ZASTOSOWANIE TRANSFORMAT FALKOWYCH DAUBECHIES W KOMPRESJI OBRAZU

Transkrypt

1 STUDIA IFORMATIA 008 Volume 9 umber 75 Mara SUBLEWSA-PASZOWSA Jaub SMOŁA Poltechna Lubelsa Instytut Informaty ZASTOSOWAIE TRASFORMAT FALOWYH DAUBEHIES W OMPRESJI OBRAZU Streszczene. Transformaty falowe są coraz częśce stosowane w ompres obrazów. ażda transformata posada nne właścwośc tóre wpływaą na aość obrazu sompresowanego. W artyule przedstawono rodznę transformat falowych Daubeches oraz transformatę Haara ch wpływ na stratną ompresę sześcu przyładowych obrazów. Do oceny aośc obrazu sompresowanego zostały użyte mary uwzględnaące różnce wartośc psel obrazu orygnalnego sompresowanego ch orelacę mary wdmowe oraz mary rawędzowe. Słowa luczowe: ompresa falowa transformaty falowe błędy ompres THE PRATIAL USE OF DAUBEHIES WAVELET TRASFORM I IMAGE OMPRESSIO Summary. Wavelet transforms are more and more often mplemented n mage compresson. Each transform possesses ts own unque features whch nfluence on the qualty of compressed mage. In ths artcle a famly of Daubeches wavelet transforms and Haar transform are presented and ther nfluence on lossy compresson of sx dfferent mages. The qualty of compressed mages was evaluated wth measures based on the dfference between orgnal and compressed pxels correlaton measures spectral and edge measures. eywords: wavelet compresson wavelet transform compresson dstorton. Wstęp Stratna ompresa falowa polega na wygenerowanu obrazu wynowego tórego rozmar est mneszy w stosunu do orygnalnego. zęsto aość obrazu sompresowanego est gorsza od obrazu poddawanego ompres. Stopeń ompres oraz aość obrazu po

2 6 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła ompres są uzależnone od transformaty falowe zastosowane w ompres. Wpływa ona na właścwośc sompresowanego obrazu tóre mogą dotyczyć wartośc poedynczych psel ch orelac zneształceń rawędz obrazu orygnalnego oraz reprezentac wdmowe obrazów. Przedstawone wyn zostały uzysane dla transformat Daubeches stopn oraz transformaty Haara tóre zostały zastosowane do ompres sześcu obrazów. Transformaty Daubeches stopna charateryzuą sę własnoścą tóra zapewna zerowe bądź blse zeru detale eśl na przedzale nośna fal sygnał est równy welomanow stopna mneszego nż /. echa ta pownna polepszać aość obrazu sompresowanego eśl wartośc puntów obrazu tworzą weloman stopna mneszego nż /. Za pomocą przedstawonych mar aośc obrazu zostały wybrane te transformaty falowe dla tórych uzysane zostały namnesze błędy ompres dla obrazów syntetycznych fotografcznych.. Podstawowe poęca Fala est funcą przedstawoną wzorem [ 8]: t b ψ ab t ψ a Jest to funca podstawowa na baze tóre budowane są rodzny fale przez przesuwane rozcągane fal bazowe za pomocą parametrów a b. Parametry te są lczbam rzeczywstym a dodatowo parametr a est węszy od ednośc. Za pomocą parametru a funca falowa pozwala na wyszczególnene charaterystycznych cech sygnału tach a ego dynam oraz rótotrwałych zman. Parametr zapewna zachowane energ sygnału na olenych pozomach rozdzelczośc. Zaletą func falowych est dobra oncentraca względem czasu częstotlwośc. Funca falowa oscylue sąd pochodz e nazwa. Jest to własność fal tórą można zapsać równanem [ 8]: ψ t 0 Z poęcem fal zwązane est poęce func saluące oraz równana func saluące 4. Funca saluąca est zdefnowana równanem 3 [ 8]: m / m ϕ t ϕ t n 3 mn gdze: m oznacza współczynn sal a n współczynn przesunęca. Oba parametry są lczbam całowtym m n

