MOŻLIWOŚCI POPRAWY DOKŁADNOŚCI APROKSYMACJI KRZYWYCH SKŁADU MATERIAŁÓW UZIARNIONYCH

Transkrypt

1 Górnictwo i Geoinżynieria Ro 34 Zeszyt 4/ 200 Dariusz Foszcz*, Daniel Sarama*, Tadeusz Tumidajsi*, Tomasz Niedoba*, Tomasz Gawenda* MOŻLIWOŚCI POPRAWY DOKŁADNOŚCI APROKSYMACJI KRZYWYCH SKŁADU MATERIAŁÓW UZIARNIONYCH. Wstęp W analizie przebiegu procesów przeróbi surowców mineralnych luczową rolę odgrywają rzywe sładu, czyli rzywe ilustrujące zależność ilości danej fracji od cechy tej fracji. Krzywe sładu mogą być niesumulowane lub sumulowane (rzywe rozładu, prawdopodobieństwa, gęstości, dystrybuanty). Ze względu sposób wyznaczania rzywych sładu (ila lub ilanaście punów pomiarowych), stosuje się zwyle graficzne metody aprosymacji otrzymanych danych. Kolejne punty umulowanej rzywej sładu (dystrybuanty empirycznej) mają na osi y sumę ilości (wychodów) olejnych fracji, co jest powodem umulacji błędów oraz zmiany rangi puntów mierzonej np. przyrostem wychodów. Aby właściwie wyesponować rangę (jaość) puntów wyznaczających dystrybuantę empiryczną w procedurach aprosymacyjnych należy uwzględnić następujące ich walifiacje: ograniczenie liczby puntów branych pod uwagę w obliczeniach (zastosowanie rozładów uciętych lub cenzurowanych), pominięcie puntów wątpliwych (elementy analizy błędów), nadanie puntom wag w zależności od ich władu w sumaryczną wartość dystrybuanty. Prezentowany artyuł jest poświęcony szczegółowej analizie wymienionych wyżej podejść do poszuiwania wzorów aprosymacyjnych dystrybuant rozładów cech materiałów uziarnionych [, 2, 7, 9, 4, 7, 9, 2]. * Wydział Górnictwa i Geoinżynierii, Aademia Górniczo-Hutnicza, Kraów 37

2 2. Zastosowanie rozładów cenzurowanych problemy ustalenia granicy cenzurowania Przy analizie rzywych sładu materiałów uziarnionych należy uwzględniać rzeczywisty zares zmian wartości badanej cechy i stosować, jao wzory aprosymujące funcje gęstości, czy dystrybuanty, wzory dla rozładów cenzurowanych lub uciętych. Generalnie, obydwa rodzaje taich rozładów dotyczą wielości o ograniczonych przedziałach zmienności danej cechy, przy czym dla rozładów uciętych stosuje się przeliczenie wartości dystrybuant przy użyciu wartości rozładu podstawowego (wyznaczonego dla pełnego, nawet niesończonego, zaresu zmienności) w puncie jego podziału na części (umownego podziału na produty), a dla rozładu cenzurowanego modyfiację oreślenia zmiennej (cechy) prowadzącą do rozszerzenia zaresu jej wartości na przedział nieograniczony lub zamnięcia w przedziale <0, >. Równaniami empirycznymi (rozładami) stosowanymi w pratyce, dla rzywych sładu ziarnowego, (po zmianie przedziału <0, d max > na przedział <0, >) są: rozład potęgowy o dystrybuancie (wzór Gaudina-Schuhmanna) d F( d) =, 0 d dmax ; d max () rozład Gaudina-Meloya o dystrybuancie d F( d) =, 0 d dmax ; d max (2) rozład Harrisa o dystrybuancie s d F( d) =, 0 d dmax. d max (3) gdzie F(d) oznacza umulowany (sumowany) wychód poszczególnych fracji zawartych w materiale ziarnistym a d jest cechą ziarna (na przyład jego rozmiar), d max to masymalny wymiar ziarna, dla tórego F(d) = ; s i to parametry stałe. Powszechnie stosowanymi równaniami do analizy wielości ziaren są: rozład Weibulla (wzór Rosina-Rammlera), rozład logarytmiczno-normalny oraz rozład logistyczny, oparte na przedziale zmienności (0, + ). Transformując wielość ziarna do wielości: d ξ= (4) d max 38

