Lista 4 z rozwiązaniami

Transkrypt

1 Lista 4 z rozwiązaniai Autorzy rozwiązań: Zad dr A.Kolarz. Zad r. W.Maierski Siły bezwładności 81. Jaką inialną siłą należy działać na ciało A o asie M A (patrz rysunek), aby ciało B o asie M B nie poruszało się wzlęde nieo, jeśli: a) współczynnik tarcia iędzy A i B wynosi f AB, dy A porusza się po idealnie ładkiej powierzchni? b) współczynnik tarcia iędzy A i B wynosi f AB, a iędzy A i pozioą powierzchnią wynosi f? Obliczenia wykonać dla f AB = 0,6, f = 0,4, M A = 0 k i M B = k. ozwiązanie: 8. Wahadło o asie wisi na podstawce uocowanej na wózku. Znaleźć kierunek nici wahadła, tj. kąt α nici z pione oraz jej naprężenie T w przypadkach: a) wózek porusza się ruche jednostajny po płaszczyźnie pozioej, b) wózek porusza się po płaszczyźnie pozioej z przyspieszenie a, c) wózek stacza się swobodnie z równi pochyłej, która tworzy kąt β z pozioe. ozwiązanie: 83. O jaki kąt odchyli się pozio cieczy przewożonej w saochodzie cysternie, dy saochód hauje z opóźnienie 5 /s ( = 10 /s). ozwiązanie: 84. Wyznaczyć wartości sił odśrodkowych działających na człowieka znajdująceo się: a) na równiku; b) na powierzchni Ziei poruszającej się wokół Słońca. Dane: proień Ziei 6400 k, średnia odlełość Ziei od Słońca wynosi 150 ln. k. ozwiązanie: 85. Wyznaczyć nacisk ciała pilota o asie M na fotel saolotu wykonującą pętlę o proieniu = 6 k leżącą w płaszczyźnie pionowej, dy saolot jest: a) w najniższy punkcie okręu (fotel jest pod ciałe pilota) a prędkość saolotu wynosi 80 /s; b) w najwyższy punkcie pętli (fotel jest nad pilote) a prędkość saolotu wynosi 10 /s. Obliczenia wykonać dla M = 6 k. W jaki punkcie pętli i przy jakich wartościach podanych paraetrów pilot przez chwilę znajdzie się w stanie nieważkości? ozwiązanie:

2 86. Współczynnik tarcia iędzy tore a oponai saochodu wynosi 0,8. Z jaką aksyalną prędkością oże ten saochód pokonać bez poślizu zakręt o proieniu 40? ozwiązanie: 87. Na cało o asie M poruszający się w powietrzu z prędkością nad powierzchnią Ziei działa oprócz siły rawitacji, siła bezwładności C = M, zwana siłą Coriolisa, dzie jest prędkością kątową ruchu obrotoweo Ziei wokół osi płn-płd., przy czy wektor jest skierowany od bieuna płd. Ziei do jej bieuna płn. Uzasadnić, że ciała wykonujące rzut ukośny na półkuli płn. odchylają się od pierwotneo kierunku zawsze w prawo wzlęde wektora prędkości. Jaką reułę ożna stąd wysnuć dla ciał wykonujących rzut ukośny na półkuli płd? Dlaczeo ciała rzucone pionowo w dół, niezależnie od półkuli, odchylają się na wschód, tj. nie spadają pionowo w dół? Wyobraź sobie idealnie ładką rurkę o średnicy d i wysokości H ustawioną pionowo na równiku, w której spada swobodnie i bez tarcia kulka o średnicy d. Z rurki odpopowano powietrze. Jak zależy od czasu siła wywierana przez spadającą kulkę na boczną ściankę rurki? ozwiązanie: 88. Wiadro z wodą wprawiono w ruch po okręu o proieniu leżący w płaszczyźnie pionowej. Jaka jest inialna wartość prędkości wiadra w najwyższy punkcie toru ruchu, dla której woda nie będzie wylewała się z nieo? ozwiązanie: 89. Największy i najniejszy pozorny ciężar ciała człowiek stojąceo na wadze uieszczonej w windzie wynosi odpowiednio 591 N i 391 N. Zakładając, że wartości przyspieszenia i opóźnienia (przy haowaniu) windy podczas jej ruchu w órę są takie sae wyznaczyć rzeczywistą asę człowieka oraz przyspieszenie/opóźnienie windy. ozwiązanie: 90. Saochód porusza się ze stałą prędkością po drodze położonej na wzórzu o proieniu krzywizny w najwyższy punkcie równy 0. Wyznaczyć, jeśli na szczycie wzórza nacisk kół saochodu na droę jest zaniedbywalnie ały. ozwiązanie: Dynaika ruchu krzywolinioweo 91. Jarek o asie M = 40 k buja się na huśtawce zawieszonej na dwóch linkach o dłuości L = każda. W najniższy punkcie toru P siła naprężenia każdej z linek wynosi 300 N. Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie dośrodkowe Jarka oraz siłę jeo nacisku na deskę huśtawki w punkcie P toru. ozwiązanie:

