Wykład 4 - równanie transferu promieniowania i transport energii przez promieniowanie we wnętrzach gwiazd

Transkrypt

1 Wykład 4 - równanie transferu promieniowania i transport energii przez promieniowanie we wnętrzach gwiazd

2 Transport energii w gwiazdach - zarys Reakcje termojądrowe w centralnych częściach gwiazd: produkcja fotonów o wysokich energiach (nukleosynteza H He C/O... Fe) Transport energii z centrum do powierzchni gwiazdy (oddziaływanie promieniowanie materia, często konwekcja) Ucieczka fotonów o niskich energiach z powierzchni gwiazdy (atmosfery gwiazdowe: widma)

3 Oddziaływanie promieniowania z materią (a atom, f foton, e elektron) rozpraszanie 1: zmiana kierunku f a : absorbcja f wzbudzenie a deekscytacja a emisja f (nowy kierunek) deekscytacja kolizyjna: przekaz pędu f e a : absorbcja f wzbudzenie a zderzenie z e (wzrost pędu) deekscytacja a emisja f (nowy kierunek) ekscytacja kolizyjna 1: podukcja f a : zderzenie z e (zmniejszenie pędu) wzbudzenie a deekscytacja a emisja f ekscytacja kolizyjna 2: transfer pędu e 1 e 2 a : zderzenie z e 1 (zmniejszenie pędu) wzbudzenie zderzenie z e 2 deekscytacja a a

4 Oddziaływanie promieniowania z materią degradacja energii f : z f otrzymane f 1 f 2 a : absorbcja f wzbudzenie a na wysoki poziom energetyczny częściowa deekscytacja a (emisja f 1 ) całkowita deekscytacja a (emisja f 2 ) rozpraszanie 2: zmiana kierunku i energii f a : absorbcja f jonizacja a (wolny e 1 wychwyt e 2 emisja f (nowy kierunek i zmieniona energia) jonizacja kolizyjna: produkcja f a : zderzenie z e 1 jonizacja a (wolny e 2 wychwyt e 3 emisja f wiele innych..

5 Oddziaływanie promieniowania z materią - przykłady Promieniowanie hamowania (bremsstrahlung) - emisja e spowalniany w polu elektrycznym p emisja f (d 2 r/dt emisja lub absorbcja promieniowania) rzadka optycznie plazma chłodzenie (ucieczka f ) Odwrotny bremsstrahlung - absorbcja: e w polu elektrycznym protonu absorbcja f przyspieszenie elektronu gęsta optycznie plazma grzanie. Rozpraszanie Comptona foton f uderza w elektron e o małej energii foton f rozprasza się i traci energię elektron e zyskuje energię Odwrotne rozpraszanie Comptona foton f uderza w elektron e o dużej energii foton f rozprasza się i zyskuje energię elektron e traci energię

6 Oddziaływanie promieniowania z materią - przykłady Rozpraszanie Thompsona Rozpraszanie fotonów f (fali elektromagnetycznej) na swobodnych elektronach e. Dopóki energia fotonu znacznie niższa niż energia spoczynkowa elektronu (E f << m e c kev) nie zależy od długości fali. Rozpraszanie Rayleigha Rozpraszanie fotonów f (fali elektromagnetycznej) na elektronach e w atomach i cząsteczkach zależy od długości fali jak λ 4, odpowiada za niebieską barwę nieba. Na najbliższych wykładach własności tych wszystkich oddziaływań będziemy sprowadzać do współczynnika ekstynkcji (z podziałem na absorbcję i rozpraszanie) i emisji

7 Podstawowe wielkości opisujące promieniowanie Podstawową wielkością służącą do opisu promieniowania jest natężenie promieniowania (I ν ). Jest to ilość energii E ν emitowana w jednostce czasu dt, na przedział częstości dν, przez jednostkę powierzchni ds w jednostkę kąta bryłowego dω wokół osi tworzącej kąt θ z normalną do tej powierzchni. de ν = I ν dtdνd s ndω (1) Średnie natężenie promieniowania J ν = 1 I ν ( n)dω (2) 4π W przypadku płasko - równoległym i azymutalnie niezmienniczym, gdzie µ = cos (θ) J ν = 1 I ν (θ)dω = 1 π I ν sin (θ)dθ = 1 4π I ν (µ)dµ (3)