3 oraz ξ η= = ξ d max d d (5) możemy dystrybuanty rozładów cenzurowanych zapisać wzorami: rozład Weibulla α η F( d) = exp, 0 d dmax ; η63,2 (6) rozład logarytmiczno-normalny t 2 t 2 F ( d) = e d, t (7) 2π gdzie: η ln η t = σ 50, σ= ln ( η84 ) ln ( η6 ) ; 2 rozład logistyczny ( ) F d = + be d c d max d. (8) Zagadnienie cenzurowania rozładu empirycznego polega generalnie na modyfiacji zaresu zmienności zmiennej niezależnej, tórą w naszej pracy będzie rozmiar wielości ziarna (d). W pełnym rozładzie zmienna d może zmieniać się w granicach (0, + ), przy stosowaniu procedury cenzurowania, zaś zares ten się zmienia na przedział (0, d max ). We d wzorze opisującym rozład empiryczny zmienna d przyjmuje postać dmax d. Opisana procedura cenzurowania dotyczy przypadu ograniczenia rozładu od góry, ończąc go na przyjętej arbitralnie wartości masymalnej zmiennej niezależnej d wynoszą- 39

4 cej d max. Istnieje taże możliwość ocenzurowania rozładu od dołu, czyli ustalenia minimalnej wartości d min, w rezultacie tego zares stosowalności wzoru będzie w przedziale (d min, + ). Można doonać też cenzury rozładu z obu stron, wtedy we wzorze zamiast wartości d występuje wartość d d min dmax d. Można przyjąć, że cenzurowany rozład Weibulla ma udoumentowane zastosowania pratyczne [3, 0]. Kołmogorow i Epstein [7, 2] wyazali zasadność stosowania rozładu logarytmiczno-normalnego do opisu rozdrabniania drobnego. Ustalenie doładnej wartości d max jest niemożliwe i należy rozważyć szacowanie tej wartości metodą aprosymacji. Jeżeli przyjmiemy, że tóryś ze wzorów opisanych wyżej jest dobrym przybliżeniem dystrybuanty rozładu wielości ziaren w rozpatrywanym zbiorze, to można wsazać d max jao wartość, tóra minimalizuje sumę wadratów odchyleń między wartościami dystrybuant rzeczywistymi i aprosymowanymi (metodą olejnego wprowadzania wartości d max więszych od wymiaru ocza najwięszego używanego sita w analizach). W pracy [0] zostały przedstawione wynii ruszenia różnych surowców w ruszarce szczęowej oraz aprosymacje dystrybuant rozładem cenzurowanym Weibulla, wzorem sugerowanym przez zespół badaczy włosich [3]. Wyorzystując dane z wymienionej pracy doonano aprosymacji danych empirycznych wzorami oreślającymi dystrybuantę rozładu Weibulla (wzorem Rosina-Rammlera-Bennetta) oraz dystrybuanty cenzurowanych rozładów Weibulla (dla d max równych odpowiednio 45, 52 i 60 mm). Efety aprosymacji przedstawiono na rysunu. Rys.. Aprosymacja danych esperymentalnych dotyczących sładu ziarnowego w postaci wychód sumulowany F(d) jao funcja rozmiaru ocza więszego sita danej lasy ziarnowej d cenzurowanym rozładem Weibulla (RRB) Ja łatwo zauważyć, dobór wartości d max ma bardzo istotny wpływ na doładność aprosymacji (wartości odchyleń resztowych s r ). Wartości odchyleń resztowych s r oblicza się z zależności: 40

