PRZEGLĄD NAJPROSTSZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Michał Januszczyk Zakład Fizyki Medycznej, Wydział Fizyki UAM

Transkrypt

1 PRZEGLĄD NAJPROTZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Mchał Jauszczyk Zakład Fzyk Medyczej, Wydzał Fzyk UAM. Każdy zbór cał lub zjawsk fzyczych ma wele cech merzalych mogących staowć zasadę klasyfkacj.. W aukach przyrodczych cechy merzale pozwalają a wykoae pomarów. Cechy te azywamy welkoścam fzyczym. 3. Iloścowo każdą welkość fzyczą wyrażamy jej marą długość szyy wyos 5 [m] welkość fzycza mara A * Aby podać pełą formację dotyczącą stau jakegoś cała lub zjawska musmy podać azwę welkośc fzyczej jego marę. Nazwy welkośc fzyczych są ozaczae symbolam lterowym charakterystyczym dla daej welkośc merzoej. długość - l lub s, masa m, czas t... Mara welkośc fzyczej A * składa sę z wartośc lczbowej mary {A} oraz jedostk mary [A] 4. Jedostka mary A * ={A}[A] Defujemy ją jako dowole wybray sta tej welkośc fzyczej, której umowe przypsujemy wartość. Mara welkośc fzyczej zależy od wyboru wzorca czyl jedostk mary. Przykład pomaru długośc l = 5,4 [m] {l} = 5,4 l=000 [] {l}=000 [] = [cal]=,54 [cm] l=000 [] = 5,4 [m]

2 Wartośc lczbowe mary moża porówywać ze sobą tylko w przypadku, gdy ch welkośc fzycze są wyrażoe w tych samych jedostkach mary. W ramach pracow fzyczej wyk pomarów będą wyrażae w jedostkach Mędzyarodowego Układu I. 5. Pomarem fzyczym azywamy czyośc zwązae z ustaleem wartośc lczbowej mary daej welkośc fzyczej. Pomary są wykoywae za pomocą arzędz pomarowych a które składają sę - wzorce mar (odważk, przymary...) - przyrządy pomarowe (waga, merk elektrycze, złożoe staowska pomarowe...) 6. Nepewośc błędy pomarowe Wszystke pomary są obarczoe epewoścam pomarowym. Rozróżamy a) epewośc systematycze b) epewośc przypadkowe. - każdy merzoy sta jakejś welkośc fzyczej ma swoją wartość rzeczywstą ( rz ) - z pomaru uzyskujemy wartośc zmerzoe () - różca wartośc rzeczywstej ( rz ) wartośc zmerzoej () azywa sę rzeczywstą epewoścą pomarową ( rz ) pomaru. rz = rz Celem każdego pomaru jest oszacowae wartośc rzeczywstej ( rz ) badaej welkośc fzyczej. - wartość rzeczywsta merzoej welkośc fzyczej jak jej rzeczywsta epewość pomarowa jest ezaa. - posób postępowaa szacuje sę przedzał ± w którym z dużym założoym prawdopodobeństwem meśc sę wartość rzeczywsta rz.

3 rz meśc sę gdześ w tym przedzale Połowę szerokośc tego przedzału azywa sę systematyczą epewoścą pomarową zmerzoej wartośc pomaru. - epewość pomarową moża eograczee zmejszać, ale e moża jej wyelmować. a) epewość systematycza ( ) jest to epewość, która przy welu pomarach tej samej wartośc welkośc fzyczej, wykoaych w tych samych warukach tą samą marką pozostaje stała. Nepewość systematycza jest określoa przez stosowaą aparaturę pomarową czyl zastosowaą metodę pomarową. Mmala wartość epewośc systematyczej jest określoa dokładoścą stosowaego przyrządu (dokładoścą odczytu czyl ajmejszą dzałką ). Wartość rzeczywsta ( rz ), którą szacujemy w przedzale zbudowaym za pomocą epewośc systematyczej, zawarta jest w tym przedzale z prawdopodobeństwem P{- < rz < + }=, dlatego epewość systematyczą azywa sę róweż epewoścą maksymalą. Wyróżamy astępujące metody wyzaczaa epewośc systematyczych pochodzących od: - arzędz pomarowych ( ) skończoy ajmejszy odstęp kresek a podzałce (tzw. ajmejsza dzałka) - przyrządów pomarowych kalbrowaych ( k ) dokładość zależa jest od zakresu klasy przyrządu czyl : k = (klasa zakres)/00

