ANALIZA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU DLA WYBRANYCH SPÓŁEK INDEKSU WIG20

Transkrypt

1 Agniesza Surowiec Politechnia Lubelsa Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych w Zarządzaniu a.surowiec@pollub.pl Witold Rzymowsi Politechnia Lubelsa Wydział Podstaw Technii Katedra Matematyi Stosowanej w.rzymowsi@pollub.pl ANALIZA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU DLA WYBRANYCH SPÓŁEK INDEKSU WIG Streszczenie: W pracy przeanalizowano rozłady logarytmicznych stóp zwrotu wybranych spółe indesu WIG. Kryterium wyboru spółe stanowił wspólny i możliwie długi ores notowań. Głównym celem pracy było zbadanie możliwości wyznaczenia analitycznej postaci dystrybuant i funcji gęstości. Słowa luczowe: logarytmiczna stopa zwrotu, dystrybuanta, funcja gęstości, funcja Boltzmanna. Wprowadzenie gdzie Analizowane będą logarytmiczne stopy zwrotu: P t, Pt x t ln, (1) P t1 t 1,,..., N jest ursem zamnięcia acji wybranej spółi indesu WIG spośród czternastu spółe: Assecopol (ACP), Boryszew (BRS), BRE, GTC, Handlowy (BHO), Kernel (KER), KGHM (KGH), Lotos (LTS), PeKaO (PEO), PKN Orlen (PKN), PKOBP (PKO), Synthos (SNS), TPSA (TPS), oraz TVN. W wyborze spółe ierowaliśmy się ich masymalną liczbą w możliwie

2 Agniesza Surowiec, Witold Rzymowsi długim, wspólnym dla wszystich spółe oresie obserwacji. W pracy proponujemy i badamy prostą analityczną postać dystrybuanty i funcji gęstości rozładu dla logarytmicznych stóp zwrotu spółe giełdowych. W pierwszym etapie badań analizujemy notowania spółe pochodzące z oresu , N 77, w celu ustalenia analitycznej postaci dystrybuanty. Następnie dla wybranych spółe giełdowych na podstawie danych z oresu , N 87, badamy czy dystrybuanta zachowuje ustaloną wcześniej funcyjną postać. W pracy będziemy używać następujących symboli: Ξ { ξ } N 1, gdzie ξ1 ξ... ξ N oznacza uporządowany ciąg elementów ciągu X { x } N t t 1. Elementy ciągów X i Ξ będziemy nazywać stopami zwrotu. max { : ξ < }, max{ : ξ }, min { : ξ > }. τ (liczba ujemnych elementów ciągu Ξ ), τ (liczba zerowych elementów ciągu Ξ ), τ N (liczba dodatnich elementów ciągu Ξ ). Wartości τ, τ, τ zawiera tab Asymetria Dla logarytmicznych stóp zwrotu analizowanych spółe indesu WIG wyznaczamy dwa standardowe współczynnii asymetrii γ i A [Krysici i in., 1997, s. ; Podgórsi, 1, s. 7] oraz wzorując się na współczynniu Giniego [Podgórsi, 1, s. 7] wyznaczamy: gdzie τ ξ N Γ κ, Γ Γ jest współczynniiem oncentracji elementów ciągu Ξ w przedziale, ξ ], a [ ξ N Γ τ ξ ξ 1 [ 1, ξ elementów tego ciągu w przedziale ξ ]. Uzysane wynii zostały przedstawione w tab. 1. jest współczynniiem oncentracji