5 Należy podreślić, że lasyczny rozład Weibulla raczej nie powinien być stosowany do aprosymacji danych rzeczywiście opisujących sład ziarnowy materiału. 3. Aprosymacja uwzględniająca wład (wagi) puntów w wartości dystrybuanty Ze względu na to, że drugie współrzędne puntów wyznaczających dystrybuantę empiryczną badanego rozładu cechy materiału uziarnionego powstają przez sumowanie wychodów las lub fracji (F(d)), można rozpatrywać aprosymację dystrybuanty uwzględniającą rolę poszczególnych puntów mierzoną przyrostem wartości dystrybuanty (wagę puntu). Jeżeli zadanie minimalizacji ważonej sumy wadratów odchyleń zapiszemy w postaci: i= ( ˆ ) w y y = min, i i i to w przypadu linearyzacji wzoru aprosymującego otrzymujemy lasyczne wzory na parametry prostej a i b, tzn. _ xy xy a =, 2 2 x x b = y ax, gdzie nadreślenia oznaczają uśrednienia względem wagi więc np. xy = wxy i i i i= i= w i, Wynii aprosymacji z użyciem wag, tóre są przyrostami wychodów, przedstawiono na rysunu 2. Zmiana wartości s r dla aprosymacji jest spowodowana tym, że rzywa dostosowuje się do wybranych (bardziej obciążonych puntów), zwięszając różnice w puntach pozostałych. Zasadność tego typu aprosymacji jest dysusyjna i powinna być omentowana w ażdym przypadu jej stosowania. 4

6 Rys. 2. Aprosymacja danych empirycznych przy uwzględnieniu wag 4. Nieparametryczne metody aprosymacji dystrybuant rozładów cech materiałów uziarnionych Przedstawione metody aprosymacji bazowały na onretnych wzorach oreślających dystrybuantę rozładu badanej cechy materiału uziarnionego, zwłaszcza wielości ziarna. W wielu przypadach nie ma żadnych podstaw do preferowania oreślonego rozładu cechy, tóry może być rozładem absolutnie nietypowych, nie stwarzającym możliwości linearyzacji wzoru oreślającego dystrybuantę. W taich przypadach można, dla aprosymacji dystrybuanty zastosować tzw. metody nieparametryczne sprowadzające się do wyorzystania rozwinięcia funcji w szereg Fouriera [5, 23, 24] lub metod wyorzystujących funcje jądrowe. W przypadu wyorzystywania metody Fouriera celem jest znalezienie funcji gęstości (lub dystrybuanty zależne jest to od postaci zestawu danych empirycznych) o postaci: j j (9) j = 0 ( ) = ϕ ( ) f x Q x gdzie Q j oznacza współczynnii Fouriera zadane wzorem: natomiast 0 ( ) Qj = f( x) ϕ j x dx (0) ϕ j ( x) = dla j = 0 2cosπ jx dla j =,2,... 42

7 Aby to zrealizować, zadany zbiór danych empirycznych musi zostać sprowadzony do przedziału [0, ], za pomocą transformacji liniowej X = (w naszym przypadu b = d max, d a b a a a = 0. Tym samym otrzymujemy ciąg { ϕn ( x) }, tóry jest ciągiem funcyjnym ortonormalnym na przedziale [0, ]. Estymatorem gęstości badanego rozładu jest suma częściowa szeregu Fouriera J j j j = 0 J f ( x) = Q ϕ ( x) () gdzie J nazywamy parametrem obcięcia. Jao estymator współczynniów Fouriera Q ˆ j przyjmuje się: Qˆ n = ϕ ( x ) (2) j j i n i = Estymator ten jest estymatorem nieobciążonym i mocno zgodnym. Za estymator dla parametru obcięcia Ĵ można przyjąć: 2 ˆ ˆ Q J = arg min ˆ J 0 2 Qj 0 J Jn j= 0 n (3) dla tórego arg min ( a ) 0 J Jn s przyjmuje wartości równe współczynniowi s najmniejszego elementu spośród (a 0,..., a s ), natomiast J n oznacza część całowitą liczby 4 + 0,5ln n. Inną możliwością nieparametrycznej aprosymacji są metody jądrowe oparte na tzw. funcji jądrowej, tórej postać może być różnorodna [4, 6, 8, 6, 8]. Wówczas dla zadanej prostej próbi losowej X,..., X n estymator jądrowy gęstości definiuje się jao: ( ) fˆ x n x xi = K (4) nh h i= gdzie K(x) oznacza funcję jądrową, spełniającą warune: K ( x)dx = (5) x,..., x n oznacza realizację próbi X,..., X n natomiast h > 0 jest parametrem zwanym szeroością pasma lub parametrem wygładzającym. 43

