OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI PRĄDOWO-NAPIĘCIOWEJ DIODY REZONANSOWO-TUNELOWEJ W OPARCIU O METODĘ MACIERZY TRANSFERU ORAZ FORMUŁĘ TSU-ESAKIEGO
|
|
- Bogusław Pietrzak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TEMATY PROJEKTÓW PROJEKT 1. OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI PRĄDOWO-NAPIĘCIOWEJ DIODY REZONANSOWO-TUNELOWEJ W OPARCIU O METODĘ MACIERZY TRANSFERU ORAZ FORMUŁĘ TSU-ESAKIEGO Dioda rezonansowo-tunelowa (RTD) to półprzewodnikowa struktura warstwowa, której zasada działania opiera się na zjawisku tunelowania rezonansowego. Poniższy schemat przedstawia typową strukturę RTD AlGaAs n-gaas GaAs GaAs GaAs n-gaas Różnica dna pasma przewodnictwa w poszczególnych warstwach półprzewodnikowych powoduje, że elektron płynący przez nanourządzenie odczuwa efektywny potencjał w postaci dwóch barier potencjału, jak na rysunku poniżej d b V b d QW gdzie V b to wysokość barier potencjału, d QW to szerokość studni kwantowej, zaś d b to szerokość barier potencjału. Zgodnie z formułą Tsu-Esakiego gęstość prądu przepływającego przez strukturę warstwową wyraża się wzorem I = 4πm effe h 3 k B T T(E) ln 1 + exp ( E (μ + ev b ) ) k B T 1 + exp ( E (μ ev b ) k B T ( gdzie m eff to masa efektywna, k B to stała Boltzmana, h to stała Plancka, T to temperatura, μ to potencjał chemiczny w kontakcie, zaś V b to napięcie przyłożone do nanourządzenia. Najważniejszym elementem powyższej formuł jest funkcja T(E) zwana współczynnikiem transmisji, którą można wyznaczyć korzystając z metody macierzy transferu. ) ) de
2 Celem projektu jest wyznaczenie charakterystyk prądowo-napięciowych I(V b ) dla struktury RTD opartej na GaAs. W tym celu należy: a) Korzystając z metody macierzy transferu wyznaczyć współczynnik transmisji w funkcji energii padającego elektronu T(E). b) Korzystając z formuły Tsu-Esakiego wyznaczyć charakterystykę prądowo-napięciową struktury RTD. Na początku rozważań proszę przyjąć następujące parametry struktury: m eff =.67, d QW = 5 nm, d b = 3 nm oraz V =.3 ev. Następnie wyznaczyć charakterystyki I(V b ) przy zmianie: a) wysokości barier potencjału, b) szerokości barier potencjału, c) asymetrii w szerokości barier potencjału odpowiednio lewej i prawej. Testowanie metody macierzy transferu można przeprowadzić wyznaczając współczynnik transmisji T(E) dla pojedynczej bariery potencjału, dla której łatwo wyznaczyć analityczną formułę na T(E). Dla tego przypadku proszę porównać wynik metody macierzy transferu z wynikiem analitycznym.
3 PROJEKT. OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI PRĄDOWO-NAPIĘCIOWEJ DIODY REZONANSOWO-TUNELOWEJ W OPARCIU O METODĘ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH ORAZ FORMUŁĘ TSU-ESAKIEGO Dioda rezonansowo-tunelowa (RTD) to półprzewodnikowa struktura warstwowa, której zasada działania opiera się na zjawisku tunelowania rezonansowego. Poniższy schemat przedstawia typową strukturę RTD AlGaAs n-gaas GaAs GaAs GaAs n-gaas Różnica dna pasma przewodnictwa w poszczególnych warstwach półprzewodnikowych powoduje, że elektron płynący przez nanourządzenie odczuwa efektywny potencjał w postaci dwóch barier potencjału, jak na rysunku poniżej d b V b d QW gdzie V b to wysokość barier potencjału, d QW to szerokość studni kwantowej, zaś d b to szerokość barier potencjału. Zgodnie z formułą Tsu-Esakiego gęstość prądu przepływającego przez strukturę warstwową wyraża się wzorem I = 4πm effe h 3 k B T T(E) ln 1 + exp ( E (μ + ev b ) ) k B T 1 + exp ( E (μ ev b ) k B T ( gdzie m eff to masa efektywna, k B to stała Boltzmana, h to stała Plancka, T to temperatura, μ to potencjał chemiczny w kontakcie, zaś V b to napięcie przyłożone do nanourządzenia. Najważniejszym elementem powyższej formuł jest funkcja T(E) zwana współczynnikiem transmisji, którą można wyznaczyć korzystając z metody elementów brzegowych. ) ) de
4 Celem projektu jest wyznaczenie charakterystyk prądowo-napięciowych I(V b ) dla struktury RTD opartej na GaAs. W tym celu należy: c) Korzystając z metody elementów brzegowych wyznaczyć współczynnik transmisji w funkcji energii padającego elektronu T(E). d) Korzystając z formuły Tsu-Esakiego wyznaczyć charakterystykę prądowo-napięciową struktury RTD. Na początku rozważań proszę przyjąć następujące parametry struktury: m eff =.67, d QW = 5 nm, d b = 3 nm oraz V =.3 ev. Następnie wyznaczyć charakterystyki I(V b ) przy zmianie: d) wysokości barier potencjału, e) szerokości barier potencjału, f) asymetrii w szerokości barier potencjału odpowiednio lewej i prawej. Testowanie metody macierzy transferu można przeprowadzić wyznaczając współczynnik transmisji T(E) dla pojedynczej bariery potencjału, dla której łatwo wyznaczyć analityczną formułę na T(E). Dla tego przypadku proszę porównać wynik metody macierzy transferu z wynikiem analitycznym.
5 PROJEKT 3. OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI G(V b ) NANODRUTU Z KWANTOWYM KONTAKTEM PUNKTOWYM W OPARCIU O PRZYBLIŻENIE ADIABATYCZNE I METODĘ MACIERZY TRANSFERU Celem ćwiczenia jest wyznaczenie konduktancji G w funkcji napięcia V b (potencjału chemicznego μ) przez nanodrut z kwantowym kontaktem punktowym (z ang. quantum point contact QPC). Schemat nanourządzenia przedstawiony jest na rysunku poniżej y z R L x gdzie R oraz L to odpowiednio promień oraz długość nanodrutu, zaś obszar czerwony odpowiada obszarowi kwantowego kontaktu punktowego QPC. W ogólności układ przedstawiony powyżej jest układem trójwymiarowym. Niemniej jednak, korzystając z przybliżenia adiabatycznego problem można zredukować do postaci quasi-1d. Ograniczenie ruchu elektronu w płaszczyźnie x y powoduje kwantowanie jego energii, natomiast w kierunku osi z elektron można traktować jak elektron swobodny nanodrut podłączony jest do zewnętrznych bezodbiciowych kontaktów, z którymi ma możliwość wymiany ładunku. Przybliżenie adiabatyczne można zastosować jeżeli zmiana potencjału w kierunku osi z jest odpowiednio wolna. Daje to możliwość rozseparowania problemu 3D na problem D+1D. Elektron w nanodrucie opisują równania: a) równanie 1D w kierunku osi z ħ d m eff dz φ(z) + E n (z)φ(z) = Eφ(z) (1) gdzie m eff to masa efektywna elektronu, zaś E n (z) to energia n-tego stanu związanego w kierunku poprzecznym x y w określonym położeniu z. b) równanie D w płaszczyźnie x y ħ ( m eff x + y ) χ(x, y) + V(x, y; z)χ(x, y) = E n (z)χ(x, y) () gdzie V(x, y; z) to profil potencjału D dla określonego położenia z.
