Wykład FIZYKA I. 4. Nieinercjalne układy odniesienia. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Transkrypt

1 Wykłd FIZYKA I 4. Nieinercjlne ukłdy odniesieni Dr hb. inż. Włdysł Artur Woźnik Instytut Fizyki Politechniki Wrocłskiej

2 INERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA Ukłdy inercjlne (inercyjne) - ukłdy, do których odnosi się I zsd dynmiki Neton: przyspieszenie odosobnionego punktu mterilnego róne jest 0 gdy nie dził n nie żdn sił. Wniosek: D inercjlne ukłdy odniesieni mogą się poruszć zględem siebie tylko ruchem postępoym jednostjnym prostolinioym (n rzie bez doodu). Rozptrzymy d ukłdy odniesieni, z których jeden (x,y,z) użmy z nieruchomy, podczs gdy drugi (x,y,z ) porusz się ruchem postępoym z prędkością u. Złożenie: W chili t=0 początki obu ukłdó orz ich osie się pokryją (r 0 =0).

3 TRANSFORMACJE GALILEUSZA Ziązek między położeniem punktu mterilnego obu ukłdch: r r'ut ( ukłdzie krtezjńskim: ukłd trzech rónń) Są to tz. trnsformcje (przeksztłceni) Glileusz. Uzupełnimy je jeszcze rónniem: t t' Ziązki między prędkościmi i przyspieszenimi: Stąd rónież: F F' ' u Rónni Neton dl punktu mterilnego (i ukłdó punktó mterilnych) są jednkoe e szystkich inercjlnych ukłdch odniesieni są to tz. niezmienniki przeksztłceni Glileusz. Mechniczn zsd zględności (zsd zględności Glileusz): Jednostjny prostolinioy ruch ukłdu jko cłości nie m płyu n bieg zchodzących procesó mechnicznych. '

4 NIEINERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA Ziemi nie jest ukłdem inercjlnym. Wykonuje ruch obrotoy okół sej osi pono obieg Słońce po elipsie. W penych przypdkch możn zniedbć efekty nieinercjlności ukłdu odniesieni, ziąznego z Ziemią (np. ze zględu n duży okres obiegu okół Słońc, możn trktoć ruch Ziemi po orbicie okółsłonecznej jko postępoy, jednostjny). Istnieją jednk zjisk, które możn ytłumczyć tylko tedy, gdy przestnie się zniedbyć odstępst od inercjlności ukłdu: obrót płszczyzny hń hdł (hdło Foucult); odchylnie się n schód cił sobodnie spdjących; podmynie jednego z brzegó rzek płynących zdłuż południkó; skręcenie kierunku itró niżch i yżch n obu półkulch.

5 KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO Rozptrzmy ruch punktu mterilnego M zględem dóch krtezjńskich ukłdó spółrzędnych: x, y, z inercjlny; przyjmiemy, że jest nieruchomy; ruch cił zględem tego ukłdu nziemy ruchem bezzględnym; x, y, z nieinercjlny, porusz się doolnie zględem pierszego ukłdu; ruch cił zględem tego ukłdu nzymy ruchem zględnym. Położenie punktu M ukłdzie inercjlnym yrżone przez położenie ukłdzie nieinercjlnym: r r0 r' r0 x' iˆ' y' ˆ' j z' kˆ'

6 KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO Prędkość punktu M zględem nieruchomego (inercyjnego) ukłdu spółrzędnych nzymy prędkością bezzględną: dr dx iˆ dy ˆj dz Biorąc pod ugę zleżność między ektormi i : możemy npisć: dr dr 0 dr ' 0 kˆ dr ' r r ' r r 0 r' gdzie 0 to prędkość ruchu postępoego ruchomego ukłdu spółrzędnych.

7 KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO Ukłd nieinercjlny może się poruszć zróno z prędkością postępoą (zminy rtościch x, y i z ) jk i obrotoą (zminy położeni ersoró iˆ ', ˆ', j kˆ' czsie), ięc: dr' 0 r' x' iˆ' y' ˆ' j z' kˆ' 0 dx' iˆ' dy' ˆ' j dz' kˆ' diˆ' x' dj ˆ' y' dkˆ' z' Prędkość punktu M zględem ruchomego ukłdu spółrzędnych prędkość zględn punktu M: Osttni człon rónniu, iążącym prędkości obu ukłdch, jest róny: diˆ' x' gdzie dj ˆ' dkˆ' y' z' ozncz prędkość kątoą. dx' dy' dz' iˆ' ˆ' j kˆ' r'

8 KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO Możemy ięc osttecznie npisć rónnie, iążące ruch punktu obu ukłdch jko: r' 0 u u gdzie nzyn jest prędkością unoszeni punktu M yrż boiem prędkość bezzględną tego punktu ukłdu ruchomego, przez który dnym momencie przechodzi rozptryny punkt M.

