STATYKA STANU BEZMOMENTOWEGO POWŁOKI HIPERBOLOIDALNEJ

Transkrypt

1 Wiesłw BARA Bronisłw JĘDRASZAK STATYKA STAU BEZMOMETOWEGO OWŁOKI HIERBOLOIDALEJ. Wstęp Dźwiry powierzchniowe są to cienkościenne ustroje nośne uksztłtowne wedłu określonej powierzchni. Jeżeli powierzchni środkow dźwir powierzchnioweo jest zkrzywion pojedynczo lub podwójnie, to mówimy wtedy o powłoce. Do rupy powłok obrotowych zliczmy hiperboloidę jednopowłokową. W nlizie sttycznej powłok, któr jest przedmiotem niniejszeo refertu, możn wyróżnić dw podstwowe zbiory obciążeń: obciążenie symetryczne i obciążenie ntysymetryczne. Anlityczny sposób obliczni powłoki, pole n sformułowniu i rozwiązniu równni różniczkoweo powłok [, 4] w rmch różnych przybliżonych teorii. Zsdniczą przeszkodą n jką ntrfi się w trdycyjnym podejściu, jest ksztłt równni rozwiązująceo ukłd równń równowi, które dl większości powierzchni środkowych i sposobów obciążeni, jest równniem różniczkowym cząstkowym druieo rzędu o współczynnikch funkcyjnych. Rozwiąznie teo typu równni jest poszukiwne metodmi numerycznymi. W prcy pokzno korzyści wynikjące z zstosowni do rozwiązywni powłok różnych prmetryzcji. odno funkcje przejści i wzjemne relcje pomiędzy prmetrmi krzywoliniowymi występującymi w różnych prmetryzcjch wprowdzonych n powierzchni środkowej hiperboloidy. Dl przyjętych opisów powierzchni środkowej, dl obciążeni symetryczneo i ntysymetryczneo, przedstwiono rozwiąznie w postci nlitycznej opisujące siły przekrojowe. rzybliżony chrkter rozwiązni wynik z uwi n uproszczeni stosowne w teorii powłok [4], oprte n złożenich Kirhchoff Love, tkże ze wzlędu n wykorzystnie pojęci uśrednieni [].. Opis prmetryzcji powierzchni środkowej W celu rozwiązni ukłdu równń równowi dl prmetryzcji krzywiznowej, w nszym postępowniu wprowdzimy n powierzchni środkowej jeszcze dwie prmetryzcje: prostokreślną i symetryczną. Równni wektorowe opisujące powierzchnię środkową dl poszczeólnych prmetryzcji (rys. ) mją postć: Dr inż., Wydził Budownictw olitechniki Opolskiej

2 r cos( u ) i sin(u ) j b sinh(u k r cosh( u ) ), () cos( u ) i sin(u ) j u cos( u ) i sin(u ) jcos u sin k o, (b) cos sin r i jbo ct k. (c) sin sin ) rmetryzcj krzywiznow b) rmetryzcj prostokreśln c) rmetryzcj symetryczn Opis oznczeń występujących w równnich wektorowych () do (c) i n rysunku: u, u - współrzędne krzywoliniowe, u R; u, ; promień w przewężeniu, - promień podstwy, b o prmetr,, - prmetry kątowe,, - prmetry dl prmetryzcji symetrycznej wyrżone zleżnościmi: u u (, s ) u u. () Rys.. Opis powierzchni środkowej w różnych prmetryzcjch Dl tk przyjętych prmetryzcji, zostły określone wzjemne związki pomiędzy prmetrmi i współrzędnymi krzywoliniowymi, wyrżone przez prmetr przejści: ( cosh( u k ) ( sin( ) s ) ( cos( ) ( cos( p ) p ) ) ), () dzie: indeksy órne określją wielkości w odpowiednich prmetryzcjch.

3 W dlszych rozwżnich przyjmiemy oznczeni: - u, u - współrzędne krzywoliniowe występujące w prmetryzcji krzywiznowej; - ( p ),, - kąty występujące w prmetryzcji prostokreślnej; - - kąt występujący w prmetryzcji symetrycznej. Wtedy zleżność tryonometryczn wiążąc wielkości kątowe w prmetryzcji symetrycznej i prostokreślnej, po przeksztłceniu zleżności () npiszemy: sin cos sin. (4). Rozwiąznie oólne ukłdu równń równowi W postępowniu prktycznym dl prmetryzcji krzywiznowej uoólnione przekrojowe ij, będące rozwiązniem umowneo stnu błonoweo, są wyznczne z ukłdu równń, który po podstwieniu symboli Christoffel, orz stosownych przeksztłcenich dokonnych przy przejściu do wielkości fizycznych wzormi trnsformcyjnymi przyjmie postć:,,,,, Otrzymny ukłd równń jest ukłdem równń różniczkowych cząstkowych. Wprowdzjąc do trzecieo równni ukłdu równń (5) związek między krzywiznmi w postci: siły (5) t (6) npiszemy: t. ( 7) odstwienie (7) do pierwszeo równni ukłdu (5), d po przeksztłcenich i zpis knoniczny njprostszy z możliwych: F,,, (8) dzie:, F, (9)

