Fizyka dla Informatyków Wykład 6 DRGANIA I FALE
|
|
- Michał Walczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Fizyka dla Informatyków Wykład 6 DRGANIA I FALE Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009
2 Fale są wszędzie. I jest ich bardzo dużo w różnych formach. Mamy fale płaskie i kuliste. Mamy fale objętościowe i powierzchniowe. Mamy fale morskie i fale dźwiękowe. Fale powstające w wyniku pomachania ręką, fale kibiców na trybunach... Należy odróżnić falę od sygnału: Fala: zaburzenie ośrodka przemieszczające się z określoną prędkością w określonym kierunku. W przypadku fal elektromagnetycznych to zaburzenie pola. Sygnał: mierzalne (zmienne w czasie) zakłócenie ośrodka.
3 Rys. 1: Fala przybojowa, pojawiająca się tylko na płytkiej wodzie (czemu takich fal nie ma na wodach głębokich?)
4 ([S[A ([S[A ([S[A ([S[A Rys. 2: Intuicyjna definicja fali: zakłócenie przemieszczające się przez ośrodek
5 Fala: dowolny mierzalny sygnał, przemieszczający się z jednej części ośrodka do innej z określoną prędkością propagacji
6 Spis treści 1 Wstęp Wstęp Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja 2 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja 3 4 Ogólne rozwiązanie równania falowego Rozwiązanie d Alemberta równania falowego 5 Odbicie i załamanie Romuald fal Kotowski
7 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Będziemy rozważać fale w drgających strunach, długich cienkich rurach, drogach jednopasmowych..., czyli fale propagujące się wzdłuż określonych linii. Jednowymiarowa fala reprezentowana jest przez funkcję u dwu zmiennych położenie x i czas t, czyli: u = u(x,t)
8 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Dynamika i kinematyka fal opisywane są równaniami różniczkowymi cząstkowymi (układami równań) Partial Differential Equations gdyż funkcja u(x, t) zależy od wielu zmiennych. u t = u t, u x = u x, u xt = 2 u t x,... Poniżej przytoczymy kilka przykładów równań, których rozwiązania można interpretować jako fale.
9 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Przykład 1. Równanie transportu u t + c u x = 0. opisuje np. rozlewanie się zanieczyszczenia w szybkim strumieniu cieczy, tu u(x, t) reprezentuje koncentrację zanieczyszczenia. W punkcie x, zanim zanieczyszczenie do niego dotrze u = 0, jak dotrze to jest jakieś tam, a po chwili znów znika. Przykład 2. Równanie dyfuzji, równanie przewodnictwa (ciepła, prądu elektrycznego) u t = D u xx.
10 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Przykład 3. Zlinearyzowane równanie Burgersa u t + c u x = D u xx, to kombinacja równania transportu i równania dyfuzji. Przykład 4. Nieliniowe równanie Burgersa u t + u u x = D u xx, podstawowe równanie mechaniki cieczy, będące kombinacją różnych procesów transportu i dyfuzji. Dla D = 0 staje się nielepkim równaniem Burgersa u t + u u x = 0, jest klasycznym przypadkiem fal uderzeniowych.
11 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Przykład 5. Równanie drgającej struny gitarowej równanie falowe u tt = c 2 u xx. Powyższa nazwa wcale nie oznacza, że jest to jedyne równanie opisujące ruch falowy. Przykład 6. Równanie Kortewega-deVriesa u t + u u x + u xxx = 0, zostało otrzymane w roku 1895 przez Kortewega i devriesa modelujących fale na powierzchni płytkiej wody. Szczególnym zainteresowaniem cieszą się pewne rozwiązania tego równania zwane solitonami.
12 Spis treści 1 Wstęp Wstęp Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja 2 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja 3 4 Ogólne rozwiązanie równania falowego Rozwiązanie d Alemberta równania falowego 5 Odbicie i załamanie Romuald fal Kotowski
13 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Funkcja reprezentująca falę biegnącą ma postać u(x, t) = f (x c t), (1) f funkcja jednej zmiennej, c niezerowa stała. Jeśli c > 0 fala przemieszcza się z prędkością c w kierunku zgodnym z układem współrzędnych; dla c < 0 przeciwnie. Przykład 7. Znaleźć rozwiązanie równania falowego w postaci fali biegnącej. u tt = a u xx, stała a > 0,
14 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Zakładamy rozwiązanie w postaci u(x, t) = f (x c t) i różniczkujemy u t (x, t) = [f (x c t)](x c t) t = c f (x c t), u x (x, t) = [f (x c t)](x c t) x = f (x c t). Różniczkujemy drugi raz u tt (x, t) = [ cf (x c t)](x c t) t = c 2 f (x c t), u xx (x, t) = [ cf (x c t)](x c t) x = f (x c t).