3 Zastosowane transformat falowych Daubeches w ompres obrazu 7 Dla func saluące spełnone est równane [ 8]: ϕ t a ϕt 4 0 gdze: a oznacza współczynn func saluące a ch lczbę. Rozwązane równana 4 możlwe est edyne gdy suma wszystch współczynnów wynos. Funca ta ne est falą poneważ ne spełna warunu. Funca saluąca est funcą znormalzowaną [8]: ϕ x 5 Za pomocą func saluące można zdefnować funcę falową [ 8]: ψ t d ϕ t 6 0 gdze: d est współczynnem falowym. Transformata falowa est dzałanem polegaącym na podzale obrazu orygnalnego na obraz zgrubny zaweraący uśrednoną nformacę o ompresowanym obraze oraz szczegóły wylczone na olenych -tych pozomach rozdzelczośc. W ompres obrazów do oblczena transformaty używane są zespoły fltrów dolnoprzepustowych h oraz górnoprzepustowych g. ąg współczynnów falowych est uzyswany przez deompozycę dysretną f sygnału f n na obraz zgrubny oraz reprezentacę szczegółową n co można przedstawć za pomocą równań 7 oraz 8 []: f n hnl l nl f l d g f 8 n l l Fltr dolnoprzepustowy h est budowany za pomocą func saluące ϕ 9 [] natomast górnoprzepustowy g est tworzony z wyorzystanem func falowe ψ 0 []: t ϕ hnϕ t n 9 n Z t ψ g nψ t n 0 n Z Do oblczena sygnału orygnalnego za pomocą współczynnów falowych służy odwrotna transformata falowa []. Złożene sygnału na olenych pozomach szczegółowośc polega na sploce szczegółów z -tego pozomu rozdzelczośc z fltrem zsumowana go ze splotem obrazu zgrubnego na -tym pozome aprosymac z fltrem f n l h + ln f l + l g ln d l f n g d n 7 oraz + h.

4 8 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła + Fltry h oraz g zdefnowane są następuąco []: + ϕ t h ϕt ψ t g ψ t 3 Algorytm Mallata [] transformaty falowe proste odwrotne dla obrazów przedstawony est na rys.. a b Rys.. Schemat Mallata: a deompozyc obrazu b reonstruc obrazu Fg.. Mallat s scheme of: a mage decomposton b mage reconstructon Z lczbą nezerowych współczynnów transformaty falowe zwązane est poęce nośna func oznaczaącego przedzał czasowy w tórym sygnały elementarne są nezerowe []. ośn nazywamy zwartym gdy przedzał czasowy est przedzałem domnętym. Im dłuższy nośn posada funca falowa tym węce współczynnów nezerowych otrzymywanych est po transformace falowe. Jeśl funca saluąca posada nośn to taże fltr h posada ta sam nośn. Lczba współczynnów zerowych transformaty falowe est zwązana z momentam zerowym fal 4. Funca falowa posada q zerowych momentów eśl spełnone est równane 4 []: t ψ t dt 0 dla0 < q 4 Lczba momentów zerowych est ścśle zwązana z nośnem func. Jeśl fala ψ posada q zerowych momentów to nośn func est rozmaru co namne q []. Funcę falową należy dobrać ta aby został osągnęty omproms mędzy długoścą nośna lczbą momentów zerowych.

5 Zastosowane transformat falowych Daubeches w ompres obrazu 9 3. Transformaty falowe 3.. Transformata Haara Transformata Haara est naprostszą transformatą falową tóre funca falowa est przedstawona na rys. [5]. Rys.. Funca Haara Fg.. Haar functon Transformata ednopozomowa dzel sygnał na dwa podcąg o tae same lczbe elementów równe połowe długośc orygnalnego sygnału. Jeden cąg reprezentue średną wartość sygnału a drug detale flutuace. Współczynn detal oblczane są ao różnca dwóch sąsednch wartośc sygnału podzelonych przez do zera. dlatego węsza ch lczba dąży Zaletą transformaty Haara est zachowane węsze częśc energ sygnału na wszystch pozomach aprosymac dla dowolnego sygnału [9]. Transformata ta nalepe ompresue obrazy stałe. Wyna to z własnośc te transformaty mówące o uzysanu współczynnów detal równych w przyblżenu zero eśl na przedzale nośna transformowany sygnał est stały [9]. Dla sygnałów zróżncowanych transformata ta generue węszą lość nezerowych współczynnów detal co pogarsza suteczność te transformaty w ompres. Długość nośna func Haara est równa. Transformata Haara może być tratowana ao transformata Daubeches stopna drugego. 3.. Transformaty Daubeches Transformaty Daubeches [ 8 9] stopna 4..0 posadaą dłuższy nośn fal nż transformata Haara. Oznacza to że współczynn transformaty falowe wylczane są za pomocy węsze lczby współczynnów falowych oraz wartośc sygnału. Umożlwa to wyorzystane tych fale do lepsze ompres zróżncowanych sygnałów nż w przypadu transformaty Haara.