3 Analiza logarytmicznych stóp zwrotu... Tabela 1. Liczba ujemnych, zerowych oraz dodatnich elementów ciągu Ξ i miary asymetrii rozładu dla spółe ACP, BRS, BRE, GTC, BHO, KER, KGH, LTS, PEO, PKN, PKO, SNS, TPS, TVN z oresu Spóła τ τ τ γ A κ ACP 9,11,9,99 BRS ,,8, BRE 1 81,998,1 1,18 GTC 9,,,99 BHO 9 68,19,7 1,8 KER 7 8,6968,7, KGH 8,68,71,19 LTS ,16,716 1, PEO 6 61,116,9 1, PKN 16 86,16,9 1,91 PKO 8,17,9 1, SNS ,966,867 1,9 TPS 9 7,88,99 1, TVN 68,766 -,118 1, W przypadu analizowanych spółe indesu WIG liczba zerowych elementów ciągu Ξ stanowi często (patrz tab. 1) znaczną część liczby wszystich elementów tego ciągu. W srajnym przypadu (spóła BRS) liczebność τ⁰ stanowi prawie 1% liczby wszystich elementów ciągu Ξ. Dla drugiej w olejności spółi SNS liczebność τ⁰ stanowi prawie 11% liczby wszystich elementów tego ciągu, a dla czterech następnych spółe odpowiedni procent jest więszy niż. W więszości przypadów wartości współczynniów γ, A i κ potwierdzają znany fat wyraźnej asymetrii rozładów stóp zwrotu [A. Weron, R. Weron, 1998, rozdz. 9..1; M. Doman, R. Doman, 9, rozdz. 1.6].. Analityczna postać dystrybuant i gęstości Dystrybuantą empiryczną ciągu Ξ jest funcja : R [,1] F dana wzorem [Krysici i in., 1997, s. 11, wzór (..1)]: F emp ( ξ ), ξ < ξ1,, ξ ξ < ξ N 1, ξ ξ N. 1, 1,,..., N 1,

4 6 Agniesza Surowiec, Witold Rzymowsi Dla ażdej z wybranych czternastu spółe szacujemy parametry modelu: ( ξ ) F( ξ ) ε ( ξ ) F emp, gdzie z uwagi na asymetrię rozładu oraz na to, że liczba zerowych elementów ciągu Ξ stanowi znaczną część liczby wszystich elementów tego ciągu: tórych: F ( ξ ) F F ( ξ ), ( ξ ), gdy ξ <, gdy ξ. Szuamy taich funcji F : (,] [,1], F : [, ) [,1], dla δ def max F ξ < emp ( ξ ) F ( ξ ), def i δ max F ( ξ ) F ( ξ ),. ξ > emp Jeżeli max{ δ, δ },, to można przyjąć, że z prawdopodobieństwem więszym niż,9 funcja F nie różni się od prawdziwej dystrybuanty [Krysici i in., 1997, s. 116]. Łatwo sprawdzić, że powyższy warune nie będzie spełniony w przypadu ażdej spółi, dla tórej τ > 1,1N. Taimi spółami są BRS oraz SNS. W przypadu tych spółe warune max{ δ, δ }, nie może być spełniony przez żadną dystrybuantę ciągłą..1. Model dystrybuanty ciągłej Podobnie ja w przypadu proponowanych w literaturze rozładów α-stabilnych (giełda ameryańsa) czy rozładów hiperbolicznych (giełda niemieca) [A. Weron, R. Weron, 1998, rozdz. 9], proponujemy rozład unimodalny: F c F ( 1 e ) ( ξ ) 1 e e b ξ c b ξ c oraz F ( ξ ) będący prostą modyfiacją funcji Boltzmanna. F ( F ) c 1 e b ξ c 1 e e b ξ c

