Zasada bezwładności. Isaac Newton

Transkrypt

1 Prawa ruchu Zasada Zasada bezwładności Druga Druga zasada dynamiki i równania ruchu Ruch Ruch swobodny i nieswobodny Przykłady rozwiązywania równań ruchu Opis Opis ruchu w nieinercjalnym układzie odniesienia

2 Zasada bezwładności Zasady matematyczne filozofii naturalnej (1687) Dzieło to zawiera idee czasu absolutnego i przestrzeni absolutnej oraz zasady dynamiki (newtonowskiej) Isaac Newton Czas absolutny, prawdziwy i matematyczny, sam z siebie i przez swą naturę upływa równomiernie bez związku z czymkolwiek zewnętrznym i inaczej nazywa się trwaniem... Przestrzeń absolutna, przez swą naturę, bez związku z czymkolwiek zewnętrznym, pozostaje zawsze taka sama i nieruchoma...

3 Zasada bezwładności Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, jeśli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego stanu. Pytanie: Względem jakiego układu obserwujemy ten ruch? Odpowiedź: Względem układu inercjalnego Zasada bezwładności jest więc postulatem istnienia układu inercjalnego Istnieje układ inercjalny (to znaczy taki, w którym ciało, na które nic nie działa, spoczywa lub porusza się bez przyspieszenia)

4 Jeśli istnieje jeden układ inercjalny, to każdy inny układ poruszający się względem niego z prędkością V= constjest też układem inercjalnym; istnieje więc nieskończenie wiele układów inercjalnych Gdzie szukać układu inercjalnego? Rotacja Ziemi a Z ms 2 Obieg wokół Słońca a O ms 2 Obieg Słońca w Galaktyce a S ms 2 itd.

5 Druga zasada dynamiki i równania ruchu Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona Rozważamy przybliżenie nierelatywistyczne (v/c << 1, r/c << t). Będziemy najpierw rozważali model matematyczny: dynamikę cząstki. W tym modelu zakładamy, że zmiana ruchu cząstki następuje wskutek oddziaływania na nią otoczenia ( reszty wszechświata ). To oddziaływanie przedstawiamy ilościowo przez działającą na cząstkę siłę. Dopiero potem będziemy rozważali oddziaływania między cząstkami.

6 Druga zasada dynamiki i równania ruchu akcelerator (1) działa na cząstki 1 i 2 nadając im przyspieszenia a 1 i a 2 Można dobrać takie liczby dodatnie m 1 i m 2 żeby była spełniona równość m 1 (1) a 1 (1) = m 2 (1) a 2 (1) Model akceleratora akcelerator (2) działa na te same cząstki. Okazuje się, że zachodzi równość k m 1 (2) a 1 (2) = k m 2 (2) a 2 (2) Liczba dodatnia k jest dowolna, więc możemy ją wybrać tak, aby k m 1 (2) = m 1 (1) ; wówczas także k m 2 (2) = m 2 (1). Liczby m 1, m 2, zwane masami bezwładnymi, zależą od cząstek, natomiast są niezależne od akceleratorów, możemy więc opuścić indeksy (1) i (2) i ustalić jednostkę masy przyjmując np. m 1 = m

7 Działając tym samym akceleratorem na masy m i m 2 znajdujemy ma 1 = m 2 a 2 stąd m 2 = (a 1 /a 2 )m Jednostka masy bezwładnej: 1 kilogram Druga zasada dynamiki Newtona: ma = F F nazywamy siłą Druga zasada dynamiki jest Jednostka siły: 1 niuton 1) wnioskiem z doświadczeń, 1 N = 1 kg 1 ms -2 2) definicją nowych wielkości Ważne wnioski z doświadczeń: Zasada niezależności działania sił: F 1 = ma 1, F 2 = ma 2 ; jeżeli siły F 1 i F 2 działają niezależnie, to a = a 1 + a 2, F = F 1 + F 2 = m(a 1 + a 2 ) = ma Zasada addytywności masy: F 1 = m 1 a 1, F 2 = m 2 a 2 ; F 1 + F 2 = (m 1 + m 2 )a

8 Podstawowe zagadnienie dynamiki: dana jest siła F, znaleźć r = r(t) F = F(r, v, t) m(d 2 r(t)/dt 2 ) = F(r, dr/dt, t) Równania ruchu to układ trzech równań różniczkowych drugiego rzędu. Rozwiązanie tego układu zależy od sześciu stałych dowolnych x = x (t, C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6 ) y = y (t, C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6 ) z = z (t, C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6 ) Aby ruch badanego ciała był całkowicie znany trzeba wyznaczyć wartości tych sześciu stałych na podstawie sześciu warunków początkowych: Dla t = t o : r(t o ) = r o oraz v(t o ) = v o Zasada przyczynowości mechaniki klasycznej: znajomość stanu początkowego ruchu ciała pozwala jednoznacznie określić stan jego ruchu w chwilach wcześniejszych i późniejszych.