3 9. Saochód porusza się po łuku droi o proieniu. Powierzchnia droi jest nachylona pod kąte wzlęde poziou w kierunku do wnętrza zakrętu. Współczynnik tarcia wynosi f. Pokazać, że aksyalna prędkość, przy której saochód nie wypadnie z zakrętu na skutek poślizu spełnia równość ( ax ) = (f+t )/(1-ft ). ozwiązanie: 93. Saochód wpadł w pośliz na pozioy zakręcie o proieniu krzywizny 00, przed który stał znak oraniczenia prędkości do 40 k/h. O ile przekroczył kierowca dozwoloną prędkość, jeśli współczynnik tarcia iędzy oponai i jezdnią wynosił 4/5? Wynik podać w k/h. ozwiązanie: 94. owerzysta jedzie ze stałą prędkością = 10 /s po torze kołowy. Kąt nachylenia płaszczyzny roweru do poziou wynosi α=60. Oblicz proień toru. ozwiązanie: 95. Droa a łaodny płaski zakręt o proieniu = 100. Jakie powinno być oraniczenie prędkości na ty zakręcie (wyrażone w k/h) jeśli w niesprzyjających warunkach współczynnik tarcia µ= 0,? ozwiązanie: 96. Mała kulka stacza się po rynnie zakończonej pionową pętlą o proieniu r. Z jakiej wysokości kulka ta powinna się stoczyć, aby nie odpaść od pętli? ozwiązanie: 97. Z wierzchołka ładkiej kuli o proieniu zsuwa się bez tarcia ałe ciało. Wyznacz położenie punktu, w który wsponiane ciało oderwie się od powierzchni kuli. ozwiązanie: 98. Wahadło ateatyczne ożna wprawić w ruch po okręu (rysunek), otrzyujey wówczas wahadło stożkowe. Załóży, ze wychylenie takieo wahadła wynosi. Oblicz okres obieu takieo wahadła. ozwiązanie: 99. Punkt aterialny rozpoczyna ruch po okręu o proieniu ze stały przyspieszenie kątowy ε, jednostką ε jest s -.Po jaki czasie siła dośrodkowa będzie n razy większa od siły stycznej? ozwiązanie:

4 100. Ciężarek o asie zawieszony na nici o dłuości d obraca się po okręu ruche jednostajny w płaszczyźnie pozioej. W czasie ruchu nić odchylona jest od pionu o kąt. Oblicz siłę naprężenia nici. ozwiązanie: 101. Słońce znajduje się w odlełości lat świetlnych od środka Droi Mlecznej i porusza się wokół teo środka po okręu z prędkością 50 k/s. Ile czasu zajuje Słońcu pełny obie? Ile takich obieów wykonało Słońce, które powstało 4,5 ld lat teu. Wskazówka jeden rok świetlny do droa, którą przebywa światło poruszające się w próżni z prędkością k/h w czasie jedneo roku, który liczy w przybliżeniu 10 ln sekund. ozwiązanie: 10. Statek kosiczny pokonuje w przestrzeni kosicznej łuk okręu o proieniu 30 k, poruszając się ze stałą wartością prędkości k/h. Jaka jest wartość jeo: a) prędkości kątowej? b) przyspieszenia dośrodkoweo? c) przyspieszenia styczneo? ozwiązanie: 103. Wyznaczyć zależności od czasu wartości sił: całkowitej, stycznej i dośrodkowej (składowych tej pierwszej) działających na ciało o asie M wykonujące rzut: A) pozioy; B) ukośny. Wskazówka: wyznaczyć najpierw wartości przyspieszeń: całkowiteo, styczneo i dośrodkoweo. Czy ożna wyznaczyć zależność od czasu proienia krzywizny toru rzutu ukośneo i pozioeo? ozwiązanie: Zad81 ozwiązania T Najpierw rozwiążey część b) zadania. Aby ciało B było nieruchoe wzlęde A usi być T A C T C czyli M B f AB T A f AB M A f Stąd

