Sterowanie obiektu wysokiego rzędu z wykorzystaniem regulatora redukcyjnego

Transkrypt

1 Pomiay Automatya Robotya 7-8/00 Steoanie obietu ysoiego zędu z yozystaniem egulatoa eduyjnego Kzysztof Opzędieiz W pay pzedstaiono popozyję syntezy egulatoa eduyjnego obietu ysoiego zędu, opisanego tansmitanją opeatooą. Zasadnizą ideą onstuji egulatoa jest eduja słabo tłumionej zęśi tansmitanji obietu. Pełna eduja tej zęśi tansmitanji jest możlia yłąznie pzy doładnej znajomośi jej paametó, natomiast ynii badań symulayjnyh sazują, że naet pzypadu niepenośi paametó egulato eduyjny zapenia dobą jaość egulaji. ielu sytuajah patyznyh stosoanie typoyh algoytmó egulayjnyh nie zapenia dobej jaośi egulaji zy odponośi uładu steoania na niepeność paametó obietu. W taih sytuajah uzasadnione jest stosoanie algoytmó spejalnyh, bazująyh na znajomośi modelu obietu postai ónania stanu lub tansmitanji opeatooej. Dodatoym atutem uzasadniająym stosoanie taih algoytmó jest ih zględnie posta implementaja typoyh pzemysłoyh uządzeniah steująyh, m.in. steoniah PLC (np. [8]). W pay pzedstaiono popozyję onstuji postego egulatoa eduyjnego dla obietu opisanego tansmitanją opeatooą, pzy założeniu, że tansmitanji tej można yóżnić zęść osylayjną lub słabo tłumioną. Oazuje się, że eduja za pomoą egulatoa tylo tej słabo tłumionej zęśi zapenia dobą jaość egulaji uładzie. Dodatoo ynii badań symulayjnyh sazują, że poponoany uład zapenia taże dobą odponość uładu egulaji na niepeność paametó obietu egulaji. Opis ozażanyh obietó egulaji Jao obiet egulaji ozażmy obiet ysoiego zędu bez ze, tóego tansmitanji opeatooej można yóżnić die zęśi, z tóyh piesza ma nieozystny pły na dynamię obietu (np. jest słabo tłumiona lub osylayjna), a duga tego nieozystnego płyu nie ma. Tansmitanja obietu może być zapisana następująo: G = M M p () W () oznaza zmonienie statyzne obietu, zynni M p opisuje słabo tłumioną lub osylayjną zęść tansmitanji obietu, tóa może być yażona następująo: p Mp = aps as + a () 0 Czynni M opisuje pozostałą zęść tansmitanji obietu, tóą można zapisać następująo: M = b s b s + b o (3) Załóżmy, że stopień mianonia tansmitanji obietu jest óny n: n = p + (4) Model () (4) opisuje badzo dużą lasę zezyistyh obietó dynamiznyh. Regulato eduyjny dla ozażanej lasy obietó Dla obietu opisanego pzez () ozażmy zamnięty uład steoania (ys. ). Załóżmy, że dynamia egulatoa uładzie ma zastąpić dynamię słabo tłumionej zęśi obietu egulaji, opisanej ielomianem M p. To założenie może być spełnione, jeżeli egulato będzie egulatoem eduyjnym, zbudoanym opaiu o znajomość dynamii obietu. Zagadnienia syntezy egulatoó eduyjnyh (ang. anellation ontolles) bazująej na znajomośi tansmitanji obietu egulaji były omaiane liznyh paah: [4, 5, 8]. Poblemy syntezy egulatoa ompensująego najsłabiej tłumioną zęść dynamii obietu opisanego ónaniem stanu są omóione paah: [6, 7]. Załóżmy, że ozażany egulato eduyjny ma postać uogólnionego egulatoa linioego z ałoaniem o tansmitanji: L G = (5) M d hab. inż. Kzysztof Opzędieiz Kateda Automatyi, AGH Kaoie Rys.. Zamnięty uład egulaji 66