8 Podstawowe wielkości opisujące promieniowanie c.d. Strumień promieniowania F ν = I ν ndω (4) W przypadku płasko - równoległym i azymutalnie niezmienniczym: 1 F ν = 2π I ν (z, µ)µdµ (5) 1 Drugi moment pola promieniowania K ν = 1 ( n n)i ν dω (6) 4π W przypadku płasko - równoległym i azymutalnie niezmienniczym wprowadzamy skalarny drugi moment promieniowania K ν = I ν (z, µ)µ 2 dµ (7)

9 Związek momentów pola promieniowania z wielkościami termodynamicznymi Gęstość energii pola promieniowania U ν to energia promieniowania w zaresie ν + dν zawarta w elemencie objętości dv = ds cos θdl = ds cos θcdt zsumowana po wszystkich kierunkach, czyli U ν = 1 I ν dω = 4π c c J ν (8) Analogicznie rozpatrując ciśnienie, mamy związek z drugim momentem promieniowania. Zapiszemy go w przypadku skalarnym P rad,ν = 2π I ν µ 2 dµ = 4π c c K ν (9)

10 Natężenie promieniowania w stanie lokalnej równowagi termodynamicznej We wnętrzach gwiazd promieniowanie jest bliskie lokalnej równowadze termodynamicznej z gazem. W przybliżeniu zatem rozkład natężenia jest izotropowy, a zależność natężenia od częstotliwości dana jest funkcją Plancka I ν = B ν (T ) 2hν3 c 2 1 exp hν kt 1 (10) W tym przypadku gęstość energii promieniowania przypadająca na jednostkę częstotliwości dana jest Z kolei gęstość energii promieniowania U ν = 4π c B ν (11) U rad = 4π c 0 B ν dν = 4π c B(T ) = at 4 = u rad ρ (12)

11 Wielkość a nazywa się stałą promieniowania a σ stałą Stefana-Boltzmana a = 4σ c = 8πk4 c 3 h 3 Ciśnienie promieniowania 0 P rad = at 4 x 3 dx exp x 1 = 8π5 k 4 15c 3 h 3 Z izotropii I ν wynika F ν. Niezerowa wartość strumienia wynika z niewielkiej anizotropowości pola promieniowania 3 (13)

12 Równanie transferu Zmiany natężenia promieniowania zapiszemy na razie w najprostszym przypadku Mogą być one powodowane przez pochłanianie i przez emisję powodowaną przez gaz w danej częstości i danym kierunku di ν = κρi ν + j ν ρ (14) dl κ - współczynnik pochłaniania na 1 gram, j ν - współczynnik emisyjności na jeden gram. Jeżeli będziemy rozpatrywać stan stacjonarny w przypadku płaskorównoległym i azymutalnie niezmienniczym, to wartości termodynamiczne będą zależały tylko od zmiennej z skierowanej przeciwnie do lokalnego przyspieszenia grawitacyjnego, a natężenie promieniowania I ν będzie zależało od z i θ. dl = dz/cos(θ) = dz/µ Równanie transferu będzie wówczas zapisane jako: µdi ν = κρi ν + j ν ρ (15) dz

13 Równanie transferu c.d. Wprowadzamy głębokość optyczną zależną od z dτ ν = κ ν ρdz (16) Równanie transferu w przypadku płaskorównoległym ma wtedy postać µdi ν dτ ν = I ν S ν (17) Wielkość S ν = jν κ ν nazywana jest funkcją źródłową