15 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Podstawiamy do równania falowego i otrzymujemy c 2 f (x c t) = a f (x c t). Kładąc z = (x c t) mamy (c 2 a) f (z) = 0, dla wszystkich z. Musimy rozpatrzyć dwa przypadki: c 2 = a i c 2 a jeśli c 2 = a u(x, t) = f (x a t), u(x, t) = f (x + a t). Przykłady rozwiązań: u(x, t) = sin(x a t), u(x, t) = (x + a t) 4, u(x, t) = e (x a t) 2 ;
16 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja jeśli f = 0 f (z) = A + B z, B 0 by profil f nie był stały.
17 Spis treści 1 Wstęp Wstęp Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja 2 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja 3 4 Ogólne rozwiązanie równania falowego Rozwiązanie d Alemberta równania falowego 5 Odbicie i załamanie Romuald fal Kotowski
18 Front fali, to np. gwałtowna zmiana pogody. Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja X N N Rys. 3: Profil fali w chwili t [
19 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Fala biegnąca postaci u(x, t) jest frontem fali, jeśli dla dowolnej chwili t u(x, t) k 1, gdy x, u(x, t) k 2, gdy x, dla pewnych stałych k 1 i k 2. W przypadku, gdy k 1 = k 2 front fali nazywamy impulsem.
20 Spis treści 1 Wstęp Wstęp Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja 2 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja 3 4 Ogólne rozwiązanie równania falowego Rozwiązanie d Alemberta równania falowego 5 Odbicie i załamanie Romuald fal Kotowski
21 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Fala biegnąca typu u(x, t) = cos(2x + 6t) nie jest frontem fali ani impulsem, ale przykładem innego typu fali. FRV[ pn Rys. 4: Jeden cykl ciągu impulsów
22 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Fala biegnąca, którą można zapisać jako u(x, t) = A cos(kx ωt) lub u(x, t) = A cos(kx + ωt), A 0, k > 0 i ω > 0 stałe, nazywana jest ciągiem impulsów. Jeśli przepiszemy powyższe w postaci [ u(x, t) = A cos k (x ω )] k t, to widać, że jest to
23 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja fala biegnąca, czyli o postaci u(x, t) = f (kx ωt); o profilu f (z) = A cos(kz); przemieszczająca się z prędkością c = ω/k (patrz rysunek 4); f (z) jest funkcja periodyczną. k liczba falowa, określająca liczbę cykli w okienku o długości 2π; ω częstotliwość kołowa, określająca liczbę cykli fali przechodzących przez określony punkt x w ciągu przedziału czasu 2π.
24 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Nie wszystkie k i ω są dopuszczalne. Aby określić które są, wstawiamy rozwiązanie do równania i znajdujemy związek ω = ω(k), zwany związkiem dypersyjnym, dyspersją. Przykład 8. Równanie Kleina-Gordona u tt = a u xx b u, (2) a, b stałe, > 0, modeluje poprzeczne drgania struny z liniową siłą wymuszającą.
25 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Ciąg impulsów jest rozwiązaniem tego równania, jeśli ω 2 A cos(kx ωt) = a[ k 2 A cos(kx ωt)] b A cos(kx ωt), (3) lub A(ω 2 ak 2 b) cos(kx ωt) = 0. (4)
26 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Nasz związek dyspersyjny ma postać ω 2 = ak 2 + b, czyli ω = ak 2 + b, i wtedy ( u(x, t) = A cos kx ) ak 2 + b t [ ( )] ak = A cos k x 2 + b t, k 2 (5) przemieszcza się z prędkością ak c = 2 + b k 2 = a + bk2 = a + ab ω 2 b, (6) czyli ciąg impulsów o większej częstotliwości przemieszcza się z mniejszą prędkością. Równanie Kleina-Gordona jest dyspersyjne.
