Funkcje analitycne LISTA 0.0.006. Kiedy prekstałcenie R - liniowe na R jest C - liniowe?. Dla f : C C pokaać, że warunkiem koniecnym C - różnickowalności (cyli holomorficności) jest R - różnickowalność. Znaleźć warunek wystarcający używając maciery różnicki. Cym jest różnicka w punkcie 0 jako prekstałcenie C w C? Uwaga: Jeśli f jest funkcją, to f t ora t f będie onacać f 3. Policyć definicji pochodne funkcji 4 ora. Cy wory dotycące pochodnej sumy, ilocynu, ilorau pokrywają się e worami dla funkcji recywistych? 4. Zbadać C - różnickowalność następujących funkcji f : C C tam, gdie są określone: (a) Re() (b) n (c) e x cos y + ie x sin y (d) e x cos y + ie y x y sin x (e) i (f) x +y x +y (g) 7x + y + 3iy (h). 5. Niech f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Pokaać, że równania na u i v otrymane w adaniu są równoważne równaniu f = 0. Zauważyć, że w takim raie pytanie o holomorficność funkcji 4 a,b,f,h jest trywialne. 6. Pokaać, że jeśli f = u + iv jest różnickowalna, to u i v są harmonicne (funkcje harmonicne sprężone). 7. Mając daną funkcję u(x, y) naleźć wsystkie funkcje harmonicne do niej sprężone ora odpowiednie funkcje analitycne. (a) xy (b) x y y + xy (c) (d) log x +y (e) e x (x cos y y sin x). 8. Używając adania pokaać, że jeśli pochodna (espolona) f w 0 jest nieerowa, to f achowuje kąty w 0. Dokładniej: Dwie krywe precinają się w 0 pod tym samym kątem, co ich obray w f( 0 ). 9. Pokaać, że warunkiem koniecnym i dostatecnym na to, żeby funkcja u(x, y) harmonicna w obsare D miała harmonicną sprężoną, jest istnienie w obsare D funkcji pierwotnej do funkcji f() = u x iu y. 0. Zbadać, gdie funkcja f() = + jest holomorficna (tn. C - różnickowalna). Jaki jest obra koła K(0,) ora kostki [0, ] [0, ] (napisać równania bregów obrau)?. Zrobić poprednie adanie dla funkcji i.. Sprawdić, że ϕ( ) = (0, 0, ) i ϕ(re iθ r cos θ r sin θ ) = (,, r ) adaje homeomorfim r + r + r + jednopunktowego uwarcenia R = C e sferą S (tw. sfera Riemanna). Zbadać obray okręgów C(0, r) i prostych y = ax. 3. Zbadać, cy następujące funkcje : C C predłużają się do odworowań ciągłych sfery Riemanna C = C { } w siebie. Jeśli tak, opisać ich diałanie: (a) n (b) ( ) a b (c) e (definiowane pre sereg) (d) a+b, gdie det 0. c+d c d Karol Palka t.
Funkcje analitycne LISTA 7.0.006. Używając woru na promień bieżności seregu potęgowego pokaać, że jeśli f() = i=0 c i x i jest analitycna w kole K(0,r), to jest w nim holomorficna, a pochodna jest funkcją analitycną. Znaleźć i uasadnić wór na funkcję pochodną. Zauważyć, że biór funkcji holomorficnych na biore otwartym U twory pierścień.. Wylicyć Re ora Im dla poniżsych funkcji i policyć ( ich) pochodne: (a) exp (b) a b sin (c) cos (d) tg (e)h A () = a+b, gdie A = i det(a) 0. c+d c d Uwaga: Funkcje takie jak w (e) naywamy homografiami i traktujemy najcęściej jako prekstałcenia sfery Riemanna C. 3. Udowodnić, że homografie tworą grupę diałaniem składania, że achowują kąty orientowane ora że grupa ta jest generowana pre prekstałcenia liniowe i inwolucję ( ). Uwaga: Okręgiem uogólnionym naywamy okrąg na sfere Riemanna, cyli okrąg lub prostą na płascyźnie. 4. Pokaać, że homografie prekstałcają okręgi uogólnione na okręgi uogólnione. 5. Pokaać, że każdy okrąg uogólniony można preprowadić homografią na oś OX. 6. Co można powiedieć o macierach A i B, jeśli w trech różnych punktach i (i =,, 3) achodi h A ( i ) = h B ( i )? (Wsk. Wystarcy pokaać, że rowiąanie odpowiedniego układu równań istnieje.) 7. Pokaać, że try różne punkty na C można preprowadić homografią na 0,, ora że istnieje dokładnie jedna homografia prekstałcająca dowolnie adane try różne punkty na dowolnie adane try różne punkty. 8. Znaleźć ogólną postać homografii achowujących okrąg C(0,). Które nich achowują koło K(0,)? 9. Opisać diałanie poniżsych funkcji jako prekstałceń płascyny. Na co prechodą K(0, ), K(, ), [0, ] [0, ]? (a) exp (b). + 0. Pokaać, że każdy wielomian recywisty rokłada się na cynniki stopnia co najwyżej drugiego. Uwaga: Punkty i w są symetrycne wględem C(a, r), gdy ( a)(w a) = r. Łatwo obacyć, co to onaca geometrycnie.. Pokaać, że homografie prekstałcają punkty symetrycne wględem okręgu uogólnionego C na punkty symetrycne wględem obrau tego okręgu. (Wsk.: Wykaać, że okrąg uogólniony O prechodi pre punkty symetrycne wględem C wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do C.). Prekstałcić konforemnie dopełnienie sumy kół o środkach w punktach 5 i -5 i promieniach 4 na pierścień, którego jednym bregiem jest C(0,), a drugim bregiem jest C(0,r). Podać możliwe wartości r.