5 1 f AB M B M A f (*) Po podstawieniu danych otrzyujey =111,18N. Aby otrzyać rozwiązanie pierwszej części zadania do wzoru (*) podstawiay f = 0 co oznacza, że iędzy podłoże a ciałe A nie a tarcia. Wtedy wzór (*) przyjuje postać 1 f AB M B a po podstawieniu danych otrzyujey =3,7N Zad8 a) Ponieważ wózek porusza się ruche jednostajny to działa na nieo jedynie przyspieszenie zieskie i odpowiadająca jej siła ciężkości P. Naprężenie nici T dane jest wzore T P b) W wypadku ruchu ze stały przyspieszenie a pojawia się siła bezwładności b a która powoduje odchylenie wahadła od pionu w taki sposób, że nić wahadła układa się wzdłuż siły wypadkowej w. Z rysunku wynika, że

6 T w a t b P a oraz c) Na wózek wzdłuż równi działa składowa siły ciężkości P P sin sin powodująca stałe, równolełe do równi przyspieszenie a sin Siła bezwładności wynosi teraz b sin Jak widać z rysunku siła wypadkowa wynosi P w b i jest prostopadła do równi czeo należało się spodziewać z rozkładu siły ciężkości na składowe w kierunku równoleły i prostopadły do równi. W związku z powyższy uszą być spełnione równania: oraz T w cos Zad83 Wypadkowa siła w działająca na dowolną eleentarną asę cieczy na powierzchni jest do powierzchni prostopadła. Gdyby tak nie było to siłę tę rozkładay na składowe prostopadłą i równolełą do powierzchni. Składowa prostopadła jest równoważona przez siły sprężystości cieczy natoiast składowa równoleła powodowała by ruch po powierzchni czeo nie obserwujey w stanach ustalonych.

7 Tak więc na eleent cieczy o asie Δ działa pionowo w dół siła ciężkości P oraz siła bezwładności b a których wypadkowa jest prostopadła do powierzchni cieczy. Jak wynika z rysunku t b P a czyli a arct co po podstawieniu danych daje 6, 56 Zad84 Siła odśrodkowa dana jest wzore o (1) a) Na równiku: W czasie t = 4odz = 86400s Zieia wykonuje jeden obrót wokół własnej osi. W ty czasie punkt na równiku przebywa droę S Z z prędkością t Z co po wstawieniu do wzoru (1) daje Z 4 Z o =,7077N t t Z dzie wszystkie wielkości należy sprowadzić do jednostek podstawowych układu SI. b) W przypadku ruchu Ziei wokół Słońca usiy założyć, że orbita jest kołowa. Wtedy po przeliczeniu wartości Z-S = 1, t = 366dni 86400s/dzień=316400s otrzyujey wartość siły odśrodkowej o = 0,4737N

8 Zad85 a) W najniższy punkcie pętli siła ciężkości c i siła odśrodkowa o ają ten sa kierunek i zwrot pionowo w dół. Ich wypadkowa wynosi N c o co po podstawieniu danych daje siłę nacisku o c dolot N M M 1430 N Drui człon w powyższy wzorze jest wyrażenie na siłę odśrodkową. b) W najwyższy punkcie pętli siła ciężkości c jest skierowana jak poprzednio pionowo w dół natoiast siła odśrodkowa o pionowo do óry. Ich wypadkowa wynosi c o N o c W ostatni wzorze od siły odśrodkowej odejujey siłę ciężkości dyż fotel znajduje się nad pilote! Teraz, przy prędkości 1 siła nacisku wynosi N M M 471, N Ujena siła nacisku oznacza, że pilot wisi na pasach N a kierunek C! c)