27 Reprezentacja fal jednowymiarowych Fale biegnące i stojące Front fali i impuls Ciąg impulsów i dyspersja Przykład 9. Równanie transportu u t + a u x = 0. (7) Ciąg impulsów jest rozwiązaniem tego równania, jeśli lub ω A sin(kx ωt) + a[ ka sin(kx ωt)] = 0, (8) A(ω a k) sin(kx ωt) = 0, (9) czyli związek dyspersyjny ma postać ω = a k. Dla każdej liczby falowej, ciąg impulsów przemieszcza się w kierunku dodatnim ze stałą prędkością c = a. Równanie transportu nie jest dyspersyjne.
28 Obserwowałem łódź ciągnioną przez parę koni w wąskim kanale. Nagle łódź się zatrzymała ale nie masa wody w kanale, która kontynuowała swój ruch, poruszając się do przodu z dużą prędkością, zachowując swą formę dużego, gładko zaokrąglonego pojedynczego wału wody i swą prędkość. Śledziłem ją z konia jak poruszała się z prędkością osiem lub dziewięć mili na godzinę, wciąż zachowując swą początkową postać około trzydziestu stóp długości i półtorej stopy wysokości. Jej wysokość stopniowo malała i po pokonaniu jednej lub dwu mili przestałem ją widzieć. J.S. Russel, 1844
29 Eksperymenty i obserwacje Russela przyciągnęły uwagę naukowców (Boussinesq, Rayleigh, Stokes). W roku 1895 Korteweg i de Vries otrzymali równanie modelujące wysokość powierzchni płytkiej wody w obecności długich fal grawitacyjnych. Dla tych fal, długość fali jest duża w porównaniu z głębokością wody. U t + (a 1 + a 2 U)U x + a 3 U xxx = 0, a 2, a 3 0, (10) jest nieliniowym równaniem trzeciego rzędu. Podstawienie u = a 1 + a 2 U i przeskalowanie zmiennych niezależnych x i t daje u t + u u x + u xxx = 0. (11)
30 Wstęp X Rys. 5: Profil impulsu, dla którego u(x, t), u x (x, t) i u xxx (x, t) zdążają do 0, gdy x ±. [
31 Poszukujemy rozwiązania u(x, t) = f (x ct) w postaci impulsu, z c > 0 i z u(x, t), u x (x, t) i u xxx (x, t) zdążającymi do 0, gdy x ± (patrz Rys. 5). Podstawiamy i cf + ff + f = 0. (12) Całkujemy raz cf f 2 + f = a, (13) a stała całkowania. Z warunku znikania f (z) i f (z) dla z ±, a musi znikać.
32 Mnożymy przez f i całkujemy ponownie 1 2 cf f (f ) 2 = b. (14) Z warunku znikania w nieskończoności b = 0. Rozwiązujemy względem (f ) 2 3(f ) 2 = (3c f )f 2. (15) Podstawiamy: g 2 = 3c f ; skąd mamy: f = 3c g 2, f = 2gg c g 2 g = 1. (16)
33 Rozkładamy na ułamki proste i całkujemy obustronnie względem z: ( ) 3c + g ln = c z + d, (17) 3c g d stała całkowania. Rozwiązujemy względem g g(z) = 3c exp( [ ] c z + d) 1 1 exp( c z + d) + 1 = 3c tgh 2 ( c z d), (18)
34 Wracając do starych oznaczeń Przypomnienie: f (z) = 3c sech 2 [ 1 2 ( c z d)]. (19) sech(z) = 1/cosh(z), cosh(z) = 1 2 (ez + e z ). d nie wpływa na rozwiązanie (to tylko zwykła przesunięcie argumentu), więc kładziemy d = 0, [ ] c u(x, t) = 3c sech 2 (x ct). 2
35 6ROLWRQX[W Rys. 6: Profil rozwiązania równania KdV (soliton) Russel stwierdził, że zaobserwowane przez niego fale na wodzie poruszają się tym szybciej im są wyższe. Ten fakt jest również odtworzony przez nasze rozwiązanie, gdzie amplituda fali wynosi 3c.
36 Równanie falowe Równanie falowe u tt = c 2 u xx, (20) modeluje drgania napiętej struny (np. w gitarze).
37 Rys. 7: Przemieszczenie struny u(x, t) w chwili t w położeniu x u(x, t) miara przemieszczenia struny w położeniu x w chwili t; u t(x, t) pionowa prędkość punktu x na strunie w chwili t; u tt(x, t) pionowe przyspieszenie punktu x na strunie w chwili t; u x (x, t) miara nachylenia struny w punkcie x.