6 0 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła Transformaty falowe Daubeches zachowuą nalepszy omproms pomędzy długoścą nośna fal a lczbą e momentów zerowych gdyż posadaą namneszą możlwą długość nośna dla onretne lczby momentów zerowych. Funce saluące -pozomowe transformaty Daubeches -tego pozomu posadaą energę równą eden 5 [9] natomast ch suma est równa 6 [9]: α 5 α 6 Poneważ w transformatach Daubeches użyte są fltry lustrzane współczynn falowe transformaty Daubeches -tego pozomu zdefnowane są równanem 7 [ 9]: β a Współczynn falowe posadaą energę równą eden na ażdym pozome aprosymac -pozomowe transformaty Daubeches 8 [9]. Suma współczynnów równa est zeru 9 [9]: β 8 β 0 9 Transformaty z wyorzystanem fale Daubeches -tego pozomu dobrze zachowuą energę ompresowanego sygnału. Jedną z głównych własnośc transformat falowych Daubeches stopna est generowane zerowych lub blsch zeru współczynnów detal dla sygnałów przedstawaących welomany stopna mneszego nż / w przedzale nośna func falowe. Dzę tym cechom transformaty te są wyorzystane w ompres dla sygnałów różnych od stałych. Im węszy stopeń transformaty Daubeches tym węsze wygładzene sygnału est otrzymywane. 4. Porównawcze mary aośc obrazów Istnee wele mar za pomocą tórych można ocenać aość ompresowanych obrazów. Zastosowane mary można podzelć na następuące grupy [3]: mary bazuące na różncy wartośc odpowednch psel w obraze orygnalnym sompresowanym mary opsuące orelace pomędzy obrazem podstawowym wynowym

7 Zastosowane transformat falowych Daubeches w ompres obrazu mary porównuące rawędze w obraze orygnalnym sompresowanym mary oreślaące wdmowe różnce pomędzy obrazam W przypadu obrazów olorowych standard RGB należy prześć na trzy sładowe lumnanc chromnanc oreślaące natężene śwatła w obraze oraz odceń nasycene barwy. Sładowe lumnanc chromnanc ne są sorelowane w tam stopnu a sładowe RGB dlatego wyznaczony błąd est obarczony mneszą nedoładnoścą. a ażde sładowe oblczana est wybrana mara ompres następne sumowana ze wszystch sładowych dzelona przez lczbę sładowych. 4.. Mary różncy psel Mary te opsuą w am stopnu wartośc psel obrazu sompresowanego odbegaą od odpowadaących m wartośc psel obrazu orygnalnego. Im węsza est ta różnca tym aość ompres est gorsza. Jedną z podstawowych mar odzwercedlaących różncę pomędzy wartoścam psel w obraze orygnalnym sompresowanym est metrya Mnowsego [3]: / γ γ γ ε 0 Parametr oznacza loczyn lczby olumn werszy w obraze a oraz są macerzam dwuwymarowym zaweraącym wartośc sładowe odpowedno obrazu orygnalnego sompresowanego. Dla parametru γ otrzymywana est mara znana ao MSE Mean Square Error [3] a dla γ bezwzględna różnca pomędzy wartoścam obrazu orygnalnego sompresowanego MAE Mean Absolute Error [3]: MSE MAE oleną marą wynaącą z równana Mnowsego dla γ est zmodyfowana bezwzględna norma MI Modfed Infnty orm [3]. Parametr ten powodue wyszuane masymalne różncy pomędzy obrazem orygnalnym a sompresowanym umeszczene e na uporządowane rosnąco lśce oznaczone ao Δ dla.... Lsta ta zawera olene masymalne różnce odpowadaących psel w obraze orygnalnym wynowym. Mara MI dana est następuącym wzorem 3: MI r r m Δ m 3