Uwaga: Prekstałcenie holomorficne jest biholomorfimem, jeśli odwrotne też jest holomorficne. 3. Obsar P jest cęścią wspólną dwóch kół: K(.5 + i, 3) ora K( + 5i, 4). Opisać dokładnie jakich funkcji treba użyć, żeby prekstałcić go biholomorficnie na K(0,) (nie treba podawać worów tylko sposób). Z cego wynika konforemność użytego prekstałcenia? 4. Niech U będie biorem spójnym i otwartym. Dowieść, że każde dwa punkty można połącyć łamaną w U. 5. Podać ogólną postać homografii achowujących pierwsą ćwiartkę układu współrędnych. 6. Obsar X powstaje górnej półpłascyny popre wycięcie koła K(0,) ora półprostej pionowej [i, i ). Prekstałcić biholomorficnie X na koło jednostkowe. Karol Palka 3
Funkcje analitycne LISTA 3.03.006 Definicje i onacenia: K x := { C : Re() = x}, L y := { C : Im() = y}, P α := { C : Arg() = α}, H(U) onaca pierścień funkcji holomorficnych na U.. Pokaać, że homografie achowują dwustosunek: (,, 3, 4 ) := 3 4 3 4.. Znaleźć homografie h spełniające: (a) h[c(0, )] = C(0, ), h(4) = 0, h[c(0, )] ir, (b) h[c(0, )] = C(0, ), h(0) =, h(3i) R, (c) obraem obsaru międy C(0, ) i C(, ) jest pas równoległy do ir, (d) h( ) =. 3. Opisać, na co prechodą podane biory pry podanych prekstałceniach g : (a) okręgi C(0, r), r i półproste P α ; g() = ( + ) (Wsk. = reiα ), (b) proste K x, x π i odcinki [ π + iy 0, π + iy 0]; g() = sin, (c) K(0, ); g() = arc tg. (d) półproste P α, 0 α π ; g() = Log(). 4 4. Znaleźć prybliżone rowiąanie lub policyć: (a) sin = 5, (b) Log() = iπ +, (c) ( 3i) 3i, (d) arc tg i 5. Odworować bijektywnie i konforemnie obsar A na obsar B: (a) A = { : Im() > 0}\K(0, ), B = { : Im() > 0}, (b) A = { : α < Arg() < α + β}, β (0, π), B = { : < i Im() > 0}, (c) A = K(0, )\[, t], < t < 0, B = { : 0 < Re() < }, (d) A = C\[ + i, 3 i], B = K(, ) K(, ), 6. Pokaać, że na obsare wypukłym, który nie awiera era, można definiować gałąź logarytmu. 7. Obsar U powstaje koła K(0, 9) popre wycięcie seściokąta foremnego o średnicy 3 i środku w. Znaleźć na U funkcje pierwotne do podanych lub wykaać, że nie istnieją: (a), (b). i ( i) 3 8. Używając definicji całki espolonej scałkować funkcję po krywych T + i T, gdie T to górny łuk okręgu C(0,), a T to odcinek [, ]. 9. Scałkować definicji 0 po bregu kwadratu o wierchołkach 0 ± a ± ia, a R +. 0. Policyć całkę funkcji po okręgu C(, ). Udowodnić, że całka po okręgu C(0, ) daje ero. Nie licąc podać ile będie wynosić całka po C(, ) i dokładnie to uasadnić.. Pokaać, że jeśli f H(K(0, R)\0), to π 0 f(re it )dt dla 0 < r < R nie ależy od r. Ile wynosi ta całka, jeśli f jest dodatkowo holomorficna w 0?.* Dla f C (Γ) policyć Γ fd. Wywnioskować twierdenie Cauchy ego. Karol Palka 4
Funkcje analitycne LISTA 4 0.04.006 Poniżej pryjmujemy, że funkcje są holomorficne, krywe różnickowalne i nie prechodą pre punkty osobliwe funkcji. P (a, r, R) := int(k(a, R)\K(a, r)), a Aut(U) to holomorficne automorfimy U.. Pokaać, że jeśli f (n) ( 0 ) = 0 dla n = k, k +,..., to f jest wielomianem.. Dla krywej γ : [α, β] C\{a} definiujmy h(t) = t γ (s) α ds. Badając funkcję γ(s) a e h(t) (γ(t) a) wykaać, że Ind γ (a) jest całkowity. 3. Policyć E 3 + d, gdie E ma równanie x + 4y = 3. 4. Policyć C(0,r) 7 5 5 + d dla dużych r. 9 + 5. Niech f() = i= 5 p i ( a) i. Ile wynosi C(a,r) f() ( a) k d dla k = i k = 3? 6. Ile maksymalnie wartości może pryjmować całka C d P n() gdie P n jest wielomianem o n różnych pierwiastkach, a C jest homeomorficne okręgiem? 7. Policyć f() C(0,r) d. Pokaać, że oblicenie to implikuje twierdenie Liouville a. ( a)( b) 8. Ile wynosi f(0) i f (0), jeśli dla n N + : (a) f( n ) = n3 (sin n n )? (b) f(n+) = +n+3n? 3n 4+n+9n 9. (a) Wykaać, że na obsare U istnieje gałąź logarytmu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej krywej Γ U achodi Ind Γ (0) = 0. (b ) Pokaać, że jeśli istnieje gałąź pierwiastka, to istnieje gałąź logarytmu. 