38 Sposób drgań zależy od materiału z jakiego zrobiono strunę i od siły na nią działającej. Robimy następujące założenia: jednorodność struny: gęstość masy na jednostkę długości ρ jest stała; drgania płaskie: struna pozostaje w swej płaszczyźnie drgań; jednorodne napięcie: każdy fragment struny wywiera na sąsiednie segmenty taką samą siłę T ; kierunek tej siły zmienia, gdyż jest zawsze styczny do struny; brak innych sił; małe drgania: nachylenie u x zawsze jest niewielkie.
39 Rys. 8: Fragment struny S
40 Wyprowadzenie równania falowego Niech S będzie odcinkiem struny leżącym między punktami x a x + x, gdzie x > 0 jest małe (Rys. 8). Równanie falowe jest wnioskiem z drugiego prawa Newtona, które mówi, że (Masa S) (Przyspieszenie S) = Siła całkowita działająca na S, (21) gdzie przyspieszenie i siła działają w kierunku prostopadłym do S.
41 Masa odcinka struny S: Masa S = ρ x+ x x 1 + (u x (s, t)) 2 ds. (22) dla małych wychyleń u x 1, więc Masa S = ρ x+ x x 1 ds = ρ x. (23)
42 Przyspieszenie odcinka struny S: u tt(x, t) (24) Siła działająca na odcinka struny S: wektor styczny w punkcie x do struny ma współrzędne (1, u x (x, t), czyli siła rozciągająca T działająca na lewy koniec segmentu wynosi: (1, u x (x, t)) T 1 + (ux (s, t)), (25) 2 Korzystamy jeszcze raz z założenia o małych amplitudach i wtedy pionowa składowa siły jest równa 1 + (u x (s, t)) 2 1, T u x (x, t).
43 Powtarzamy rozumowanie dla prawego końca segmentu T u x (x + x, t). czyli siła całkowita F c na S wynosi F c = T u x (x + x, t) T u x (x, t). (26)
44 Podstawiamy powyższe wyniki do równania (21) Dzielimy przez x (ρ x) u tt (x, t) = T u x (x + x, t) T u x (x, t). (27) ρ u tt (x, t) = T u x(x + x, t) u x (x, t) x co w granicy x 0 daje ρ u tt (x, t) = T u xx (x, t).,
45 Kładąc c = T /ρ otrzymujemy tradycyjną postać równania falowego u tt (x, t) = c 2 u xx (x, t). (28) Równanie przyjmuje bardziej skomplikowana postać, jeśli uwzględnimy jeszcze inne siły, np. ρ u tt = T u xx F u t R u + f (x, t). F u t siła tarcia (const. = F > 0); R u liniowa siła zwrotna (const. = R > 0); +f (x, t) siła zewnętrzna (np. grawitacja).
46 Rozwiązania równania falowego Rozwiązaniami równania falowego są fale biegnące u(x, t) = f (x c t), u(x, t) = f (x + c t), gdzie c jest prędkością propagacji fali. Ponieważ c = T /ρ, to prędkość fali możemy: zwiększać, zwiększając napięcie struny T, zmniejszać, dobierając materiał o większej gęstości masy.
47 Klasyczne równanie falowe jest jednym z wielu równań posiadającym rozwiązania w postaci fal. To równanie opisuje drgania struny, długiej smukłej belki, prądu i napięcia w elektrycznej linii przesyłowej. Rys. 9: Ekranowana linia przesyłowa i(x, t) prąd elektryczny; v(x, t) napięcie prądu elektrycznego.
48 Równanie linii transmisyjnej ma postać i x + C v t + G v = 0, v x + L i t + R i = 0, gdzie C pojemność elektryczna na jednostkę długości kabla; G upływ (wyciekanie) na jednostkę długości; R oporność elektryczna na jednostkę długości kabla; L induktancja elektryczna na jednostkę długości kabla. Eliminujemy v (pierwsze równanie różniczkujemy wzgl. x, a drugie względem t i eliminujemy człony v xt i v tx, a następnie jeszcze raz używamy równanie drugie do eliminacji v x ). W wyniku dostajemy i xx = (CL) i tt + (CR + GL) i t + (GR) i. Podobnie możemy wyeliminować i. Jeśli R = G = 0, to otrzymujemy znane równania falowe i tt = c 2 i xx, v tt = c 2 v xx, gdzie c = 1/(CL).