8 Dla naszych danych zostały wyorzystane funcje jądrowe: jądro Epanechniowa oraz jądro Gaussa, oreślone wzorami: 3 2 x dla 5 2 x b K( x) = 4 5b 5b dla x > b 5 0 (6) gdzie b parametr sali tktdt 2 () = b 2 oraz K 2 ( x ) exp, 2 2 x = x π R (7) Optymalna szeroość pasma zdefiniowana jest wzorami: dla jądra Epanechniowa 5 n hopt =, 056σ (8) dla jądra gaussowsiego 5 n hopt =, 066σ (9) gdzie: n liczebność próbi; σ odchylenie standardowe. W pratyce σ zastępujemy estymatorem s obliczonym na podstawie próbi losowej n s = x x. ( ) 2 i n i = Na rysunu 3 zamieszczono wyresy aprosymant otrzymanych za pomocą metod nieparametrycznych. Wynii otrzymywane metodami jądrowymi są do siebie bardzo zbliżone i można powiedzieć, że ich doładność jest w zasadzie jednaowa. Nieco gorsze efety dała metoda Fouriera. W porównaniu do tzw. rozładów lasycznych, jedynie rozład logistyczny dał lepsze wynii dopasowania. 44

9 Rys. 3. Aprosymacja danych empirycznych nielasycznymi rozładami 5. Podsumowanie Prezentowane w artyule zagadnienia związane z matematycznym opisem (aprosymacją) empirycznych rzywymi charateryzującymi rozłady cech materiałów uziarnionych poazują różnorodność realizacji oraz interpretacji wyniów. Oazuje się, że najważniejszym argumentem przy doborze sposobu aprosymacji są dalsze cele jej zastosowań. Jeżeli umulowane wychody (równania dystrybuant) fracji (las ziarnowych) są podstawą modelowania pracy ruszare czy lasyfiatorów, to odpowiedni wzór (dystrybuanta) gra luczową rolę. Uzależniając parametry wzoru od charaterysty techniczno-technologicznych urządzeń można prowadzić symulację jego pracy oraz poszuiwać warunów optymalnych przy przyjętych ryteriach oceny (np. eonomicznych) [20]. Kwestia doładności aprosymacji dystrybuanty rozładu cenzurowanego (uzależnionej od produowanego d max ) w taich badaniach nabiera bardzo istotnego znaczenia. Należy jeszcze raz podreślić, że przy proponowaniu postaci dystrybuanty powinno się ierować chociażby minimalnymi uzasadnieniami teoretycznymi jej postaci. W wielu przypadach użycie wychodów las jest niezbędne przy modelowaniu przebiegu procesów, tóre nie jest naierowane na oreślenie sładu materiału. W taich przypadach użycie nieparametrycznych metod aprosymacji dystrybuant jest uzasadnione i umotywowane dużą doładnością tej metody (pod waruniem niezmienności przebiegu dystrybuanty rzeczywistej). Nieparametryczna metoda aprosymacji dystrybuant była używana taże do generowania dystrybuant rozładów wielowymiarowych cech materiału po przyjęciu, że cechy te są stochastycznie niezależne [5]. Na podstawie przeprowadzonych badań można sformułować wniosi: ) Przy opisie umulowanych rzywych sładu ziarnowego powinno się preferować rozłady cenzurowane, zwłaszcza rozłady Weibulla, logarytmiczno-normalny i logistyczny. 45