0. Rowinąć poniżse funkcje na wsystkich maksymalnie serokich pierścieniach postaci P (0, r, R), R i opisać typ osobliwości: (a) ( +)( ), (b) ( ), (c) Log( ), (d). (+)(+3). Policyć dla a = 0 i a = (a) C(a, ) e ( ) 3 d, (b) c(a, ) sin d. ( ). Udowodnić, że jeśli f Hol(P (a, 0, R)) i lim a ( a)f() = A, to C(a, R ) f = πia. 3. Policyć: (a) R x x+ dx, (b) x 4 +0x+9 0 (c) π 0 sin t dt, (d) +cos t 0 cos x dx, (e) π 0 cos x dx dla a > 0 (Wsk. Pokaać, że π x +a dx dla a >, (f) sin x+a 0 e d sin t dt < π), d dx. (x ) cos 5x x x+5 5
4. Pokaać, że jeśli f Hol(C) predłuża się do f Hol( C), to f( ) = lub f jest stała. Pokaać, że f jest wielomianem. (Wsk. Zbadać f( ) wokół era.) 5. Używając lematu Schwara pokaać, że jeśli f Aut(K(0, )), to f jest homografią. (Wsk. Pokaać, że jeśli f(0) = 0, to f() =.) 6. Zbadać rodaj osobliwości i policyć residua, także w : (a) + ( cos +e π ), (b) / sin + + sin, (c) tg + e(+) 3 i 3(+) 3 + sinh +πi. 7. Funkcja f Hol(C\{0}) jest stała na okręgach x + y = ax dla a R. Pokaać, że f jest postaci e g() + C i naleźć możliwe g. 8. Znaleźć Aut(U) dla U = {x + iy : x + iy <, x > 0, y > 0}. 9. Prekstałcić C\(K(, ) K(, ) [ i, i]) na kółko i na trójkąt. Karol Palka 6
Funkcje analitycne LISTA 5 5.05.006 Litery popredają ćwicenia do samodielnego rowiąania. A. Zdefiniować Arcsinh a pomocą Log i badać obra pierwsej ćwiartki (On. : (+,+)). B. Niech g, h Hol(U) ora Re g = x+3y xy ora Re h = sinh(ay) cos x dla a R. Znaleźć Im g, Im h. Znaleźć g(), h() odwołując się tylko do asady identycności. C. Pokaać, że jeśli ζ Hol(C \ S) ora S < ℵ 0 to suma residuów ζ wynosi ero. D. Cy funkcja wymierna która jest w C musi być homografią? E. Jeśli g Hol(K(0, R)), to M(r) := sup =r g() jest ściśle rosnąca lub stała.. Niech f() = + + 4 + 8 + 6 +. Zbadać lim f(). Pokaać, że dla każdego n N + i 0 k n istnieje ciąg { j } j= bieżny do exp( kπı ), taki że n f( j ). (Wsk. Wylicyć f( n ) f()).. Jeśli > R, to φ() = W () + A + ϕ() gdie W () jest wielomianem a ϕ() jest holomorficna ora ogranicona w. Pokaać, że res φ() = A. Policyć : (a) res Log( a) (b) res b ( a)( b) (c) res 3 cos. 3. Jaka musi być postać funkcji f Hol(U) spełniającej (Ref) 5 (Imf) =? 4. Pokaać, że równanie sin = ma tylko pierwiastki recywiste (Wsk. badać rowiąania w prostokącie Re < nπ + π, Im < n). 5. Niech f() będie meromorficna w C biegunami w,..., m / Z. Pokaać, że jeśli lim f() = 0 to: lim N N i= N f(i) = m i= res( i, πf() ) ora lim tg π N N i= N ( ) i f(i) = m i= res( i, πf() sin π ). (Wsk. Całkować πf() ctg π po bregu kwadratu o wierchołkach (N + )(± ± ı).) 6. Ile pierwiastków w K(0, ) mają równania: (a) 3e + 9 + 5 4 = 0 (b) 0e cos + 8 = 0? (c) cos + 9 + 4 3 (d) e =? 7. Wyprowadić rowinięcia: (a) π tg π = n+0, + / Z (b) π = (n+/) cosh π ( ) n (n+/) n=0, + ı / Z, (c*) (n+/) + 0 e t t dt = ( ) n n=0 dla Re > 0. n!(+n) 7
8. Pokaać, że: (a) 5 + 3 + ı + 3 ma w (+, +) jedno ero (b) 8 + 3 3 + 7 + 5 ma w (+, +) dwa era (c) 4 + 3 + 3 ma jedno ero w pasie 0 < Im < (d) 4 + i + ma jedno ero w (+, +) i ctery w kole K(0, 3 ). 9. Dla a / Z oblicyć: (a) + n= (n a), (b) + n= n +n+, (c) + n= ( ) n n a. 0. Podać postać automorfimów C \ A i, gdie A = {0}, A = {0, }, A 3 = {0,, i}.. Dla a > wykaać: π π x sin xdx +a a cos x = π a log +a a. (Wsk. a e i na [ π, π] [0, in]).. Jaka jest ogólna postać automorfimów: (a) (+, +) (b) { : < i Im > 0}? Karol Palka 8
