PRZEMIESZCZENIA POWŁOKI HIPERBOLOIDALNEJ

Transkrypt

1 XLIX KONFERENCJA NAUKOWA Komitetu Inżynierii Lądoej i Wodnej PAN i Komitetu Nuki PZITB Wrsz-Krynic, -9 rześni 00 r., Krynic 00 t. II, str. -8 Wiesł BARAN Bronisł JĘDRASZAK PRZEMIESZCZENIA POWŁOKI HIPERBOLOIDALNEJ. Wstęp Będziemy rozptryć peną deformcję połoki hiperboloidlnej, przy której poierzchni środko S przechodzi S ', ntomist dooln rst rónoleł do ' poierzchni środkoej S przejdzie n poierzchnie S. Wóczs rónnie ektoroe opisujące poierzchnię środkoą po deformcji będzie: ' r r +, () dzie: jest ektorem przemieszczeni. Anliz eometryczn poierzchni przed i po deformcji, przy ykorzystniu znnych literturze [,, 6] zleżności opisujących tensory odksztłceni błonoeo, błonoozięcioeo ρ i zięcioeo υ, doprodz do zpisu ersji uproszczonej nielinioych ziązkó eometrycznych postci: +,, i, j ρ ε +, () ϑ, ερ dzie: - skłdo ektor przemieszczeni, ε - krzyizn łón, - korintny tensor odksztłceni błonoeo poierzchni środkoej dl stnu linioeo. Dl połok cienkich, sprężystych spełnijących złożeni Kirhchoff Love skłdoe ektor przemieszczeni yznczymy ze ziązkó eometrycznych, które zpiszemy: k j b k ik + i jk, () Dr inż., Wydził Budonict Politechniki Opolskiej --

2 dzie pre strony rónń () są skłdoymi tensor odksztłceni błonoeo, które możemy yznczyć ykorzystując ziązki fizyczne określone zorem: + Eh kl [( ν ) ν ] N ik jl kl. () W refercie, dl połoki hiperboloidlnej, przedstimy nlityczne roziąznie przemieszczenioeo ukłdu rónń różniczkoych cząstkoych orz zostną podne zleżności opisujące poszczeólne skłdoe ektor przemieszczeni. W celu uzyskni roziązni nlityczneo, n poierzchni środkoej prodzono trzy opisy eometryczne orz yprodzono funkcję przejści i zjemne relcje pomiędzy prmetrmi krzyolinioymi ystępującymi e prodzonych prmetryzcjch. Temtyk t był przedstion przez utoró refertu prcy []. Siły przekrojoe dl połoki hiperboloidlnej dl prodzonych dóch stnó obciążeń: symetryczneo i ntysymetryczneo, przy ykorzystniu złożeń sformułonych poyżej, podno postci nlitycznej prcy []. W dlszej części, opierjąc się n prcy [, 6], utorzy niniejszeo refertu będą dążyć do możliie opertyneo formułoni złożeń i rónń z punktu idzeni oólnej nlizy jk i dlszych ich zstosoń.. Opis oólny przemieszczenioeo ukłdu rónń Dl prmetryzcji krzyiznoej ziązki eometryczne () zierjące tensor odksztłceni błonoeo, po rozpisniu ddzą przemieszczenioy ukłd rónń różniczkoych cząstkoych z trzem nieidomymi,, : dzie: ( N ). Znjąc siły przekrojoe ykorzystmy ziązki fizyczne (6): ( ),, +,, + b, b, (5) N [], do yznczeni skłdoych tensor odksztłceni + Eh kl [( ν ) ν ] N ik jl kl. (6) Podobnie jk dl sił przekrojoych, trdycyjne postęponie spotykne literturze doprodz do roziązni ukłdu rónń przemieszczenioych (5) przedstineo jko rónnie roziązujące postci rónni różniczkoeo cząstkoeo rzędu druieo []. Ponież skłdoe tensor odksztłceni stnu błonoeo, ystępujące tym --

3 rónniu są opisne przez siły przekrojoe N, procesie obliczenioym npotykmy n iększe trudności niż przy yznczniu sił przekrojoych. Wtedy roziąznie jest poszukine przeżnie metodmi uproszczonymi sposób numeryczny. Postęponie zproponone niniejszej prcy, oprte n ykorzystniu ziązkó i zleżności które zostły uzyskne po prodzeniu n poierzchni środkoej połoki różnych prmetryzcji jest celoe, ponież uprości proces obliczenioy. Rónnie roziązujące ukłd rónń przemieszczenioych (5) będzie rónniem różniczkoym zyczjnym... Wielkości pomocnicze W celu roziązni ukłdu rónń przemieszczenioych dl prmetryzcji krzyiznoej prodzimy oznczeni, które zostły opisne i zilustrone prcy []: u, u - spółrzędne krzyolinioe ystępujące prmetryzcji krzyiznoej, ( p) β, α, ϕ - kąty ystępujące prmetryzcji prostokreślnej, α - kąt ystępujący prmetryzcji symetrycznej, orz ielkości i zleżności pomocnicze: ziązki pomiędzy prmetrmi i spółrzędnymi krzyolinioymi, yrżone przez prmetr przejści (dl czytelności zpisu zleżności (7) indeksy órne określją ielkości odpoiednich prmetryzcjch): ( p) ( s) cos( ϕ ) µ ( α ), (7) ( k ) ( p) cosh( u ) cos( β ) zleżność tryonometryczn iążąc ielkości kątoe prmetryzcji symetrycznej i prostokreślnej : ( α ) cos( β ), (8) pieristki ze spółczynnikó pierszej formy różniczkoej : ct( α ), cth( u ), (9) pochodne funkcji kątoych po zmiennej u : dα th u du ( ) t( α ) cos t( α ), th( u ) t dα du. (0) ilorz spółczynnikó druiej formy różniczkoej: b b b b, t ( α ). () --

4 Tk przyotone ziązki i zleżności pozolą procesie roziązyni ukłdu rónń przemieszczenioych (5) n zminę zmiennej z u n α. Pozoli to n znczne uproszczeni i umożlii podnie roziązni nlityczneo.. Roziąznie oólne przemieszczenioeo ukłdu rónń Po ykorzystniu ielkości podnych punkcie. orz ykonując stosone przeksztłceni, przystąpimy do roziązni ukłdu rónń (5). Z druieo rónni po przejściu n ielkość fizyczną otrzymmy: ( ) +,,, () po ymnożeniu przez cos ( α ) i obustronnym zróżniczkoniu po α, będzie: [ cos( α )] cos( β ) ( α ) cos +,α,, αα. () Mnożąc piersze rónnie przez b, trzecie przez b nstępnie odejmując stronmi będzie: b ( ) ( ) b b, b b,,, po ykorzystniu ielkości pomocniczych, przejściu n ielkości fizyczne i po przeksztłcenich otrzymmy: + ( ) ( ), + t ( α ) + t n ( α ) ( α ),, t, α. () Końco, njprostsz form rónni () przedstion zpisie knonicznym jest yrżon nstępujący sposób: cos Różniczkując obustronnie po cos [ cos( α )] + +, α, ( ) β u rónnie (5) otrzymmy: [ cos( )] [ ( ) ] α +,, + α α ( ), β. (5). (6) Ruując z rónń () i (6) przemieszczenie uzyskmy rónnie różniczkoe cząstkoe rzędu druieo, roziązujące ukłd rónń (5): --

5 { } [ + ] + [ ] αα,,,, α. (7) Zkłdjąc roziąznie o rozdzielonych zmiennych, otrzymmy rónnie różniczkoe zyczjne druieo rzędu ze zlędu n skłdoą, ektor przemieszczeni :, αα + cos dzie: - ozncz funkcje jednej zmiennej., (8), α ( u ) + + cos( u ). Roziąznie dl obciążeni symetryczneo Symetryczny sposób obciążeni płszcz połoki przy uzlędnieniu np. dziłni ciężru łsneo będzie ystępoł przy ustieniu połoki rónolele do kierunku ritcji. Ukłd rónń (5) przy obciążeniu symetrycznym ( N 0 ) uprszcz się: ( ), b,, b, dzie: [ N ν N ] Eh 0 (9) [ N ν N ] Eh Roziąznie ukłdu rónń (9) jest zrelizone n etpie cłki szczeólnej dl przypdku obciążeni symetryczneo. Opisy skłdoych ektor przemieszczeni otrzymmy ykonując proste cłkoni i przeksztłceni yprodzonych rónń. Wtedy: ( β ) ( ) [ ] 0 J J, 0, α ε cos t( ) h( ), cos α u (0) dzie: J ozncz cłkę obliczoną po zmiennej α : [ ] dα J + () 0 ntomist J, to rtość tej cłki obliczon n brzeu utierdzonym celu spełnieni runku brzeoeo: ( pocz ) ( u u ) 0, () - ( ) u ( z 0) u pocz - rtość początko zmiennej u n brzeu utierdzonym. -5-

6 5. Roziąznie dl obciążeni ntysymetryczneo Roziąznie dl ntysymetryczneo sposobu obciążeni płszcz połoki przy uzlędnieniu np. płyu ciężru łsneo, będzie ystępoło przy ustieniu połoki prostopdle do kierunku ritcji. Będziemy trktoć połokę jko spornik. Dl ntysymetryczneo sposobu obciążeni żdn ze skłdoych tensor odksztłceni błonoeo nie zeruje się. Po rozdzieleniu zmiennych, rónnie (8) zpiszemy: + ( ) dzie: + +, αα h α, () h. (), α Cłkę teo rónni npiszemy nstępujący sposób: J cos J + C cos C +, (5) dzie: - C i C - J, J J - stłe zpisne celu spełnieni runkó brzeoych, - cłki opisne zormi: cos h dα, α J h d. (6) Skłdoe opisujące ektor przemieszczeni dl ntysymetryczneo sposobu obciążeni określimy ykorzystując yprodzone zleżności i rónni. Po uzlędnieniu zmiennej u otrzymno:, ( ) ( ) t + α α u, cos [ J cos J + C cos + C ] ( u ) ε ( α ) h( u ) t 6. Przykłd zstosoni ( u )., (7) Dl uzyskneo roziązni, przeprodzono przykłdoe obliczeni. Przyjęto żelbetoą połokę hiperboloidlną o ysokości: z m, ksztłtoną z przeznczeniem n płszcz chłodni kominoej. Złożono beton klsy B5, ntomist rubość ścinki przyjęto: h 0,0 m. Obliczeni ykonno ykorzystując łsne procedury obliczenioe zpisne języku FORTRAN, dl których lorytmem zpisnym języku nturlnym jest przedstione roziąznie. W przykłdzie przedstiono roziąznie stnu podstoeo od obciążeni ciężrem łsnym dl dóch ybrnych skrjnych położeń połoki: komin -6-

7 połok ustion rónolele do kierunku ritcji (stn S ) i spornik - połok ustion prostopdle do kierunku ritcji (stn A ). Podno odpoiedź konstrukcji postci przemieszczeń. W obliczenich dokonno podziłu po ysokości co 5 m, ntomist po obodzie co 7,5. Tki podził dł 5 punkty obliczenioe dl pojedynczej ielkości. Przyjęto runki brzeoe: - dl sobodneo brzeu órneo, runki określono siłch: ( kon) ( kon) N ( u ) 0, N ( u ) 0, ( ) dzie: u kon u ( z L) - rtość spółrzędnej dl órneo brzeu połoki, - dl brzeu dolneo, runki określono przemieszczenich: ( pocz) ( pocz) ( u ) 0, ( u ) 0. [m] z,[ m] u [ ] Rys.. Przemieszczeni i, dl symetryczneo stnu obciążeni. Mx (85 [m], 70[ ]),5 [cm] Min (85 [m], 90[ ]) -,5 [cm] Rys.., [m], [m] z,[ m] u [ ] z,[ m ] u [ ] Mx ( [m], 0[ ]), [cm] Min ( [m], 80[ ]) -, [cm] Rys. b. Mx ( [m], 70[ ]),55 [cm] Min ( [m], 90[ ]) -,55 [cm] Rys. c. Rys.. Skłdoe ektor przemieszczeni dl ntysymetryczneo stnu obciążeni: Rys.. Skłdo, Rys. b. Skłdo, Rys. c. Skłdo. -7-

8 Ze zlędu n chrkter roziązni, dl stnu symetryczneo S przedstiono ykresy dl pojedynczych południkó (rys. ), ntomist dl stnu ntysymetryczneo przedstiono ykresy przestrzenne (rys., b, c). 7. Podsumonie Wprodzenie n poierzchni środkoej połoki hiperboloidlnej prmetryzcji: krzyiznoej, prostokreślnej i symetrycznej, dl których podno funkcje iążące prmetry krzyolinioe (7) umożliiło uproszczenie rónń roziązujących połokę hiperboloidlną. Dl przemieszczenioeo ukłdu rónń uzyskno rónnie roziązujące różniczkoe zyczjne druieo rzędu (8). Dl obciążeni symetryczneo i ntysymetryczneo podno roziąznie postci nlitycznej zrte zbiorze funkcji elementrnych, opisujące zróno siły przekrojoe N [] jk i skłdoe ektor przemieszczeni. Roziąznie dl prmetryzcji prostokreślnej i symetrycznej możn uzyskć ykorzystując zleżności trnsformcyjne []. Prost form opisu sił przekrojoych i przemieszczeń ułti obliczeni inżynierskie. Przedstione roziązni nlityczne moą służyć jko nrzędzie do testoni roziązń numerycznych i budoni niezleżnych prormó n EMC, ntomist złożenie symetrii i ntysymetrii pozoli roziązć połokę ychyloną, np. komin n terench eksplotcji órniczej Litertur [] BARAN W.: Trnsformcj sił enętrznych penej klsy połok, Zeszyty Nukoe Wyższej Szkoły Inżynierskiej Opolu, seri Budonicto, zeszyt 7, Numer kolejny 98/99, Opole 99. [] BARAN W., BIELAK ST.: Prób oceny poprności roziązni połok zkresie teorii eometrycznie linioej; XXIV Oólnopolsk Konferencj Nukoo - Szkolenio Zstosoń Mtemtyki Komitetu Mtemtyki PAN, Zkopne - Kościelisko 9-6.IX.995, (streszczenie publikone mteriłch konferencyjnych). [] BARAN W., JĘDRASZAK B., Sttyk stnu bezmomentoeo połoki hiperboloidlnej, LVIII Konferencj Nuko Komitetu Inżynierii Lądoej i Wodnej PAN i Komitetu Nuki PZITB Krynic 00, T., s [] BIELAK S., Nielinio teori połok, cz. II, Wyższ Szkoł Inżyniersk Opolu, Studi i Monorfie, zeszyt 8, Opole 995. [5] KONDERLA P., Mechnik cił odksztłclneo o nrstjącej msie, Politechnik Wrocłsk, seri: Monorfie, zeszyt, Wrocł 986. [6] WOŹNIAK Cz., Podsty nielinioej mechniki połok, Polsk Akdemi Nuk, IPPT, PWN Wrsz 978. DISPLACEMENTS OF HYPERBOLOIDAL SHELL Summry Interdependences beteen descriptions of stte of stress, bsed on vrious prmetriztions introduced for middle surfce of shell re discussed in the pper. Complete nlytic solutions for symmetric nd ntisymmetric lod, obtined u vrious prmetriztions re presented. Prcticl simplifictions for obtined results of system of blnce equtions tht result from utiliztion of prticulr prmetriztions re discussed. -8-