14 Funkcja źródłowa Współczynnik nieprzezroczystości κ ν możemy podzielić na część związaną z absorbcją κ a,ν i część związaną z rozpraszaniem κ s,ν ( κ ν = κ a,ν + κ s,ν ). Tak samo możemy podzielić funkcję źródłową, która w ogólnym przypadku będzie miała postać S ν = κ a,νb ν κ s,ν + R(ν, ν, κ a,ν + κ s,ν κ a,ν + κ k, k )I ν ( k )dω dν s,ν 0 4π (18) Funkcja R(ν, ν, k, k ) opisuje prawdopodobieństwo, że foton o częstotliwości ν nadbiegający z kierunku k po rozproszeniu będzie miał kierunek k i częstotliwość ν W przypadku rozpraszania izotrpowego i koherentnego S ν ma prostą postać S ν = κ a,νb ν + κ s,νj ν (19) κ a,ν + κ s,ν κ a,ν + κ s,ν

15 Formalne rozwiązanie równania transferu Równanie µdi ν = I ν S ν dτ ν można rozwiązać mnożąc obie strony równania przez czynik całkujący exp ( τν µ ), dzięki czemu otrzymamy równanie w postaci exp ( τ ν µ )(µdi ν dτ ν I ν ) = S ν exp ( τ ν µ ) z której po podzieleniu obu stron równania przez µ otrzymamy ( d I ν exp ( τ ) ν dτ ν µ ) = 1 µ S ν exp ( τ ν µ ) Na początku zobaczymy jak zmieni się natężenie promieniowania pomiędzy dwoma watrościami τ ν,2 i τ ν,1 ( τ ν,2 > τ ν,1 ). Znak - po prawej stronie został uwzględniony przy zmianie granic całkowania I ν exp ( τ ν µ ) τ ν,1 τν,2 = τ ν,2 τ ν,1 S ν exp ( τ ν µ )dτ ν µ (20)

16 Formalne rozwiązanie równania transferu c.d. Dla promieniowania skierowanego w górę (µ > 0, promieniowanie od τ ν,2 do τ ν,1 ) I ν (τ ν,1, µ) = I ν (τ ν,2, µ) exp ( τ ν,1 τ τν,2 ν,2 )+ µ S ν exp ( τ ν τ ν,1 τ ν,1 µ Dla promieniowania skierowanego w dół (µ < 0, promieniowanie od τ ν,1 do τ ν,2 ) I ν (τ ν,2, µ) = I ν (τ ν,1, µ) exp ( τ ν,1 τ τν,2 ν,2 )+ µ S ν exp ( τ ν τ ν,2 τ ν,1 µ Głębokość optyczna szybko rośnie z głębokością i w atmosferach gwiazdowych (a tym bardziej we wnętrzu) dla promieniowania skierowanego w górę (µ > 0) uprawnione jest przejście τ ν,2, wtedy: I ν (τ ν,1, µ) = S ν exp ( τ ν τ ν,1 τ ν,1 µ ) dτ ν µ ) dτ ν µ ) dτ ν µ

17 Formalne rozwiązanie równania transferu c.d. Dla promieniowania w atmosferze skierowanego w dół (µ < 0), kiedy mamy do czynienia z pojedyńczą gwiazdą naturalny jest wybór I ν (τ ν = 0) = 0 Rozwiązanie dla promieniowania skierowanego w dół ma wtedy postać: I ν (τ ν,2, µ) = τν,2 0 S ν exp ( τ ν µ )dτ ν µ Choć formalne rozwiązanie ma prostą postać to S ν zależy od I ν poprzez średnie natężenie promieniowania J ν

18 Warunek równowagi promienistej Jeżeli przyjmiemy, że bolometryczny strumień energii promieniowania przechodzący przez warstwę jest stały df rad dz F rad = = 2π 0 0 F ν dν = 2π µdi ν dµdν = 2πρ dz I ν µdµdν (21) (j ν κ ν I ν )dµdν = 0 (22) Przyjmiemy, że całkowity współczynnik pochłaniania określony jest jako suma współczynników emisji i rozpraszania (κ ν = κ a,ν + κ s,ν ) i że emisyjność gazu będzie izotropowa i określona wzorem j ν = (κ a,ν B ν + κ s,ν J ν ), wtedy: 4π 0 κ a,ν B ν + κ s,ν J ν κ ν J ν dν = 0 (23) i otrzymamy warunek równowagi promienistej 0 κ a,ν (B ν J ν )dν = 0 (24)