2 Pomiay Automatya Robotya 7-8/00 L oaz M są ielomianami zmiennej zespolonej s następująej postai: l L = vls vs + v0 (6) M = s s (7) m m Całoanie egulatoze (5) jest niezbędne do yeliminoania uhybu ustalonego uładzie egulaji. Załóżmy, że modelu obietu egulaji postai () znamy doładnie paamety jego słabo tłumionej lub osylayjnej zęśi, opisanej pzez (). W taiej sytuaji można założyć, że lizni tansmitanji egulatoa L jest óny post zęśi tansmitanji obietu, opisanej pzez ielomian (): L = M (8) Po uzględnieniu (8) tansmitanja egulatoa linioego (5) pzyjmie postać: p Mp G = (9) M W pzypadu, gdy egulato ma postać (9), stopień mianonia tansmitanji egulatoa m musi spełniać założenie yniająe z fizyznej ealizoalnośi egulatoa: m p (0) Jeżeli tansmitanja egulatoa ma postać (9), a tansmitanja obietu egulaji ma postać (), to tansmitanja uładu otatego, zaieająego i obiet, i egulato, ma postać następująą: Go = G G = () M M Tansmitanja ymuszenioa zamniętego uładu egulaji (ys. ) ma postać: G Y R M M + () Na podstaie () można stiedzić, że pzypadu doładnej znajomośi ielomianu M p, zęść dynamii obietu epezentoana pzez M p została uładzie zamniętym zastąpiona pzez dynamię egulatoa, a ozład biegunó tansmitanji () jest zdeteminoany pzez atość zmonienia obietu oaz paamety egulatoa opisane spółzynniami m.... Pzy odpoiednim doboze tyh spółzynnió możlie jest otzymanie założonego ozładu i typu biegunó uładu zamniętego, pzy zym założeniem fundamentalnym jest asymptotyzna stabilność zamniętego uładu egulaji. Dobó spółzynnió m... egulatoa może być szzególnyh pzypadah yonany analityznie, a pzypadu ogólnym metodami symulayjnymi, np. z yozystaniem śodoisa MATLAB. Zagadnienie symulayjnego dostajania spejalnyh algoytmó steoania yfoego jest omóione np. pay [9]. W tym momenie pojaia się pytanie, jaie są łaśiośi pzedstaionego uładu steoania sytuaji, gdy paamety zęśi tansmitanji obietu, opisane ielomianem M p, nie są doładnie znane? Taa sytuaja najzęśiej ystępuje patye. Ogólna analiza łaśiośi uładu egulaji dla taih pzypadó jest znaznie badziej złożona, natomiast omóione dalszej zęśi pay ynii badań symulayjnyh yazują, że jaość egulaji jest tedy ónież ysoa. Z olei tansmitanja załóenioa może być yznazona pzy założeniu, że atość zadana na ejśiu uładu (t) = 0. Ma ona postać: Y M Gz Z M M M + ( ) p (3) Tansmitanja (3) może być użyta do analizy zahoania się ozażanego uładu egulaji podzas ealizaji zadania stabilizaji. Pzedstaiona poyżej metoda syntezy egulatoa eduyjnego zostanie zilustoana pzyładami. Pzyład Jao pieszy pzyład ozażmy obiet osylayjny II zędu, tóego tansmitanja opeatooa zaiea jedną paę biegunó zespolonyh spzężonyh i może być zapisana następująo: G = s + zs + (4) Na atośi spółzynnió z oaz tansmitanji (4) nałożony jest następująy aune, yniająy z założenia o