Funkcje analitycne LISTA 6 8.05.006. Rołożyć na ułamki proste funkcje (a) + ( ), (b) (+) 3 (+3) 4.. Gdie są normalne poniżse rodiny funkcji? (a) {g() = a : a C} (b) {( ı +ı )n, n N} (c) {, n N} (d) {g Hol(K(0, )) : f(0) = 0, f (0) = } n 3. Jeśli ψ odworowuje konforemnie P (0,, r) na P (0,, R), jest ciągła na bregu i f() =, to ψ = id. 4. Dla f Hol(K(0, ) \ {0}) wyraić res f a pomocą res 0 g dla pewnej funkcji g(). 5. Niech η będie meromorficna na K(0, ) i f() = na C(0, ). Pokaać, że η jest wymierna. 6. Funkcja całkowita spełnia f () < f(). Jaka jest jej postać? 7. Policyć π 0 log re ıθ dθ dla małych r. 8. Wykaać: (a) 0 log xdx = x 4 π (Wsk. P (0, r, R) (+, +)) (b) 0 dx n x n = π/n. sin(π/n) 9. Niech f odworowuje {x + iy C : x + y < i y > 0} na {x + iy C : y < 0} ora niech prekstałca, 0, odpowiednio na,,. Wynacyć postać f. 0. Niech P n () będie wielomianem stopnia n > 0. Pokaać, że każdego poniżsych wynika, że P n eruje się w C: (a) twierdenie Liouville a (b) asada maksimum (c) oblicenie Ind Pn[C(0,r)](0) (d) twierdenie Rouchégo.. Niech U będie obsarem jednospójnym ograniconym. Pokaać, że nie jest on biholomorficny C.. Wykaać, że jeśli f odworowuje konforemnie prostokąt domknięty na prostokąt, to f jest liniowe. 3. Niech U będie wnętrem cterolistnej konicynki (breg jest krywą Jordana) i niech a, b U. Jaka jest licba automorfimów U, które a preprowadają w b? 4. Policyć f (0) dla f() = sin n n=, określić obsar bieżności seregu. e n 5. Pokaać, że f Hol(P (0,, )) predłuża się do F Hol(K(0, )) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg wielomianów bieżny niemal jednostajnie do f na P (0,, ). 6. Znaleźć funkcje całkowite spełniające f() < +. 7. Pokaać, że h() = e pryjmuje każdą wartość skońconą. 9 Karol Palka
Sprawdian alicający ćwicenia FA 06.06.006 Na alicenie treba robić co najmniej try adania, w tym adanie 5 lub 6 ora odpowiedieć na pytania w adaniu 7.. (a) W których poniżsych obsarów istnieje ciągła gałąź Log? Odpowiedź uasadnić: (i) C \ { C : Im = Re, Re 0}, (ii) { C : < < 3}, (iii) { C : Re + Im > 0}; (iv) { C : < < 3} (b) W każdym prypadku, gdy taka gałąź istnieje, oblicyć jej wartości dla ora dla ı.. Funkcja f jest holomorficna w prawej półpłascyźnie i f() = d = 0 dla ( ) n każdego n. Znaleźć postać f. 3. Oblicyć x + x 4 + dx 4. Rowinąć w sereg Laurenta funkcję f() = 3 + 6 na wsystkich możliwych maksymalnych pierścieniach o środku w 0. Oblicyć res 4 3 3 f. 5. Znaleźć obra kwadratu o wierchołkach ± ± ı pry funkcji h() = ı ++ı 6. Znaleźć prekstałcenie biholomorficne pasa < Re < na koło jednostkowe. 7.O Odpowiedieć TAK lub NIE i krótko uasadnić: (i) Niech 0 będie osobliwością iolowaną dla f ora lim 0 f() C. Stwierdić, cy 0 może być osobliwością istotną f. (i) Załóżmy że funkcja holomorficna g jest ogranicona. Nawet jeśli U jest obsarem jednospójnym i ograniconym, to g nie musi być stała. (i) Cy obraem < pry funkcji holomorficnej może być Re 0? (i) Jeśli γ jest gładką krywą amkniętą be samoprecięć ora istnieje taki obsar U, że γ U ora f Hol(U), to γ f()d = 0. 0
Egamin Funkcji analitycnych. Cęść teoretycna. 3.06.006 WERSJA A Poniżej, jeśli nie anacono inacej, należy pryjmować domyślnie, że funkcje są holomorficne, a biory są otwarte. Należy anacyć poprawną odpowiedź jak na prykładie. Za poprawną/żadną/niepoprawną odpowiedź otrymacie Państwo odpowiednio +/0/- punkt. Zadania, których nie dotycy tryb T/N, są punktowane w skali podanej pred treścią adania. PRZYKŁAD : Funkcje analitycne to predmiot bardo prydatny w życiu. @ABC GFED T N. Jeśli g : C C jest meromorficna i ogranicona, to jest stała. T N. Jeśli dla f : U C, U spójny, f pryjmuje min. w U, to f jest stała. T N 3. Nie istnieje prekstałcenie biholomorficne K(0, ) na C. T N 4. Istnieje prekstałcenie biholomorficne pierścienia o promieniach i na prostokąt. T N 5. Istnieje prekstałcenie biholomorficne C wyciętymi rołącnymi kołami domkniętymi na pierścień. T N 6. (0-5p); Wyprowadź twierdenie Liouville a nierówności Cauchy ego. Sformułuj twierdenie i nierówność. 7. Funkcja sin ma w nieskońconości osobliwość iolowaną. T N 8. Jeśli oba residua mają sens, to res f() = res 0 f( ). T N 9. Istnieje na { C : Re < 0} gałąź logarytmu, dla której Log( + ı) = ln + ı 9π 4 T N 0. Automorfim holomorficny ćwiartki achowuje biór {0, }. T N. Jeśli γ jest gładką krywą be samoprecięć ora istnieje takie U, że γ U ora f Hol(U), to γ f()d = 0. T N. Funkcja exp prekstałca górną półpłascynę na siebie. T N 3. Funkcja recywista log : R \ {(0, 0)} R jest harmonicna. T N 4. Homografie achowują kąty na całym C. T N