8 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła Parametr r oznacza perwszych r masymalnych różnc dwóch rozpatrywanych obrazów. Poza zmaną wartośc psel w obraze sompresowanym może wystąpć przemeszczene onretnego psela w stosunu do obrazu orygnalnego. Mara tóra wyznacza błąd zwązany z przesunęcem psela w oreślonym otoczenu nos nazwę różncy w sąsedztwe D eghborhood Dfference [3]: D w w / { } d l m + mn { d l } mn l m w l m w m w / gdze w oznacza welość rozpatrywanego sąsedztwa psela o w werszach w olumnach. Parametr d est metryą odległośc daną wzorem [3]: l + m l m d l m + 5 G Parametry oraz G oznaczaą rozmary obszaru w tórym poszuwane est przemeszczene rozpatrywanego puntu obrazu. Przedstawone do te pory mary ompres są wylczane dla całowtego rozmaru obrazów. Można rozważyć podzał obrazu na r bloów z tórych ażdy ma rozmar na gdze r 3 4 log r r. Dla r rozdzelczość est równa rozmarow rozpatrywanego obrazu a dla r log 4 rozmar poedynczego blou est równy ednemu pselow. Różnce pomędzy obrazem orygnalnym a sompresowanym oblczane są dla ażdego blou osobno sumowane podzelone przez oreślone wag 6 [3]: Parametr d r g r r g 6 g oznacza wartość obrazu w punce o współrzędnych oraz w rozpatrywanym blou. Welorozdzelcza mara odległośc MDM Multresoluson Dstance Measure polega na zsumowanu odległośc d r sładowych obrazu lumnanc chromnanc 7 [3]: MDM R d r r dla wszystch pozomów szczegółowośc dla ażdych gdze oznacza lczbę pasm w obraze a R reprezentue pozom rozdzelczośc obrazu. Przyładowo dla obrazu wadratowego o rozmarach 5 5 R wynos 9. 7

9 Zastosowane transformat falowych Daubeches w ompres obrazu Mary orelac Jaość ompres może zostać przedstawona za pomocą mar orelac tóre za pomocą powązana obrazu orygnalnego sompresowanego odzwercedlaą ch stopeń podobeństwa [3]. Mara orelac tóra polega na wyznaczenu lorazu sumy wartośc obrazu orygnalnego sompresowanego dla ażde ze sładowych lumnanc chromnanc przedstawona est wzorem 8 [3]: BM Znormalzowana mara orelac M ormalzed ross orrelaton przedstawona est za pomocą równana 9: M Mara orelac zeanowsego zeanowsy Measure wyznacza podobeństwo pomędzy obrazem orygnalnym sompresowanym 30. Jeśl wartość psela obrazu sompresowanego est dentyczna z wartoścą w obraze orygnalnym błąd te mary dąży do edyn: + 0 mn M 30 Mary orelac mogą wyznaczać różnce pomędzy wetoram psel orygnalnego sompresowanego obrazu. Wetor należy rozumeć ao psele w onretnym olorze. W celu znormalzowana wartośc błędu wprowadzony został parametr π. awęsza różnca pomędzy obrazem orygnalnym a sompresowanym osągana est dla wartośc 0. W przypadu bezstratne ompres wartość błędu wynos. Średną różncę wetora MAD Mean of the Angle Dfference przedstawa równane 3 a 3 różncę welośc wetora AMD ombned Angle Magntude Dfference: MAD cos π 3

10 4 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła AMD cos π Mary rawędzowe Mary rawędzowe polegaą na porównanu rawędz obrazu orygnalnego oraz sompresowanego. Błędy ae mogą powstać po ompres to: necągłość rawędz wygładzene rawędz lub też ch przemeszczene. W tym celu należy wyodrębnć rawędze w tych dwóch obrazach e porównać. Oblczene rawędz zostało przeprowadzone za pomocą detec anna [4]. Mara rawędzowa użyta do badań transformat falowych est marą Pratta PM Pratt Measure [3] przedstawoną wzorem 33. PM max n d { } n n + d t ad Parametry n oraz n oznaczaą odpowedno lczbę rawędz w obraze porównawczym oraz porównywanym. Zmenna d t 33 reprezentue odległość -tego rawędzowego psela od nablższego psela rawędzowego w obraze sompresowanym. Element mary max n n } wyznacza przemeszczene rawędz. Zmenna a oreśla preferowaną szeroość { d t równą psela w dealne mape rawędz odnesena. d 4.4. Mary wdmowe Mary wdmowe polegaą na oblczenu różncy wartośc obrazów orygnalnego sompresowanego. Wartośc uzyswane są po oblczenu transformaty Fourera na obraze orygnalnym wynowym [3]: Γ m n 0 u ν m nexp π m exp πm 34 gdze: u v oznaczaą rzeczywstą urooną część lczb zespolonych uzysanych po transfermace Fourera. Parametr zmena sę od do lośc sładowych obrazu. Do oblczena mar została zastosowana szyba transformata Fourera Fast Fourer Transform. Mara zneształcena wdmowego fazowego SPD Spectral Phase Dstorton polega na oblczenu różncy faz dwóch obrazów 35 [3]: SPD u ν 0 ϕ u ν ϕ u ν 35