9 W stanie nieważkości N = 0. Warunek ten oże być spełniony w najwyższy położeniu na oblatywanej pętli przy odpowiedni doborze wartości i : dla = 6000 prędkość usi wynosić N T o 0 M M => => 44, 949 s N a N albo dla = 1 =10 /s pętla usi ieć proień 1440 K CH N Zad86 Założenie: uch pojazdu odbywa się w płaszczyźnie pozioej!!! Na pojazd jadący z prędkością po okręu o proieniu działa siła odśrodkowa o spychająca pojazd na zewnątrz łuku oraz wypadkowa (od czterech kół) siła tarcia T przeciwdziałająca o. Aby ruch zachodził po łuku koła usi zachodzić równość T o czyli f a stąd f 17, 888 s Zad87

10 a) Dlaczeo ciała rzucone pionowo w dół, niezależnie od półkuli, odchylają na wschód, tj. nie spadają pionowo w dół? b) Wyobraź sobie idealnie ładką rurkę o średnicy d i wysokości H ustawioną pionowo na równiku, w której spada swobodnie i bez tarcia kulka o średnicy d. Z rurki odpopowano powietrze. Jak zależy od czasu siła wywierana przez spadającą kulkę na boczną ściankę rurki? c) Uzasadnić, że ciała wykonujące rzut ukośny na półkuli płn. odchylają się od pierwotneo kierunku zawsze w prawo wzlęde wektora prędkości. Jaką reułę ożna stąd wysnuć dla ciał wykonujących rzut ukośny na półkuli południowej? Pn Pn α ω φ α ω φ Pd Pd a) b) a) Siła Coriolisa jest dana wzore C Z definicji iloczynu wektoroweo wiey, że wektor C jest prostopadły do płaszczyzny południka na której leżą wektory prędkości i ω czyli do płaszczyzny rysunku. Dłuość teo wektora wynosi C sin (1) dzie α jest kąte poiędzy wektorai i ω a zwrot C skierowany jest za powierzchnię rysunku. Jak widać z rys. a) a więc ożey powiązać wartość siły Coriolisa z szerokością eoraficzną φ C sin( ) cos () W przypadku półkuli południowej rys. b) ay

11 czyli sin cos więc i tutaj wzór (1) w który przechodzi wzór () jest słuszny.na obu półkulach spadające ciało będzie odchylane przez siłę Coriolisa na wschód. b) Z warunków zadania wynika, że jedyną siłą działającą prostopadle do osi rurki jest siła Coriolisa C. O Prędkość kulki wynosi (3) t a przebyta droa y t H t C Po czasie H t L kulka osiąnie powierzchnię Ziei Pn ω C Wracając do zadania do wzoru () wstawiay zależność (3) co daje rozwiązanie C t cos t cos ω - C - Widać, że C zależy liniowo od czasu i ożna ją zaobserwować w przedziale czasu (0,t L ). Siła jest skierowana na wschód. c) ozważy rzut ukośny na półkuli północnej taki, że wektor prędkości skierowany jest od Pd równika ale niekoniecznie na Pn. W ty wypadku wektor siły Coriolisa C skierowany jest za płaszczyznę rysunku czyli w prawo od płaszczyzny rzutu. Jeśli zieniy kierunek wektora prędkości na - to z definicji iloczynu wektoroweo zieni się autoatycznie zwrot wektora siły Coriolisa C (strzałki przerywane) ale dalej będzie ona działać w prawo od płaszczyzny rzutu. Na półkuli południowej rzut w stronę bieuna Pd będzie odchylany na zachód natoiast rzut w stronę równika zastanie odchylony na wschód - znów w obu wypadkach w prawo od płaszczyzny wektora. Zad88 Na wodę we wiadrze działa siła ciężkości C skierowana pionowo w dół oraz siła odśrodkowa O skierowana pionowo do óry. Aby woda nie wylewała się z wiadra usi być spełniony warunek C O czyli f

12 dzie jest suą as wody i wiadra. Minialna szukana prędkość wynosi Zad89 Gdy waa pozostaje w spoczynku lub porusza się ruche jednostajny (rys. po lewej) wskazania wai odpowiadają rzeczywisteu ciężarowi C człowieka Gdy winda rusza z przyspieszenie a do óry (rys. środkowy) pojawia się dodatkowo C siła bezwładności B a B C a B C C G D a = 0 B a działająca w kierunku przeciwny niż przyspieszenie. Teraz waa wykazuje G C B czyli G a (1) W trakcie haowania opóźnienie a kierunek przeciwny (rys. po prawej) stąd D C B Dodając stronai wzory (1) i () otrzyujey D a () G D 49,1k