9 KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO Podobnie jk przypdku prędkości, nleży znleźć zleżności pomiędzy przyspieszenimi obu ukłdch. Przyspieszenie bezzględne punktu M to przyspieszenie zględem (nieruchomego) inercjlnego ukłdu odniesieni xyz: Różniczkując yrżenie n prędkość, otrzymujemy: gdzie d d 0 0 d d r' 0 dr ' d d - to przyspieszenie ruchu postępoego ukłdu nieinercjlnego; - to przyspieszenie kątoe ruchu obrotoego tego ukłdu. 0 r'

10 lbo inczej: gdzie: to przyspieszenie unoszeni (nlogicznie jk prędkośc); to przyspieszenie Coriolis KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO Dr hb. inż. Włdysł Artur Woźnik Pmiętjąc, że: orz uzględnijąc, że: gdzie: - to przyspieszenie zględne punktu M (czyli ukłdzie x y z ) możemy osttecznie otrzymć: r r d ' ' d r r 2 ' ' 0 C u ' ' 0 r r u C 2

11 KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO W przypdku ukłdó inercjlnych, mmy: ięc rónież: u 0 u 0 C 0 i osttecznie ziązki między ielkościmi obu ukłdch uprszczją się do: 0 orz czyli trnsformcji Glileusz. W przypdku, gdy ukłd ruchomy porusz się tylko ruchem postępoym ( ięc nie jest inercjlny, le się nie obrc!), mmy: 0 orz 0 0 d

12 DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO Zsdy Neton nie spełniją się nieinercjlnych ukłdch odniesieni! Przyspieszenie punktu mterilnego zględem nieinercjlnego ukłdu odniesieni nie jest boiem róne stosunkoi ypdkoej szystkich sił, jkimi inne cił dziłją n ten punkt, do msy tego punktu: Zsdy Neton spełnione są boiem dl przyspieszeni ukłdzie inercjlnym: F m F m

13 DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO Wyrźmy przyspieszenie zględne ukłdzie nieinercjlnym poprzez przyspieszenie bezzględne orz przyspieszenie unoszeni i Coriolis: u Możemy sformułoć poprnie II zsdę dynmiki Neton jko: gdzie: F F m m u u C C m F F - to sił bezłdności unoszeni; - to sił bezłdności Coriolis. u C F C

14 DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO Siły bezłdności rzeczyiście dziłją n punkt mterilny ukłdzie nieinercjlnym; Możn je mierzyć (np. gą sprężynoą); Ale nie sposób ziązć ich z żdnymi ciłmi, od których mogłyby pochodzić! Dltego nie możn do nich stosoć III zsdy dynmiki Neton. Siły bezłdności są ięc dl kżdego cił ukłdu siłmi zenętrznymi. Dltego: W nieinercjlnych ukłdch odniesieni nie mją zstosoni zsdy zchoni pędu, momentu pędu i energii.

15 NIEZWYKLE WAŻNE 2-2=4

16 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Przypdek I: Ukłd porusz się ruchem postępoym z przyspieszeniem 0 0 W tym przypdku: przyspieszenie unoszeni: u 0 przyspieszenie Coriolis: C 0 N ciło dził ięc tylko: - sił bezłdności unoszeni: F u m 0 Przykłd: ind znosząc się lub opdjąc ruchem jednostjnie przyspieszonym kierunku pionoym (nie uzględnimy ruchu obrotoego Ziemi). Ziesimy niej ciło o msie m n dynmometrze (dze sprężynoej).