49 Pokażemy, że rozwiązanie równania falowego u tt = c 2 u xx jest sumą dwu fal biegnących, jednej w prawo, a drugiej w lewo Zagadnienie początkowe: cząstkowe równanie różniczkowe u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct). u tt = c 2 u xx, < x <, t > 0, warunki początkowe u(x, 0) = f (x), u t(x, 0) = g(x), może być sformułowane następująco: u(x, t) = 1 1 (f (x ct) + f (x + ct)) = 2 2c x+ct g(s) ds. x ct
50 Wiemy już, że rozwiązaniami są dwie fale biegnące: h(x cy) i h(x + ct). Robimy zamianę zmiennych: ξ(x, t) = x ct, η(x, t) = x + ct, są to współrzędne śledzące fale biegnące z lewej i z prawej strony. W tym nowym układzie współrzędnych rozwiązanie buduje się łatwiej. Z definicji u(x, t) = U(ξ(x, t), η(x, t)).
51 Różniczkujemy u t = U ξ ξ t + U η η t = cu ξ + cu η, u tt = c(u ξξ ξ t + U ξη η t ) + c(u ηξ ξ t + U ηη η t ) = c( cu ξξ + cu ξη ) + c( cu ηξ + cu ηη )) = c 2 U ξξ 2c 2 U ξη + c 2 U ηη, u x = U ξ ξ x + U η η x = U ξ + U η, (29) u xx = (U ξξ ξ x + U ξη η x ) + (U ηξ ξ x + U ηη η x ) = (U ξξ + U ξη ) + (U ηξ + U ηη ) = U ξξ + 2U ξη + U ηη.
52 Po podstawieniu, dostajemy U ξη = 0. Całkujemy względem η (U ξη od η nie zależy) Całkujemy względem ξ U(ξ, η) = U ξ = φ(ξ). φ(ξ)dξ + G(η) = F (ξ) + G(η). Wracając do starych zmiennych u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct). (30)
53 Przykłady rozwiązań równania falowego: u(x, t) = e x ct, u(x, t) = sin(x + ct), u(x, t) = (x + ct) 2 + e (x ct)2. Dwa pierwsze równania reprezentują fale biegnące w lewo i w prawo. Trzecie równanie jest kombinacją fal w lewo i w prawo. Rys. 10: Profile rozwiązania równania falowego z profilem początkowym u(x, 0) = e x2
54 Robimy następujące założenia: położenie początkowe u(x, 0) i początkowa prędkość u t (x, 0) są dane dla wszystkich x (np. niech będą równe 0). Jeśli w chwili początkowej potrącimy strunę, to w chwili początkowej będzie ona miała profil u(x, 0) = f (x) i prędkość u t (x, 0) = 0. Rozwiążemy teraz następujące zadanie: PDE: u tt = c 2 u xx, < x <, t > 0, IC: u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = g(x).
55 Poszukujemy rozwiązania w postaci ogólnej: u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct). Wstawiamy warunki początkowe na położenie F (x) + G(x) = f (x). (31) i na prędkość c F (x) + c G (x) = g(x). (32)
56 Dzielimy powyższe przez c i całkujemy od 0 do x F (x) + G(x) = F (0) + G(0) + 1 c x 0 g(s)ds. (33) Równania (31) i (33) tworzą układ równań liniowych na F (x) i G(x) F (x) = 1 2 f (x) 1 1 x ( F (0) + g(0) g(s)ds, 2 2c 0 G(x) = 1 2 f (x) 1 1 x ( F (0) + g(0) + g(s)ds, 2 2c 0
57 Rozwiązanie będzie więc mieć postać: u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct) = 1 2 f (x ct) 1 1 ( F (0) + G(0)) 2 2c f (x + ct) 1 1 ( F (0) + G(0)) 2 2c = 1 2 f (x ct) f (x + t) + 2 2c x+ct x ct x ct 0 x+ct 0 g(s)ds. g(s)ds g(s)ds
58 Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie d Alemberta u(x, t) = 1 1 (f (x ct) + f (x + ct)) + 2 2c x+ct x ct g(s)ds. (34) równania falowego. Jest to rzadki przypadek rozwiązania w jawnej postaci.
