Optymalizacja. Algorytmy dokładne

Transkrypt

1 dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Maciej Hapke

2 Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1 = F,...

3 Organizacja zbioru rozwiązań w problemie TSP

4 Jeśli w drzewie umieścimy rozwiązania niekompletne (częściowe)... Czy można jakoś ograniczyć przeglądanie takiego drzewa? Tak można nie przeglądać gałęzi prowadzących tylko do rozwiązań niedopuszczalnych Tak można nie przeglądać gałęzi, w których nie istnieje rozwiązanie lepsze od już znalezionego

5 Metoda podziału i ograniczeń Ilustracja z wykładu coraz lepsze ograniczenie Czerwona przerywana linia to złe ograniczenie trasy mogą być krótsze

6 Problem plecakowy zapis matematyczny Zmienne x i {0, 1} 1 jeżeli element i jest umieszczany w plecaku Maksymalizuj i x ic i Przy ograniczeniu: i x iw i W Problem plecakowy jest NP-trudny

7 Metoda podziału i ograniczeń Branch & Bound Konstruowanie rozwiązania jest widziane jak przeglądanie drzewa. Np. dla problemu plecakowego: {0,0,0,0} {1,0,0,0} {1,1,0,0} {0,1,0,0} {1,0,0,1} {1,1,1,0} {1,1,0,1} {1,0,1,0} {0,1,1,0} {0,1,0,1} {1,1,1,1} {1,0,1,1} {0,1,1,1}

8 Górna (dolna) granica upper (lower) bound Górna granica wartość, której na pewno nie przekroczy funkcja celu dla żadnego z rozwiązań, w których ustalono pewne elementy (np. pewne zmienne decyzyjne) Np. jaka jest górna granica dla rozwiązań, w których x 1 = 1 i x 5 = 1? Górna granica nie musi być, i z reguły nie jest, osiągalna przez żadne rozwiązanie Znajdowanie górnej granicy jest zależne od problemu

9 Znajdowanie górnej granicy dla problemu plecakowego Załóżmy, że do plecaka możemy wkładać części elementów Posortuj elementy według stosunku c i /w i Wkładaj do plecaka elementy rozpoczynając od elementu o największym stosunku c i /w i aż do zapełnienia plecaka. Ostatni element może zostać włożony częściowo.

10 Przykład. Pojemność plecaka = 10 Element i w i c i Stosunek c i /w i Górna granica = = 10.8

11 Znajdowanie górnej granicy dla problemu plecakowego Jeżeli pewne części rozwiązania są już ustalone (elementy są wybrane 1, lub nie 0), to rozpatrujemy tylko pozostałe elementy Np. jeśli zadecydowaliśmy, że nie umieszczamy elementu 1, a element 2 jest już w plecaku i mamy 4 jednostki wolne: 3 4 Górna granica = = 8.2

12 Metoda podziału i ograniczeń Jeżeli dla danej gałęzi drzewa górna granica jest niższa od znanego już rozwiązania, to gałąź tę można pominąć.

13 B&B przykład (problem plecakowy) {0,0,0,0,0,0} C=0, GG=10.8 {1,0,0,0,0,0} C=5, GG=10.8 {0,1,0,0,0,0} C=5, GG=8.2 {1,1,0,0,0,0} C=10, GG=10.8 {1,0,1,0,0,0} C=9, GG=10.5 {1,0,0,1,0,0} C=6.5, GG=8 {1,0,0,0,1,0} C=6, GG=7 Niedopuszczalność {1,0,1,1,0,0} C=10.5, GG=10.5 Niedopuszczalność

14 Branch & Bound produkcja Znajdź przydział, który maksymalizuje łączną wydajność. Wydajność c ij : Wyrób Stanowisko A B C D Sformułuj ogólne zadanie 2 Zaproponuj algorytm jego rozwiązania 3 Zastosuj go do powyższej instancji problemu. B.O.D.I., zad. 2.21

15 PD jest stosowane do wieloetapowych procesów decyzyjnych z własnością Markowa Katarzyna Jakowska-Suwalska., przykłady i zadania (online doc). WPD: n + 1 stanów (s i ), n decyzji (x i ), s i+1 = T i (s i, x i ) WPD: s 1 d 1 s 2 d 2 s 3... s n d n s n+1 Na każdym etapie procesu, będąc w stanie s i S i, podejmujemy decyzję d i ze zbioru decyzji D i Strategia to ciąg decyzji d 1, d 2,.., d n Własność Markowa: w dowolnym stanie procesu, wpływ dalszych decyzji na funkcję celu zależy tylko od bieżącego stanu i tych decyzji (historia nie wpływa) Wiele zadań optymalizacji da się sprowadzić do (potraktować jak) WPD z własnością Markowa Na przykład z = f 1 (s 1, x 1 ) f n (s n, x n ) Z własności Markowa wynika zasada optymalności Richarda Bellmana którą wykorzystuje PD: Strategia optymalna ma tę własność, że niezależnie od tego jaki był stan początkowy i jakie były decyzje początkowe, pozostałe decyzje muszą tworzyć strategię optymalną ze względu na stan będący efektem tych początkowych decyzji. B.O.D.I., str

16 Metoda podziału i ograniczeń ilustracja z wykładu Trajektorie lotu rakiety

17 przykład Zadanie: jednowymiarowy proces alokacyjny. Rozdziel M = 8 jednostek zasobu na N = 3 działalności (zyski podane w tabeli) tak, aby zmaksymalizować całkowity zysk. x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) Sformułuj ogólne zadanie jako PM 2 Zaproponuj sposób jego dekompozycji dla PD 3 Rozwiąż powyższą instancję problemu. B.O.D.I., str

18 [obliczenia] x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) x q 3 (x) d 3 (x) q 2 (x) d 2 (x) q 1 (x) d 1 (x)

19 [obliczenia] x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) x q 3 (x) d 3 (x) q 2 (x) d 2 (x) q 1 (x) d 1 (x)