9 P. S. Laplace Inteligencja, która by w danej chwili znała wszystkie siły, które działają w przyrodzie oraz wzajemne położenia bytów ją tworzących i przy tym byłaby dostatecznie obszerna, by te dane poddać analizie, mogłaby w tych samych wzorach objąć ruch największych ciał wszechświata i najmniejszych atomów: nic nie byłoby dla niej niepewne i zarówno przyszłość jak przeszłość byłyby dostępne dla jej oczu. Umysł ludzki daje słaby zarys tej inteligencji, której doskonałość mógł osiągnąć tyko w astronomii. Wiemy dziś, że ten determinizm mechaniki klasycznej nie stosuje się do ruchu obiektów mikroświata

10 W mechanice klasycznej F = m[d 2 r(t)/dt 2 ]= m[dv(t)/dt] = d(mv(t))/dt F = dp/dt, gdzie p = mv to pęd cząstki m = const Jest to równanie ogólniejsze od równania F = ma ponieważ pozwala znaleźć poprawny opis ruchu ciała nawet gdy zmienia się jego masa (np. ruch rakiety) Całkując równanie dp/dt = F w przedziale czasu t t o mamy (dp/dt)dt = Fdt p(t) p(t o ) = Fdt = I gdzie wektor I nazywa się popędem siły Jednostka pędu: 1 kilogramometr na sekundę = 1 kg m s -1 Jednostka popędu: 1 niutonosekunda = 1 N s

11 Z doświadczeń wynika, że przy znacznych prędkościach zależność między pędem i prędkością przybiera postać p = γmv gdzie γ jest czynnikiem Lorentza. Dwa podejścia: 1.Utrzymujemy wzór klasyczny p = mv, ale przyjmujemy, że masa zmienia się z prędkością według wzoru m = γ m 0 gdzie m 0 nazywa się masą spoczynkową (m 0 = m dla v = 0, czyli γ = 1) 2. Uznajemy, że jedynym poprawnym wzorem na pęd jest p = γmv, wówczas nie trzeba wprowadzać pojęcia masy spoczynkowej [nawet dla β = 0,1 γ 1,005] Meyer i inni (1963) Pomiar dla β = 0,990, γ 7,1 γ p/γmv = 1,00037 ± 0,00036

12 Ruch swobodny i nieswobodny Ciało w spoczynku: v = 0 Ciało w równowadze: a = 0 Ciało w równowadze statycznej: v = 0 oraz a = 0

13 Liczba stopni swobody ciała: f = 3 k, gdzie k jest liczbą równań opisujących więzy. Więzy skleronomiczne (stacjonarne) - nie zależą explicite od czasu Więzy reonomiczne -zależą explicite od czasu

14 Ze względu na istnienie więzów wprowadzamy do równań ruchu poza siłami zewnętrznymi F(v, r, t) dodatkową siłę reakcji F R (reakcja więzów): md 2 r/dt 2 = F(r, v, t) + F R Reakcja więzów jest zwykle prostopadła do powierzchni lub krzywej więzów (więzy idealne); siła tarcia F T, styczna do więzów, jest siłą zewnętrzną

15 Przykłady rozwiązywania równań ruchu 1. Siła sprężysta F= kr (jest to siła centralna) Cząstka poruszająca się pod wpływem siły sprężystej to oscylator harmoniczny md 2 r/dt 2 = kr d 2 r/dt 2 + ω o 2 r= 0 gdzie ω o 2 = k/m Rozwiązanie tego układu trzech niezależnych równań różniczkowych dla składowych r ma postać r = Acos ω o t+ Bsin ω o t A i B wyznacza się z warunków początkowych r(t o ) = r o ; v(t o ) = v o v = Aω o sin ω o t+ Bω o cos ω o t r o = A, v o = Bω o Zatem r(t) = r o cos ω o t+ (v o /ω o )sin ω o t Ruch jest płaski, odbywa się w płaszczyźnie r o,v o a torem w ogólnym przypadku jest elipsa

16 Wahadło sprężynowe Jest to przypadek jednowymiarowy y = 0, x = 0, f = 3 2 = 1 Siła sprężysta F s = k(z l) Siła ciężkości F g = mg równanie ruchu d 2 z/dt 2 = k(z l) + mg ma rozwiązanie statyczne (d 2 z/dt 2 = 0) z = z o = l + mg/k = constans Wprowadzenie nowej zmiennej ψ = z z o d 2 ψ/dt 2 + ω o2 ψ = 0 Rozwiązanie ψ = A cos (ω o t+ φ) = A 1 cos ω o t+ B 1 sin ω o t A, φ albo A 1,B 1 z warunków początkowych ψ(t = 0), dψ/dt(t = 0) [to rozwiązanie jest poprawne gdy masa sprężyny m s << m]