5. Funkcja na C jest meromorficna wtedy i tylko wtedy, gdy jest wymierna. T N 6. Jeśli f spełnia f U 0, to f ma na U funkcję odwrotną. T N 7. Każdy automorfim K(, ) jest homografią. T N 8. (0-p) Na co funkcja Żukowskiego ( + ) prekstałca górną półpłascynę wyciętym K(0, )? 9. Punkty i w są symetrycne wględem okręgu C(a, r) wtedy i tylko wtedy, gdy ( a)(w a) = r. T N 0. Jeśli w pewnym obsare funkcja nie ma funkcji pierwotnej, to musi istnieć awarty w nim kontur, po którym całka tej funkcji nie nika. T N. Niech α : R R będie różnickowalna. Funkcja f spełniająca Imf = α(ref) jest stała. T N. Obraem { C : > 5} pry funkcji holomorficnej może być { C : Re 3}. T N 3. Jeśli dwie funkcje całkowite pokrywają się na ograniconym biore prelicalnym, to są równe. T N 4. Jeśli funkcja określona na jednospójnym obsare nieograniconym jest ogranicona to jest stała. T N 5. Funkcja całkowita, która na kole jednostkowym opisana jest worem 7 + może mieć w C nieskońcenie wiele er. T N 6. Jeśli funkcja określona na K(0, ) spełnia f(0) = 0 i f() < 3, to nie jest możliwe, żeby f( ) = ı. 4 T N 7. (0-5p) Wyprowadź asadnice twierdenie algebry tw. Rouche go. 8. Jeśli funkcja całkowita ma nieerową, ale skońconą licbę er, to jest wielomianem. T N
Egamin Funkcji analitycnych. Cęść teoretycna. 3.06.006 WERSJA B Poniżej, jeśli nie anacono inacej, należy pryjmować domyślnie, że funkcje są holomorficne, a biory są otwarte. Należy anacyć poprawną odpowiedź jak na prykładie. Za poprawną/żadną/niepoprawną odpowiedź otrymacie Państwo odpowiednio +/0/- punkt. Zadania, których nie dotycy tryb T/N, są punktowane w skali podanej pred treścią adania. PRZYKŁAD : Funkcje analitycne to predmiot bardo prydatny w życiu. @ABC GFED T N. Funkcja recywista log : R \ {(0, 0)} R jest harmonicna. T N. Nie istnieje prekstałcenie biholomorficne K(0, ) na C. T N 3. Funkcja na C jest meromorficna wtedy i tylko wtedy, gdy jest wymierna. T N 4. Istnieje prekstałcenie biholomorficne pierścienia o promieniach i na prostokąt. T N 5. (0-5p); Wyprowadź twierdenie Liouville a nierówności Cauchy ego. Sformułuj twierdenie i nierówność. 6. Funkcja sin ma w nieskońconości osobliwość iolowaną. T N 7. Istnieje na { C : Re < 0} gałąź logarytmu, dla której Log( + ı) = ln + ı 9π 4 T N 8. Automorfim holomorficny ćwiartki achowuje biór {0, }. T N 9. (0-5p) Wyprowadź asadnice twierdenie algebry tw. Rouche go. 0. Jeśli γ jest gładką krywą be samoprecięć ora istnieje takie U, że γ U ora f Hol(U), to γ f()d = 0. T N. Jeśli g : C C jest meromorficna i ogranicona, to jest stała. T N. Jeśli oba residua mają sens, to res f() = res 0 f( ). T N 3. Homografie achowują kąty na całym C. T N 4. Istnieje prekstałcenie biholomorficne C wyciętymi rołącnymi kołami domkniętymi na pierścień. T N 3