6 Dokładne wyprowadzenie powyższych równań w przybliżeniu adiabatycznym można znaleźć w książce Ferry, Goodnick and Bird Transport in nanostructures. Konduktancje wyznaczamy w oparciu o formułę Landauera, która dla temperatury T = przyjmuje postać G(E) = e h T(E) gdzie T(E) to współczynnik transmisji w funkcji energii T(E) = T n (E) zaś T n (E) to współczynnik transmisji w funkcji energii dla podpasma n (związanego z kwantyzacją w kierunku poprzecznym). Dla niskich temperatur oraz niskich napięć formuła Landauera przyjmuje postać G(μ) = e h n f(e, μ) T(E)dE E gdzie μ to potencjał chemiczny, zaś f(e, μ) to funkcja Fermiego-Diraca. Algorytm obliczania konduktancji dla nanodrutu wygląda w następujący sposób: 1) Dla poszczególnych wartości z [, L] rozwiązujemy równanie D () otrzymując profile energii E n (z). ) Następnie korzystając z metody macierzy transferu dla równania 1D (1) obliczamy współczynniki transmisji w funkcji energii w poszczególnych podpasmach T n (E). 3) Obliczamy T(E). 4) Korzystając z formuły Landauera wyznaczamy konduktancję G(μ). Korzystając z powyższego algorytmu proszę wyznaczyć konduktancje w nanodrucie z QPC zakładając, że profil potencjału w nanodrucie dany jest wzorem (zakładamy paraboliczny profil potencjału uwięzienia w kierunku poprzecznym) gdzie V(x, y, z) = 1 m eff(ω x (z)x + ω y (z)y ) ω x(y) (z) = ω x(y) [1 + Aexp ( (z z ) d )] gdzie ω x oraz ω y to częstość uwięzienia w kierunkach poprzecznych, z to umiejscowienie QPC, d to parametr określający szerokość QPC, zaś A to parametr określający zwężenie w obszarze QPC.
7 Dla tak określonego potencjału V(x, y, z) energie stanów poprzecznych E n dla określonego z [, L] można obliczyć analitycznie lub numerycznie korzystając z metody wariacyjnej w bazie gausianów. W ramach projektu proszę przeanalizować konduktancję przez nanodrut z QPC w funkcji częstości potencjału uwięzienia ω x oraz ω y oraz temperatury T.
8 PROJEKT 4. ZASTOSOWANIE METODY CZASU UROJONEGO DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU WŁASNEGO UKŁADU DWÓCH ELEKTRONÓW W SPRZĘŻONYCH KROPKACH KWANTOWYCH W NANODRUCIE Celem projektu jest rozwiązanie problemu własnego układu dwóch elektronów w sprzężonych kropkach kwantowych wytworzonych w nanodrucie w zewnętrznym polu magnetycznym skierowanym wzdłuż osi nanodrutu. Schemat profilu potencjału w rozpatrywanym nanoukładzie przedstawia rysunek poniżej B L L b z V b y x gdzie L to długość układu, V b wysokość bariery potencjału oddzielającej kropki kwantowe, L b szerokość bariery potencjału oddzielającej kropki. Parametry V b oraz L b determinują sprzężenie kropek kwantowych. Hamiltonian dwuelektronowy przyjmuje postać H = h 1 + h + gdzie h i to Hamiltonian jednoelektronowy e 4πε ε r h i = ħ m i + V(r i ) + 1 gμ BBσ xi gdzie B to wartość indukcji pola magnetycznego w kierunku osi x, g to czynnik Landego, m to masa efektywna, μ B to magneton Bohra, zaś σ x to x-owa macierz Pauliego. Efekty orbitalne pomijamy. Jeżeli założymy silne uwięzienie paraboliczne w kierunku poprzecznym (y, z), elektrony w tym kierunku osadzają najniższy stan, którego funkcja falowa przyjmuje postać φ(x, y) = 1 πl exp [ (y + z ) l ] Uśredniając hamiltonian H w stanie φ(x, y) otrzymujemy H = [ ħ m x + V(x i ) + 1 i gμ BBσ xi ] + π 4πε εl erfcx [ x 1 x ] l i=1,
9 gdzie erfx() to komplementarna funkcja błędu. Korzystając z metody czasu urojonego proszę rozwiązać problem własny układu dwóch elektronów w sprzężonych kropkach kwantowych opisanych Hamiltonianem H. Obliczenia przeprowadź dla następujących parametrów m =.14, g = 51, ε = 16.5, L = 5 nm, L b = 3 nm, l = 3 nm. Wyznacz energię stanów dwuelektronowych w funkcji zewnętrznego pola magnetycznego dla różnej stałej sprzężenia pomiędzy kropkami kwantowymi, określonej przez parametr V b.
10 PROJEKT 5. ZASTOSOWANIE METODY CZASU UROJONEGO DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU WŁASNEGO ELEKTRONU W KROPCE KWANTOWEJ Celem projektu jest rozwiązanie problemu własnego elektronu w kropce kwantowej w zewnętrznym polu magnetycznym B=(,,B). Potencjał uwięzienia w kropce kwantowej dany jest wzorem V(x, y) = V exp ( ( x + y p σ ) ) gdzie V o to głębokość potencjału, σ to parametr określający rozmycie potencjału, zaś p to parametr miękkości potencjału. Hamiltonian układu przyjmuje postać H = 1 m [p + ea(x, y)] + V(x, y) gdzie p to operator pędu, zaś A(x, y) to potencjał wektorowy. Zakładamy cechowanie symetryczne A(x, y) = 1 (B r) Korzystając z metody czasu urojonego proszę wyznaczyć energie elektronu w kropce kwantowej w funkcji pola magnetycznego. Wykonaj obliczania dla różnych wartości parametrów potencjału V, σ oraz p.
11 PROJEKT 6. ZASTOSOWANIE METODY WARIACYJNEJ DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU WŁASNEGO ELEKTRONU W KROPCE KWANTOWEJ Celem projektu jest rozwiązanie problemu własnego elektronu w kropce kwantowej w zewnętrznym polu magnetycznym B=(,,B). Potencjał uwięzienia w kropce kwantowej dany jest wzorem V(x, y) = V exp ( ( x + y p σ ) ) gdzie V o to głębokość potencjału, σ to parametr określający rozmycie potencjału, zaś p to parametr miękkości potencjału. Hamiltonian układu przyjmuje postać H = 1 m [p + ea(x, y)] + V(x, y) gdzie p to operator pędu, zaś A(x, y) to potencjał wektorowy. Zakładamy cechowanie symetryczne A(x, y) = 1 (B r) Korzystając z metody wariacyjnej w bazie gaussowskiej N ψ(r) = c i exp ( (r r i ) σ i=1 ie ħ (B r i ) r) proszę wyznaczyć energie elektronu w kropce kwantowej w funkcji pola magnetycznego. Wykonaj obliczania dla różnych wartości parametrów potencjału V, σ oraz p.
12 PROJEKT 7. OBLICZENIA STANU PODSTAWOWEGO ATOMU HELU (D) Hamiltonian atomu helu w D przyjmuje postać: H = ħ m 1 + ħ m 1 Ze 4πε r 1 gdzie r 1 = r 1, r = r, r 1 = r 1 r oraz r i = (x i, y i ) Ze 4πε r + e 4πε r 1 Proszę rozwiązać problem stanu podstawowego atomu helu w D korzystając z: (a) rachunku zaburzeń I rzędu (b) metody wariacyjnej
13 PROJEKT 8. OBLICZENIA STANU PODSTAWOWEGO MOLEKUŁY WODORU 1D Hamiltonian molekuły wodoru w 1D przyjmuje postać: H = H + H gdzie H to układ dwóch nieoddziałujących atomów wodoru H = ħ m x ħ 1 m x e 4πε x 1a e 4πε x b oraz H e = 4πε x 1b e 4πε x a + e 4πε x 1 + e 4πε R gdzie x 1 = x 1 x, zaś R jest odległością pomiędzy jądrami. Celem projektu jest rozwiązanie problemu stanu podstawowego molekuły wodoru (analogicznie do problemu przedstawionego na wykładzie) korzystając z : (a) metody Heitlera - Londona (b) metody wariacyjnej
14 PROJEKT 9. ROZWIĄZANIE PROBLEMU STANU PODSTAWOWEGO MOLEKUŁY WODORU 3D METODĄ HEITLERA-LONDONA Celem ćwiczenia jest rozwiązanie problemu stanu podstawowego molekuły wodoru 3D metodą Heitlera-Londona, której schemat został zaprezentowany na wykładzie W projekcie należy przeprowadzić obliczenia ilościowe.
15 PROJEKT 1. ROZWIĄZANIE PROBLEMU WŁASNEGO CZĄSTKI W POTENCJALE COULOMBA YUKAWY. Korzystając z metody wariacyjnej, proszę rozwiązać problem własny (kilka stanów o najniższej energii) dla cząstki w sferycznie symetrycznym polu potencjału będącego superpozycją potencjału Coulomba i Yukawy gdzie A, B oraz C to parametry potencjału. V(r) = A r + B r e Cr W tym celu proszę zastosować metodę separacji zmiennych (analogicznie do problemu atomu wodoru). Następnie radialne równanie Schrodingera rozwiązać stosując metodę wariacyjną z funkcją próbną N R(r) = c i A i e α ir i=1 gdzie A i to stała normalizacyjna, zaś c i oraz α i = iα to parametry wariacyjne. Proszę użyć bazy N = 1 elementowej. Otrzymane wyniki porównaj z wynikami dla potencjału Coulomba (atom wodoru). Wyniki można również porównać z wynikami zamieszczonymi w publikacji: Janusz Adamowski, Bound eigenstates for the superposition of the Coulomb and the Yukawa potentials, Phys. Rev. A 31, 43 (1985).
16 PROJEKT 11. ZASTOSOWANIE METODY FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI W PRZYBLIŻENIU LOKALNYM DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU WŁASNEGO DLA UKŁADU N ELEKTRONÓW W GAUSSOWSKIEJ STUDNI POTENCJAŁU Hamiltonian układu N-elektronów w studni kwantowej określonej potencjałem U(r) przyjmuje postać N H = h i + e, 4πε r ij i=1 gdzie h i to hamiltonian jednoelektronowy N N i=1 j>i h i = ħ m i + U(r i ). Korzystając z metody funkcjonałów gęstości proszę energię stanu podstawowego układu N- elektronów w studni potencjału D w postaci U(r) = U exp ( r σ ) gdzie σ to parametr rozmycia studni potencjału, zaś r = (x, y). Wykonaj obliczenia dla N=1,,3 elektronów.
17 PROJEKT 1. ZASTOSOWANIE METODY FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI W PRZYBLIŻENIU LOKALNYM DO WYZNACZENIA ENERGII UKŁADU N-ELEKTRONÓW W SFERYCZNIE SYMETRYCZNEJ KROPCE KWANTOWEJ Rozważmy układ N-elektronów w sferycznie symetrycznej kropce kwantowej, której profil potencjału uwięzienia dany jest wzorem U(r) = { V, r < R, r R Hamiltonian układu przyjmuje postać N H = h i (r) + e, 4πε r ij i=1 gdzie h i to hamiltonian jednoelektronowy N N i=1 j>i h i (r) = ħ m i + U(r i ). Korzystając z metody funkcjonału gęstości proszę wyznaczyć energię stanu podstawowego układu dla N=1, 5. Wyniki obliczeń porównaj z pracą S. Bednarek, B. Szafran, J. Adamowski, Many-electron artifical atoms, Phys. Rev. B, 59, 1336
18 PROJEKT 13. FORMOWANIE FUNKCJI FALOWEJ INDUKTONU METODĄ EWOLUCJI W CZASIE UROJONYM. MIEJSCE LOKALIZACJI INDUKTONU. Jeżeli równolegle do drutu kwantowego (np. wyhodowanego katalitycznie półprzewodnikowego walca o średnicy rzędu 1nm) położymy metalową elektrodę, powstanie nanourządzenie posiadające ciekawe własności. Wprowadzony do wnętrza drutu kwantowego pojedynczy elektron staje się niezwykłą quasicząstką łączącą ze sobą własności klasyczne i kwantowe. Na skutek oddziaływania elektronu z ładunkiem indukowanym na powierzchni elektrody jego funkcja falowa ulega samoogniskowaniu i powstaje stabilny pakiet falowy mogący poruszać się wzdłuż drutu kwantowego bez zmiany kształtu wykazując własności solitonu. Ze względu na mechanizm samoogniskowania układ taki został nazwany induktonem. Podobnie jak cząstka klasyczna ma on zdolność pokonywania barier i jam potencjału ze 1% prawdopodobieństwem [1]. W ogólnym przypadku, żeby znaleźć potencjał indukowany należy rozwiązać równanie Poissona dla potencjału jednocześnie z równaniem Schroedingera dla elektronu, którego funkcja falowa podniesiona w module do kwadratu opisuje rozkład gęstości ładunku elektronu. Jednakże jeżeli założymy, że elektroda stanowi nieskończoną płaszczyznę wpływ ładunku indukowanego możemy uwzględnić metodą obrazów. Rozkład gęstości ładunku obrazu d Rozkład gęstości ładunku elektronu e x x
19 W takim przypadku rozwiązujemy wyłącznie równanie Schroedingera z hamiltonianem (żeby uniknąć podstawiania 1, wszystkie wielkości fizyczne są wyrażone w jednostkach atomowych - Ha=7.1eV, ab=59nm): H 1 m x U ind ( x ) gdzie m stanowi masę efektywną elektronu a potencjał indukowany dany jest wyrażeniem: U ind ( x ) 1 d x x x x 4 d Tutaj stanowi stałą dielektryczną materiału a d odległość środka drutu kwantowego od powierzchni elektrody. Ze względu na zależność potencjału indukowanego od funkcji falowej elektronu należy problem własny Hamiltonianu rozwiązać w sposób samouzgodniony. W przypadku poszukiwania stanu podstawowego induktonu najlepiej zastosować metodę ewolucji w czasie urojonym wyliczając nowy potencjał indukowany w każdej iteracji czasu urojonego. Celem projektu jest wygenerowanie stanu podstawowego induktonu oraz sprawdzenie jego lokalizacji w zależności od użytej funkcji startowej. Zadania do wykonania. 1. Korzystając z metody ewolucji w czasie urojonym znaleźć funkcję falową induktonu przyjmując funkcję początkową w postaci gaussianu scentrowanego w połowie pudła obliczeniowego.. Powtórzyć obliczenia startując od funkcji falowej wygenerowanej pseudolosowo. ( x, ) x 3. Ustawić rachunek z punktu w pętli, tak by liczyć funkcję falową 1-krotnie z
20 funkcją startowa wygenerowaną każdorazowo niezależnie przez generator liczb pseudolosowych. W obliczeniach proszę użyć parametrów odpowiadających GaAs: m=.67, =1.5, d=5nm Uwaga: Obliczenia można wykonać na odcinku nm podzielonym na punktów siatki. Literatura: 1. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Electron soliton in semiconductor nanostructures Phys. Rev. B7 (5).
21 PROJEKT 14. SYMULACJA RUCHU INDUKTONU (SOLITONU ELEKTRONOWEGO) W ZAMKNIĘTYM BARIERAMI POTENCJAŁU ODCINKU DRUTU KWANTOWEGO. DWIE ENERGIE INDUKTONU. Jeżeli równolegle do drutu kwantowego (np. wyhodowanego katalitycznie półprzewodnikowego walca o średnicy rzędu 1nm) położymy metalową elektrodę, powstanie nanourządzenie posiadające ciekawe własności. Wprowadzony do wnętrza drutu kwantowego pojedynczy elektron staje się niezwykłą quasicząstką łączącą ze sobą własności klasyczne i kwantowe. Na skutek oddziaływania elektronu z ładunkiem indukowanym na powierzchni elektrody jego funkcja falowa ulega samoogniskowaniu i powstaje stabilny pakiet falowy mogący poruszać się wzdłuż drutu kwantowego bez zmiany kształtu wykazując własności solitonu. Ze względu na mechanizm samoogniskowania układ taki został nazwany induktonem. Podobnie jak cząstka klasyczna ma on zdolność pokonywania barier i jam potencjału ze 1% prawdopodobieństwem [1]. W ogólnym przypadku, żeby znaleźć potencjał indukowany należy rozwiązać równanie Poissona dla potencjału jednocześnie z równaniem Schroedingera dla elektronu, którego funkcja falowa podniesiona w module do kwadratu opisuje rozkład gęstości ładunku elektronu. Jednakże jeżeli założymy, że elektroda stanowi nieskończoną płaszczyznę wpływ ładunku indukowanego możemy uwzględnić metodą obrazów. Rozkład gęstości ładunku obrazu d Rozkład gęstości ładunku elektronu e x x
22 W takim przypadku rozwiązujemy wyłącznie równanie Schroedingera z hamiltonianem (żeby uniknąć podstawiania 1, wszystkie wielkości fizyczne są wyrażone w jednostkach atomowych - Ha=7.1eV, ab=59nm): H 1 m x U ind ( x ) gdzie m stanowi masę efektywną elektronu a potencjał indukowany dany jest wyrażeniem: U ind ( x ) 1 d x x x x 4 d Tutaj stanowi stałą dielektryczną materiału a d odległość środka drutu kwantowego od powierzchni elektrody. Ze względu na zależność potencjału indukowanego od funkcji falowej elektronu należy problem własny Hamiltonianu rozwiązać w sposób samouzgodniony. W przypadku poszukiwania stanu podstawowego induktonu najlepiej zastosować metodę ewolucji w czasie urojonym wyliczając nowy potencjał indukowany w każdej iteracji czasu urojonego. Celem projektu jest wygenerowanie stanu podstawowego induktonu, wprawienie go w ruch i jego obserwacja. Zadania do wykonania: 1. Korzystając z metody ewolucji w czasie urojonym znaleźć funkcję falową stanu podstawowego induktonu przyjmując funkcję początkową w postaci gaussianu scentrowanego w połowie pudła obliczeniowego. Uzyskana w metodzie ewolucji w czasie urojonym funkcja własna hamiltonianu x jest funkcją falową spoczywającego induktonu i ma postać zbliżoną do gaussianu. Opisuje ona stan stacjonarny. Jeżeli wykorzystamy ją jako funkcję startową do ewolucji w czasie rzeczywistym, będziemy obserwować tylko zmianę fazy funkcji falowej ale jej kwadrat modułu x nie będzie się zmieniał. Proszę to sprawdzić.. Żeby zaobserwować ruch induktonu, musimy pomnożyć funkcję falową przez falę płaską: x x ikx e. Taka funkcja wstawiona jako funkcja startowa do ewolucji w czasie rzeczywistym będzie się istotnie zmieniać i uzyskamy wędrujący w przestrzeni pakiet falowy. Ponieważ na początku i na końcu obszaru obliczeniowego zakładamy zerowanie się funkcji falowej, pakiet docierając do brzegu obszaru obliczeniowego będzie się od niego odbijał tak jakby napotkał nieskończoną barierę potencjału. 3. Ponieważ obserwowany układ jest izolowany od otoczenia możemy sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń obserwując zachowanie energii. Tu czeka nas niespodzianka, ponieważ dla induktonu można zdefiniować dwie energie. Energia która stanowi wartość oczekiwaną
23 hamiltonianu: E H w analogii do metody Hartree-Focka nazwana została energią jednoelektronową nie jest zachowana w czasie [1]. Podczas ewolucji czasowej stała będzie energia całkowita, którą uzyskujemy odejmując od energii jednoelektronowej połowę energii oddziaływania z obrazem: E tot E 1 ind U ( x ). Położenie pakietu w przestrzeni opiszemy przez wartość oczekiwaną położenia: x x x Poniżej pokazany jest wykres, który należy uzyskać. xdx Energia [E ] D Energia całkowita Energia jednoelektronowa 1 3 czas [ps] Położenie [a ] 1 D W obliczeniach proszę użyć parametrów materiałowych odpowiadających GaAs: m=.67, =1.5, d=5nm Uwaga: Obliczenia można wykonać na odcinku nm podzielonym na punktów siatki. Literatura: 1. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Electron soliton in semiconductor nanostructures Phys. Rev. B7 (5).