17 Siła sprężysta powstaje przy odkształceniu ciał; np. dla wydłużenia mamy empiryczne prawo Hooke a F = E S ( l/l) E - moduł Younga (naprężenie, przy którym długość wzrosłaby dwukrotnie); granica proporcjonalności Pr jest dużo mniejsza i niewiele niższa.od granicy wytrzymałości Cu: E = 1, N/m 2 Pr = 1, N/m 2

18 2. Opory ruchu Tarcie występuje przy zetknięciu ciał; wniosek z doświadczeń siła tarcia F T = i v µf n nie zależy od powierzchni S Z doświadczenia wynika, że trzeba rozróżniać tarcie statyczne µ s i tarcie kinetyczne µ k Zachodzi µ s > µ k Przykładowo: stal + lód µ s = 0,027, µ k = 0,014 drewno + drewno µ s = 0,65, µ k = 0,4-0,2 Równanie ruchu: ma = F i v µ k F n

19 Ten prosty fenomenologiczny opis tarcia jest przybliżony i komplikuje się w skrajnych warunkach, gdy np. okazuje się, że współczynnik tarcia kinetycznego zależy od prędkości i siły nacisku Tarcie jest powodowane przez oddziaływanie elektromagnetyczne między cząstkami stykających się ciał

20 Poza tarciem poślizgowym mamy tarcie toczne F Tt = µ t F n /r współczynnik tarcia tocznego µ t (wymiar długości!) jest zwykle bardzo mały Przykładowo: drewno + drewno µ t = 0,0005 m stal hartowana + stal µ t = 0,00001 m

21 Tarcie wewnętrzne (lepkość) płynów (cieczy i gazów) F L = i v ηs (dv/dz) η -współczynnik lepkości jednostka η = 1 N s m 2 Typowe wartości η (293 K) woda η 10 3 N s m 2 gliceryna η 1,5 N s m 2 powietrze η 1, N s m 2

22 Ruch ciał stałych w płynach Siła nośna F N Siła oporu czołowego F 0 = i v C S (ρv2 /2) ρ -gęstość płynu S - powierzchnia rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do wektora v C - bezwymiarowy współczynnik zależny od kształtu ciała, jego orientacji względem v i od liczby Reynoldsa Re = v l ρ/η (l - wymiar liniowy ciała, prostopadły do v) Przy ustalonych wartościach l, ρ, η wartość C zależy od prędkości Przykład: dla kuli (S = πr 2, l = 2r) przy bardzo małych Re << 1 Stokes znalazł wzór C = 24/Re F = C S (ρv 2 /2) = (24η/2rvρ) (πr 2 ) (ρv 2 /2)= 6πηrv

23 Ogólnie dla małych Re: C = (24/Re)[1 + (3/16)Re (19/1280)Re ] także empiryczny wzór C = A Re m, gdzie m z doświadczenia [dla Re 0, A = 24, m = 1 (wzór Stokesa), dla 50 < Re < 1000, A = 4, m = 0,3] C = 24/Re

24 Przykład: ruch kulki w płynie przy małej Re mdv/dt = mg i v 6πηrv (4/3)πr 3 ρ p g siła oporu siła wyporu prędkość graniczna v gr = const, kiedy a = 0 v gr = (mg m p g)/6πηr = (2/9) r 2 g (ρ ρ p )/η

25 3. Siła Lorentza Pole elektryczne charakteryzujemy przez wektor natężenia pola E; na przykład pole ładunku punktowego Q o ma E = i r Q o /4πε o r2. W polu elektrycznym na ładunek Q działa siła F E = QE Pole magnetyczne charakteryzujemy przez wektor indukcji magnetycznej B; w polu takim na ładunek poruszający się z prędkością v działa siła F B = Qv B W ogólnym przypadku na ciało o ładunku Q poruszającą się w układzie U z prędkością v działa siła Lorentza F = F E + F B = QE + Qv B [E] = N/C = kg m/s 3 A (wolt na metr) [B] = N s/c m = kg/s 2 A (tesla = 10 4 gausów)

26 Przykład: Ruch w polu elektrycznym Pole stałe, jednorodne F = [0, QE] Równania ruchu w obszarze pola md 2 x/dt 2 = 0 md 2 y/dt 2 = QE Całkowanie równań ruchu daje dx/dt = C 1, x = C 1 t + C 2 dy/dt = (QE/m)t + C 3, y = (QE/m)t 2 /2 + C 3 t + C 4 Warunki początkowe: x(0) = y(0) = 0, (dx/dt) t = 0 = v x, (dy/dt) t = 0 = 0 Zatem x = v x t, y = (QE/m)t 2 /2 = (QE/2m)x 2 /v x 2 Ruch w polu odbywa się do x = L, następnie cząstka porusza się ruchem jednostajnym po prostej w obszarze bez pola. Znając wartość v x można wyznaczyć Q/m