4 Przykład pomar atężea prądu I za pomocą amperomerza o zakrese [A] klase 0.5. K =(0.5 [A])/00 = [A] - obserwatora ( O ) połowa szerokośc obszaru drgań dla wskazań zmeających sę w czase (p. drgająca wskazówka), oraz szerokość wskazówk odczytaa w jedostkach podzałk. b) Nepewość przypadkowa Nepewośc przypadkowe ujawają sę wtedy, gdy przy kolejych powtórzeach tego samego pomaru otrzymujemy różące sę ajczęścej ezacze wyk, czyl występuje tzw. rozrzut statystyczy wyków pomaru. Nepewośc przypadkowe ujawają sę wtedy, gdy epewość systematycza jest mała, czyl duża dokładość stosowaego przyrządu, a to w kosekwecj umożlwa wykazae p. erówośc merzoego przedmotu w różych mejscach, lub zmeość ej welkośc fzyczej badaego zjawska fzyczego p. rozrzut statystyczy wartośc oporu elektryczego spowodoway establoścą temperatury otoczea. Nepewość przypadkowa zwązaa jest tylko wyłącze z przedmotem badań a e z przyrządem pomarowym (odróżee od epewośc systematyczej). Marą epewośc przypadkowej jest odchylee stadardowe pojedyczego pomaru ozaczae symbolem odchylee stadardowe z wartośc średej ozaczae symbolem,. Przyjmuje sę, że przedzał zbudoway za pomocą epewośc przypadkowej zawera z prawdopodobeństwem 0.68 szukaą wartość rzeczywstą rz tz.: P{ - < rz < + }= 0.68

5 gdze jest wartoścą średą z ser wyków kolejych pomarów (gdze =,,3 ) oblczaą ze wzoru: () Przez aalogę do epewośc systematyczej możemy wprowadzć maksymalą epewość przypadkową P{ - 3 < rz < + 3 }= jest odchyleem stadardowym pojedyczego pomaru oblczaym ze wzoru dla małej <30 () dużej 30 (3) lczby pomarów: ( ( ) ) dla <30 () dla 30 (3)

6 Nepewoścą pomarową średej z pomarów jest odchylee stadardowe z wartośc średej, które oblczamy ze wzoru (4) : (4) W pomarach mogą występować zarówo epewośc systematycze jak przypadkowe. uma tych epewośc os azwę epewośc całkowtej Δ cał wyraża sę wzorem (5). Δ cał = Δ + Δ k + Δ o +3 (5) c) Błędy pomarowe Źródłem błędów w czase wykoywaa pomarów są: - brak umejętośc w posługwau sę merkem, - źle wyskaloway merk, - błęde zestawoy układ pomarowy, wadlwe dzałae metody, - w pomarach pośredch korzystae z ewłaścwych wzorów, - brak staraośc eksperymetatora. Błędy pomarowe ależy wyelmować.

7 7. Lczebość próby Odchylea stadardowe zależą od lośc pomarów. Im wększa lczba pomarów tym wartośc lczbowe wyrażeń (), (3) (4) są mejsze. Moża zaplaować pomar z dokładoścą Δ wyzaczyć lczebość próby ezbędą do osągęca zakładaej dokładośc (ale Δ e może być mejsze od epewośc systematyczej). Aby zaplaować pomar ależy: - wykoać pomary próbe (wstępe) 0 - oblczyć warację (kwadrat odchylea stadardowego) ze wzoru (6): 0 ( ) (6) - ustalć (określć) wartość oczekwaą epewośc Δ - oblczyć mmalą lczebość próby dla ustaloej wartośc Δ ze wzoru (7): (.) (7) - wykoać pomary dodatkowe - 0, a jeżel e było lczbą całkowtą to zaokrąglamy ją zawsze w górę do lczby całkowtej, - oblczamy wartośc oraz, - ze wzoru (5) oblczamy epewość całkowtą Δ cał po uwzględeu epewośc systematyczej: Δ cał = Δ + 3 (5)

8 8. Zaokrąglae zestawee wyków końcowych z ch epewoścam pomarowym. - Prawdłowe zestawee wyków końcowych powo obejmować azwę merzoej welkośc fzyczej (A), zaokrągloe wartośc lczbowe mary ( gdy występuje tylko epewość systematycza lub gdy występują obe epewośc), epewość pomarową (Δ gdy występuje tylko epewość systematycza lub Δ cał gdy występują obe epewośc), oraz jedostkę mary [A] w układze I. A=( ± Δ) [A], A=( ± Δ cał ) [A], gdze Δ epewość systematycza gdze Δ cał epewość całkowta - Lczba zacząca: Najperw zaokrągla sę epewośc pomarowe a po zaokrągleu epewośc pomarowej zaokrąglamy wyk pomaru. Przed przystąpeem do zaokrąglaa epewośc pomarowych, gdy cąg otrzymaych z oblczeń cyfr jest bardzo dług, zachodz potrzeba jego zakończea czyl urwaa a pozome oczekwaego przez as mejsca zaczącego. Koleje mejsca cyfr patrząc od lewej stroy (z wyjątkem zer przed przeckem po przecku, a przed perwszą cyfrą różą od zera) szacowaej przez as lczby azywamy odpowedo perwszą, drugą, trzecą koleją cyfrą zaczącą lub perwszym, drugm, trzecm kolejym mejscem zaczącym. przykłady.,,3,4 cyfra zacząca (mejsce zaczące) Δ = 9 8 0,8 (szacowaa lczba).,,3,4,5 cyfra zacząca (mejsce zaczące) Δ = 0, (szacowaa lczba) 3.,,3,4,5 cyfra zacząca (mejsce zaczące) Δ = 0, (szacowaa lczba)

9 - Zaokrąglae epewośc pomarowych : - epewość pomarowa wyk pomaru muszą być wyrażoe w tych samych jedostkach, - wyk pomaru mus być zapsay z dokładoścą do ostatego mejsca zaczącego epewośc, - ajperw zaokrągla sę epewośc pomarowe, które wcześej oblcza sę zapsuje z dokładoścą do trzech mejsc zaczących zgode ze wzorem pożej (gdze j-ozacza perwszą, k - drugą, a l - trzecą cyfrę zaczącą): Δ cał = 0, j k l 0 m, gdze j =,,... 9; k, l = 0,,... 9; m C - sposób zaokrąglaa zależy od wartośc j (perwszej cyfry zaczącej): - jeżel j3 to epewość Δ cał zaokrąglamy z dokładoścą do dwóch mejsc zaczących - dla l<5 zaokrąglamy Δ cał = 0, j k 0 m, - dla l5 zaokrąglamy Δ cał = 0, j (k+) 0 m, przykłady. otrzymao z oblczeń Δ cał = [A] zaps do trzech mejsc zaczących Δ cał = [A] po zaokrągleu epewośc Δ cał = [A]. otrzymao z oblczeń Δ cał = [A] zaps do trzech mejsc zaczących Δ cał = [A] po zaokrągleu epewośc Δ cał = [A] 3. otrzymao z oblczeń Δ cał = 0,000333[A] zaps do trzech mejsc zaczących Δ cał = 0,0003 [A] po zaokrągleu epewośc Δ cał = 0,000 [A] 4. otrzymao z oblczeń Δ cał = 0,0005[A] zaps do trzech mejsc zaczących Δ cał = 0,0005 [A]

10 po zaokrągleu epewośc Δ cał = 0,0003 [A] - jeżel j>3 to epewość Δ cał zaokrąglamy do jedego mejsca zaczącego - dla k<5 Δ cał = 0, j 0 m, - dla k5 Δ cał = 0, (j+) 0 m, przykłady. otrzymao z oblczeń Δ cał = [A] zaps do trzech mejsc zaczących Δ cał = [A] po zaokrągleu epewośc Δ cał = [A] otrzymao z oblczeń Δ cał = [A] zaps do trzech mejsc zaczących Δ cał = [A] po zaokrągleu epewośc Δ cał = [A] otrzymao z oblczeń Δ cał = 0, [A] zaps do trzech mejsc zaczących Δ cał = 0,00083 [A] po zaokrągleu epewośc Δ cał = 0,0008 [A] otrzymao z oblczeń Δ cał = 0, [A] zaps do trzech mejsc zaczących Δ cał = 0, [A] po zaokrągleu epewośc Δ cał = 0,0009 [A] Po zaokrągleu epewośc pomarowej zaokrąglamy wyk pomaru. Ostateczy wyk pomaru lub zawsze zaokrąglamy do takego mejsca jakm jest ostate mejsce zaczące epewośc pomarowej Δ cał lub Δ zestawamy.

11 przykłady. = [A] Δ cał = 7 [A] [A] ³ [A] Δ cał 700 [A] 0.7 0³ [A] całość zestawamy ( ) [A] ( ) 0³ [A]. =,7777 [A] Δ cał = 0.0 [A],778 [A] Δ cał 0.0 [A] całość zestawamy ( ) [A] ( ) 0 - [A] 9. Uśredae wyków pomarów średa ważoa Kedy stosuje sę średą ważoą? - gdy stosujemy róże metody pomaru tej samej welkośc fzyczej (róże wyk epewośc pomarowe) - gdy pomary wykoują róże zespoły - gdy eksperymetator pomary grupuje w sere pomarowe Wartośc średej ważoej epewość średej ważoej oblczamy ze wzorów: w w w - koleje pomary ( =,,3 ), w =/( ) waga -tego wyku, a epewość pomarowa dla pomaru. (7)

12 w w w (8) 0. Wszystke pomary fzycze dzelmy a: a) bezpośrede wykouje sę je wprost za pomocą arzędz przyrządów pomarowych p. - pomar czasu stoperem - pomar długośc suwmarką - pomar atężea prądu - amperomerzem b) pośrede merzoe welkośc e uzyskuje sę bezpośredo, lecz oblcza sę je ze wzoru fzyczego, w którym występuje klka welkośc merzoych bezpośredo. Wzór fzyczy wyrażający pośredą welkość fzyczą Z zapsujemy jako fukcję: Z=f(X,X,...X ), gdze X, X,...X to welkośc fzycze merzoe bezpośredo. Przykład pomaru pośredego prędkośc V a) wykouje sę pomary bezpośrede drog s, oraz czasu t b) oblcza sę prędkość ze wzoru V=st -, gdze Z= V, X =s, X =t.wyzaczae epewośc systematyczych ΔZ dla pomarów pośredch - gdy welkość fzycza pomaru pośredego Z jest fukcją ych welkośc fzyczych uzyskaych z pomaru bezpośredego X, X, X 3... X Z = f(x, X, X 3... X ), gdze X ( ) = ( ( ) ± Δ ( ) ) - wyk epewość pomarowa pomaru pośredego Z zależą od: a) wartośc pomarów bezpośredch,...

13 b) wartośc ch epewośc Δ, Δ... Δ c) od rodzaju fukcj Z a a dla Z C X X,... Xa, a,... a R, (9) C dowola stała a log Z= log C + a log X a log X z z a... a (0) Gdy fukcja Z= f(x, X, X 3... X ) będze mała ą postać ż (9) to epewość pomarową dla pomaru pośredego ΔZ oblczamy jako połowę szerokośc przedzału Z ma -Z m ΔZ = (Z ma -Z m )/ () gdze Z ma, Z m są fukcjam postac: Z Z ma m f (,..., f (,..., ) ) przy czym dobór zaków + oraz jest tak aby otrzymać Z ma oraz Z m..porówywae wyków - kryterum zgodośc Aby porówać wyk otrzymae p. różym metodam korzystamy z kryterum zgodośc, sprawdzamy czy dla aszych wyków ±Δ ±Δ spełoa jest erówość: - Δ +Δ () Jeżel powyższa erówość e zachodz to zaczy że wyk e są zgode. Gdy sprawdzamy zgodość otrzymaego wyku ±Δ z

14 wartoścą tablcową T ±Δ T (gdze Δ T to epewość tablcowa) korzystamy z wyrażea(3 a) : - T Δ (3 a) Jeżel Δ ~Δ T to ależy po prawej stroe erówośc (3 a) do Δ dodać Δ T (3 b). - T Δ + Δ T (3 b) 3. Grafcza prezetacja wyków - Metodę grafczą stosujemy do przedstawea wyków pomarów dwóch współzależych welkośc fzyczych oraz y. - Wykres jest grafczym obrazem badaej zależośc, grafczym obrazem zjawska. - Metodę grafczą stosujemy, gdy: -udowadamy, że badae welkośc spełają założoy uprzedo zwązek fukcyjy, -chcemy ustalć typ zależośc łączący merzoe welkośc y(): - czy jest to zależość lowa y = a+b, - czy jest to zależość kwadratowa y = a +b+c, - czy jest to zależość hperbolcza y = k/, - czy jest to zależość wykładcza y = C d - czy też jest to zależość której e da sę przedstawć za pomocą prostych zwązków matematyczych, tak jak w przypadku pętl hsterezy. Wykresy wykoujemy a paperze: - mlmetrowym - fukcyjym (pół logarytmczy, logarytmczy, beguowy) Jak poprawe wykoać wykres? - wykres powe zajmować całą powerzchę arkusza - doberamy skalę opsujemy ose współrzędych

15 - aosmy pukty pomarowe - aosmy prostokąty epewośc w oparcu o epewośc pomarowe Δ, Δy tz. wokół każdego puktu pomarowego rysujemy prostokąty epewośc o bokach Δ, Δy - wykreślamy badaą zależość zwracając uwagę, aby krzywa przebegała przez wszystke prostokąty epewośc 4. Aalza zależośc lowych metodą regresj Jedą z metod uzyskwaa welkośc fzyczych, które e mogą zostać zmerzoe wprost jest metoda regresj lowej. Warukem zastosowaa tej metody jest występowae dwóch zmeych zależej (Y) ezależej (X), które są skorelowae. a) korelacja współczyk korelacj dla uporządkowaych par wyków, y dwuwymarowej zmeej losowej XY, gdze =,..., poszczególe pary wartośc będzemy uważal za deale skorelowae, jeżel przez jedozacze określoą zmaę skal zmeą moża przeprowadzć w zmeą y dla dowolego. O tym czy korelacja jest dobra śwadczy współczyk korelacj r. Oblczamy go z wyrażea (4): r [ ( y ) y ][ y ( y ) ] (4)

16 Y r = r = X b) regresja lowa, klasycza Przedmotem aalzy są wyk pomarów dwóch welkośc fzyczych, y dla których zakładamy stee zależośc lowej: y = a+b (5) Wyk pomarów składają sę z par wartośc zmerzoych, y, gdze =,... Obrazem grafczym regresj lowej jest prosta achyloa pod kątem do os odcętych, przecająca oś rzędych y w pukce b. Natomast tages kąta achylea ozaczamy lterą a (tg = a).welkośc a b azywamy współczykam regresj lowej. Regresja lowa klasycza stosowaa jest wtedy, gdy e ma żadych daych o epewoścach pomarowych par wyków, y. oraz gdy są oe jedakowe dla wszystkch puktów. W takm przypadku współczyk regresj oblcza sę ze wzorów: a y ( ) (6) y a b (7) a ch odchylea stadardowe z wartośc średej odpowedo ze wzorów: y

17 a [ y a y b )( ( ) ( y ] ) (8) b a (9) W tych w ych przypadkach do oblczeń stosuje sę profesjoale programy komputerowe. c) learyzacja zależośc elowych do zastosowaa regresj lowej Jeśl otrzymaa zależość e jest lowa to często moża ją sprowadzć do lowej korzystając z tzw. learyzacj. Learyzację przeprowadzamy przez właścwą trasformację zmeych zależośc elowych do lowych przez zastosowae odpowedch podstaweń. Zastosowaa trasformacja koecze mus badaą zależość sprowadzć do postac lowej. Uzyskujemy to przez: - aalzę teoretyczą zjawska - odgadęce typu zależośc a podstawe aalzy wykresu puktów eksperymetalych Przykład sprowadzae fukcj wykładczej do lowej y = C d (0) log y = log C + log d po podstaweu y* = log y, a = log d, b = log C otrzymujemy zależość lową postac: y* = a + b