17 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Obsertor nieruchomy: 0 T g R P P - N ciło dziłją die siły przecinie skierone: ciężr cił orz rekcj dynmometru R. Wypdko tych sił ndje ciłu przyspieszenie 0. Z II zsdy dynmiki: m 0 mg R mg A sił, któr dził n dynmometr (i którą on obec tego skże): T R m g Jeśli uolnimy ciło, będzie się ono poruszć pod dziłniem łsnego ciężru, czyli spdć sobodnie z przyspieszeniem: 0 P m g

18 SIŁY BEZWŁADNOŚCI 0 F u T R g Obsertor ruchomy ( indzie): ciło jest nieruchome, ięc dziłjące n niego siły się rónożą P R Fu 0 gdzie: F jest siłą bezłdności (unoszeni), której istnienie obsertor czuje szk rónież n sobie! u Biorąc pod ugę kierunki tych sił i ich rtości: stąd, jk poprzednio, sił, któr dził n dynmometr: P mg R m 0 0 T R m g Jeśli uolnimy ciło, będzie się ono poruszć pod dziłniem dóch sił: P orz F u i uzysk przyspieszenie: P F m u g 0 0

19 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Przypdek II: Ukłd obrc się jednostjnie z prędkością kątoą jednostjnym ze stłą prędkością. W tym przypdku: przyspieszenie unoszeni: przyspieszenie Coriolis: 0 u r' C 2 0 i porusz się ruchem N ciło dziłją ięc nstępujące siły bezłdności: - sił bezłdności unoszeni: F m 2 liczboo rón: i skieron od osi obrotu n zenątrz nzyn siłą odśrodkoą bezłdności; - sił bezłdności Coriolis: m skieron prostopdle do płszczyzny, yznczonej przez i. F u F m u 2m C r'

20 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Sił odśrodko bezłdności ziązn jest z obrotem poruszjącego się ukłdu. Przykłdy zstosoń: - pompy odśrodkoe; - seprtory (np. centryfug nlizie medycznej); - odśrodkoy regultor Wtt; Ale też konieczność rónożeni sił odśrodkoych przy projektoniu szybko irujących (i o dużych msch, ściślej: dużych momentch bezłdności!) części mszyn. Sił odśrodko bezłdności może też stnoić nmistkę siły gritcyjnego przyciągni Ziemi sttkch (stcjch) kosmicznych.

21 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Sił Coriolis ziązn jest z ruchem postępoym cił ukłdzie obrcjącym się. Przykłd: Ziemi jko obrcjący się, nieinercjlny ukłd odniesieni (ruch doboy, z zchodu n schód, z okresem 24 godziny). Sobodny spdek cił z ieży: nstępuje odchylenie miejsc updku zględem pionu, yznczonego przez siły gritcji, o peną ielkość, njiększą n róniku, zeroą n biegunie. W h N S E F C

22 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Obsertor nieruchomy (inercjlny): P 1 Sił przyciągni ziemskiego ndje ciłu przyspieszenie, skierone do środk Ziemi. Jest on prostopdł do prędkości początkoej cił ( ruchu obrotoym), ięc nie zmieni rtości tej prędkości. Tymczsem podst ieży m mniejszą prędkość linioą (bo m tę smą prędkość kątoą): R hr h i dltego ciło spdnie n Ziemię n schód od ierzchołk ieży. E W 0 1 P

23 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Obsertor ruchomy (nieinercjlny): N ciło dziłją siły: przyciągni ziemskiego, sił odśrodko i sił F P F u Coriolis C. Siły i poodołyby pionoe spdnie, le sił Coriolis, prostopdł do kierunku prędkości początkoej spdni, pooduje ruch cił po prboli i przesunięcie punktu updku n schód. P F u F C E P F F C u W

24 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Podobieństo istniejące pomiędzy siłmi bezłdności i siłmi gritcyjnymi: obie są proporcjonlne do ms punktó mterilnych i ndją im jednkoe przyspieszenie zględne. Wobec tego dziłnie sił bezłdności n punkt mterilny możn zstąpić dziłniem rónożnego im pol ciążeni!

25 SIŁY BEZWŁADNOŚCI Zsd rónożności ruchu: Ruch cił zględem nieinercjlnego ukłdu odniesieni jest rónożny jego ruchoi zględem ukłdu inercyjnego. Ten ruch zchodzi pod płyem szystkich cił rzeczyiście spółdziłjących z dnym ciłem tkże pod płyem jkiegoś dopełnijącego pol ciążeni. Nie jest to stierdzenie identyczności sił bezłdności i gritcyjnych! (Zminy pol rónożnego poinny rozchodzić się przestrzeni z prędkością nieskończenie ielką).