27 Przykład: Ruch w polu magnetycznym Na rozważaną cząstkę o ładunku Q i prędkości v działa siła Lorentza F = Qv B F = QvB sin (v, B) Qv B = Q ix iy iz dx dy dz dt dt dt 0 0 B Dla B wzdłuż osi z: F = Qv B = [Bdy/dt, Bdx/dt, 0]. Jeżeli prędkość początkowa v 0 jest wzdłuż osi y (prostopadła do B), to ruch odbywa się w płaszczyźnie x,y po okręgu o promieniu r = mv 0 /QB = v/ω ω = QB/m częstość cyklotronowa

28 W ogólnym przypadku, gdy wektory v i B tworzą kąt α można rozłożyć v na składowe: równoległą do pola B: v = v cos α oraz prostopadłą do B: v = v sin α Składowa v powoduje jednostajny ruch cząstki (dryf) w kierunku B, toteż torem wypadkowym jest wówczas helisa Przykład: proton pierwotnego promieniowania kosmicznego w polu magnetycznym Ziemi. B (blisko powierzchni) 1, T v m/s; Q 1, C; F B = Q v B 6, N siła grawitacyjna F g = m p g 1, kg 9,81 m/s 2 1, N jest mniejsza o osiem rzędów wielkości!

29 Pierścienie Van Allena wokół Ziemi i innych planet mających pole magnetyczne Pole B nie może zmienić energii kinetycznej cząstki E k = m(v 2 + v 2 ) = const, ale v zależy od B, więc kiedy cząstka wędruje w obszar silniejszego pola mamy E k E k sin α = v /v 1 i następuje odbicie ( lustro magnetyczne )

30 B 0 E 0 B 0 E = 0 Obecność pola magnetycznego i elektrycznego zależy od ruchu obserwatora!

31 Metoda parabol Thomsona widok z góry, oś z skierowana za kartkę, a wektor B skierowany prostopadle do rysunku, do nas mamy teraz także pole E skierowane przeciwnie do B, wzdłuż osi z

32 parabola dla cząstek o różnych wartościach v 0 i tym samym stosunku Q/m i parabole dla cząstek o tym samym ładunku Q ale różnych masach Stosując metodę parabol J. J. Thomson odkrył w 1913 r. istnienie izotopów neonu 20 Ne i 22 Ne, co zapoczątkowało spektroskopię masową

33 Taki selektor prędkości znalazł zastosowanie w spektrometrii masowej, np. w spektrometrze Bainbridge a W skrzyżowanych polach B i E cząstka o prędkości v 0 prostopadłej do wektorów B i E i spełniającej warunek v 0 = E/B nie doznaje żadnego odchylenia. Skrzyżowane pola B i E działają jak selektor prędkości

34 Jednorodne pole magnetyczne ma właściwość ogniskowania cząstek Cząstki o różnych masach uderzają w kliszę w różnych odległościach od szczeliny

35 Opis ruchu w nieinercjalnych układach odniesienia Układ inercjalny U; obserwowane przyspieszenie a Układ U ma względem U przyspieszenie a unoszenia = a rotacji + a translacji w układzie U obserwuje się przyspieszenie a a = a + a unoszenia Ograniczamy się do przypadku jednostajnego obrotu U względem U (ω = const) oraz a translacji = 0 w tym wypadku a 2 ω v, ω ( ω r, ) u = + Obserwator O obserwuje siłę F = ma = ma ma u = F + F bezwładności u ( ) ma = 2mω v mω ω r,, { siła bezwładności Corliolisa F BC { siła bezwładności odśrodkowa F Bo

36 Porównanie punktów widzenia obserwatorów przy ruchu postępowym układów

37 Porównanie punktów widzenia obserwatorów przy ruchu obrotowym układów

38 Przez dobór układu U tak, aby a = 0, sprowadzamy zagadnienie dynamiczne do zagadnienia statycznego F + F B = 0 Zasada d Alemberta Siły bezwładności nie są związane z żadnymi oddziaływaniami; nazywa się je czasem siłami pozornymi Szczególnym przykładem układu nieinercjalnego jest układ spadający swobodnie w polu siły ciężkości F B = mg F = mg m W spadającej swobodnie windzie ciało spoczywa, gdyż wypadkowa siły ciężkości i siły bezwładności jest zero stan nieważkości

39 Przykłady interpretacji doświadczeń