10 Dobór wartości cenzurowania powinien być doonywany dla ażdego przypadu metodą olejnych przeliczeń. 2) Warto stosować, w uzasadnionych przypadach, nieparametryczne metody estymacji, tóre pozwalają zwięszyć jej doładność. 3) Doładność aprosymacji rzywych sładu ziarnowego może być oceniana tylo na podstawie odchylenia resztowego s r, wyznaczanego dla wartości dystrybuant, a nie ich przeształceń funcyjnych. W tym miejscu warto odnotować taże jedną istotną uwagę. Jeżeli przyjmuje się wzór aprosymujący daną dystrybuantę rozładu cechy materiału uziarnionego (uzasadniony lub nie), to doładność aprosymacji nie zależy od przyjętej metody minimalizacji odchyleń resztowych oreślanych jao suma (lub jej przetworzenie) wadratów różnic między wartością rzeczywistą a estymowaną. Wyznaczane wartości parametrów mogą różnić się minimalnie w zależności od stosowanej metody obliczeń (linearyzacja zależności, nieliniowe modele, zastosowanie techni ewolucyjnych). LITERATURA [] Andrejew C.E., Towarow W.W., Pierow W.A.: Zaonomiernosti izmielczienija i uscislienije charatieristi granułomietricziesiego sostawa, Moswa, 959 [2] Broże M., Tumidajsi T.: Granulometric characteristics of the product of crushing by compression of single particles, Arch. Min. Sci., vol. 4, pp , 996 [3] Cardu M., Clerici C., Morandini A., Ocella E.: An experimental research on the comminution law and wor index in jaw, Proceedings of XVIII International Mineral Processing Congress, Sydney, 993 [4] Efromovich S.: Nonparametric curve estimation, New Yor, Springer-Verlag, 999 [5] Efron B., Tibshirani R.: Using specially designed exponential families for density estimation, Ann. Statist. 24, pp , 996 [6] Eggermont P.P.B., La Ricia V.N.: Maximum penalized lielihood estimation, vol. I: Density estimation, Springer, New Yor, 200 [7] Epstein B.: Logaritmico-normal distributions in breaage of solids, Ind. Eng. Chem. 40, pp , 948 [8] Euban R.L.: Spline smoothing and nonparametric regression, Marcel Deer, New Yor, 988 [9] Gaudin A.M., Meloy T.P.: Model and comminution distribution equation for single fracture, Trans. AIME, vol. 223, pp , 962 [0] Gawenda T.: Ocena wpływu właściwości fizyochemicznych surowców salnych i parametrów technologicznych ruszare szczęowych na efety rozdrabniania, Rozprawa dotorsa, AGH, Kraów, 2004 [] Gawenda T., Niedoba T., Przybycień K., Tumidajsi T.: Zastosowanie algorytmów genetycznych do modelowania procesów przeróbi surowców mineralnych, Górnictwo i Geoinżynieria, vol. 4, pp. 0, 2009 [2] Kołmogorow A.N.: O łogaritmicziesi normalnom zaonie razpriedielienija razmierow czastic pri droblieniji, Doł. AN SSSR, 3, pp. 99 0, 94 [3] Malewsi J.: O modelach rzywych sładu ziarnowego produtów rozdrabniania, Prace Nauowe Instytutu Górnictwa Politechnii Wrocławsiej, vol. 28, Wrocław, 978 [4] Niedoba T., Tumidajsi T.: Aprosymacja rzywych sładu ziarnowego za pomocą różnych metod statystycznych, Zeszyty Nauowe Politechnii Śląsiej Górnictwo, vol. 266, pp , 2005 [5] Niedoba T., Tumidajsi T.: The approximation of grain composition curves by non-parametric statistical methods, Proceedings of XXIII IMPC, vol., pp , Istanbul, Turcja, 2006 [6] Praasa Rao B.L.S.: Nonparametric functional estimation, Academic Press, New Yor, 983 [7] Sarama D., Tumidajsi T.: Rola i sens aprosymacji rzywych sładu ziarnowego surowców mineralnych, Górnictwo i Geoinżynieria, vol. 3/, pp ,

11 [8] Silverman B.W.: Nonparametric density estimation for statistic and data analysis, London New Yor, Chapman and Hall, 986 [9] Trustrum K., Jayatilaa A.: Applicability of Weibull analysis for brittle materials, J. Mat. Sci., vol. 8, pp , 983 [20] Tumidajsi T., Foszcz D., Jamróz D., Niedoba T., Sarama D.: Niestandardowe metody statystyczne i obliczeniowe w opisie procesów przeróbi surowców mineralnych, Wydawnictwo IGSMiE PAN, Kraów, 2009 [2] Tumidajsi T., Sarama D., Niedoba T.: Matematyczne aspety opisu i oceny wzbogacalności rud miedzi, Górnictwo i Geoinżynieria, vol. 4, pp , 2007 [22] Tumidajsi T., Sarama D.: Metody i modele statystyi matematycznej w przeróbce surowców mineralnych, Wydawnictwo AGH, Kraów, 2009 [23] Wahba G.: Data-based optimal smoothing of orthogonal series density estimates, Ann. Statist. 9, pp , 98 [24] Watson G.S.: Density estimation by orthogonal series, Ann. Math. Statist. 40, pp ,