4 ntomist wyruownie z dwóch osttnich równń ukłdu (5) wielkości wykorzystniu (7) dje:, przy F,, dzie funkcję F określono w nstępujący sposób:. () F,. () o obustronnym zróżniczkowniu równń (8) i (), nstępnie wyruowniu druiej pochodnej z wyrżeni, równń równowi w nstępującej postci:, uzyskmy poszukiwne równnie rozwiązujące ukłd F,,,, F () Otrzymne równnie jest równniem różniczkowym cząstkowym druieo rzędu. okżemy terz możliwość dlszeo uproszczeni teo równni, wykorzystując do teo celu wzjemne powiązni z różnych prmetryzcji. W tym celu, wykorzystując zleżności: () i (4) orz podstwowe wzory eometrii różniczkowej. Określimy dl prmetryzcji krzywiznowej wielkości pomocnicze opisujące pierwistki ze współczynników pierwszej formy różniczkowej:, chu ct. () sin Tk przyotowne związki orz ich zleżności zpisne w różnych konfiurcjch, pozwolą w procesie dlszeo dziłni rozwiązująceo n zminę zmiennej z wykonniu stosownych podstwień i przeksztłceń, otrzymno równnie: f, f, t F F,, u n. o ct, (4) dzie funkcję f określono w nstępujący sposób: f. (5) t Jeśli złożymy rozwiąznie o rozdzielonych zmiennych, to otrzymmy równnie różniczkowe zwyczjne druieo rzędu, o stłych współczynnikch:

5 f ct. (6), f t F F, Uzyskne równnie pozwoli przedstwić pełne rozwiąznie nlityczne zmknięte dl dowolnych obciążeń, porównnie z równniem (), dje wyobrżenie o korzyścich uzysknych po wprowdzeniu powiązń pomiędzy różnymi prmetryzcjmi., 4. rzypdek dowolneo obciążeni Jeżeli wektor w ukłdzie odniesieni m skłdowe obciążeni, to z równości: X Y,, Z i są to odpowiednie funkcje X i Y j Z k r r m, (7) wyznczymy skłdowe,, w bzch loklnych. o rozwiązniu odpowiednich ukłdów równń, otrzymuje się; cos u Ysinhu sinu Zb coshu X sinh u, Y cos u X sin u, (8) b u Y sinu Z tnhu b X cos. 5. Rozwiąznie dl obciążeni symetryczneo Symetryczny sposób obciążeni płszcz powłoki przy uwzlędnieniu np. oddziływniem ciężrem włsnym, będzie występowł przy ustwieniu powłoki równolele do kierunku rwitcji. Wtedy skłdowe wektor obciążeni:,, będą określone wyrżenimi: cosh u Zb,, ct cos Z tnh u. (9) Równnie rozwiązujące (4) dl symetryczneo sposobu obciążeni po podstwieniu opisów (9) do (9) i () npiszemy: Z ct. (), Rozwiąznie równni () jest rozwiązniem n etpie cłki szczeólnej dl przypdku obciążeni symetryczneo. Siły przekrojowe otrzymmy wykonując proste cłkowni i przeksztłceni wyprowdzonych równń. Wtedy:

6 ,, dzie: - jest funkcją określoną w nstępujący sposób: tn, () Z sin cosh u sinh u coshu u sin 4 cos 4 tnhu C ct () ntomist C jest stłą wyznczoną z wrunku n brzeu swobodnym z zleżności: k ( k ) u u. () 6. Rozwiąznie dl obciążeni ntysymetryczneo Rozwiąznie dl ntysymetryczneo sposobu obciążeni płszcz powłoki przy uwzlędnieniu np. wpływu ciężru włsneo otrzymmy obliczjąc powłokę jko wspornik. Wtedy skłdowe wektor obciążeni,, będą określone wyrżenimi: Ysinhu sin, Ycoshu cos u, u sin cos Y sin u. (4) Równnie rozwiązujące (6) npiszemy w nstępującej postci: f, sin f Y ct u. (5) Funkcj f, jko rozwiąznie równni (5) będzie określon wzorem: f cos * Y f sin u, (6) cos h d cos sin h d Ccos C sin f * sin dzie: * - ozncz rozwiąznie będące funkcją jednej zmiennej, ntomist funkcję h określ wzór: h sin cos. (7) 4 sin Zestwienie wzorów opisujących siły przekrojowe dl ntysymetryczneo sposobu obciążeni: f ct f du,,, t sin. (8)