13 Z równania () wyliczay teraz przyspieszenie a D,04 s Zad90 Wypukłość ostu wyusza ruch po łuku koła co jest przyczyną powstania siły odśrodkowej O skierowanej na szczycie przęsła pionowo do óry. Na saochód działa jeszcze siła ciężkości C skierowana pionowo w dół. Wypadkowa tych sił wynosi O C w C O co prowadzi do równania skalarneo w Zaniedbywanie ały nacisk kół... oznacza, że siła wypadkowa w 0 co prowadzi do zależności 14, 14 s Zad91 L N Oznaczy siłę naprężającą każdą z linek huśtawki przez N, a prędkość Jarka w punkcie P jako. W najniższy punkcie toru P obie liny uszą zrównoważyć ciężar Jarka M oraz wynikającą z ruchu po okręu siłę odśrodkową od : M W punkcie P ay równowaę sił: P M od

14 Ponieważ wszystkie siły działają w ty say kierunku ożey rozważać dłuości wektorów, a zate: Z równania teo wyznaczyy szukaną prędkość : Sprawdźy jednostki: Policzy wartość prędkości: Przyspieszenie dośrodkowe wiążey z siłą dośrodkową, która w punkcie P wynosi N Sprawdzay jednostki: i obliczay: Siła nacisku n Jarka na deskę huśtawki jest równoważona przez siły napinające liny, zate zodnie z III zasadą dynaiki: Odp. W punkcie P toru prędkość Jarka wynosi 3, /s, przyspieszenie dośrodkowe 15 /s, a siła nacisku 600 N.

15 Zad9 T Q od od od Warunek aksyalnej prędkości poruszania się w zakręcie oznacza równoważenie się siły tarcia T i składowej stycznej Q siły ciężkości Q = M saochodu ze składową styczną od siły odśrodkowej od. Q Q Warunek ten oże być zapisany w postaci skalarnej: Suę składowych noralnych: siły ciężkości i siły odśrodkowej (jest to siła nacisku saochodu na droę) równoważy siła reakcji podłoża nie została uwidoczniona na rysunku. Łatwo zauważyć, że odpowiednie składowe wynoszą: Siła odśrodkowa wyraża się wzore: Siła tarcia z definicji proporcjonalna jest do siły nacisku, ay więc: Podstawiając do warunku równowai otrzyujey: Mnożąc równanie obustronnie przez czynnik zawierające otrzyay: i rupując po lewej stronie wyrazy Skąd już tylko krok:

16 Zad93 Pośliz saochodu oznacza, że siła tarcia T została pokonana przez siłę odśrodkową od. Aby nie rozwiązywać nierówności rozważyy raniczny przypadek: T od Siła tarcia to oczywiście: Q = M a siła odśrodkowa: dzie: M to asa saochodu, Q ciężar saochodu, f współczynnik tarcia, proień zakrętu, prędkość raniczna. Podstawiając do warunku raniczneo otrzyujey: skąd dostajey prędkość raniczną: Przeliczy otrzyaną wartość prędkości na k/h Przekroczenie prędkości Odp. Kierowca przekroczył dozwoloną prędkość o 104 k/h, a ponieważ przekroczenie jest większe niż 51 k/h otrzyuje andat 500 zł i 10 pkt karnych.

17 Zad94 ŚM od owerzysta pochyla rower tak, aby wypadkowa w sił: ciężkości i odśrodkowej (zaczepionych w środku asy układu) przechodziła przez punkt styku opon roweru z podłoże. Jest to warunek równowai roweru w układzie nieinercjalny: Z kolei Podstawiając do warunku równowai otrzyujey równanie: Q=M w skąd łatwo policzyć proień skrętu: Sprawdzay jednostki i obliczay szukaną wartość Odp. Proień skrętu roweru wynosi 17,3. Zad95 T Q = M od Niesprzyjający warunko przypisujey ożliwość wystąpienia poślizu kół pojazdu w zakręcie. Pośliz saochodu oznacza, że siła tarcia T zostaje pokonana przez siłę odśrodkową od. Aby nie rozwiązywać nierówności rozważyy raniczny przypadek: Siła tarcia to oczywiście: a siła odśrodkowa:

18 dzie: M to asa saochodu, Q współczynnik tarcia, proień zakrętu, prędkość raniczna. Podstawiając do warunku raniczneo otrzyujey: skąd dostajey prędkość raniczną: Przeliczy otrzyaną wartość prędkości na k/h Odp. ozważany zakręt powinien być opatrzony znakie droowy oraniczający dopuszczalną prędkość do 50 k/h (znak B-33). Zad96 od Aby nie odpaść od pętli ała kulka usi ieć na tyle dużą prędkość, aby siła odśrodkowa od zdołała zrównoważyć siłę ciężkości w najwyższy punkcie pętli h r z druiej strony punkcie: Aby znaleźć prędkość kulki wystarczy porównać enerię potencjalną w oencie startu z całkowitą enerią w rozpatrywany skąd ay: Podstawiając do warunku równowai otrzyujey równanie: i obliczay

19 Odp. Minialna wysokość z jakiej powinna się stoczyć kulka wynosi,5r. Zad97 h od Miejsce oderwania zsuwająceo się ciała wyznacza warunek równowai sił: odśrodkowej od i składowej noralnej n siły ciężkości : n s Łatwo zauważyć, że: i paiętay, że: Podstawiay i ay: skąd Zdając sobie sprawę z teo, że ze wzroste kąta φ rośnie prędkość zsuwania szukay zależności iędzy tyi wielkościai. Skorzystay z zasady zachowania enerii porównując początkową enerię potencjalną ciała w najwyższy punkcie kuli z enerią echaniczną w oencie oderwania: Zauważy też, że: Po prostych przekształceniach otrzyujey: a po wstawieniu do bilansu enerii:

20 Porównując ten rezultat z wcześniejszy równanie dla dostajey: Skąd Odp. Zsuwające się po powierzchni kuli ciało oderwie się dy jeo proień wodzący zatoczy kąt. Zad98 L Wahadło będzie wykonywać obrót pod kate dla któreo wypadkowa siła w (sua wektorowa siły ciężkości i siły odśrodkowej od ) będzie działać wzdłuż nici. Łatwo zauważyć, że: Paiętay też, że: od dzie jest prędkością liniową asy. Z druiej strony: w Szukany okres T obieu wahadła jest czase jedneo obrotu (droa s = ) wykonywaneo z prędkością, zate: Porównując ze sobą wyrażenia na tan przekształcay: Obie strony równania są dodatnio określone, więc pierwiastkując obustronnie szybko otrzyujey:

21 Zauważy, że pod pierwiastkie ay odwrotność zate ostatecznie: Na koniec sprawdzay jednostki: Zad99 Zodnie z definicją przyspieszenie styczne to: a przyspieszenie noralne (dośrodkowe) to: Mnożąc powyższe równania przez asę punktu aterialneo otrzyay wyrażenia na składowe styczną i noralną (dośrodkową) siły odpowiedzialnej za ruch po okręu: Poiędzy przyspieszenie kątowy a liniowy istnieje związek: Skoro ruch po okręu odbywa się ze stały przyspieszenie kątowy to i przyspieszenie styczne a stałą wartośd i jeo wartośd ożna wyznaczyd dzieląc przyrost prędkości przez czas w który on nastąpił: Zate Zodnie z warunkai zadania: Podstawiając odpowiednie wyrażenia otrzyujey:

22 skąd i jednostka: Zad100 d W układzie nieinercjalny, tzn. obracający się i w który ciężarek spoczywa, będzie on wykonywał obrót pod kate dla któreo wypadkowa siła w (sua wektorowa siły ciężkości i siły odśrodkowej od ) będzie działać wzdłuż nici. Zodnie z III zasadą dynaiki odpowiedzią na tę siłę będzie siła naprężenia nici N = w zate: N Paiętay też, że: od dzie jest prędkością liniową asy, a odlełością ciężarka od pionu. Z druiej strony, jak widad na rysunku: w stąd Podstawiając do wyrażenia na siłę naprężenia ay: a po przekształceniach: d N uch ciężarka ożna też przedstawić w układzie inercjalny, wtedy działa siła dośrodkowa (jest to siła wypadkowa będąca suą wektorową sił: ciężkości i siły naprężenia nici N) odpowiadająca za ruch po okręu: do