5 Analiza logarytmicznych stóp zwrotu... 7 Tabela. Wartości parametrów funcji F oraz F dla spółe ACP, BRS, BRE, GTC, BHO, KER, KGH, LTS, PEO, PKN, PKO, SNS, TPS, TVN dla N 77 oraz dla N 87 F b N 77 N 87 c b c F ACP,7 77,99 1,6 69,9 67,,8 76,97 1,879 7,7 66,89 BRS,16,68 6,8 9,7 61,,1 9,,17,699 6,16 BRE,1 6,,76 76,7,9,8 66,98,6 71,7 1,8 GTC,9 6,87,81,6 67,,8 6,,88,6 69,18 BHO,86 9,8,79 77,11 1,66,77 8,86,886 7,78 1,797 KER,98 7,6,689,96 6,,9 8,1,6,1 6,866 KGH,7 9, 1,6 7,88,16,6 8,66 1,76 7,8,96 LTS,8 68,87,87 7,86,61,7 69,8,88 76,9, PEO,9 76,,1 77,8,,9 77,19,66 79,886,6 PKN,87 8,98, 87,,1,8 8,9,16 89,9,1 PKO,87 78,6,78 86,9,6,87 81,87,71 89,88,9 SNS,6 8,86,67,67,18,7 8,99,616 7,7 1,9 TPS,9 9,1,917 86,1 1,8,9 91,68 1,6 8,817,66 TVN,1 6,18 1,717 66,68 1,17,1 6,19 1,61 6,9 1,88 Rozład Boltzmanna jest od niedawna wyorzystywany do analizy danych giełdowych [Kleinerta, Chen, 7; Chu, Viet, Lien, 11]. Tabela zawiera wartości parametrów funcji F oraz F dla N 77 oraz N 87. Dla wszystich wybranych spółe indesu WIG zastosowano następujące testy zgodności danego rozładu z rozładem empirycznym dla poziomu istotności α, : test χ z podziałem na lasy o jednaowym prawdopodobieństwie p dla liczby las dwadzieścia siedem [Krysici i in., 1997, s. 11. (wartość rytyczna wynosi 8,89) oraz test Kołmogorowa (wartość rytyczna wynosi 1,). Tabela. Wynii testów statystycznych dla spółe ACP, BRS, BRE, GTC, BHO, KER, KGH, LTS, PEO, PKN, PKO, SNS, TPS, TVN dla N 77 oraz dla N 87 N 77 N 87 N 77 N 87 χ p χ p b c N d N b c N 87 dla parametrów z przypadu N 77 ACP,6,11 1, 1,9 1, BRS 6, 6,1,7,7,67 BRE 8, 7,6,89,7 1, GTC, 8,6,69,86,78 BHO 76,79 8, 1, 1,9 1,1 KER 71,8 7,6 1,1 1,,9 KGH,9,6,61,6,8 LTS 18,8,,6,,8 PEO,9 6,,76,89,81 PKN,7 18,77,,7,7 PKO,,17,61,67,67 SNS 19, 18,9 1,8 1,8, TPS,97,,81,78,87 TVN 61,6,7,8,89,88

6 8 Agniesza Surowiec, Witold Rzym mowsi χ p Wynii testu χ z podziałemm na lasy o jednaowym prawdopodobieństwie są tai ie same dla N 77 i N 87. Potwierdzająą postać zało żonego rozładu przy α,dla następujących spółe: GTC, KGH, LTS, PEO, PKN, PKO O. Podobnie, wynii testu Kołmogorowa sąą taie same dla N 777 i N 87. Po- twierdzająą post tać założonego rozładu przy α,dla wszystich spółe, z wyjąt tiem wspomnianych wcześniej BRS oraz SNS S. Ponadto na podstawie test tu Kołmogorowa dla N 87 dla dystrybuanty oreślonej dla przy ypadu N 77, możnaa stwierdzić stało ośćć postaci fun cji rozładu w czasie. Na podstawie wyniów przedstawionych w tab. można stwierdzić, że dystrybuantaa zachowuje ustaloną wcz ześniej funcyjną postać.... Gęstośćć rozładuu Kierując się wyni iami testu Koł łmogorowa, moż żnaa przyjąć, że w wię ęszości przypadów proponowany w pracy typ rozładu jest zgodny z rozładem empi- rycznym. Proponowany rozład jest rozładem unimodalnym, podobnie ja rozłady α sta abilne i hiperboliczne. ACP (NN 77) PKO (NN 77) emp. teor. teor. emp. a) b) Rys. 1. Porównanie teoretycznej funcji gęstości z empiryczną uzysanąą na podstawie las przy zastosowaniu podziału na lasy o równej długości dla logarytmicznych stóp zwrotu dla spółi ACP (a) oraz PKO (b) w oresie Na przyładzie spółe ACP (o negatywnym wyniu testu z podziałem na las sy o jednaowym prawdopodobieństwie) ora z PKO (o wszystich pozy- tywnych wyniach testów) na rys. 1 przedstawiono porównanie ustalonej teore- tycznej funcji gęstości z emp piryczną [Krysicii i in., 1997, s. 6] uzysaną na podstawie las dla N 77, stosując podział na lasy jednaowej długości. Wiadomo że, oprócz sośności, leptourtozy i tzw. grubych ogonów, roz- łady stóp zwrotu mają jeszcze jednąą nieprzyjemnąą cechę, zwaną zgrupowania- χ