osylayjnośi obietu: z < (5) Tansmitanja (4) opisuje dużą lasę zezyistyh obietó dynamiznyh, na pzyład są to elementy dgająe typu mehaniznego lub eletyzne obody RLC. Jest ona pzypadiem szzególnym tansmitanjj (), dla tóej: Mp = s + zs + M = (6) Po uzględnieniu (6) egulato eduyjny (9) dla obietu (4) pzyjmie następująą postać: v s v s v G ( s ) = + + s + s 0 (7) Jeżeli założymy, że spółzynnii tansmitanji obietu z oaz są doładnie znane, to spółzynnii liznia tansmitanji egulatoa (7) można pzyjąć następująo: v = v = z (8) v0 = 67

3 Pomiay Automatya Robotya 7-8/00 = () Rys.. Model do badań symulayjnyh dla pzyładu Tab.. Lizboe atośi paametó obietu i egulatoa do testó symulayjnyh dla pzyładu N testu Paamety obietu Po uzględnieniu (8) tansmitanja egulatoa G (7) pzyjmie następująą postać: s + zs + G = s + s Paamety egulatoa L (9) Jeżeli obiet egulaji jest opisany tansmitanją (4) a egulato tansmitanją (9), tansmitanja ymuszenioa zamniętego uładu egulaji () jest óna: Y G (0) R s + s + M Komentaz z v v v 0 0,05,0 0,05 Regulato dostojony pzy założeniu doładnej znajomośi paametó obietu 0,09,0 0,05 Paamety egulatoa 3 0,05, z testu (), zmienione paamety obietu 4 0,03, Dla spółzynnió () i pzy założeniu, że paamety tansmitanji obietu egulaji są doładnie znane, tansmitanja uładu zamniętego (0) na jeden podójny biegun óny. Dla lepszej ilustaji poyższyh ozażań yonano ónież badania symulayjne z użyiem śodoisa MATLAB/SIMULINK. Model SIMULINK-oy do testó jest poazany na ys.. Wyozystują uład z ys. yonano badania symulayjne egulatoa eduyjnego zbudoanego zgodnie z zoami (7) (0). Zbadano pzypadi: gdy paamety obietu egulaji (4) są doładnie znane (dla tego pzypadu został zbudoany egulato) oaz gdy paamety obietu egulaji z oaz są znane pzybliżeniu, a doładnie znane jest tylo zmonienie statyzne obietu. Watośi lizboe paametó obietu i egulatoa są podane tab.. Podzas szystih testó atość zmonienia statyznego obietu była óna. Pzebiegi ielośi eguloanej y(t) funji zasu pzy sooej zmianie atośi zadanej z atośi = 0 na atość = są poazane na ys. 3. Tansmitanja (0) opisuje zahoanie się uładu egulaji odpoiedzi na zmiany atośi zadanej na ejśiu (zadanie pzestaienia, ang. sevo poblem). Na podstaie (0) można stiedzić, że dla ozażanego pzypadu dynamia obietu egulaji została ałoiie zastąpiona pzez dynamię egulatoa opisaną spółzynniami oaz. Odpoiedni dobó tyh spółzynnió pozala na otzymanie założonyh łaśiośi dynamiznyh uładu egulaji. Zauażmy, że zamnięty uład egulaji opisany tansmitanją (0) jest asymptotyznie stabilny dla ażdej dodatniej atośi spółzynnió oaz. Załóżmy, że ozażany uład egulaji z obietem (4) i egulatoem eduyjnym (7) ma ealizoać zadanie pzestaienia. Z puntu idzenia ealizaji tego zadania steoania najbadziej ozystna jest sytuaja, gdy tansmitanja uładu zamniętego (0) ma jeden podójny biegun zezyisty ujemny, gdyż gaantuje to óti zas egulaji pzy bau pzeeguloań. W ozażanym ypadu spełnienie tego aunu impliuje natyhmiast następująy aune na spółzynnii oaz egulatoa: Rys. 3. Pzebiegi ielośi eguloanej y(t) uładzie egulaji dla pzyładu Dla pzebiegó z ys. 3 można oblizyć atośi bezpośednih saźnió jaośi egulaji: pzeeguloanie poentah atośi ustalonej i zas egulaji lizony jao zas, po tóym atość uhybu egulaji jest sposób tały mniejsza od 5 %. 68

4 Pomiay Automatya Robotya 7-8/00 Tab.. Watośi bezpośednih saźnió jaośi egulaji dla pzebiegó z ys. 3 N testu Pzeeguloanie [% atośi ustalonej] Watośi tyh saźnió dla szystih testó są podane tab.. Na podstaie analizy pzebiegó z ys. 3 oaz atośi saźnió jaośi egulaji pzedstaionyh tab. można stiedzić, że pzypadu ozażanego pzyładoego obietu egulaji poponoany egulato eduyjny zapenia badzo dobą jaość egulaji oaz odponość na niepeność paametó obietu. Pzyład Jao dugi pzyład ozażmy syntezę egulatoa eduyjnego dla obietu III zędu, tóego tansmitanja zaiea jedną paę biegunó zespolonyh spzężonyh oaz jeden stabilny biegun zezyisty: G = s + zs + s l ( ) + ( ) Czas egulaji [s] 0,0000 5,933,4009 5, ,6333,75 4 4,493,3479 () Odpoiedź sooa samego obietu egulaji opisanego tansmitanją () dla atośi paametó: =, z = 0,05, =, l = poazana jest na ys. 4. Tansmitanja () ónież opisuje dużą lasę zezyistyh obietó dynamiznyh. Załóżmy, że egulato eduyjny dla ozażanego obietu jest budoany elu eliminaji płyu zęśi osylayjnej na uład egulaji. W tej sytuaji można pzyjąć, że: Wauniem onieznym stabilnośi asymptotyznej uładu opisanego pzez (4) jest, aby obyda paamety egulatoa eduyjnego oaz były dodatnie. Wynia to bezpośednio z aunu onieznego stabilnośi uładu linioego iągłego opisanego tansmitanją opeatooą (zob. np. [7]). > 0 > 0 (5) Dla paametó spełniająyh (5) należy następnie yznazyć obszay stabilnośi. Do oziązania tego poblemu można zastosoać np. yteium Huitza. Po jego zastosoaniu otzymujemy następująy aune na spółzynnii egulatoa oaz. l < l (6) W nieónośi (6) można zauażyć natyhmiast, że funja ozganizająa obszay stabilnośi ma asymptotę pionoą dla ganiznej atośi paametu g ónej: g = (7) l Obsza stabilnośi na płaszzyźnie paametó oaz musi jednoześnie spełniać auni (5) oaz Mp = s + zs + M = s + l (3) Regulato eduyjny ozażanym pzypadu może mieć identyzną postać, ja pzyładzie i jest on opisany pzez (7) (9). Pzy założeniu, że spółzynnii ielomianu M p opisująego osylayjną zęść dynamii obietu są doładnie znane, tansmitanja ymuszenioa ałego uładu egulaji ma ozażanym pzypadu następująą postać: Rys. 4. Odpoiedź sooa obietu egulaji z pzyładu Y s G ( s ) ( ) 3 R s + ( l + ) s + ls + (4) W ozażanym ypadu syntezę egulatoa eduyjnego ozpozynamy od yznazenia obszaó stabilnośi na płaszzyźnie paametó egulatoa oaz. Zagadnienie yznazania obszaó stabilnośi uładu egulaji na płaszzyźnie paametó egulatoa ma fundamentalne znazenie dla popanośi działania uładu egulaji i jest pzedstaione między innymi pay []. Rys. 5. Pzyładoy obsza stabilnośi na płaszzyźnie paametó egulatoa dla pzyładu i atośi paametó: l =, = 69

5 Pomiay Automatya Robotya 7-8/00 Rys. 6. Model do badań symulayjnyh dla pzyładu Tab. 3. Lizboe atośi paametó obietu i egulatoa do testó symulayjnyh dla pzyładu N testu Paamety obietu Paamety egulatoa L M z l v v v 0 Komentaz 0,05,0 0,05 0,9 Regulato dostojony pzy założeniu doładnej znajomośi paametó obietu 0,09,0,0 0,05,0 0,9 Paamety egulatoa 3 0,05,,0 z testu (), zmienione paamety obietu 4 0,03,,0 5 0,05,0, 6 0,05,0 0,9 (6). Pzyładoy obsza stabilnośi dla zmonienia statyznego obietu = oaz bieguna zezyistego ónego l = jest pzedstaiony na ys. 5. Obsza stabilnośi znajduje się pod zyą ozganizająą. Dla ozażanego uładu egulaji pzepoadzono testy symulayjne analogiznie, ja popzednim pzyładzie, z użyiem modelu pzedstaionego na ys. 6, pzy założeniu, że egulato eduyjny jest opisany tansmitanją (7) (9), a obiet egulaji jest opisany tansmitanją (). Dodatoym oganizeniem jest ozażanym ypadu oniezność spełnienia aunó stabilnośi (5) i (6) pzez paamety egulatoa. Podobnie, ja pzyładzie, testy symulayjne yonano dla sytuaji, gdy znane są doładne atośi paametó tansmitanji obietu oaz dla sytuaji, gdy te paamety znane są jedynie pzybliżeniu. Zbadano następująe sytuaje: gdy pzybliżeniu znane są paamety zęśi osylayjnej obietu: z i, oaz gdy pzybliżeniu znany jest paamet l zęśi apeiodyznej tansmitanji obietu. Podzas szystih testó atość zmonienia statyznego obietu była óna. Watośi lizboe paametó obietu i egulatoa są podane tab. 3, pzebiegi ielośi eguloanej y(t) dla szystih testó są podane na ys. 7. Analogiznie ja pzyładzie, dla pzebiegó z ys. 6. można oblizyć bezpośednie saźnii jaośi egulaji: pzeeguloanie poentah atośi ustalonej i zas egulaji lizony jao zas, po tóym atość uhybu egulaji jest sposób tały mniejsza od 5 %. Watośi tyh saźnió dla szystih testó są podane tab. 4. Na podstaie analizy pzebiegó poazanyh na ys. 7 oaz bezpośednih saźnió jaośi egulaji podanyh tab. 4 można stiedzić, że popo- Rys. 7. Pzebiegi ielośi eguloanej y(t) uładzie egulaji z egulatoem eduyjnym dla pzyładu Tab. 4. Watośi bezpośednih saźnió jaośi egulaji dla pzebiegó z ys. 7 N testu noany egulato eduyjny zapenia dobą jaość egulaji uładzie i dodatoo zapenia zadoalająą odponość uładu na niepeność paametó obietu egulaji. W elu poónania jaośi egulaji ozażanym uładzie z poponoanym egulatoem eduyjnym, dla ozażanego obietu egulaji pzepoadzono taże testy z yozystaniem typoego egulatoa PID dostojonego na podstaie zmonienia ytyznego z użyiem eguł Zieglea Niholsa. Model zastosoany do testó poazany jest na ys. 8, zmonienie ytyzne i oes osylaji nietłumionyh obietu oaz yznazona na ih podstaie nastay egulatoa są podane tab. 5. Wszystie testy zostały yonane dla paametó obietu opisanyh tab. 3, pzebiegi odpoiedzi sooyh uładu egulaji podzas testó są podane na ys. 9, a atośi bezpośednih saźnió jaośi egulaji dla szystih testó z ys. 9 są podane tab. 6. Pzeeguloanie [% atośi ustalonej] Czas egulaji [s] 0,56 6,3940 9,74 3,47 3 6,46 7, ,87 9,576 5,37 6, ,06 8,986 70

6 Pomiay Automatya Robotya 7-8/00 Uagi ońoe Rys. 8. Model do badań symulayjnyh z egulatoem PID dla pzyładu Tab. 5. Nastay egulatoa PID do pzyładu Wzmonienie ytyzne obietu 0,888 Oes osylaji nietłumionyh T os [s] 5,9908 Wzmonienie egulatoa 0,8 Czas ałoania T i [s],9954 Czas óżnizoania T d [s] 0,7488 Na podstaie poónania pzebiegó z ys. 7 i ys. 9 oaz tab. 4 i tab. 6 można stiedzić natyhmiast, że poponoany pay egulato eduyjny zapenia znaznie lepszą jaość egulaji sensie ozażanyh bezpośednih saźnió, niż egulato PID dostojony g eguł Zieglea Niholsa. Dodatoo uład z egulatoem eduyjnym jest znaznie mniej ażliy na niepeność paametó obietu egulaji, niż uład z egulatoem PID, gdzie pzy zabuzeniu atośi paametó obietu dóh pzypadah nastąpiła utata stabilnośi uładu. Rys. 9. Pzebiegi ielośi eguloanej y(t) uładzie egulaji z egulatoem PID dla pzyładu Tab. 6. Watośi bezpośednih saźnió jaośi egulaji dla pzebiegó z ys. 9 N testu Pzeeguloanie [% atośi ustalonej] Czas egulaji [s] 5,0 >00 (gania stabilnośi) 0,0 9, ,0 45,855 4 Utata stabilnośi 5,5 34,796 6 Utata stabilnośi Uagi ońoe mogą być sfomułoane następująo: Wynii badań symulayjnyh pozalają niosoać, że poponoany egulato eduyjny zbudoany opaiu o znajomość modelu obietu postai tansmitanji opeatooej, może zapenić dobą jaość egulaji uładzie oaz zapenia zadoalająą odponość uładu na niepeność paametó obietu egulaji. Stutua poponoanego egulatoa jest łata do ealizaji na typoyh pzemysłoyh yfoyh uządzeniah steująyh, np. na steoniah PLC. Pzedmiotem dalszyh pa będzie uzasadnienie teoetyzne otzymanyh ynió symulayjnyh z yozystaniem metod analizy systemó o niepenyh paametah, omaianyh pzyładoo paah [], [3] lub [] oaz patyzna implementaja omaianego algoytmu na steoniah PLC z yozystaniem podejśia zapezentoanego pay [0]. Bibliogafia. Bysi W.: Obseaja i steoanie systemah dynamiznyh Wyd. AGH Busłoiz M.: Stabilność uładó linioyh stajonanyh o niepenyh paametah. Wydanito Politehnii Białostoiej Busłoiz M.: Robust Stability analysis of linea eletial iuits ith unetain paametes. Pzegląd Eletotehnizny n 8 (), 006, s Góei R.: Regulato eduyjny. Zeszyty Nauoe AGH Eletotehnia Tom 5 (996) Zeszyt 3, s Isemann R.: Digital Contol Systems vol. Spinge, Mitosi W.: Stabilizaja linioego systemu paaboliznego za pomoą dysetnego ompensatoa dynamiznego. Kat. AGH Eletotehnia T. 4, (985) Z., s Mitosi W.: Stabilizaja systemó dynamiznyh, WNT, Waszaa Opzędieiz K.: Dysetny egulato eduyjny i jego patyzna implementaja Pomiay, Automatya, Robotya (PAR) n /00, s Opzędieiz K.: Symulayjne dostajanie spejalnyh egulatoó yfoyh. Automatya 003 t. 7, z. s Opzędieiz K.: Poblemy implementaji spejalnyh algoytmó egulaji iągłej na platfomah spzętoo pogamoyh PLC. W: Steoanie i Automatyzaja: atualne poblemy i ih oziązania, pod edają K. Malinosiego i L. Rutosiego, 008, s Palmo Z. J.: Time delay Compensation. Int. Jounal of Contol, vol. 36, 980, pp