5. Każdy automorfim K(, ) jest homografią. T N 6. Jeśli f spełnia f U 0, to f ma na U funkcję odwrotną. T N 7. (0-p) Na co funkcja Żukowskiego ( + ) prekstałca górną półpłascynę wyciętym K(0, )? 8. Punkty i w są symetrycne wględem okręgu C(a, r) wtedy i tylko wtedy, gdy ( a)(w a) = r. T N 9. Jeśli dla f : U C, U spójny, f pryjmuje min. w U, to f jest stała. T N 0. Jeśli dwie funkcje całkowite pokrywają się na ograniconym biore prelicalnym, to są równe. T N. Niech α : R R będie różnickowalna. Funkcja f spełniająca Imf = α(ref) jest stała. T N. Jeśli w pewnym obsare funkcja nie ma funkcji pierwotnej, to musi istnieć awarty w nim kontur, po którym całka tej funkcji nie nika. T N 3. Funkcja exp prekstałca górną półpłascynę na siebie. T N 4. Obraem { C : > 5} pry funkcji holomorficnej może być { C : Re 3}. T N 5. Jeśli funkcja określona na jednospójnym obsare nieograniconym jest ogranicona to jest stała. T N 6. Jeśli funkcja określona na K(0, ) spełnia f(0) = 0 i f() < 3, to nie jest możliwe, żeby f( ) = ı. 4 T N 7. Jeśli funkcja całkowita ma nieerową, ale skońconą licbę er, to jest wielomianem. T N 8. Funkcja całkowita, która na kole jednostkowym opisana jest worem 7 + może mieć w C nieskońcenie wiele er. T N 4
Egamin poprawkowy Funkcji analitycnych. Cęść teoretycna. 04.09.006 WERSJA A Poniżej, jeśli nie anacono inacej, należy pryjmować domyślnie, że funkcje są holomorficne, a biory są otwarte. Należy anacyć poprawną odpowiedź jak na prykładie. Za poprawną/żadną/niepoprawną odpowiedź otrymacie Państwo odpowiednio +/0/- punkt. Zadania, których nie dotycy tryb T/N, są punktowane w skali podanej pred treścią adania. PRZYKŁAD : Teorii strun można się naucyć na muykologii. T @ABC GFED N. Niech f Hol(intK(0, )). Dla prawie wsystkich x C(0, ) istnieje biór otwarty U, taki że x U i f ma holomorficne predłużenie na U. T N. Jeśli f Hol(cl(U)) ora V = f[u], to f( U) V. T N 3. Jeśli f Hol(cl(U)) ora V = f[u], to f( U) V. T N 4. Niech U = K(0, ) \ {, } i niech γ : C(0, ) Γ U będie dyfeomorfimem. Dla g Hol(U) całka γ g()d może pryjmować co najwyżej 7 różnych wartości. T N 5. Jeśli breg jednospójnego ograniconego obsaru U nie jest krywą Jordana, to U nie musi być biholomorficne K(0, ). T N 6. Jeśli funkcja holomorficna nigdie nie nika, to jest kwadratem innej funkcji holomorficnej. T N 7. Jeśli f jest całkowita, to co najmniej jedna funkcji f, f predłuża się do funkcji holomorficnej na C. T N 8. Funkcja e e nie pryjmuje dokładnie dwóch wartości espolonych. T N 9. Funkcja cos prekstałca pas [ π, π ] (, ) na półelipsę. T N 0. W obsare wypukłym nie awierającym era istnieje gałąź logarytmu. T N. Jeśli lim f() = 0, to res f = 0. T N. Jeśli prostokąt domknięty P jest prekstałcany holomorficnie na prostokąt domknięty P, to środek P prechodi na środek P. T N 3. Jeśli f Hol(K(0, ) \ {0}) i r <, to π 0 f(re ıt )dt nie ależy od r. T N 5
4. Dla krywej amkniętej Γ achodi πı Ind f(γ) (0) = f Γ d. T N f 5. Niech (u, v) = (Ref, Imf) Jeśli na biore otwartym achodi 3u 4 ı v 3 u + vu 3 = 0, to f jest ogranicona. T N 6. Automorfim holomorficny prostokąta achowuje biór wierchołków. T N 7. Obsar C \ {0, } ma skońcenie wiele automorfimów. T N 8. Funkcja sin ma w istotną osobliwość. T N 9. (0-5p) Niech U będie obsarem o gładkim bregu. Pokaać, że jeśli każda nienikająca funkcja na U ma gałąź logarytmu to U jest jednospójny. 0. Granica niemal jednostajnie bieżnego ciągu funkcji holomorficnych jest funkcją holomorficną. T N. (0-5p) Sformułować i udowodnić twierdenie Casorattiego-Sochockiego -Weierstrassa charakteryujące punkty istotnie osobliwe.. Istnieje prekstałcenie biholomorficne K(0, ) na C \ {e ıθ : θ < }. T N 3. Istnieje prekstałcenie holomorficne R (, ) na pierścień. T N 4. Pomiędy dowolnymi dwoma trójkątami istnieje nieskońcenie wiele prekstałceń biholomorficnych które achowują środek ciężkości. T N 5. Jeśli oba residua mają sens, to res f( ) = res 0 f(). T N 6. Istnieje na { C : Im + Re > 0} gałąź logarytmu, dla której Log( + ı) = ln ı 3π T N 7. Jeśli 0 U to funkcja f : U \ { 0 } C \ K(0, ) ma w 0 biegun lub osobliwość poorną. T N 8. Jeśli funkcja określona na K(0, ) spełnia f(0) = 0 i f() < 5, to nie jest możliwe, żeby f( ) = + 3ı 6. T N 9. Jeśli dla f Hol(K(0, ) \ {0}) granica lim f( ) nie istnieje, to dla prawie wsystkich n N + achodi f() C(0,) d 0. T N n 30. Dla pewnego a < 0 achodi e a cos a Im( + ı) +ı. T N 6
Egamin FA (wykład M.Korasa, sem. letni 005/006). Skice rowiąań.. Znaleźć prekstałenie biholomorficne ϕ bioru { C : Im > 0} na biór { C : < } takie, że ϕ(i) = 0 i arg ϕ (i) = π. Rowiąanie: Posukamy odpowiedniej homografii h. Homografia spełniająca h(ı) = 0 prekstałca prostą recywistą na okrąg o środku w ere wtedy i tylko wtedy, gdy punkt symetrycny do ı wględem tej prostej prechodi na punkty symetrycny wględem 0 do okręgu. Cyli h() = k ı. Wystarcy dobrać odpowiednie k. +ı Uwaga: Napisanie woru (lub wynacenie go warunków koniecnych) to ocywiście a mało, należy sprawdić jesce, że odpowiednia homografia faktycnie spełnia warunki adania.. Wynacyć wsystkie funkcje holomorficne f takie, że (a) f : C C. (b) f : C C, C = C \ {0, }. (c) f : C C i f różnowartościowe. Rowiąanie: a. Pierwsym prykładem prekstałcenia f : C C, który powinien pryjść na myśl jest e, ale skoro e, równie dobre e g(), dla dowolnej całkowitej funkcji g. Poostaje pytanie dlacego nie ma innych możliwości? Treba po prostu definiować g jako Logf. Tu natrafiamy na chwilową trudność, bo precież obra f leży właściwie dowolnie w C, a tam nie da się definiować Log, bo nie da się definiować arg. Intuicyjnie jest jednak jasne, że skoro f ma diedinę topologicnie ściągalną (C), to musi to C nawijać wokół 0, co powinno powolić definiować arg w ależności od ilości nawinięć. Żeby ucciwie definiować g, treba sobie uświadomić, że musiałoby achodić g = f, atem definiujemy f g jako funkcję pierwotną do f. Tak można, bo na obsare jednospójnym każda funkcja f holomorficna ma pierwotną. Dla pełności wywodu prypomnijmy dowód ostatniego faktu. Definiujemy funkcję pierwotną do funkcji holomorficnej h jako H() = γ h(w)dw, gdie γ jest dowolną krywą łącącą 0 i. Nieależność całki od wyboru γ wynika właśnie jednospójności. b. Tylko stałe, godnie małym twierdeniem Picarda. c. Zgodnie faktem wykładu f jest homografią (meromorficność wynika tw. Sochockiego- Weierstrassa), stąd f() = k lub k dla k C. 3. Predstawić funkcję f() = w postaci sumy seregu Laurenta w każdym możliwym pierścieniu o środku w 0. Znaleźć res ( )( + ) f. 7
Rowiąanie: Rokład na ułamki proste f() = ( + ) uyskuje się najsybciej metodą Cauchy ego (badając cęści główne wokół biegunów). Tera (podobnie 4 (+) + ) rowijamy jako 3... lub jako = ( + + 3 o tego, cy diediną jest K(0, ) cy P (0,, ). Rowinięcia (+) różnickując rowinięcia. Ostatecnie: + na K(0, ): f() = + 3 + 4 3 5 + 3 6..., na P (0,, ): f() = + + 3 3 +... 3 4 5 6 7 +...) w ależności = ( + ) uyskujemy Drugie rowinięcie można też uyskać prościej, jeśli auważymy, że f() = f( ). Ponieważ res można policyć jako -(współcynnik pry w rowinięciu wokół ), to widać od rau, że res f = 0. 4. Ile er ma wielomian 9 3 + i + w pierwsej ćwiartce? Rowiąanie: Typowe rowiąanie używa ocywiście asady argumentu. Licymy jego pryrost na odcinkach [0, R], [ır, 0] ora na dodatnio orientowanym łuku okręgu o promieniu R, onacmy go γ R. Łatwo auważyć, że wielomian P () = 9 3 + ı + nie eruje się na wybranych odcinkach, dla dużych R nie eruje się też na γ R. Po pierwse należy sobie uświadomić, że licenie pryrostu argumentu na krywej NIE sprowada się do licenia argumentu w granicach. Treba uasadnić najpierw, że krywa nie obiega era. Zauważamy więc, że na odcinku [0, R] mamy ImP () 0, cyli P ([0, R]) nie obiega era. Podobnie na [ır, 0], ponieważ = ıy, mamy P () = ıy 9 ıy 3 y +, cyli ImP () 0. Licymy : argp (R) = argr 9 + arg( R 6 + Podobnie : argp (ır) = arg( ır 9 ) + arg( + R 6 ı R + 8 R ) 9 argr9 + arg = 0. ı R + ı 8 R ) 9 arg( ır9 ) = π. (Może być też 3 π, jeśli ktoś wybrał gałąź argumentu, dla której arg na osi recywistej jest równy π.) Skoro argp (0) = 0, to pryrost argumentu na [0, ] wynosi 0, a na [ı, 0] wynosi π. Na krywej γ R mamy = Re ıt dla t [0, π ], więc arg = 4 arg(r 9 e ı9t ) + arg( R 6 e + ı ı6t R 8 e + ı8t R 9 e ) ı9t arg(r9 e ı9t ) = 9 π. Otrymujemy licbę er w pierwsej ćwiartce równą (0 + π + 9 π) = 5. π 5. Funkcja f jest całkowita i prekstałca okrąg = w oś recywistą. Wykaać, że f jest stała. Rowiąanie: Funkcja f obcięta do K(0, ) prekstałca K(0, ) na pewien obsar U, którego breg awarty jest w osi recywistej. Zgodnie asadą odbicia Schwara wór 8
