Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 6 PODTAWY ENERGETYCZNE 6.. PRACA IŁ ZEWNĘTRZNYCH Rozważmy ruch ciała po szorstkiej płaszczyźnie z uwzględnieniem siły tarcia. Ruch ten jest wywołany siłą P wzrastającą od zera do pewnej wartości. iła tarcia T µn, gdzie µ oznacza współczynnik tarcia, a N siłę normalną do płaszczyzny tarcia. Jeśli P < T, ciało pozostaje w spoczynku. Gdy P P k T, rozpoczyna się ruch jednostajny. Z kolei jeśli P. > T, obserwujemy ruch przyspieszony, a siła P jest równoważona przez siłę tarcia T i siłę bezwładności B mü, gdzie m oznacza masę ciała, a ü przyspieszenie. Omówione przypadki ilustruje rys. 6.. Rys. 6. Gdy w ruchu jednostajnym (P P k T) droga przebyta przez ciało osiągnie wartość u k, to pracę siły P k wyraża wzór *) : L P (k) u (k). (6.) Pracę L przedstawia zakreskowane pole na rys. 6.d. Obliczymy teraz pracę, jaką wykona siła P rozciągająca sprężynę (rys. 6.a). Ponieważ w miarę wzrostu przemieszczenia u rośnie i siła P, więc aby obliczyć pracę, musimy znać zależność P(u). Zależność tę przedstawia rys. 6.b. Przyrost pracy dl przy wzroście przemieszczenia o bardzo małą wartość du jest następujący: dl P(u) du. (6.) Gdy przemieszczenie sprężyny osiągnie wartość u k, to całkowitą pracę siły P, stosownie do wzoru (6.), wyraża zależność: uk uk L dl P( u) du. 0 0 Praca ta jest równa zakreskowanemu polu z rys. 6.b. (6.3) *) Uwaga: jeżeli indeksy są umieszczone w nawiasach, to nie należy sumować. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE Rys. 6. Rys. 6.3 Jeśli wykres P(u) jest liniowy, to całkowita praca siły P rosnącej od zera do wartości końcowej P odpowiada polu zakreskowanego trójkąta na rys. 6.3: u k L P u du Pk u ( ) ( ) ( k). (6.4) 0 Współczynnik / występujący we wzorze (6.4) jest znamienny dla sprężyny o charakterystyce liniowej. Dalej będziemy rozważać przede wszystkim tzw. układy (ciała) Clapeyrona, charakteryzujące się następującymi cechami: materiał jest liniowo-sprężysty i zależności P(u) są liniowe, w trakcie odkształcenia nie występują nowe punkty podparcia, nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych oraz zmian temperatury. Rys. 6.4 Przykładem, który nie spełnia drugiego postulatu, jest belka przedstawiona na rys. 6.4. Podpora B przejmuje reakcję dopiero wtedy, gdy u B.. Po dalszym wzroście siły P wykres P(u) załamuje się i obserwujemy skokowy wzrost sztywności układu. Z uwagi na nieliniową zależność P(u) przypadek z rys. 6. również nie stanowi układu Clapeyrona. 6.. TWIERDZENIE CLAPEYRONA Rozważmy ciało Clapeyrona o objętości, ograniczone powierzchnią oraz obciążone siłami powierzchniowymi i masowymi. iły te wzrastają od zera do swych końcowych wartości oznaczonych przez pd i Gd. Końcowy stan obciążeń wywołuje naprężenia σ oraz przemieszczenia u i i odkształcenia ε. Rys. 6.5 Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 3 tosownie do wzoru (6.4) pracę sił powierzchniowych i masowych na przemieszczeniach u wyraża wzór: L p u d + G u d. (6.5) Po rozpisaniu iloczynów skalarnych za pomocą współrzędnych i zastosowaniu konwencji sumacyjnej otrzymujemy: L pud i i + Gu i i d. (6.6) Przemieszczenia u i (x, x, x 3 ) i odkształcenia ε ( x, x, x 3 ) są kinematycznie dopuszczalne, bo spełniają równania geometryczne. Z kolei obciążenia ciała p i (x, x, x 3 ) i G i (x, x, x 3 ) oraz rzeczywiste naprężenia σ ( x, x, x 3 ) tworzą układ statycznie dopuszczalny, ponieważ spełniają warunki na powierzchni (.7b) i równania różniczkowe równowagi (.9). Jeśli wykorzystamy twierdzenie Greena-Ostogradskiego- Gaussa i postąpimy tak, jak przy wyprowadzeniu równania pracy wirtualnej (3.), to wyrażenie (6.6) przekształcimy do postaci: pud i i + Gud i i d σ ε, (6.7) stanowiącej treść twierdzenia Clapeyrona. Lewa strona równania (6.7) przedstawia pracę obciążeń (tzw. sił zewnętrznych) L. Prawa strona oznacza pracę wykonaną przez naprężenia, czyli energię sprężystą U, zmagazynowaną wewnątrz ciała. Twierdzenie Clapeyrona głosi, że praca obciążeń równa się energii sprężystej zmagazynowanej wewnątrz ciała: L U. (6.7a) Równanie (6.7) jest szczególnym przypadkiem zasady pracy wirtualnej, w którym zarówno pole wielkości statycznych, jak i pole kinematyczne, jako pola rzeczywiste, są polami dopuszczalnymi. Istotna różnica polega na tym, że równanie (6.7) odnosi się do ciał Clapeyrona, tzn. do ciał charakteryzujących się liniową sprężystością. Dlatego, stosownie do zależności (6.4), przy wszystkich członach tego równania pojawił się mnożnik /. 6.3. ENERGIA PRĘŻYTA WŁAŚCIWA Zgodnie ze wzorem (6.7) całkowita wewnętrzna energia sprężysta U wynosi: U d σ ε. (6.8) Wyrażenie podcałkowe jest energią sprężystą przypadającą na jednostkę objętości. Energię tę nazywamy energią sprężystą właściwą lub gęstością energii sprężystej i oznaczymy symbolem W: W σ ε. (6.9) Gęstość energii jest skalarem i jest oczywiście niezmiennikiem. Tensory σ i ε występujące w definicji energii sprężystej wyrazimy jako sumę aksjatorów i dewiatorów: ( )( ) W o + d o + d ) σ ( ) σ ( ) ε ( ) ε ( ) ( o) ( o) ( d ) ( d ) ( o) ( d ) ( d ) ( o [ σ ε + σ ε + σ ε + σ ε ]. Wykażemy, że σ ( d ) ε ( o) σ ( o) ε ( d ) 0. Obliczymy na przykład σ ( d ) ε ( o) : ( σ d ) ( ε o ) ( σ σkk δ ) εrrδ σεrrδ σ kk ε rr δ δ σ iiε rr σ kkε rr 3 0. 3 3 3 9 3 9 Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 4 Analogicznie wykazuje się, żeσ ( o) ε ( d ) 0. Wobec powyższego możemy napisać: ( o) ( o) ( d ) ( d ) ( o) ( d ) ε + σ W W W σ ε +. (6.0) Wykazaliśmy zatem, że energia W składa się z dwóch części: energii aksjatorów i energii dewiatorów, a energie mieszane aksjatorowo-dewiatorowe są równe zeru. Energia sprężysta właściwa jest funkcją składowych tensora naprężenia σ i tensora odkształcenia ε. Korzystając ze związków fizycznych (5.) i (5.3) można ją wyrazić albo tylko przez naprężenia (W σ ) albo tylko przez odkształcenia (W ε ). Obliczmy teraz W (o) i W (d) jako funkcje składowych stanu naprężenia. Energia aksjatorów ( o) ( o) ( o) ( o) v ( o) W σ ε σ σ E ν σ kk σ rr ν ν ν δ δ σ kkσ rrδ ii ( σ kk ) 3 ( σ kk ). E 3 3 8E 8E 6E Po rozwinięciu wyrażenia σ kk ( o) ν Wσ ( σ + σ + σ 33). (6.) 6E Ponieważ pierwszy niezmiennik tensora naprężenia I σrr σ+ σ + σ 33, wzór (6.) można zapisać następująco: ( o) ν Wσ I σ E K I σ. (6.a) 6 8 Gęstość energii dewiatorów wynosi: ( d ) ( (a) W d ) ( d ) ( σ σ ε σ d ) ( σ d ) ( σ d ) ( σ d ) G 4G tosownie do równania (.0) drugi niezmiennik dewiatora naprężenia wyraża się następująco: (b) ( I d ) ( ) rr d pp d d d d d σ ( ) ( ) σ σ ( ) ( ) σ σ ( ) ( ) σ σ, bo ( d ) σrr 0. Po porównaniu wzorów (a) i (b) gęstość energii dewiatorów można przedstawić jako funkcję drugiego niezmiennika dewiatora naprężenia: ( d ) W G I ( d ) σ σ. (6.) Doprowadzimy teraz wzór(6.) do postaci bardziej przydatnej w obliczeniach. ( I d ) ( d ) ( d ) σ σ σ ( σ σ0δ )( σ σ0δ ) σσ σ0( σ + σ jj ) + σ0 δii σσ 6σ0 + 3σ0 σσ σkk σ jσ j + σ jσ j + σ3 jσ3 j ( σ + σ + σ33) 3 3 σ + σ + σ33 + σ + σ3 + σ3 + σ + σ3 + σ3 ( σ + σ + σ33 + σσ + σσ33 + σ33σ) 3 [( σ σ ) + ( σ σ33) + ( σ33 σ) + 3 ( σ + σ + 3 + σ3 + σ3 + σ3 + σ3 ). ] Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 5 Wobec tego ( ) W d σ 33 33 3 3 3 + 3 G [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) + 3 ( σ + σ + σ + σ + σ σ )]. (6.a) Wzór (6.a) można uprościć uwzględniając, że σ σ ji : ( ) W d σ 33 33 3 + 3 G [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) + 6( σ + σ σ )].(6.b) Analogiczne wzory można zapisać dla gęstości energii wyrażającej się wyłącznie przez odkształcenia. Podamy dla przykładu wzór na sumaryczną energię sprężystą właściwą składającą się z energii aksjatorów i dewiatorów: Wε ν G ν ε + ε + ε + ε + ε + ε + ε + ε + ε + ε + ε + ε ( 33) 33 ( 3 3 3 3 ). Najistotniejszą cechą gęstości energii jest to, że przybiera ona zawsze wartości dodatnie (nieujemne). Wynika to z postaci równań (6.) i (6.a), w których energia W jest kwadratową jednorodną funkcją składowych stanu naprężenia. Dalsza bardzo ważna własność gęstości energii polega na tym, że jest ona potencjałem dla odkształceń lub naprężeń. Oznacza to, że lub W σ σ ε W ε ε (6.3) σ. (6.4) prawdzimy przykładowo zależności (6.3) dla współrzędnych ε i ε 3: ( o) ( d) Wσ ( Wσ + Wσ ) σ σ ν ( σ + σ + σ 33) + [ ( σ σ 33) ( σ σ ) ] 6E G [( ν) ( σ + σ + σ33) + ( + ν) ( σ σ σ33) ] 3E σ ν ( σ + σ 33) ε. E E Do obliczenia pochodnej względem σ 3 trzeba użyć wzoru na Wσ ( d ) w postaci (6.)'', która jeszcze nie uwzględnia symetrii tensora naprężenia: W σ ( d ) σ 3 3 Wσ σ3 3 σ3 ε σ G G 3. Dodatnie wartości gęstości energii i własności potencjału obowiązują również w ciałach anizotropowych. Warto tutaj wspomnieć, że wzory (6.) i (6.a), wyrażające gęstość energii sprężystej przez naprężenia, są słuszne tylko dla ciał izotropowych. W odniesieniu do ciał anizotropowych nie da się zapisać osobno związków fizycznych dla aksjatorów, analogicznych do równań (5.) i (5.3), gdyż w ogólnym przypadku anizotropii wszechstronne równomierne ściskanie powoduje oprócz zmian objętościowych również zmiany postaciowe, natomiast czyste ścinanie powoduje także zmiany objętości. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 6 6.4. ZAADA WZAJEMNOŚCI DLA CIAŁ LINIOWO-PRĘŻYTYCH Rozważmy pręt liniowo-sprężysty rozciągany siłą P (rys. 6.6a). Pod wpływem tej siły pręt ulega wydłużeniu δ. Ponieważ siła P rośnie od zera do swej wartości końcowej, więc praca wykonana przez tę siłę (a) L P δ. Przyłóżmy teraz jeszcze dodatkowo siłę P (siła P działa nadal). Wówczas praca siły P (b) L P δ. a praca siły P na przemieszczeniu δ wywołanym przez siłę P (c) L P δ. Nie ma tu mnożnika /, bo siła P działa cały czas w swej końcowej wartości. umaryczna praca sił P i P (rys. 6.6b): (d) L L + L + L. Przyjmujemy teraz, że najpierw działa siła P, a potem siła P. Odpowiednie prace tych sił są następujące (por. rys. 6.6c): (e) L P δ, L P δ, L P δ, a praca sumaryczna (f) L L + L + L. Jest oczywiste, że prace (d) i (f) są równe. tąd W rozważanym zadaniu (g) Pδ Pδ. L L. (6.5) Rys. 6.6 Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 7 Wzór (6.5) w teorii układów Clapeyrona ma bardzo duże znaczenie i wyraża treść twierdzenia Bettiego czyli twierdzenia o wzajemności: Praca pierwszego układu sił na przemieszczeniach wywołanych przez drugi układ sił L jest równa pracy drugiego układu sił na przemieszczeniach wywołanych pierwszym układem sił L. Twierdzenie to wykazaliśmy na bardzo prostym przykładzie, w którym każdy z układów reprezentował tylko jedną siłę skupioną, a punkt przyłożenia tych sił był ten sam. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla dwóch dowolnych układów sił powierzchniowych i masowych. Jeśli pi, Gi oznaczają I układ sił wywołujący przemieszczenia ui,natomiast pi, Gi oznaczają II układ sił wywołujący przemieszczenia u i, to wzór (g) przyjmuje postać: pi ui d + Gi ui d pi ui d + Gi ui d. (6.6) Zastosujemy zasadę wzajemności do belek, przedstawionych na rysunku 6.7. iły P i P mają charakter bądź sił, bądź momentów skupionych. Ponieważ oba układy są dowolne, więc i punkty przyłożenia sił P i P są różne. W obu przypadkach belek, zgodnie z twierdzeniem Bettiego, zachodzi zależność: (h) P P, gdzie ik (i,k,) oznacza przemieszczenie punktu i w kierunku działania siły P wywołane przez siłę P k, działającą w punkcie k. Rys. 6.7 Gdy siły P i P są równe jedności, to na podstawie (h) otrzymujemy: lub ogólnie: (P P ) ik ki, (P i P k ). (6.7) Równanie (6.7) przedstawia treść twierdzenia Maxwella. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że zależność (6.7) zawiera błąd, ponieważ z przypadku b) na rys. 6.7 wynika, że kąt obrotu jest równy ugięciu i występuje niezgodność wymiarów. Należy jednak pamiętać, że siła P i moment P są bezwymiarowe. Wówczas (tzn. ugięcie punktu wywołane przez moment P ) ma wymiar [m/(kn m)] [/kn], a (kąt obrotu punktu wywołany przez siłę P ) ma również wymiar [/kn]. Widzimy więc, że niezgodność wymiarów i jest pozorna, a wzór (6.7) jest poprawny. Twierdzenie Maxwella, będące szczególnym przypadkiem twierdzenia Bettiego, ma bardzo duże zastosowanie zarówno w obliczeniach jak i badaniach doświadczalnych konstrukcji sprężystych. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 8 6.5. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA CIAŁ PRĘŻYTYCH 6.5.. Zasada minimum energii potencjalnej Rozważmy ciało sprężyste będące w stanie równowagi statycznej pod działaniem sił masowych i powierzchniowych. Na skutek działania tych sił w ciele pojawiły się przemieszczenia u i odkształcenia ε oraz stowarzyszone z nimi naprężenia σ. Powierzchnię ograniczającą ciało można podzielić na dwie części p i u. Na powierzchni p są dane siły powierzchniowe p i d, a na powierzchni u są dane przemieszczenia u i, przy czym p + u. Przyjmmy, że przemieszczenia u i doznają przyrostów (wariacji) δu i, spełniających warunki ciągłości oraz kinematyczne warunki brzegowe (por. rys. 6.8). Zatem δu i jest zawsze równe zeru na powierzchni u, lecz jest dowolne na powierzchni p. Wariacje δu i jak widać spełniają wymagania stawiane przemieszczeniom wirtualnym. Obliczymy pracę sił powierzchniowych i masowych na wariacjach przemieszczeń: i i i i. (a) δl pδud+ Gδud Rys. 6.8 Po zastosowaniu dobrze znanych przekształceń zależność (a) można wyrazić przez pracę naprężeń na wariacjach odkształceń: δε ( δui, j + δuj, i )/. Otrzymujemy więc równanie: (b) piδui d p + Giδui d σδε d. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r. p Po lewej stronie występuje tylko praca sił p i.d na powierzchni p, gdyż na powierzchni u wariacja δu i 0. Jeżeli istnieje taka funkcja energii odkształcenia: W W ε W(ε kl ), że: W ε σ, (6.8) ε to prawą stronę równania (b) można zapisać następująco: (c) σ δε ε d W ε δε d δ Wε d. ymbol δ oznacza wariację względem składowych pola odkształcenia. Po wykorzystaniu związków geometrycznych funkcję W można wyrazić przez przemieszczenia. Wówczas (d) σ δε d δ W d, gdzie W u W [ε (u k )], a symbol δ dotyczy składowych pola przemieszczenia. Lewą stronę równania (b) można również przedstawić w postaci wariacji względem pola przemieszczeń u i, jeżeli siły powierzchniowe i objętościowe są zachowawcze (konserwatywne), czyli wtedy, gdy u
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 9 praca tych sił zależy tylko od konfiguracji pierwotnej i konfiguracji aktualnej (po odkształceniu), a nie zależy od drogi, na której nastąpiło przejście z jednej konfiguracji do drugiej. Oznacza to, że q Q pi, Gi, (6.9) ui ui przy czym funkcje q(u, u, u 3 ) i Q(u, u, u 3 ) są, odpowiednio, potencjałami sił powierzchniowych i objętościowych. Wówczas (e) pi uidp Gi uid qd p Qd δ + δ δ +. p p Po wprowadzeniu zależności (d) i (e) do równania (b) otrzymujemy warunek: δ qd p + ( Wu + Q) d 0 p lub δπ ( u i ) 0, (6.0) gdzie Π Π ( ui ) qd p + ( Wu + Q ) d. (6.) p Funkcjonał Π ( u i ) nazywa się energią potencjalną układu. Najczęściej spotyka się pewien szczególny przypadek obciążeń konserwatywnych, w którym obciążenia p i oraz G i w ogóle nie zależą od deformacji ciała. Wówczas siły powierzchniowe i masowe nie podlegają wariacji i słuszne są zależności: (f) piδui δ( pu i i), Giδui δ( Gu i i). Wobec powyższego znak wariacji można wyłączyć przed całki występujące po lewej stronie równania (b), czyli (g) pi δ uidp + Gi δ uid δ piuidp + Giuid. p p Po wykorzystaniu tej zależności, wzór na energię potencjalną układu w przypadku, gdy wielkości p i oraz G i nie zależą od przemieszczeń, przybiera postać: Π ( e ) Wd ε pud i i p Gud i i. (6.) p Energia potencjalna jest liczbą, której wartość zależy od przyjętego pola przemieszczeń u i (x, x, x 3 ). Z warunku (6.) wynika, że w stanie równowagi energia potencjalna osiąga ekstremum. Pozostaje rozstrzygnąć, czy jest to maksimum czy minimum. W tym celu porównamy energię potencjalną Π dla rzeczywistych wartości przemieszczeń u i z energią Π dla innego układu przemieszczeń, u i + δu i, spełniającego warunek: δu i 0 na u (h) Π Π Π [ ] δ ' W ( ε + δε ) W ( ε ) d p δu d G δu d. Rozwinięcie W( ε + δε ) w szereg Taylora prowadzi do wyniku: p i i p i i Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE 0 W W W( ε δε ) W( ε ) kl... ε δε + + + δε δε + ε εkl Poprzestając tylko na trzech wyrazach tego szeregu oraz wykorzystując zależność (c) otrzymujemy: W W( ε + δε ) W( ε ) σδε + δεδεkl. ε εkl Po podstawieniu powyższego do równania (h) oraz uwzględnieniu równania (b) uzyskujemy następujące wyrażenie na drugą wariację energii potencjalnej: W σ (i) δ Π δεδεkld δε δε ε ε kld. kl εkl Zwróćmy uwagę na fakt, że wielkość ( σ / εkl ) δεkl jest równa liczbowo przyrostowi naprężeń wywołanemu przez zmianę odkształceń o δε kl. Dla podkreślenia, że składowe σ nie podlegają wariacji, przy- * rost ten oznaczamy symbolem δσ. Wobec tego (j) δ Π δσ δε * d, gdzie σ δσ * δεkl. εkl Dla izotropowego ciała liniowo-sprężystego wyrażenie podcałkowe jest energią sprężystą właściwą W po * zmianie odkształceń i naprężeń o wartości δε oraz δσ : δ Π δσ δε >0 W ( * ) d. Energia ta niezależnie od poziomu rzeczywistych odkształceń i naprężeń jest zawsze dodatnia. Wobec tego funkcjonał w stanie równowagi osiąga absolutne minimum. Wynika stąd zasada minimum energii potencjalnej: pośród wszystkich pól przemieszczeń spełniających warunki brzegowe na powierzchni u równowadze odpowiada to pole, które energii potencjalnej nadaje wartość minimalną. Zasada minimum energii potencjalnej obowiązuje również dla materiałów nieliniowo-sprężystych *), jeźeli tylko całka występująca w równaniu (i) jest większa od zera. Należy zwrócić uwagę, że istnieją okoliczności, w których druga wariacja energii potencjalnej nie jest większa od zera. Występują tu dwie możliwości: * gdy iloczyn δσδε nie jest dodatnio określony, gdy zachodzą zasadnicze zmiany w równaniach równowagi. Pierwsza możliwość występuje, gdy materiał staje się niestateczny, czyli gdy dodatniemu przyrostowi odkształcenia towarzyszy ujemny przyrost naprężenia. Rozważymy dla przykładu czyste rozciąganie * pręta o charakterystyce σ(ε) przedstawione na rys. 6.9. Zauważmy, że znak iloczynu δσ δε odpowiada znakowi modułu stycznego E t dσ/dε. Na krzywej OA moduł styczny E t > 0, czyli δ Π > 0 i obowiązuje zasada minimum energii potencjalnej. W opadającej części wykresu σ (ε), moduł E t < 0 i energia potencjalna w stanie równowagi (niestatecznej) osiąga maksimum, bo δ Π < 0. Punkt A jest punktem granicznym, w którym materiał traci stateczność (δ Π 0), a funkcja Π(ε) ma punkt przegięcia. *) Postać związków fizycznych określona jest zależnością (6.8) i wynika z postaci funkcji energii W. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE Rys. 6.9 Druga możliwość może zachodzić w różnych okolicznościach. Najczęściej pojawiają się one wskutek występowania skończonych deformacji. Równanie równowagi lub naprężeniowe warunki brzegowe zależą wówczas od przemieszczeń ciała, gdyż zawierają one oprócz wielkości statycznych również wielkości kinematyczne. Równowaga układu odpowiada warunkowi δπ 0, ale wartość drugiej wariacji δ Π nie zawsze musi być dodatnia. Ogólnie biorąc, energia potencjalna przyjmuje wartość minimalną wtedy, gdy równowaga układu jest stateczna. Zasygnalizowane tutaj problemy omówimy bliżej w rozdziale 9., poświęconym stateczności konstrukcji. 