19 Przybliżenie dyfuzyjne dla wnętrz gwiazdowych Bardzo krótka droga swobodna fotonów we wnętrzach gwiazd powoduje, że średnie natężenie promieniowania J nu i funkcja źródłowa S ν są bardzo zbliżone do lokalnej funkcji Plancka B ν (T ) Anizotropia pola promieniowania we wnętrzach gwiazdowych jest bardzo mała co pozwala na rozwinięcie funkcji źródłowej w postaci szeregu Taylora wokół τ ν, gdzie można założyć równość S nu = B ν S ν ( τ) = ( d j ) B ν ( τ τν ) j j! j=0 dτ j nu (25) Podstawienie pierwszych wyrazów szeregu do formalnego rozwiązania równania transferu daje szereg potęgowy na µ I ν = B ν (τ ν ) + db ν µ + d 2 B ν µ (26) dτ nu dτ 2 nu

20 Przybliżenie dyfuzyjne dla wnętrz gwiazdowych c.d. Ocenę stosunku kolejnych wyrazów szeregu daje nam ɛ = d ln B ν dτ nu d ln T dr 1 κ ν ρ = l p,ν H T, który pod fotosferą staje się szybko << 1. Ograniczając się do wyrazu liniowego po podstawieniu do wzoru na strumień energii promieniowania otrzymujemy: 1 ( F ν = 2π B ν µ + db ) ν µ 2 dµ = 4π 1 dτ nu 3 db ν dτ nu = 4π db ν 3κ ν ρ dr i dalej F ν = 4π db ν dt 3κ ν ρ dt dr

21 Całkowity strumień promieniowania i średni współczynnik nieprzezroczystości Rosselanda Z twierdzenia Leibnitza o różniczkowaniu pod znakiem całki możemy skorzystać z wyniku całkowania B ν z podstawieniem x = hν/kt, dzięki czemu otrzymujemy F rad = 4acT 3 3κ R ρ dt dr (27) W powyższym wzorze Wprowadzony został średni współczynnik nieprzezroczystości Rosselanda κ R, określony wzorem gdzie 1 κ R = B ( ) db 1 dt db ν dν (28) κ ν dt Bdν = ac 4π T 4 (29)

22 Całkowity strumień energii promienistej, gradient temperatury W przypadku, gdy cała jasność gwiazdy przenoszona jest przez promienniowanie możemy zapisać L r = 16πacr 2 T 3 3κρ dt dr (30) Można zapisać to równanie jako równanie różniczkowe na pochodną temperatury w obszarach gdzie nie ma produkcji/pochłaniania energii i nie występują makroskopowe ruchy gazu dt dr = 3κρL r 16πacr 2 T 3 (31)

23 Gradient promienisty Gdy podzielimy obie strony równania (31) przez równanie równowagi hydrostatycznej otrzymamy dt dp = 3κL r 16πGacM r T 3 (32) Równanie to możemy zapisać w postaci logarytmicznej, a wielkość rad nazywa się gradientem promienistym. Jest to logarytmiczna pofodna temperatury po ciśnieniu jaka panowałaby we wnętrzu gwiazdy, gdyby cała energia przenoszona była przez promieniowanie rad d ln T d ln P = 3κL r P 16πGacM r T 4 (33)

24 Rozpraszanie na swobodnych elektronach Przekrój czynny na rozpraszanie fotonów na elektronach opisany jest wzorem Kleina - Nishiny. Jeżeli prędkości elektronów można traktować jako nierelatywistyczne (kt << m e c 2, co odpowiada T << K), to wzór redukuje się do wzoru Thompsona ( e 2 ) 2 = cm 2 (34) σ e = 8π 3 m e c 2 Przy założeniu pełnej jonizacji pierwiastków n e = (1 + X )ρ 2m H mamy prosty wzór na współczynnik nieprzecroczystości wynikający z rozpraszania na nierelatywistycznych swobodnych elektronach κ e = 0.2(1 + X )cm 2 /g (35)

25 Ograniczenie na średnią drogę swobodną fotonów Ponieważ rozpraszanie jest tylko jednym z procesów ograniczających drogę swobodną fotonów l p to mamy ważne ograniczenie 5 l p < cm (36) ρ(1 + X )