23 dzie i ay: Dalszy cią rozwiązania przebiea identycznie jak w przypadku układu nieinercjalneo. Zad101 Oznaczy odlełość Słońca od środka Droi Mlecznej przez, jeo prędkość przez, czas obieu, czyli okres obrotu przez T a czas życia przez t. Prędkość Słońca otrzyay dzieląc dłuość orbity przez czas jedneo obrotu T: skąd szukany czas wyraża się wzore: Z kolei liczba obieów n to: Musiy jeszcze zauważyd, że odlełości ierzone w latach świetlnych to droa jaką przebywa światło poruszające się z prędkością c w czasie równy liczbie lat świetlnych ponożonej przez liczbę sekund w roku. Prędkośd światła to oczywiście: Zate liczyy okres obrotu w sekundach: lub w liczbie roków, czyli latach:

24 Liczba obieów zate: Odp.: Okres obieu Słońca wokół centru Droi Mlecznej wynosi 17,3 tys. lat a takich obieów w ciąu swojeo życia Słońce wykonało 60 tys. Zad10 Oznaczy proieo łuku okręu przez a prędkośd statku przez. Zodnie z definicją przyspieszenie styczne to: a przyspieszenie noralne (dośrodkowe) to: n Poiędzy prędkością kątową a liniową w ruchu po okręu istnieje związek: Obliczenia: Aby wyznaczyd prędkośd kątową i przyspieszenie noralne trzeba przeliczyd prędkośd statku z k/h na /s: Wówczas: Odp.: Prędkośd kątowa statku wynosi przyspieszenie dośrodkowe 65 /s,

25 przyspieszenie styczne równe jest zeru. Zad103 inne rozwiązanie!!!! Całkowite przyspieszenie ruchu w jednorodny polu rawitacyjny Ziei to = 9,81 /s. Przyspieszenie to ożna rozłożyć na składowe: styczną a s i noralną a n, a wtedy: Zodnie z definicją przyspieszenie styczne to: a przyspieszenie noralne (dośrodkowe) to: Z druiej strony: Z dwóch powyższych wzorów wynika poszukiwana zależność proienia krzywizny od prędkości i jej pochodnych, a przez to od czasu: Zate, aby znaleźć proień krzywizny toru rzutu w jednorodny polu rawitacyjny trzeba wyznaczyć składowe: x-ową i y-ową prędkości oraz policzyć pochodną po czasie dłuości wektora. Wyrażenia opisujące siłę całkowitą i jej składowe otrzyay nożąc przez asę punktu aterialneo przyspieszenie całkowite i jeo składowe styczną i noralną (dośrodkową): ozważy teraz kineatyczne równania ruchu w polu rawitacyjny. W oólny przypadku ożna napisać: y 0y y 0 0 0x n s dzie składowe wektora prędkości początkowej wyrażają się przez kąt x

26 nachylenia wektora prędkości początkowej: a y 0 oznacza początkową wysokość ciała w chwili startu. Przypadek A) zadania otrzyay kładąc = 0 (wówczas 0y = 0), a przypadek B) to y 0 = 0. Dzięki takieu podejściu ożey podad wartości sił w oólnej postaci, a warunki początkowe uwzlędnid na koocu rozwiązania. Wyznaczay składowe prędkości w układzie kartezjaoski różniczkując po czasie współrzędne: Stąd łatwo znajdziey dłuośd wektora prędkości jako pierwiastek z suy kwadratów jeo współrzędnych: Możey już policzyd przyspieszenie styczne z definicji: Mnożąc to wyrażenie przez asę poruszająceo się punktu otrzyay siłę styczną: Otrzyany wzór jest słuszny w przypadku rzutu ukośneo (przypadek B). W rzucie pozioy (przypadek A) znika czynnik zawierający Ponieważ całkowita siła jest znana: to składową dośrodkową (noralną) siły znajdziey z trójkąta sił: Dla przypadku B) rzut ukośny ay

27 Dla przypadku A) rzut pozioy ay: Możey teraz wrócid do wyrażenia na proieo krzywizny i wstawid znalezione przyspieszenie styczne: Dla przypadku A) rzut pozioy otrzyay zależnośd od czasu proienia krzywizny: Dla przypadku B) rzut ukośny ay Sprawdzay jednostki: ***