7 7. rzykłd zstosowni Dl otrzymneo rozwiązni, przeprowdzono przykłdowe obliczeni. rzyjęto żelbetową powłokę hiperboloidlną o wysokości: z = m, ksztłtowną z przeznczeniem n płszcz chłodni kominowej. Złożono beton klsy B5, ntomist rubość ścinki przyjęto: h =, m. Obliczeni wykonno wykorzystując włsne procedury obliczeniowe zpisne w języku FORTRA, dl których lorytmem zpisnym w języku nturlnym jest przedstwione rozwiąznie. złączonych wykresch przedstwiono wrtości sił przekrojowych. Ze wzlędu n chrkter rozwiązni, dl stnu symetryczneo S przedstwiono wykresy dl pojedynczych południków (rys. ), ntomist dl stnu ntysymetryczneo przedstwiono wykresy przestrzenne (rys., b, c). [k/m] Rys z,[ m] 5 75 Mx ( [m], 9[ ]) = 97.7 [k/m] Min ( [m], 7[ ]) = -97,7 [k/m] u [ ] Rys.. 6, [k/m], [k/m] z,[ m] u [ ] z,[ m] u [ ] Mx ( [m], 8[ ]) = 5.9 [k/m] Min ( [m], [ ]) = [k/m] Rys. b. Mx ( [m], 9[ ]) = 96. [k/m] Min ( [m], 7[ ]) = [k/m] Rys. c. Rys.. Siły przekrojowe Rys.. Siły przekrojowe Rys.. Siły ij dl symetryczneo stnu obciążeni. ij dl ntysymetryczneo stnu obciążeni:, Rys. b. Siły, Rys. c. Siły.

8 8. odsumownie Wybór n powierzchni środkowej odpowiedniej prmetryzcji umożliwi uproszczeni rchunkowe n różnym etpie rozwiązywni powłoki. Wynikją one z opisu eometrii powierzchni środkowej. Znjomość funkcji przejści i wzjemnych relcji pomiędzy poszczeólnymi współrzędnymi w wykorzystywnych prmetryzcjch umożliwił uproszczenie równń rozwiązujących powłokę hiperboloidlną. Dl równń równowi uzyskno równnie rozwiązujące cząstkowe druieo rzędu. Dokonując rozdzieleni zmiennych otrzymno równnie różniczkowe zwyczjne druieo rzędu o stłych współczynnikch - równnie (6). Rozwiąznie zpisne w oólnej postci zostło przedstwione dl dowolneo sposobu obciążeni. Dl obciążeni symetryczneo i ntysymetryczneo po obwodzie podno rozwiąznie w postci zmkniętej opisujące siły przekrojowe ij - wzory () i (8). rost form opisu sił przekrojowych przedstwion w sposób nlityczny i zwrt w zbiorze funkcji elementrnych brdzo ułtwi obliczeni inżynierskie. Otrzymne rozwiązni nlityczne moą służyć jko nrzędzie do testowni rozwiązń numerycznych i budowni niezleżnych prormów n EMC. Litertur [] BIELAK S., ieliniow teori powłok, cz. II, Wyższ Szkoł Inżyniersk w Opolu, Studi i Monorfie, zeszyt 8, Opole 995. [] KODERLA., Mechnik cił odksztłclneo o nrstjącej msie, olitechnik Wrocłwsk, seri: Monorfie, zeszyt, Wrocłw 986. [] KRAWCZYK J., Teori powłok. Ujęcie symetryczne nieliniowości eometrycznej, Wyższ Szkoł edoiczn w Opolu, Studi i Monorfie, zeszyt, Opole 99. [4] WOŹIAK Cz., ieliniow teori powłok, ństwowe Wydwnictwo ukowe, Wrszw 966. [5] WOŹIAK Cz., odstwy nieliniowej mechniki powłok, olsk Akdemi uk, IT, W Wrszw 978. STATICS OF MEMBRAE STATE OF HYERBOLOIDAL SHELL Summry Interdependences between descriptions of stte of stress, bsed on vrious prmetriztions introduced for middle surfce of shell re discussed in the pper. Complete nlitic solutions for symmetric nd ntisymmetric lod, obtined usin vrious prmetriztions re presented. rcticl simplifictions for obtined results of system of blnce equtions tht result from utiliztion of prticulr prmetriztions re discussed.

9 STATYKA STAU BEZMOMETOWEGO OWŁOKI HIERBOLOIDALEJ Streszczenie rzedmiotem refertu jest powłok hiperboloidln poddn obciążeniu ciężrem włsnym. W prcy uwzlędniono wzjemne powiązni pomiędzy wprowdzonymi n powierzchni środkowej różnymi prmetryzcjmi. Umożliwiło to pdnie pełneo zmknięteo nlityczneo rozwiązni n etpie cłki szczeólnej dl symetryczneo i ntysymetryczneo sposobu obciążeni. okzno uproszczeni, jkie po wykorzystniu związków łączących poszczeólne prmetryzcje otrzymno w równniu rozwiązującym ukłd równń równowi. okzno prktyczne wykorzystnie otrzymneo rozwiązni.