24 PROJEKT 15. SYMULACJA RUCHU ELEKTRONU W PUDLE PERIODYCZNOŚCI (ODCINEK DRUTU KWANTOWEGO Z NARZUCONYMI PERIODYCZNYMI WARUNKAMI BRZEGOWYMI). POKONYWANIE BARIER POTENCJAŁU. Jeżeli równolegle do drutu kwantowego (np. wyhodowanego katalitycznie półprzewodnikowego walca o średnicy rzędu 1nm) położymy metalową elektrodę, powstanie nanourządzenie posiadające ciekawe własności. Wprowadzony do wnętrza drutu kwantowego pojedynczy elektron staje się niezwykłą quasicząstką łączącą ze sobą własności klasyczne i kwantowe. Na skutek oddziaływania elektronu z ładunkiem indukowanym na powierzchni elektrody jego funkcja falowa ulega samoogniskowaniu i powstaje stabilny pakiet falowy mogący poruszać się wzdłuż drutu kwantowego bez zmiany kształtu wykazując własności solitonu. Ze względu na mechanizm samoogniskowania układ taki został nazwany induktonem. Podobnie jak cząstka klasyczna ma on zdolność pokonywania barier i jam potencjału ze 1% prawdopodobieństwem [1]. W ogólnym przypadku, żeby znaleźć potencjał indukowany należy rozwiązać równanie Poissona dla potencjału jednocześnie z równaniem Schroedingera dla elektronu, którego funkcja falowa podniesiona w module do kwadratu opisuje rozkład gęstości ładunku elektronu. Jednakże jeżeli założymy, że elektroda stanowi nieskończoną płaszczyznę wpływ ładunku indukowanego możemy uwzględnić metodą obrazów. Rozkład gęstości ładunku obrazu d Rozkład gęstości ładunku elektronu e x x
25 W takim przypadku rozwiązujemy wyłącznie równanie Schroedingera z hamiltonianem (żeby uniknąć podstawiania 1, wszystkie wielkości fizyczne są wyrażone w jednostkach atomowych - Ha=7.1eV, ab=59nm): H 1 m x V ( x ) U ind ( x ) gdzie m stanowi masę efektywną elektronu, V(x) potencjał zewnętrzny a potencjał indukowany dany jest wyrażeniem: U ind ( x ) 1 d x x x x 4 d Tutaj stanowi stałą dielektryczną materiału a d odległość środka drutu kwantowego od powierzchni elektrody. Ze względu na zależność potencjału indukowanego od funkcji falowej elektronu należy problem własny Hamiltonianu rozwiązać w sposób samouzgodniony. W przypadku poszukiwania stanu podstawowego induktonu najlepiej zastosować metodę ewolucji w czasie urojonym wyliczając nowy potencjał indukowany w każdej iteracji czasu urojonego. Celem projektu jest obserwacja pokonywania przeszkód w postaci barier potencjału ustawionych na drodze induktonu. Zadania do wykonania: 1. Korzystając z metody ewolucji w czasie urojonym znaleźć funkcję falową stanu podstawowego induktonu przyjmując funkcję początkową w postaci gaussianu scentrowanego w połowie pudła obliczeniowego. Uzyskana w metodzie ewolucji w czasie urojonym funkcja własna hamiltonianu x jest funkcją falową spoczywającego induktonu i ma postać zbliżoną do gaussianu. Opisuje ona stan stacjonarny. Jeżeli wykorzystamy ją jako funkcję startową do ewolucji w czasie rzeczywistym, będziemy obserwować tylko zmianę fazy funkcji falowej ale jej kwadrat modułu x nie będzie się zmieniał. Proszę to sprawdzić.. Żeby zaobserwować ruch induktonu, musimy pomnożyć funkcję falową przez falę płaską: x x ikx e. Taka funkcja wstawiona jako funkcja startowa do ewolucji w czasie rzeczywistym będzie się istotnie zmieniać i uzyskamy wędrujący w przestrzeni pakiet falowy. Jeżeli na początku i na końcu obszaru obliczeniowego zakładamy zerowanie się funkcji falowej: 1 i n, pakiet docierając do brzegu obszaru obliczeniowego będzie się od niego odbijał tak jakby napotkał nieskończoną barierę potencjału. Żeby uniknąć odbić i obserwować niezaburzony ściankami potencjału ruch pakietu falowego wprowadzamy periodyczne warunki brzegowe: 1 n 1 i n.
26 3. Gdy indukton znajduje się na skraju obszaru można na jego środku ustawić przeszkodę w postaci bariery lub jamy potencjału (najlepiej gaussowskiej) x x V ( x ) V exp. a Wysokość przeszkody możemy zmieniać systematycznie lub losowo i obserwować ich pokonywanie. Czy indukton zachowuje się jak cząstka kwantowa? W obliczeniach proszę użyć parametrów odpowiadających GaAs: m=.67, d=1nm, a=1nm =1.5, Wysokość przeszkody należy początkowo dobrać małą aby obserwować transmisję a potem stopniowo zwiększać aż do uzyskania odbicia. Pęd k dobrać tak, by energia całkowita (patrz projekt 17) była ujemna. Uwaga: Obliczenia można wykonać na odcinku 1nm podzielonym na punktów siatki. Literatura: 1. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Electron soliton in semiconductor nanostructures Phys. Rev. B7 (5).
27 PROJEKT 16. ROZPRASZANIE ENERGII INDUKTONU NA SKUTEK RETARDACJI (OPÓŹNIENIA ) FORMOWANIA SIĘ ŁADUNKU INDUKOWANEGO. Jeżeli równolegle do drutu kwantowego (np. wyhodowanego katalitycznie półprzewodnikowego walca o średnicy rzędu 1nm) położymy metalową elektrodę, powstanie nanourządzenie posiadające ciekawe własności. Wprowadzony do wnętrza drutu kwantowego pojedynczy elektron staje się niezwykłą quasicząstką łączącą ze sobą własności klasyczne i kwantowe. Na skutek oddziaływania elektronu z ładunkiem indukowanym na powierzchni elektrody jego funkcja falowa ulega samoogniskowaniu i powstaje stabilny pakiet falowy mogący poruszać się wzdłuż drutu kwantowego bez zmiany kształtu wykazując własności solitonu. Ze względu na mechanizm samoogniskowania układ taki został nazwany induktonem. Podobnie jak cząstka klasyczna ma on zdolność pokonywania barier i jam potencjału ze 1% prawdopodobieństwem [1]. W ogólnym przypadku, żeby znaleźć potencjał indukowany należy rozwiązać równanie Poissona dla potencjału jednocześnie z równaniem Schroedingera dla elektronu, którego funkcja falowa podniesiona w module do kwadratu opisuje rozkład gęstości ładunku elektronu. Jednakże jeżeli założymy, że elektroda stanowi nieskończoną płaszczyznę wpływ ładunku indukowanego możemy uwzględnić metodą obrazów. Rozkład gęstości ładunku obrazu d Rozkład gęstości ładunku elektronu e x x