7 Analiza logarytmicznych stóp zwrotu... 9 ( 77 mi zmienności [M. Doman, R. Doman, 9, s. 9]. Analizując histogramy czternastu spółe indesu WIG, powstałe przez podzielenie ażdego z przedziałów [ ξ 1,) i, ξ ] na 1 podprzedziałów o równej długości, otrzymujemy łącznie las. Częstości empiryczne 8 spółe: BRS, BRE, KER, KGH, PEO, PKN, TPS i TVN są zerowe w nietórych podprzedziałach. W przypadu spółi BRS ma to miejsce w siedmiu podprzedziałach. Wpływ wspomnianej nieregularności rozmieszczenia elementów ciągu Ξ na empiryczną funcję gęstości staje się jeszcze bardziej widoczny po doonaniu podziału na lasy o równych prawdopodobieństwach [Krysici i in., 1997, s. 19]. Każdy z przedziałów ξ, ], ξ, ξ ] dzielimy na szesnaście przedziałów. [ 1 ξ [ N Doonujemy tego w czterech etapach. W pierwszym etapie ażdy z przedziałów ξ, ], ξ, ξ ] dzielimy na dwa przedziały o równych licznościach. Jeżeli [ 1 ξ [ N [ 1, ξ przedział ξ ] zawiera parzystą liczbę elementów, to dzielimy go na prze- [ ξ N działy ξ 1, ξ, ξ,ξ, a jeżeli nieparzystą, to na przedziały o wspólnym ońcu ξ 1, ξ 1, 1 ξ,ξ. 1 Podobnie postępujemy w przypadu przedziału, ξ ]. Po czterorotnym powtórzeniu tej operacji otrzymujemy przedziały P P,..., P ξ, ξ P P,..., P ξ, ξ o licznościach { 1, 16 } [ 1 ] oraz { 1, 16 } [ N ] odpowiednio δ j przedziałów l i l. Następnie wyznaczamy środi P i, P j i gęstości: η i, η j i długości δ i, g ( l ηi ) Nδ i l, g( η j ) Nδ j. Dodatowo przyjmujemy z uwagi na własności funcji gęstości: τ g( ) N ξ ξ ( ).