59 Prawa załamania i odbicia fal od powierzchni są powszechnie znane: kąt odbicia fali jest równy kątowi padanie, a kąt załamania zależy od rodzaju materiałów, w których fala się propaguje. Przypomnijmy, że dla pewnych materiałów i dla określonego krytycznego kąta padania może pojawić się fala powierzchniowa, a dla kątów większych od tego kąta krytycznego może nastąpić całkowite wewnętrzne odbicie. Tu na zakończenie, chcemy zwrócić uwagę na jeszcze jedną okoliczność. Fala może być spolaryzowana poprzecznie lub podłużnie, czyli drgania mogą odbywać albo w kierunku propagacji fali, albo w płaszczyźnie do tego kierunku prostopadłej. Prędkości tych fal są na ogół różne (istnieją pewne wyróżnione kierunki, tzw. osie optyczne lub akustyczne, w których te prędkości są równe), więc w wyniku odbicia następuje rozszczepienie tych fal (patrz Rys. 11). Fala biegnąca jest na ogół mieszaniną wszystkich swych fal cząstkowych.
60 a) b) A od A p A odí A od A pí α α I β α α I A z γ II A zí A z γ2 γ1 II Rys. 11: w ośrodku falowym (a), i sprężystym (b)
61 Koniec wykładu 6
Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub
Bardziej szczegółowoRodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów
Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowo5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych.
5. Fale mechaniczne 5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. Ruch falowy jest zjawiskiem bardzo rozpowszechnionym w przyrodzie. Spotkałeś się z pewnością w życiu codziennym z takimi pojęciami
Bardziej szczegółowoFala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu
Ruch falowy Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Fala rozchodzi się w przestrzeni niosąc ze sobą energię, ale niekoniecznie musi
Bardziej szczegółowoSolitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych
Solitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych Prezentacja zawiera kopie folii omawianych na wykładzie. Niniejsze opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wykorzystanie niekomercyjne dozwolone
Bardziej szczegółowoRozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Bardziej szczegółowoWykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VIII. Ruch falowy
Podstawy fizyki sezon 1 VIII. Ruch falowy Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Gdzie szukać fal? W potocznym
Bardziej szczegółowoFale cz. 1. dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ 2012/13
Fale cz. 1 dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Plan wykładu Spis treści 1. Procesy falowe 1.1. Klasyfikacja fal..............................................
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:
Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni Dla próżni równania Maxwella w tzw postaci różniczkowej są następujące:, gdzie E oznacza pole elektryczne, B indukcję pola magnetycznego a i
Bardziej szczegółowoFale mechaniczne i akustyka
Fale mechaniczne i akustyka Wstęp: siła jako element decydujący o rodzaju ruchu Na pierwszym wykładzie, dynamiki Newtona omawiając II zasadę dr d r F r,, t = m dt dt powiedzieliśmy, że o tym, jakim ruchem
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoImpedancja akustyczna, czyli o odbiciu fal podłużnych
22 FOTON 136, Wiosna 2017 Impedancja akustyczna, czyli o odbiciu fal podłużnych Jerzy Ginter Wydział Fizyki UW Jedną z podstawowych metod badań medycznych jest ultrasonografia. U podstaw jej działania
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoFal podłużna. Polaryzacja fali podłużnej
Fala dźwiękowa Podział fal Fala oznacza energię wypełniającą pewien obszar w przestrzeni. Wyróżniamy trzy główne rodzaje fal: Mechaniczne najbardziej znane, typowe przykłady to fale na wodzie czy fale
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoFALE W OŚRODKACH SPRĘZYSTYCH
ALE W OŚRODKACH SPRĘZYSTYCH PRZYKŁADY RUCHU ALOWEGO Zjawisko rozchodzenia się fal spotykamy powszechnie. Przykładami są fale na wodzie, fale dźwiękowe, poruszający się front przewracających się kostek
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowo4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)
Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)185 4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne w dielektrykach
Fale elektromagnetyczne w dielektrykach Ryszard J. Barczyński, 2016 Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Krótka historia odkrycia
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest
Bardziej szczegółowo2.6.3 Interferencja fal.
