) tr 13.2 Pierścienie wielomianów nad pierścieniami Gaussa Mówimy, że wielomian p = a 0 +a 1 x+... a n x n jest pierwotny jeżeli NWD(a 0,..., a n ) = 1. Każdy wielomian nierozk ladalny jest pierwotny (na odwrót nie). Twierdzenie 13.3 Każdy element pierwszy dowolnego pierścienia P jest także elementem pierwszym P [x]. Dow.... Twierdzenie 13.4 (Lemat Gaussa) Jeśli P jest pierścieniem Gaussa, p, q P [x] sa wielomianami pierwotnymi to iloczyn pq jest wielomianem pierwotnym. Dow.... Twierdzenie 13.5 Iloczyn dowolnej liczby wielomianów pierwotnych nad pierścieniem Gaussa jest wielomianem pierwotnym. 36

ROZDZIA L 13. WYK LAD XIII, 7.I.2009 37 Twierdzenie 13.6 Jeśli p jest wielomianem nierozk ladalnym nad pierścieniem Gaussa P, wówczas p jest także nierozk ladalny nad cia lem u lamków pierścienia P. Dow.... Wniosek 13.7 Niech P bedzie pierścieniem Gaussa. Każdy wielomian nierozk ladalny w P [x] jest elementem pierwszym pierścienia P [x]. Dow....

Rozdzia l 14 Wyk lad XIV, 14.I.2009 14.1 Twierdzenie Gaussa Twierdzenie 14.1 Pierścień wielomianów nad pierścieniem Gaussa jest pierścieniem Gaussa. Dow.... 14.2 Rozszerzenia cia l Rozszerzeniem cia la K nazywamy cia lo L takie, że K jest podcia lem cia la L. (czasami cia lo K nazywamy ma lym zaś L dużym). Jeśli cia lo L jest rozszerzeniem cia la K, piszemy L : K. Cia lem generowanym przez X K nazywamy najmniejsze cia lo zawierajace K. Cia lo generowane przez X K jest równe: przecieciu wszystkich podcia l cia la K zawierajacych X, zbiorowi elementów które można otrzymać w ciagu skończonym operacji (dzia lań w ciele) na elementach z X (o ile X ). Niech L : K, X L. Cia lem powsta lym z K przez do l aczenie X nazywamy cia lo generowane w L przez K X. Przyk lad 14.1 Q(i, 2) Rozszerzenie cia la K o element a L nazywamy rozszerzeniem prostym i oznaczamy przez K(a) (zamiast K({a})). Rozszerzenia o zbiór skończony {a 1,..., a n } oznaczamy przez K(a 1,..., a n ). Ćwiczenie 14.1 Sprawdź, że Q(i, i, 3, 3) jest rozszerzeniem prostym. 38

ROZDZIA L 14. WYK LAD XIV, 14.I.2009 39 14.2.1 Rozszerzenia skończone, algebraiczne i przest epne Jeśli L i K sa cia lami i L : K i wymiar przestrzeni wektorowej L nad cia lem K wynosi n to mówimy, że n = [L : K] jest wymiarem cia la L nad K. Rozszerzenie L nazywamy wówczas skończonym. Baza cia la L nad K nazywamy baze L (traktowanego jako przestrzeń wektorowa nad K). L jest rozszerzenienm nieskończonym L, jeśli nie jest rozszerzeniem skończonym. Element a L nazywamy algebraicznym nad K jeśli a jest pierwiastkiem pewnego, nie zerowego wielomianu v K[x]. Liczba algebraiczna nazywamy dowolny element algebraiczny nad cia lem Q. Przyk lad 14.2 Sprawdź, że i, 3, 2 + 2 oraz i + 3 sa liczbami algebraicznymi. Wskaż ich wielomiany minimalne. Twierdzenie 14.2 (Cantora) Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny. Element a L nazywamy elementem przest epnym nad K (gdzie L : K), jeżeli a nie jest algebraiczny nad K. Elementy przest epne nad Q nazywamy liczbami przest epnymi. Wniosek 14.3 (O liczbach przest epnych) Zbiór liczb przest epnych jest nieprzeliczalny. Rozszerzenie L cia la K nazywamy algebraicznym jeźeli każdy element a L jest algebraiczny nad K. Przyk lad 14.3 Wszystkie dotychczasowe przyk lady. Q( 2, 3 2, 4 2,...) Podaj inne, nietrywialne przyk lady. Twierdzenie 14.4 (O rozszerzeniach skończonych) Każde rozszerzenie skończone jest rozszerzeniem algebraicznym. Co wiecej, jeśli [L : K] = k i a 1,..., a k jest baza L nad K, to L = K(a 1,..., a k ) i każdy element b L jest elementem algebraicznym stopnia co najwyżej k nad K. Twierdzenie 14.5 (O wielomianie minimalnym) Dla każdego elementu a L algebraicznego nad K istnieje dok ladnie jeden wielomian unormowany 1 v K[x] taki, że v jest nierozk ladalny na K, v(a) = 0, v dzieli każdy wielomian w K[x] którego a jest pierwiastkiem. Wielomian v o którym mówi twierdzenie 14.5 nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego a, zaś stopień tego wielomianu stopniem elementu a. 1 To znaczy taki, którego wspó lczynnik dominuj acy (przy najwyższej pot edze) jest równy jedynce.

Rozdzia l 15 Wyk lad XV, 21.I.2009 15.1 Cia lo rozk ladu Cia lem rozk ladu wielomianu v K[x] nazywamy najmniejsze cia lo, w którym v rozk lada si e na iloczyn czynników liniowych v = a(x b 1 )... (x b n ) Inaczej mówiac, jest to cia lo K(b 1,..., b n ) Lemat 15.1 (O izomorficznych rozszerzeniach cia l izomorficznych) Niech K i K bed a izomorficznymi cia lami, h : K K izomorfizmem, zaś L rozszerzeniem cia la K. Wówczas istnieje rozszerzenie L cia la K takie, że 1. L jest izomorficzne z L, oraz 2. istnieje izomorfizm g : L L taki, że g K = h. Dow.... Twierdzenie 15.2 (O ciele rozk ladu) Dla dowolnego cia la K i wielomianu v K[x] istnieje rozszerzenie L : K w którym v rozk lada si e na iloczyn czynników liniowych. Dow.... 40