28 W takim przypadku rozwiązujemy wyłącznie równanie Schroedingera z hamiltonianem (żeby uniknąć podstawiania 1, wszystkie wielkości fizyczne są wyrażone w jednostkach atomowych (Ha=7.1eV, ab=59nm)): H 1 m x V ( x ) U ind ( x ) gdzie m stanowi masę efektywną elektronu, V(x) potencjał zewnętrzny a potencjał indukowany dany jest wyrażeniem: U ind ( x ) 1 d x x x x 4 d Tutaj stanowi stałą dielektryczną materiału a d odległość środka drutu kwantowego od powierzchni elektrody. Ze względu na zależność potencjału indukowanego od funkcji falowej elektronu należy problem własny Hamiltonianu rozwiązać w sposób samouzgodniony. W przypadku poszukiwania stanu podstawowego induktonu najlepiej zastosować metodę ewolucji w czasie urojonym wyliczając nowy potencjał indukowany w każdej iteracji czasu urojonego. Jeżeli metalową elektrodę zastąpimy dwuwymiarowym gazem elektronowym uwięzionym np. w studni kwantowej równoległej do drutu kwantowego, uzyskany układ nie spełnia warunku idealnego przewodnika i ładunek indukowany będzie się formował z pewnym opóźnieniem[] w stosunku do aktualnego położenia pakietu falowego. Efektem będzie hamowanie poruszającego elektronu. Elektron będzie przekazywał swoją energię do gazu elektronowego formującego ładunek indukowany, Celem projektu jest obserwacja efektu rozpraszania energii induktonu. Zadania do wykonania: 1.Korzystając z metody ewolucji w czasie urojonym znaleźć funkcję falową stanu podstawowego induktonu przyjmując funkcję początkową w postaci gaussianu scentrowanego w 1/4 obliczeniowego. W tej części obliczeń zakładamy zerowy potencjał
29 zewnętrzny. Uzyskana w metodzie ewolucji w czasie urojonym funkcja własna hamiltonianu jest funkcją falową spoczywającego induktonu i ma postać zbliżoną do gaussianu. x. Uzyskaną funkcję falową wykorzystujemy jako startową do iteracji w czasie rzeczywistym, podczas których wprowadzamy do układu dodatkowy potencjał zewnętrzny w postaci odwróconego gaussianu: V ( x ) V exp x x a 3. Ponieważ obserwowany układ jest izolowany od otoczenia możemy sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń obserwując zachowanie energii. Tu czeka nas niespodzianka, ponieważ dla induktonu można zdefiniować dwie energie. Energia która stanowi wartość oczekiwaną hamiltonianu: E H w analogii do metody Hartree-Focka nazwana została energią jednoelektronową nie jest zachowana w czasie [1]. Podczas ewolucji czasowej stała będzie energia całkowita, którą uzyskujemy odejmując od energii jednoelektronowej połowę energii oddziaływania z obrazem: E tot E 1 ind U ( x ) Jednocześnie liczymy położenie środka ciężkości pakietu jako tzw. wartość oczekiwaną położenia: x x x xdx Jeżeli nie wprowadzimy retardacji powstawania potencjału indukowanego elektron powinien oscylować wokół punktu x ze stałą częstotliwością. 4. Ponieważ wprowadzenie retardacji zgodnie z pracą [] jest zbyt kłopotliwe, zasymulujemy ją licząc potencjał indukowany nie w każdej iteracji ale w co dziesiątej. W praktyce realizujemy to poprzez wprowadzenie dodatkowej wewnętrznej pętli iteracyjnej od 1 do 1, w której nie będziemy zmieniali potencjału indukowanego (albo gęstości ładunku używanej do jego wyliczenia).. W obliczeniach proszę użyć parametrów odpowiadających GaAs: m=.67, x=1nm =1.5, d=1nm, Wysokość przeszkody należy początkowo dobrać małą aby obserwwać transmisję a potem stopniowo zwiększać aż do uzyskania odbicia. Pęd k dobrać tak, by energia całkowita (patrz projekt 17) była ujemna. Uwaga: Obliczenia można wykonać na odcinku 1nm podzielonym na punktów siatki. Poniżej pokazany jest wykres, który należy uzyskać:
30 E n e rg ia c a łk o w ita [R ] D Q /q F C z a s [p s] -.1 Literatura: 1. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Electron soliton in semiconductor nanostructures Phys. Rev. B7 (5).. S. Bednarek, B. Szafran Energy dissipation of electron solitons in a quantum well. Phys. Rev. B 73 (6)
31 PROJEKT 17. OSCYLACJE ELEKTRONU W PARABOLICZNYM POTENCJALE UWIĘZIENIA WYWOŁANE POZIOMYMI OSCYLACJAMI DNA POTENCJAŁU. REZONANS, GRANICE ADIABATYCZNOŚCI. Przebadamy problem elektronu uwięzionego w potencjale parabolicznym, którego minimum oscyluje poziomo (minimum energii nie zmienia się) z niewielką przestrzenną amplitudą. Okazuje się, że w określonym zakresie częstotliwości i amplitudy oscylacji możemy zaobserwować ciekawe zachowania elektronowego pakietu falowego uwięzionego w parabolicznym potencjale. 1.Formujemy potencjał paraboliczny o energii oscylatora. Hamiltonian zapisany w jednostkach atomowych energii i długości (Ha=7.1eV, ab=59nm) przyjmuje postać: H 1 m x x x, gdzie m Ha. Przyjmujemy x równe b/ czyli połowie odcinka b, w którym wykonujemy obliczenia numeryczne. Metodą ewolucji w czasie urojonym znajdujemy funkcję falową stanu x podstawowego oscylatora harmonicznego. Ma ona postać Gaussianu x. Funkcję e tę przyjmujemy jako początkową dla iteracji ewolucji w czasie rzeczywistym..gdyby potencjał nie zależał od czasu podczas ewolucji w czasie rzeczywistym, funkcja falowa zmieniałaby tylko fazę, natomiast jej kwadrat modułu byłby stały w czasie ponieważ układ znajdowałby się w stanie stacjonarnym. Ewolucję przeprowadzimy wymuszając poziome oscylacje parabolicznego potencjału uwięzienia. Przyjmujemy zmienne w czasie x: x b, w t a * sin( t ) gdzie a jest amplitudą a ωw częstotliwością oscylacji drgań wymuszających. 3.Podczas drgań obserwujemy wartości oczekiwane energii i położenia: E t Ĥ dx x Ĥ x b x t xˆ dx x x x b Porównujemy na wykresie wartość oczekiwaną operatora położenia potencjału oczek siatki. x t z położeniem dna x t. Zalecane parametry m=67 (GaAs), =1meV, b=4nm podzielone na Poniżej dwa przykładowe wykresy.
32 Wykres uzyskany dla energii oscylatora =1meV, częstotliwości oscylacji.5 mev i amplitudzie a=1nm. w Czarna krzywa oznacza położenie minimum paraboli, niebieska oscylujący względem niego środek ciężkości pakietu a czerwona oscylującą energię wyjście z rezonansu. Drgania rezonansowe. Wykres uzyskany dla energii oscylatora =1meV i identycznej częstotliwości oscylacji 1meV, amplitudzie w a=1nm. Tym razem pakiet oscyluje z coraz większą amplitudą (niebieska krzywa), znacznie przekraczającą amplitudę oscylacji minimum paraboli (czarna). Energia (czerwona) rośnie prawie parabolicznie aż do momentu kiedy pakiet zaczyna się odbijać od brzegów odcinka obliczeniowego. Wtedy częstotliwość oscylacji przestaje być równa odległości pomiędzy poziomami energetycznymi co oznacza
33 PROJEKT 18. PRZEPLYW CIECZY NIEŚCISLIWEJ PRZEZ RURĘ Z PRZESZKODĄ Lepka nieściśliwa ciecz płynie przez rurę. Do rury wstawiamy zastawkę (patrz rysunek). Znajdź linie strumienia cieczy dla danego gradientu ciśnienia podanego w rurze. Rozkład prędkości (u,v) gdzie u to składowa prędkości w kierunku osi x, zaś v to rozkład prędkości w kierunku osi y, i ciśnienia p dla cieczy o lepkości µ i gęstości ρ spełniają tzn. stacjonarne równanie Naviera-Stokesa. ψ = ζ μ ρ ζ = ψ y ζ x ψ ζ x y gdzie ψ to funkcja strumienia, zaś ζ to wirowość. Funkcja strumienia pozwala wyliczyć pole prędkości, ponieważ u = ψ y, ψ v = x, zaś rotacja zdefiniowana jest jako rotacja pola prędkości ζ = u y v x Rozwiąż problem przepływu cieczy: a) przez rurę bez zastawki (porównaj wyniki numeryczne z przewidywaniami teoretycznymi) b) przez rurę z zastawką
Stanisław Bednarek ZFTiK WFiIS AGH. Indukton, czyli. Soliton elektronowy w nanostrukturach półprzewodnikowych.