RUCH FALOWY 1.6.3 Interferencja fal. Pojęcie interferencja odnosi się do fizycznych efektów nie zakłóconego nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych. Doświadczenie uczy, że fale mogą przebiegać
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14
dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2013/14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoProsty oscylator harmoniczny
Ruch drgający i falowy Siła harmoniczna, drgania swobodne Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić
Bardziej szczegółowoAerodynamika I. wykład 2: 2: Skośne fale uderzeniowe iifale rozrzedzeniowe. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa
Aerodynamika I Skośne fale uderzeniowe i fale rozrzedzeniowe naddźwiękowy przepływ w kanale dla M = 2 (rozkład liczby Macha) 19 maja 2014 Linie Macha Do tej pory, rozważaliśmy problemy dynamiki gazu, które
Bardziej szczegółowoSpis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona
Spis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona.............. 3 3.1. Równanie sine-gordona.......................... 3 3.1.1. Rozwiązania dla fali biegnącej................... 7 3.2. Równanie
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoRuch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku.
Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku. Definicje: promień fali kierunek rozchodzenia się fali powierzchnia falowa powierzchnia,
Bardziej szczegółowoRuch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Bardziej szczegółowo2. Rodzaje fal. Fale te mogą rozchodzić się tylko w jakimś ośrodku materialnym i podlegają prawom Newtona.
. Rodzaje fal Wykład 9 Fale mechaniczne, których przykładem są fale wzbudzone w długiej sprężynie, fale akustyczne, fale na wodzie. Fale te mogą rozchodzić się tylko w jakimś ośrodku materialnym i podlegają
Bardziej szczegółowoDrgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoAerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I
Aerodynamika I Ściśliwy opływ profilu transoniczny przepływ wokół RAE-8 M = 0.73, Re = 6.5 10 6, α = 3.19 Ściśliwe przepływy potencjalne Teoria pełnego potencjału Wprowadźmy potencjał prędkości (zakładamy
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoFala elektromagnetyczna o określonej częstotliwości ma inną długość fali w ośrodku niż w próżni. Jako przykłady policzmy:
Rozważania rozpoczniemy od ośrodków jednorodnych. W takich ośrodkach zależność między indukcją pola elektrycznego a natężeniem pola oraz między indukcją pola magnetycznego a natężeniem pola opisana jest
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoZasady oceniania karta pracy
Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech
Fizyka w poprzednim odcinku 1 Prawo Faradaya Fizyka B Bd S Strumień magnetyczny Jednostka: Wb (Weber) = T m d SEM B Siła elektromotoryczna Praca, przypadająca na jednostkę ładunku, wykonana w celu wytworzenia
Bardziej szczegółowoΨ(x, t) punkt zamocowania liny zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie. x (lub t)
RUCH FALOWY 1 Fale sejsmiczne Fale morskie Kamerton Interferencja RÓWNANIE FALI Fala rozchodzenie się zaburzeń w ośrodku materialnym lub próżni: fale podłużne i poprzeczne w ciałach stałych, fale podłużne
Bardziej szczegółowo- Strumień mocy, który wpływa do obszaru ograniczonego powierzchnią A ( z minusem wpływa z plusem wypływa)
37. Straty na histerezę. Sens fizyczny. Energia dostarczona do cewki ferromagnetykiem jest znacznie większa od energii otrzymanej. Energia ta jest tworzona w ferromagnetyku opisanym pętlą histerezy, stąd
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej
WYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej OSIĄGNIĘCIA UCZNIÓW Z ZAKRESIE KSZTAŁCENIA W kolumnie "wymagania na poziom podstawowy" opisano wymagania
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoLIV OLIMPIADA FIZYCZNA 2004/2005 Zawody II stopnia
LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 004/005 Zawody II stopnia Zadanie doświadczalne Masz do dyspozycji: cienki drut z niemagnetycznego metalu, silny magnes stały, ciężarek o masie m=(100,0±0,5) g, statyw, pręty stalowe,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoVII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Bardziej szczegółowoPodstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera.
W-1 (Jaroszewicz) 14 slajdów Podstawy Akustyki Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: prędkość grupowa, dyspersja fal, superpozycja Fouriera, paczka falowa Fale akustyczne w powietrzu
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoWstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych
Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Jacek Szczytko ćwiczenia: Aneta Drabińska, Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka, Michał Karpiński Wydział
Bardziej szczegółowoWykład 17: Optyka falowa cz.1.
Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoTEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016
TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie
Bardziej szczegółowoOscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.
Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera
Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrównawcze z izyki -Zestaw 13 -eoria Drgania i ale. Ruch drgający harmoniczny, równanie ali płaskiej, eekt Dopplera, ale stojące. Siła harmoniczna, ruch drgający harmoniczny Siłą harmoniczną (sprężystości)
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowo