MODEL MATEMATYCZNY DWUPRZEWODOWEJ LINII ZASILANIA Z WYKORZYSTANIEM MODYFIKOWANEJ ZASADY HAMILTONA

Transkrypt

1 Maszyny Elekryczne - Zeszyy Problemowe r /6 (9) 3 Andriy Czaban, Marek is, Poliechnika Częsochowska, Częsochowa Jarosław Sosnowski,Poliechnika Częsochowska, Częsochowa, REVICO, Płock Wialiy ewoniuk, wowski arodowy Uniwersye Rolniczy, wów MODE MATEMATYCZY DWUPRZEWODOWEJ III ZASIAIA Z WYKORZYSTAIEM MODYFIKOWAEJ ZASADY HAMITOA MATHEMATICA MODE OF THE DOUBE CODUCTOR POWER IE USIG A MODIFIED HAMITO S PRICIPE Sreszczenie: W pracy, na podsawie uogólnione inerdyscyplinarne meody wykorzysuące modyfikacę zasady Hamilona z uwzględnieniem rozszerzenia funkci agrange a sformułowano model maemayczny układu elekroenergeycznego, kóry składa się z dwuprzewodowe linii zasilania (linia echera o paramerach rozłożonych) i obciążenia o charakerze czynno-indukcynym. a podsawie sformułowanego modelu przeprowadzono obliczenia numeryczne. Wyniki symulaci kompuerowych przedsawiono w posaci graficzne. Absrac: In he paper a mahemaical model of an elecric power sysem is presened. The sysem consiss of double-circui power line (echer s line wih disribued parameers) and acive-inducive load circui. The model was formulaed on he basis of he generalized inerdisciplinary mehod using he modified Hamilon s principle wih exended agrange s funcion. umerical calculaions based on he formulaed model have been made and resuls of compuer simulaions as graphs are presened in he paper. Słowa kluczowe: zasada Hamilona-Osrogradskiego, Euler-agrange a sysem, zespól elekryczny Keywords: Hamilon-Osrogradsky s principle, Euler-agrange s sysem, elecrical se. Wsęp Modelowanie maemayczne skomplikowanych układów elekroechnicznych es bardzo akualnym problemem echnicznym. Wykorzysanie eorii modelowania pozwala w isony sposób uprościć analizę rożnego rodzau obieków, bez konieczności sosowania koszownych eksperymenów badawczych. Aby sformułować model maemayczny badanych obieków porzeba wykorzysywać podsawowe prawa fizyki sosowane odpowiednie dziedziny nauki. W ym przypadku zasosowano eorię elekrodynamiki [4, 6]. W modelowaniu maemaycznemu do formułowania modeli zazwycza wykorzysue się dwa podeścia: klasyczne lub wariacyne. Każda z wymienionych meod ma swoe zaley i wady [,, 6]. W pracy zaproponowano dla sformułowania modelu maemaycznego opisuącego procesy nieusalone w linii achera wykorzysanie zmodyfikowane wariacyne zasady Hamilona [].. Model maemayczny układu Rozszerzona funkca agrange a dla układów dysypaywnych przymue posać [, ]: = T % P Φ D, () gdzie: zmodyfikowana funkca agrange a, T % energia (koenergia) kineyczna, P energia poencalna, Φ energia uogólnionych sił dyssypacynych, D energia zewnęrznych sił niepoencalnych. Analizę maemayczną badanego obieku przeprowadzono dla układu o paramerach rozłożonych (ednowymiarowe przesrzenie) [3, 6]. W akim przypadku elemeny zmodyfikowanego lagrangianu rozparywane są nie ako funkce energeyczne (), a ako odpowiadaące im gęsości liniowe. W akim przypadku funkconał działania wg Hamilona przymie posać []: S = dl d I = dl l,, () l l l gdzie: S funkconał działania wg Hamilona, l gęsość zmodyfikowane funkci agrange a, I funkconał energeyczny. Składniki gęsości zmodyfikowane funkci agrange a [] opisuą zależności:

2 3 Maszyny Elekryczne - Zeszyy Problemowe r /6 (9) T i P,, x C Tl = Pl = Qx Qx, Q = i Φ Φ l =Φ l3 Φ lb = R g = Q Q dτ C x =τ (3) (4) gdzie: i( x, ) prąd w linii, R, g, C, paramery linii, Φ R3 zewnęrzna dyssypaca energii, Φ RB wewnęrzna, Q( x, ) ładunek linii. Rys.. Układ elekroenergeyczny końcówki obciążone linii achera Uwzględniaąc wyrażenia (3) i (4) funkconał energeyczny przymue nasępuącą posać: = I Q Qx C l R g Q Q x dτ dl C =τ (5) asępnie wyznaczono wariacę funkconału (5) i przyrównano ą do zera. l Q R Q dτ Q =τ δ g Qx Q x dτ Q x dl =τ δ = C C. (6) Rozwiązuąc zależność (6) można zapisać: g δ I = dτ C l C =τ R dτ δ QdlΩ=, Ω=Ω Ωx =τ (7) gdzie Ω, Ω x warunki brzegowe do funkconału (5). Wariaca funkconału może być równa zeru ylko w przypadku równości zeru całki oraz równości zeru funkci warunków brzegowych funkconału: Ω. Ponieważ δ Q nigdy nie może być równa zeru, o osaecznie: dla równości zeru wariaci (7) niezbędne es aby równe zeru było wyrażenie podcałkowe równania Eulera [] Q g Q Q Q τ = C C (8) d R Do zależności (8) wyrażenie saconarnych powiązań [, 3, 6] przymue posać (9) Q Q Q R = C x Biorąc pod uwagę wyrażenia Q Q dτ=, dτ= Q =τ =τ (9) () zapisano osaecznie: = C ( RC g) grq () Równanie linii zapisane es dla funkci ładunku linii. Dla przypadku ogólnego równanie o przymue posać [], λ λ λ C ( RC g) = g Rλ λ= Q, u, i () Energeyczne funkce zasilania oraz obciążenia linii uwzględniono w warunkach brzegowych do równania (). Doświadczenie pokazue, że dla nabardzie opymalnego opisania procesów fizycznych w linii należy ako uogólnionych funkci wykorzysać napięcie linii zn. λ= u( x, ). v u = ( C ) g CR vgru ( ) u = v (3)

3 Maszyny Elekryczne - Zeszyy Problemowe r /6 (9) 33 aważnieszym problemem rozwiązywania równania (3) es wyznaczenia warunków począkowych v( x, ) = oraz brzegowych u ( x, ) i x u ( x, ) = x = l. Co do pierwszych, o problem nie es skomplikowany. Wyznaczono e z poprzednich badań (do komuaci). Podobnie można wyznaczyć napięcie na począku linii u( x, ) x eżeli nie wynika ono z danych począkowych zadania. aomias głównym pro- = blemem es znalezienie warunków brzegowych na końcu linii u( x, ). x = l a podsawie () uwzględniaąc, że Q( x, ) = Cu( x, ) można zapisać: x u( x, ) i( x, ) = Ri ( x, ) (4) Równania (3), (4) w układzie dyskrenym przymuą posać: dv u u u d ( ) C = g ( x) CR ) v gru u = u( x, ), u = u( x, ) x= x= l u u = x Ri du d di d ( (5) (6) = v, =,..., (7) Uwzględniaąc rys. szereg saconarnych powiązań, sosuący prawa Kirchhoffa, przymue posać [3]; diн uн = RНiН Н, ih i (8) d u = u u u = u u (9) Н Н Skąd, orzymano: di = () u R xi x d di u ( R x R ) i d = x H H () Zależności (5), (6) dla -go węzła dyskreyzaci można zapisać w posaci: dv = ( ) ( u ) u u d C x ( ) g CR v g Ru () u u di = Ri x d (3) gdzie u napięcie fikcynego węzła dyskreyzaci: u = x Ri ( ) u R x RH i u H x (4) Uwzględniaąc zależności (3) i (4) można zapisać równania długie linii dla -ego węzła ako: dv g CR = v u d C C( x) g R u C ( x) x( H x) R x RH R i (5) C x( H x). x du = v (6) d Ważną funkconalną zależnością ineresuącą ewenualnych użykowników es wyznaczenie prądu w elemenach linii. Obliczyć go można w nasępuący sposób: Skąd orzymano: u u = x di Ri di R = = d x d ( u u ) i,,..., (7) (8) Wspólnemu całkowaniu podlega układ równań różniczkowych: (5), (7), (), (5), (6), (8) z uwzględnieniem wyrażeń:(8) (). 3. Wyniki symulaci kompuerowe Do obliczeń symulacynych wykorzysano linię o paramerach: R =,86 - Ω /km, =,34 - H/km, C =,85-8 F/km, g =,375-7 Sm/km. Długość linii l= 6 km. Paramery gałęzi obciążenia: R H= 6 Ω, H= mh. inia zosała zasilona sałym napięciem u( x, ) = 4 kv. x=

4 34 Maszyny Elekryczne - Zeszyy Problemowe r /6 (9) Analizie poddano linię dla dwóch przypadków obliczeniowych: pierwszy - linia pracue w sanie zwarcia na e końcu oraz drugi przy pracy linii pod obciążeniem przyęym wskaźnikowo. Podczas dyskreyzowania równań z przesrzennymi pochodnymi krok zosał przy-ęy na poziomie x= l /=3 km. Obliczenia symulacyne przeprowadzono z wykorzysaniem me-od Gira (nieawnych, drugiego rządu). a rysunkach i 3 przedsawiono przesrzenny rozkład funkci napięcia oraz prądu w chwili czasu =, 3 s i =,5 s dla pierwszego. a wymienionych rysunkach bardzo dobrze widać skomplikowane procesy falowe w linii achera w sanie zwarcia na końcu układu. a począku linia zosała zasilana napięciem przemiennym o sałe warości, a w końcu linii o napięcie es równym zeru (san zwarcia). Innymi słowami funkca napięcia przez pole elekromagneyczne linii zanika. Widać o na obu rysunkach. Bardzo ciekawa syuaca zachodzi w funkci prądu. a rysunku prąd na począku linii es równym około ka, a w e końcu około,85 ka. To na rysunku 3 syuaca nieco inna. a począku linii prąd es równym około ka, a w e końcu około,75 ka. I, ka U, kv x, km 3 6 Rys.. Przesrzenny rozkład funkci napięcia () i prądu () w czasie =,3 s dla pierwszego Rys. 4. Prześciowa funkca napięcia w środkowym punkcie linii dla pierwszego przypadku obliczeniowego Właśnie środek linii wysępue ako punk zmiany falowych procesów w układzie. Widać ua prawie maksymalną ampliudę oscylaci funkci napięcia (ale nie prądu). 8 i,ka Rys. 5. Prześciowa funkca prądu w pierwszym odcinku dyskreyzowania linii zasilania dla pierwszego Rysunek 5 przedsawia prześciową funkcę prądu w pierwszym dyskrenym odcinku linii (na e począku) dla pierwszego. Widać na nim falowe procesy prowadzące do oscylaci w przebiegu czasowym prądu. I, ka U, kv x, km 3 6 Rys. 3. Przesrzenny rozkład funkci napięcia () i prądu () w czasie =,5 s dla pierwszego a rysunku 4 przedsawiono prześciową funkcę napięcia w środkowym punkcie linii dla pierwszego Rys. 6. Czasowo-przesrzenny rozkład funkci napięcia w zakresie [;,] s dla pierwszego

5 Maszyny Elekryczne - Zeszyy Problemowe r /6 (9) Rys. 7. Czasowo-przesrzenny rozkład funkci napięcia w zakresie [,;,4] s dla pierwszego.4.8. Rys. 9. Prześciowa funkca napięcia w środkowym punkcie linii dla drugiego 4 i,ka 4 i,ka Rys. 8. Czasowo-przesrzenny rozkład funkci prądu w zakresie [;,] s dla pierwszego a rysunkach 6 i 7 przedsawiono czasowoprzesrzenny rozkład funkci napięcia w zakresie [;,4] s. Przedsawione rysunki daą nawięce informaci o sanach fali elekromagneyczne w dowolnym punkcie linii. Analizuąc rysunki (), 3() oraz 4 z rysunkami 5, 6 o można zauważyć całkowią zależność procesów fizycznych w układzie. a rysunku 8 pokazano czasowo-przesrzenny rozkład funkci prądu w zakresie [;,] s. Waro ua zaakcenować nieco inny charaker przebiegu funkci prądu w porównaniu do przebiegu funkci napięcia. Jeżeli dla napięcia ampliuda nie zmienia w środku linii, o dla funkci prądu syuaca wygląda inacze. Środek linii es punkem przeginania funkci (druga pochodna es równa zeru). Innymi słowami, funkca napięcia w środku linii oscylue z maksymalną ampliudą i minimalną na brzegach linii. aomias dla funkci prądu, odwronie minimalna oscylaca w środku linii, a maksymalna na e brzegach. Uzasadnienie fizyczne ego polega na przesrzenne prosopadłości wekorów pól elekrycznego (napięcie) oraz magneycznego (prąd), co widać na poprzednich rysunkach 5, a akże dodakowo na rysunkach Rys.. Prześciowa funkca prądu w środkowym ednoskowym odcinku linii dla drugiego a rysunku 9 przedsawiono prześciową funkcę napięcia w środkowym punkcie linii dla drugiego. Analizuąc razem rysunki 4 i 9 można wnioskować o zmnieszeniu czasu zanikania fali, co es zależne od dyssypacynych procesów, powiązanych z rezysancą obciążenia. a rysunkach i przedsawiono prześciowe funkce prądu w środkowym odcinku linii oraz w gałęzi obciążania (koniec linii). Widać ua zawisko opisane powyże: oscylaca prądu w środku linii wielokronie mniesza, aniżeli na e brzegach. 4 i,ka Rys.. Prześciowa funkca prądu w gałęzi obciążenie linii zasilania dla drugiego przypadku obliczeniowego

6 36 Maszyny Elekryczne - Zeszyy Problemowe r /6 (9) Rysunek przedsawia czasowo-przesrzenny rozkład funkci prądu w zakresie [;,] s. Także ua widać dość isony wpływ energii rozpraszania w porównaniu ze sanem zwarcia rys. 8. i,ka Rys..Czasowo-przesrzenny rozkład funkci prądu w zakresie czasowy [;,] s dla drugiego Rys. 3. Czasowo-przesrzenny rozkład funkci napięcia w zakresie [;,] s dla drugiego a rysunku 3 przedsawiono czasowo-przesrzenny rozkład funkci napięcia w zakresie [;,] s. Wszyskie rozparywane powyże procesy są ua widoczne, a mianowicie: zmnieszenia czasu zaniku fali, maksymalne oscylace w środku linii, wzros napięcia na gałęzi obciążenia. 4. Wnioski Modyfikaca zasady Hamilona, drogą rozszerzenia funkci agrange a dae możliwość formułowania modeli maemaycznych prakycznie dowolnych układów dynamicznych, a akże w układach o paramerach rozłożonych. W akim przypadku należy uwzględnić nie funkce energeyczne układu, a ich odpowiednie gęsości. Obliczenia warunków brzegowych na końcu linii, na podsawie praw elekrodynamiki, daą możliwość obliczeń numerycznych dyskreyzowanych równań sanu elekroenergeycznego nieawnymi meodami (Gira drugiego rządu). a podsawie wyników symulaci kompuerowe można wyciągnąć nasępuące wnioski: funkca przebiegu czasowego napięcia ma oscylace o maksymalne ampliudzie w środkowe części linii, naomias funkca prądu ma oscylace z maksymalną ampliudą na brzegach linii, przesrzenne rozkłady zależności funkcynych linii zasilania (rysunki, 3) powierdzaą zasady fizyczne elekrodynamiki sosowane co do procesów falowych w długich liniach zasilania, przedsawione czasowo-przesrzenne rozkłady funkci napięcia i prądu daą nabardzie adekwaną informacę o falowych procesach w obciążone linii oraz w e sanie zwarcia. akywne obciążenia w końcowe gałęzi linii isonie łumią oscylacyne procesy w długie linii. 5. ieraura []. Czaban A.: Zasada Hamilona-Osrogradskiego w układach elekromechanicznych. wów: W-wo T. Soroki s. (w ęzyku ukraińskim). []. is M.: Modelowanie maemayczne procesów nieusalonych w elekrycznych układach napędowych o złożone ransmisi ruchu. Częsochowa. W-wo Poliechniki Częsochowskie, s. [3]. eman., Demirczian K.: Zasady eoreyczne elekroechniki. (w omach) eningrad, Energoizda, s.,. 45 s. [4]. Rusek A.: Sany dynamiczne układów napędowych z silnikami indukcynymi specalnego wykorzysania. Monografia. W-wo Poliechniki Częsochowskie, Częsochowa,. [5]. Simoni K.: Theoreische elekroechnik. Berlin, 956. [6]. Whie D.C., Woodson H.H.: Elecromagneic Energy Conversion, ew-york, John Wiley & Sons, Inc, 958. Auorzy Andriy Czaban prof. nadzw. dr hab. inż. Poliechnika Częsochowska Wydział Elekryczny, al. Armii Kraowe 7 achaban@gmail.com Marek is prof. nadzw. dr hab. inż., Zakład Maszyn i apędów Elekrycznych Insyuu Elekroechniki Przemysłowe Wydziału Elekrycznego Poliechniki Częsochowskie lism@el.pcz.czes.pl Jarosław Sosnowski mgr inż., dokoran Insyu Elekroechniki Przemysłowe Wydziału Elekrycznego Poliechniki Częsochowskie Wialiy ewoniuk mgr inż. wowski arodowy Uniwersye Rolniczy achaban@gmail.com