Stanisław Bednarek ZFTiK WFiIS AGH Indukton, czyli Soliton elektronowy w nanostrukturach półprzewodnikowych. Indukton, A: I do not believe that this paper has any scientific value. czyli Soliton elektronowy
Bardziej szczegółowoOperacje na spinie pojedynczego elektronu w zastosowaniu do budowy bramek logicznych komputera kwantowego
Stanisław Bednarek Zespół Teorii Nanostruktur i Nanourządzeń Katedra Informatyki Stosowanej i Fizyki Komputerowej WFiIS AGH Operacje na spinie pojedynczego elektronu w zastosowaniu do budowy bramek logicznych
Bardziej szczegółowoże w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?
TEST. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f i f są funkcjami własnymi operatora αˆ, przy czym: α ˆ f =. 05 f i α ˆ f =. 4f. Stan pewnej cząstki opisuje 3 znormalizowana funkcja falowa Ψ = f + f. Jakie
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowoc) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x=1.0 a x=1.5 jest równe
TEST 1. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f 1 i f są funkcjami własnymi operatora, przy czym: f 1 =1.05 f 1 i f =.41 f. Stan pewnej cząstki opisuje znormalizowana funkcja 1 3 falowa = f1 f. Jakie jest
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoRozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowo13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 13 UKŁADY KILKU CZĄSTEK W MECHANICE KWANTOWEJ 13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Zajmiemy się kwantowym opisem atomu He
Bardziej szczegółowoRównanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
Bardziej szczegółowoStudnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach:
Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Studnia skończona Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: V z Okazuje się, że zamiana nie jest dobrym rozwiązaniem problemu
Bardziej szczegółowoTEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH
TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH Skolektywizowane elektrony w metalu Weźmy pod uwagę pewną ilość atomów jakiegoś metalu, np. sodu. Pojedynczy atom sodu zawiera 11 elektronów o konfiguracji 1s 2 2s 2 2p 6 3s
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązanie równania Schrodingera
Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera Równanie ruchu dla cząstki o masie m (elektron- cząstka elementarna o masie ~9.1 10-31 kg) Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa 1. Druga zasada dynamiki
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 2
Wykład 7.12.2016 Budowa atomu 2 O atomach cd Model Bohra podsumowanie Serie widmowe O czym nie mówi model Bohra Wzbudzenie, emisja, absorpcja O liniach widmowych Kwantowomechaniczny model atomu sformułowanie
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoIX. DIODY PÓŁPRZEWODNIKOWE Janusz Adamowski
IX. DIODY PÓŁPRZEWODNIKOWE Janusz Adamowski 1 1 Dioda na złączu p n Zgodnie z wynikami, otrzymanymi na poprzednim wykładzie, natężenie prądu I przepływającego przez złącze p n opisane jest wzorem Shockleya
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11
Mechanika kwantowa : teoria nierelatywistyczna / Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc ; z jęz. ros. tł. Ludwik Dobrzyński, Andrzej Pindor. - Wyd. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa redaktora do wydania
Bardziej szczegółowoFizyka 3.3 WYKŁAD II
Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą
Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoMetody symulacji w nanotechnologii
Metody symulacji w nanotechnologii Jan Iwaniszewski A. Formalizm operatorowy Załóżmy, że nasz układ kwantowy posiada dyskretny zbiór funkcji własnych ϕ k, k =,,.... Tworzą one bazę w całej przestrzeni
Bardziej szczegółowoBudowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków
Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoWłaściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). 1925r. postulat Pauliego: Na jednej orbicie może znajdować się nie więcej
Bardziej szczegółowoMechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.
Próg potencjału Mecanika klasyczna zasada zacowania energii mvi mv E + V W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, E > V w obszarze cząstka biegnie z prędkością v Cząstka przecodzi z obszaru I do.
Bardziej szczegółowoXI. REALIZACJA FIZYCZNA OBLICZEŃ KWANTOWYCH Janusz Adamowski
XI. REALIZACJA FIZYCZNA OBLICZEŃ KWANTOWYCH Janusz Adamowski 1 Rysunek 1: Elektrody (bramki) definiujące elektrostatyczną boczną kropkę kwantową. Fotografia otrzymana przy użyciu elektronowego mikroskopu
Bardziej szczegółowoModel elektronów swobodnych w metalu
Model elektronów swobodnych w metalu Stany elektronu w nieskończonej trójwymiarowej studni potencjału - dozwolone wartości wektora falowego k Fale stojące - warunki brzegowe znikanie funkcji falowej na
Bardziej szczegółowoWykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoII.6 Atomy w zewnętrznym polu magnetycznym
II.6 Atomy w zewnętrznym polu magnetycznym 1. Kwantowanie przestrzenne w zewnętrznym polu magnetycznym. Model wektorowy raz jeszcze 2. Zjawisko Zeemana Normalne zjawisko Zeemana i jego wyjaśnienie w modelu
Bardziej szczegółowoFizyka 2. Janusz Andrzejewski
Fizyka 2 wykład 14 Janusz Andrzejewski Atom wodoru Wczesne modele atomu -W czasach Newtona atom uważany była za małą twardą kulkę co dość dobrze sprawdzało się w rozważaniach dotyczących kinetycznej teorii
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowoXII. NANOSTRUKTURY PÓŁPRZEWODNIKOWE Janusz Adamowski
XII. NANOSTRUKTURY PÓŁPRZEWODNIKOWE Janusz Adamowski 1 1 Wstęp Na wykładzie tym zostaną omówione dwa typy nanostruktur półprzewodnikowych: (1) kropki kwantowe, (2) druty kwantowe (nanodruty). 2 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoFaculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów
Nazwa i kod przedmiotu Kierunek studiów Mechanika kwantowa, NAN1B0051 Nanotechnologia Poziom studiów I stopnia - inżynierskie Typ przedmiotu obowiąkowy Forma studiów stacjonarne Sposób realizacji na uczelni
Bardziej szczegółowoPasmowa teoria przewodnictwa. Anna Pietnoczka
Pasmowa teoria przewodnictwa elektrycznego Anna Pietnoczka Wpływ rodzaju wiązań na przewodność próbki: Wiązanie jonowe - izolatory Wiązanie metaliczne - przewodniki Wiązanie kowalencyjne - półprzewodniki
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoPrzejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach)
Przejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach) Rozpraszanie na nieruchomej sieci krystalicznej (elektronów, neutronów, fotonów) zwykłe odbicie Bragga (płaszczyzny krystaliczne odgrywają rolę rys siatki
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych
Bardziej szczegółowoFIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań
FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 Podstawy spektroskopii wibracyjnej, model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Częstość oscylacji a struktura molekuły Prof. dr hab.
WYKŁAD 2 Podstawy spektroskopii wibracyjnej, model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Częstość oscylacji a struktura molekuły Prof. dr hab. Halina Abramczyk POLITECHNIKA ŁÓDZKA Wydział Chemiczny
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 193) De Broglie zaproponował, że każdy
Bardziej szczegółowoRodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów
Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe
Bardziej szczegółowoEfekt Halla. Cel ćwiczenia. Wstęp. Celem ćwiczenia jest zbadanie efektu Halla. Siła Loretza
Efekt Halla Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zbadanie efektu Halla. Wstęp Siła Loretza Na ładunek elektryczny poruszający się w polu magnetycznym w kierunku prostopadłym do linii pola magnetycznego działa
Bardziej szczegółowoREZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA
REZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA Opis układu cząsteczek w mechanice kwantowej: 1. Funkcja falowa, 2. Wektora stanu ψ. TRANSFORMACJE UKŁADU CZĄSTEK: 1.