8 Agniesza Surowiec, Witold Rzym mowsi Tabela. Gęstości empiryczne dla spółe ACP, BRS, BRE, GTC, BHO, KER R, KGH, LTS, PEO, PKN, PKO, SNS S, TPS, TVN z ore esu Spóła ACP BRS BRE GTC BHO KER KGH LTS PEO PKN PKO SNS TPS TVN l 1 l 1 Liczba max lo g( ) 97,8,97 9,81 7,16 6,1 17,19 1,7, 9,866 1,99 66,8,18,,9 Licz zba max lo Ta wyznaczone gęstości mają ila masimów loalnych w przedziałach (,)) ( max ) i (, ) ( lo max ). Z wyjątiem spółi TPS, wartość g() jest rów w- lo nieżż masimumm loalnym. Szczegóły prezentuje tab. dla wsz zystich analizo- wanych spółe dla N 77 oraz rys. dla spółe ACP oraz PKO O. ACP (N 77) PKO (N 77) emp. teor. emp. teor. a) b) Rys.. Porównanie empirycznej funcji gęstości z teoretyczną uzysanąą na podstawie las przy zastosowaniu podziału na lasy o jednaowym prawdopodobieństwie dla logaryt- micznych stóp zwrotu dla spółi ACP (a) oraz PKO (b) w oresie Na podstawie przeprowadzonych badań dotyczących fun cji gęstości nie możnaa twierdzić, że rozłady stóp zwrotu są unimodalne. Poza tym bra unimo- dalności występuje nawet w przypadu bardziej regu ularnych stóp zwrotu ursów walut [J.P.Morgan/Reuters, 1996, s. 6, rys..16]. Należałoby zatem wziąć pod uwagę taie rozłady, tórych fun cja gęstości może mieć ila est tremów loalnych i mo że zerować się w pewnych podprzedziałach. Tego typu funcje gęstości nie dadząą się opisać prostym wzorem. Dodatowąą trudność stanowi żądanie, by fun cje gęstości miały tęę samąą postać analityczną dla ażdej spółi.

9 Analiza logarytmicznych stóp zwrotu... 1 W związu z tym i przeprowadzonymi testami statystycznymi potwierdzającymi zgodność rozładu danego za pomocą zmodyfiowanej funcji Boltzmanna z empirycznym dla znacznej liczby analizowanych spółe, proponowany w pracy rozład unimodalny pomimo swojej unimodalności może być dobrym, wstępnym przybliżeniem rzeczywistych rozładów stóp zwrotu. Wniosi 1. Liczebność zerowych wartości stóp zwrotu może mieć wpływ na typ rozładu. W szczególnych przypadach, typu spółi BRS, można uwzględnić rozłady z dystrybuantą nieciągłą.. Funcje dystrybuanty i gęstości mogą mieć inną postać analityczną w przedziałach (,) i (, ).. Stosunowo duża liczba zerowych wartości ciągów Ξ sugeruje tendencję utrzymywania stałej ceny acji danej spółi. Z drugiej strony rozłady stóp zwrotu są najmniej regularne w bezpośrednim otoczeniu zera. Literatura Doman M., Doman R. (9), Modelowanie zmienności i ryzya. Metody eonometrii finansowej, Oficyna a Wolters Kluwer Business, Kraów. Chu T.A.,Viet N.A., Lien D.H., (11), Simple Model for Maret Returns Distribution, Proceedings National Conference Theoretical Physics, Vol. 6, No., s. -8. J.P. Morgan/Reuters (1996), RisMetrics TM Technical Document, Morgan Guaranty Trust Company of New Yor, New Yor. Kleinerta H., Chen X.J. (7), Boltzmann Distribution and Maret Temperature, Physica A, Vol. 8, No., s Krysici W., Bartos J., Dycza W., Króliowsa K., Wasilewsi M. (1997), Rachune prawdopodobieństwa i statystya matematyczna w zadaniach. Część II Statystya matematyczna, Wydawnictwo Nauowe PWN, Warszawa. Podgórsi J. (1), Statystya dla studiów licencjacich, PWE, Warszawa. Weron A., Weron R. (1998), Wycena instrumentów pochodnych. Symulacje omputerowe. Statystya Rynu, WNT, Warszawa.

10 Agniesza Surowiec, Witold Rzymowsi ANALYSIS OF THE LOG PRICE CHANGE FOR SELECTED WIG COMPANIES Summary: This paper deals with the quantitative analysis of the log price change (continuously-compounded return) for selected WIG instruments. The purpose of these investigations was to research the possibility of determination of analytical form of the probability density function and the cumulative distribution function. The modified Boltzmann function was proposed as the cumulative distribution function. Keywords: log price change, probability density function, cumulative distribution function, Boltzmann function.