6.5.. Zasada minimum energii dopełniającej Rozważmy ciało sprężyste będące w stanie równowagi pod działaniem sił masowych i powierzchniowych. Na skutek tych sił w ciele pojawiły się naprężenia σ, przemieszczenia u i oraz stowarzyszone z nimi odkształcenia ε. Naprężenia σ spełniają równania równowagi wewnętrznej w każdym punkcie objętości ciała σ : (a) σ ji, j + G i 0, x k, oraz warunki brzegowe na powierzchni p : ( n) (b) σ ji n j p i, xk p, przy czym k,, 3. Przyjmiemy teraz, że rzeczywiste naprężenia σ doznają przyrostów (wariacji) δσ. Ponadto żądamy, aby funkcje σ +δσ spełniały równania równowagi i warunki na powierzchni ciała: (c) σ ji, j + δσ ji, j + Gi 0, xk, ( ) (d) ( σ ji + δσ ji ) nj pi n, xk p. Po odjęciu równania (a) od równania (c) oraz równania (b) od równania (d) otrzymujemy: (e) δσ ji, j 0, x k, (f) δσ ji n j 0, x k p. ( n) Przyrosty wektora gęstości sił powierzchniowych δp i na powierzchni u są dowolne i wynoszą: (g) ( δpi ) δσ jinj, xk u. Pomnóżmy równanie (e) przez u i i scałkujmy po objętości ciała : (h) δσ ji, j ud i 0. Jeżeli wykorzystamy wzór na pochodną iloczynu, własność symetrii tensora σ oraz równania geometryczne, to możemy napisać: δσ ji, jui δσ jiui, j δσ jiui, j ( δσ jiu i ), j δσ jiε ji. ( ) Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.
Część 6. PODTAWY ENERGETYCZNE Otrzymujemy stąd równanie: (i) ( δσ jiui ), j d δσ ji ε jid 0. Pierwszą z powyższych całek za pomocą wzoru Greena-Ostrogradskiego-Gaussa można zapisać następująco: ( δσ jiui ), j d ( δσ jiui ) njdu. u Ponieważ stosownie do wzorów (f) i (g): δpi u δσ jin j na, 0 na p, więc (j) ( δσ jiui ), j d δ pud i i u. u Po podstawieniu zależności (j) do równania (i) otrzymujemy: (k) δp u d δσ ε d 0. u i i u Jeżeli istnieje funkcja W W(σ ) W σ taka, że: W σ ε, (6.3) σ to W (l) δσ ε σ d σ δσ d δ Wσ d. Równanie (k) możemy zatem zapisać w postaci warunku: δ W σ d pud i i u 0 u * lub δπ ( σ ) 0, (6.4) gdzie symbol δ oznacza wariację względem pola naprężeń, a ji Π * ( s ) W σ d pud i i u. (6.5) Funkcjonał Π (σ ) nazywa się energią dopełniającą (komplementarną) układu. Energia dopełniająca Π * jest liczbą, której wartość zależy od przyjętego pola naprężeń σ (x, x, x 3 ). Z warunku (6.4) wynika, że prawdziwe jest to pole naprężeń, które nadaje energii dopełniającej Π * (σ ) wartość ekstremalną. Podobnie jak dla energii potencjalnej wykazuje się, że wartość ta jest minimalna. Wynika stąd zasada minimum energii dopełniającej: pośród wszystkich pól naprężeń, spełniających równania różniczkowe równowagi wewnętrznej i warunki brzegowe na powierzchni p kinematycznej zgodności odpowiada to pole, które energii dopełniającej nadaje wartość minimalną. Zasada minimum energii dopełniającej obowiązuje również dla ciał sprężystych o nieliniowej zależności między naprężeniami i odkształceniami. Musi jednak istnieć dodatnio określona funkcja W σ, będąca potencjałem dla odkształceń. Konkretna postać fizyczna, określona zależnością (6.3), zależy od postaci energii W σ. u Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 003r.