Bardziej szczegółowoI. PROMIENIOWANIE CIEPLNE
I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.
Bardziej szczegółowoV. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski
V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Wykład ten poświęcony jest dokładniejszemu omówieniu własności kwantowych bramek logicznych (kwantowych operacji logicznych). Podstawowymi
Bardziej szczegółowoSolitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych
Solitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych Prezentacja zawiera kopie folii omawianych na wykładzie. Niniejsze opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wykorzystanie niekomercyjne dozwolone
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Bardziej szczegółowopółprzewodniki Plan na dzisiaj Optyka nanostruktur Struktura krystaliczna Dygresja Sebastian Maćkowski
Plan na dzisiaj Optyka nanostruktur Sebastian Maćkowski Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Adres poczty elektronicznej: mackowski@fizyka.umk.pl Biuro: 365, telefon: 611-3250 półprzewodniki
Bardziej szczegółowoRepeta z wykładu nr 5. Detekcja światła. Plan na dzisiaj. Złącze p-n. złącze p-n
Repeta z wykładu nr 5 Detekcja światła Sebastian Maćkowski Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Adres poczty elektronicznej: mackowski@fizyka.umk.pl Biuro: 365, telefon: 611-3250 Konsultacje:
Bardziej szczegółowoRzadkie gazy bozonów
Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyznaczanie stosunku e/m elektronu
Ćwiczenie 27 Wyznaczanie stosunku e/m elektronu 27.1. Zasada ćwiczenia Elektrony przyspieszane w polu elektrycznym wpadają w pole magnetyczne, skierowane prostopadle do kierunku ich ruchu. Wyznacza się
Bardziej szczegółowoZadania treningowe na kolokwium
Zadania treningowe na kolokwium 3.12.2010 1. Stan układu binarnego zawierającego n 1 moli substancji typu 1 i n 2 moli substancji typu 2 parametryzujemy za pomocą stężenia substancji 1: x n 1. Stabilność
Bardziej szczegółowoCiało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.
1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu
Bardziej szczegółowoLinia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej
Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q
Bardziej szczegółowoFunkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach 1 f FD ( E) = E E F exp + 1 kbt Styczna do krzywej w punkcie f FD (E F )=0,5 przecina oś energii i prostą f FD (E)=1 w punktach odległych o k B
Bardziej szczegółowoProjekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski 13-12-2013
Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski --0 Projekt polega na wyznaczeniu charakterystyk gęstości stanów nośników ładunku elektrycznego w obszarze aktywnym lasera półprzewodnikowego GaAs. Wyprowadzenie wzoru
Bardziej szczegółowoII.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym
II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 II.4.1 Ogólne własności wektora kwantowego momentu pędu Podane poniżej własności kwantowych wektorów
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowoPrzejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych
Współczynnik absorpcji w układzie dwuwymiarowym można opisać wyrażeniem: E E gdzie i oraz f są energiami stanu początkowego i końcowego elektronu, zapełnienie tych stanów opisane jest funkcją rozkładu
Bardziej szczegółowo24 Spin i efekty relatywistyczne
4 Spin i efekty relatywistyczne 4. Doświadczenie Sterna Gerlacha Zauważmy, że klasycznie na moment magnetyczny µ w stałym polu magnetycznym B działa moment siły N = µ B. (4.) Efektem tego oddziaływania
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkow Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m d d dz
Bardziej szczegółowoAtom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:
ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości
Bardziej szczegółowoobrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a
Wykład II.1 25 Obroty układu kwantowego Interpretacja aktywna i pasywna. Macierz obrotu w trzech wymiarach a operator obrotu w przestrzeni stanów. Reprezentacja obrotu w przestrzeni funkcji falowych. Transformacje
Bardziej szczegółowoRozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 3 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA 3.1 Wstęp Metoda ta umożliwia opis układu złożonego z wielu jonów i elektronów w stanie podstawowym. Hamiltonian układu
Bardziej szczegółowoCzym jest prąd elektryczny
Prąd elektryczny Ruch elektronów w przewodniku Wektor gęstości prądu Przewodność elektryczna Prawo Ohma Klasyczny model przewodnictwa w metalach Zależność przewodności/oporności od temperatury dla metali,
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych.
VII. SPIN 1 Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych. 1 Wstęp Spin jest wielkością fizyczną charakteryzującą cząstki
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
Bardziej szczegółowoFizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika
Fizyka 3 Konsultacje: p. 39, Mechatronika marzan@mech.pw.edu.pl Zaliczenie: 1 sprawdzian 30 pkt 15.1 18 3.0 18.1 1 3.5 1.1 4 4.0 4.1 7 4.5 7.1 30 5.0 http:\\adam.mech.pw.edu.pl\~marzan Program: - elementy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?
RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hurnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej. Praca inżynierska.
Akademia Górniczo-Hurnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Praca inżynierska Jacek Mostowicz kierunek studiów: fizyka techniczna specjalność: fizyka komputerowa
Bardziej szczegółowoP R A C O W N I A
P R A C O W N I A www.tremolo.pl M E T O D Y B A D A Ń M A T E R I A Ł Ó W (WŁAŚCIWOŚCI ELEKTRYCZNE, MAGNETYCZNE I AKUSTYCZNE) Ewelina Broda Robert Gabor ĆWICZENIE NR 3 WYZNACZANIE ENERGII AKTYWACJI I
Bardziej szczegółowoAtomy mają moment pędu
Atomy mają moment pędu Model na rysunku jest modelem tylko klasycznym i jak wiemy z mechaniki kwantowej, nie odpowiada dokładnie rzeczywistości Jednakże w mechanice kwantowej elektron nadal ma orbitalny
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego
WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, część pierwsza
Elektrostatyka, część pierwsza ZADANIA DO PRZEROBIENIA NA LEKJI 1. Dwie kulki naładowano ładunkiem q 1 = 1 i q 2 = 3 i umieszczono w odległości r = 1m od siebie. Oblicz siłę ich wzajemnego oddziaływania.
Bardziej szczegółowoSTRUKTURA PASM ENERGETYCZNYCH
PODSTAWY TEORII PASMOWEJ Struktura pasm energetycznych Teoria wa Struktura wa stałych Półprzewodniki i ich rodzaje Półprzewodniki domieszkowane Rozkład Fermiego - Diraca Złącze p-n (dioda) Politechnika
Bardziej szczegółowo5. Ruch harmoniczny i równanie falowe
5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5.1. Mamy dwie nieważkie sprężyny o współczynnikach sprężystości, odpowiednio, k 1 i k 2. Wyznaczyć współczynnik sprężystości układu tych dwóch sprężyn w przypadku,
Bardziej szczegółowoWyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym
Ćwiczenie 11A Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym 11A.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu mierzy się przy pomocy wagi siłę elektrodynamiczną, działającą na odcinek przewodnika
Bardziej szczegółowoAbsorpcja związana z defektami kryształu
W rzeczywistych materiałach sieć krystaliczna nie jest idealna występują różnego rodzaju defekty. Podział najważniejszych defektów ze względu na właściwości optyczne: - inny atom w węźle sieci: C A atom
Bardziej szczegółowo