26 Współczynnik absorbcji Kramersa dla przejść swobodno - swobodnych Zarys wyprowadzenia Kramersa Swobodny elektron może zyskać energię podczas oddziaływania z jonem dzięki absorbcji fotonu. Czas kiedy jest na tyle blisko aby absorbcja mogła zajść jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości i v 1 T 1/2 Liczba oddziaływań jest proporcjonalna do gęstości ρt 1/2 Pojedyńcze oddziaływanie proporcjonalne do Z 2 ν 3, więc κ ν Z 2 ρt 1/2 ν 3 Średnia Rosselanda po częstościach i wkład od poszczególnych jonów daje zależność ( κ f f (1 + X ) X + Y + ) X i Zi 2 ρt 3.5 cm 2 /g A i i>4 (37)

27 Współczynnik absorbcji dla przejść związano-swobodnych. Ujemny jon wodorowy Przekrój czynny na jeden atom i jeden związany elektron (o głównej liczbie kwantowej n) dany jest w przybliżeniu wyrażeniem { Cb f Zj 4 σ b f = jeeli hν > Θ n 5 ν 3 j,n (38) 0 jeeli hν < Θ j,n Θ j,n - jest energią jonizacji W zakresie temperatury od 4 do 6 kk dominującym źródłem nieprzezroczystości jest fotojonizacja ujemnego jonu wodorowego (H ). Potencjał jonizacji H wynosi 0.75 ev (potencjał jonizacji H to 13.6 ev). Wolne elektrony pochodzą z obfitych pierwiastków o niskim potencjale pierwszej jonizacji: Na, K, Ca, Al. Bardzo przybliżony wzór na współczynnik absorbcji dla H w zakresie T 3 6 kk i ρ g/cm 3 ma postać κ H Z 0.02 ρ1/2 T 9 cm 2 /g (39)

28 Przejścia związano-swobodne dla cżęściowej jonizacji H, HeI i HeII. Wzór Kramersa Przy wyższych temperaturach w kappa dominują kolejno efekty jonizacji H, HeI i HeII. Wykładnik w zależności κ(t ) może osiągnąć duże dodatnie wartości. Wynika to z szybkiego wzrostu z temperaturą liczby fotonów zdolnych do fotojonizacji i liczby elektronów. Dla warstw głębszych gdzie wodór i hel można uznać za całkowicie zjonizowane istnieje przybliżenie znane jako wzór Kramersa dla przejść związano-swobodnych κ b f (1 + X )ZρT 3.5 cm 2 /g (40)

29 Przejścia związano-związane Wyliczenie współczynników nieprzezroczystości związanych z przejściami związano-związanymi jest trudne i nie istnieje na nie żadne proste oszacowanie. Skomplikowane obliczenia numeryczne a ostatnio prace doświadzalne pokazały, że zaniedbanie ich prowadzi do znacznego zaniżenia nieprzezroczystości materii we wnętrzach gwiazd.

30 Zależność współczynnika nieprzezroczystość od logarytmu temperatury przy różnych logarytmach gęstości gazu o składzie słonecznym

31 Przebieg wykładników w zależności κ ρ κ ρ T κ T, gęstości i współczynnika nieprzezroczystości dla trzech modeli gwiazd ciągu głównego

32 Jasność Eddingtona Korzystając ze wzoru na ciśnienie promieniowania i na gradient temperatury można otrzymać maksymalną jasność gwiazdy znajdującej się w równowadze hydrostatycznej. Przyjmujemy, że całkowite ciśnienie jest sumą ciśnienia gazu i ciśnienia promieniowania P = P g + P rad = P g at 4. Ciśnienie promieniowania nie może spadać z wysokością szybciej niż ciśnienie całkowite. Z tego wynika, że dp rad dr < dp dr (41) 4 3 dt at 3 dr = κρl r 4πcr 2 < GMρ r 2 (42) i mamy ograniczenie na jasność przy założeniu równowagi hydrostatycznej L < 4πGcM = L Edd (43) κ