f() = f() dla K(0, ) ora f() = f( ) dla C \ K(0, ) definiuje funkcję holomorficną. Ponieważ f i f pokrywają się na K(0, ), to są równe. Wewnętrna gwiadka to symetria wględem C(0, ), a ewnętrna wględem R, cyli druga cęść definicji to po prostu f() = f( ), atem f prekstałca C w U U. Ostatni biór jest ogranicony, bo U jest, cyli twierdenie Liouville a daje teę adania. Uwaga: Chwila astanowienia nad tym, jak może wyglądać obsar U = f(k(0, )) prowadi do innego dowodu. Załóżmy, że f nie jest stała. Z twierdenia o odworowaniu otwartym wynika, że żaden punkt U nie może być obraem punktu K(0, ). Wnioskujemy, że U jest ograniconym (bo f(k(0, )) jest warty) obsarem o bregu awartym w R. Takich obsarów ocywiście nie ma (łatwe ćwicenie topologii I). 6. Cy istnieje funkcja f holomorficna w otoceniu 0 taka, że (a) f( ) = n f( ) =. n n (b) f( ) = n f( ) =. n n 3 (c) f( n )3 = nf( ) n in f( ) + n in3 Jeśli istnieje to wynacyć wsystkie takie funkcje. Rowiąanie: Punkt (a) spełnia funkcja, a skoro f i pokrywają się na biore mającym punkt skupienia, to są równe. Cęść warunku (b) (f( ) = ) spełnia funkcja n n 3 3, więc nów f i 3 musiałyby być równe, jednak druga cęść warunku daje sprecność. Jeśli w warunku (c) podielimy obie strony pre n 3 i korystając tego, że f jest ciągła w ere, policymy granicę pry n dostaniemy równość 0 = 0 0 + ı, cyli sprecność. 7. Sklasyfikować iolowane punkty osobliwe (łącnie ) funkcji f() = 7 ( 4) cos( ). Rowiąanie: Punkty, które mogą być iolowanymi osobliwościami to,, + (n+ )π,. Ponieważ punkty + są, jak łatwo sprawdić, jednokrotnymi erami cos, to są (n+ )π one biegunami rędu pierwsego dla funkcji f. Wobec tego punkt, jako punkt skupienia biegunów, nie jest osobliwością iolowaną. Punkt - jest biegunem rędu drugiego. Pisąc f() = 3 4 ( +4) cos widimy, że drugi cynnik dąży w nieskońconości do, cyli jest holomorficny. Stąd typ osobliwości f w nieskońconości jest taki, jak typ 3 : biegun stopnia treciego. 9
8. Oblicyć całkę 0 x sin x x 4 + dx Rowiąanie: Powinno być jasne, że należy użyć twierdenia o residuach. Okauje się, sin że nie jest dobrym pomysłem całkowanie funkcji po krywej amkniętej (kto nie 4 + spróbuje i nie sprawdi dlacego, nie wpadnie na to następnym raem). Decydujemy się więc całkować F () = eı, której cęścią urojoną na osi recywistej jest nasa funkcja. 4 + Stosujemy typowe podejście, mianowicie całkujemy F po krywej [ R, R] + γ R, gdie γ R jest dodatnio orientowanym półokręgiem. Weźmy najpierw całkę po γ R : = Re it dla t [0, π]. Sacujemy: π F ()d = γ R 0 Re ıt e ıreıt π R 4 e 4ıt + Rıeıt dt 0 R R sin t e R 4 e 4ıt + dt = π R 0 R sin t e e 4ıt + dt. R Łatwo widać, że w licnik jest ogranicony góry pre, a mianownik dołu np. pre (dąży do dla dużych R), stąd ostatnia całka jest ogranicona, więc całość biega do 0. Ponieważ wybrana krywa otaca tylko dwa cterech punktów osobliwych funkcji F, twierdenia o residuach otrymujemy J = x sin x 0 dx = Im x 4 + F ()d = Im πı(res A F +res B F ), gdie A = e ı π 4, B = e ı 3π 4. Zauważając, że A i B są biegunami rędu pierwsego dla F wylica się: J = π Re(res A F +res B F ) = π Re( ı 4 eb + ı 4 e A ) = π sin / exp /. Uwaga: Ostatnie wylicenie ma ocywiście najmniejsy wpływ na ocenę adania. Karol Palka 0