11 Zastosowane transformat falowych Daubeches w ompres obrazu 5 Ważona mara zneształcena wdmowego WSD Weghted Spectra Dstorton przedstawona est przez równane 36 [3]: WSD λ ϕ u ν ϕ u ν + + λ M u ν M u ν 36 u ν 0 u ν 0 Parametr ϕ oznacza fazę wdma a M reprezentue ego ampltudę. 5. Wyn Błędy ompres obrazów przedstawone w rozdzale 4 zostały oblczone dla transformaty Haara oraz transformat Daubeches pozomów dla obrazów syntetycznych 3 testowych 4. Obrazy syntetyczne zostały stworzone w ta sposób aby ch wartośc w olenych olumnach reprezentowały welomany odpowedno stopn oraz 3 a w werszach funcę stałą. Ze względu na ogranczena zwązane z wartoścą psel w obraze 0 55 w edne olumne olene wartośc obrazu zostały ułożone w welomany na przeman maleące rosnące. Obrazy syntetyczne testowe są olorowym obrazam wadratowym o wymarach 5 na 5 psel. a b c Rys. 3. Obrazy syntetyczne; welomany stopna: a b c 3 Fg. 3. Synthetc mages; polynomals degree: a b c 3 a b c Rys. 4. Obrazy fotografczne: a Lena.bmp b peppers.bmpc baboon.bmp Fg. 4. Test mages: a Lena.bmp b peppers.bmp c baboon.bmp Błędy ompres dla obrazów fotografcznych syntetycznych dla poszczególnych transformat zostały przedstawone na wyresach rys. 5 do rys. 8. Wszyste transformaty były

12 6 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła transfermatam 3-pozomowym. W ompres obrazów użyto odowana EZW Embedded Zerotree Wavelet [0]. a b c d e f Rys 5. Błędy różncy psel dla ompres falowe dla obrazów: a welomanu stopna b welomanu stopna c welomanu stopna 3 d Lena.bmp e peppers.bmp f baboon.bmp Fg. 5. MSE dstorton for wavelet compresson for mage: apolynomal degree b polynomal degree c polynomal degree 3 d Lena.bmp e peppers.bmp f baboon.bmp

13 Zastosowane transformat falowych Daubeches w ompres obrazu 7 a b c d e f Rys. 6. Błędy orelac dla ompres falowe dla obrazów: a welomanu stopna b welomanu stopna c welomanu stopna 3 d Lena.bmp e peppers.bmp f baboon.bmp Fg. 6. orrelaton dstorton for wavelet compresson for mage: a polynomal degree b polynomal degree c polynomal degree 3 dlena.bmp e peppers.bmp f baboon.bmp

14 8 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła a b c d e f Rys. 7. Błędy wdmowe dla ompres falowe dla obrazów: a welomanu stopna b welomanu stopna c welomanu stopna 3 d Lena.bmp e peppers.bmp f baboon.bmp Fg. 7. Spectral dstorton for wavelet compresson for mage: apolynomal degree b polynomal degree c polynomal degree 3 d Lena.bmp e peppers.bmp f baboon.bmp

15 Zastosowane transformat falowych Daubeches w ompres obrazu 9 a b c d e Rys. 8. Błędy rawędzowe dla ompres falowe dla obrazów: a welomanu stopna b welomanu stopna 3 c Lena.bmp d peppers.bmp e baboon.bmp Fg. 8. Edge dstorton for wavelet compresson for mage: apolynomal degree b polynomal degree 3 c Lena.bmp d peppers.bmp e baboon.bmp Dla obrazu przedstawaącego weloman stopna perwszego stopeń ompres obrazu został ustawony na 9. dla weloman stopna drugego 7.9 a dla welomanu stopna trzecego 5.7. Stopeń ompres dla obrazów testowych wynos. Stopne ompres zostały dobrane w ta sposób aby wdoczne były zneształcena obrazów sompresowanych możlwe było porównane wpływu transformat Daubeches na poszczególne błędy ompres. Dla obrazu reprezentuącego weloman stopna oraz namnesze błędy MSE MAE MI 3 oraz D 4 zostały osągnęte dla transformat Daubeches stopna mneszego nż / gdze oznacza stopeń transformaty. W przypadu welomanu stopna trzecego wyn ne są uż ta dealne. Zwązane est to z newystarczaącą lczbą próbe sygnału sładaących sę na weloman stopna 3 7 w porównanu z długoścą nośna transformaty Daubeches stopna mnmum ósmego. Dla obrazów testowych nagorszą transformatą oazała sę transformata Haara. Spowodowane est to długoścą nośna a taże co est z tym zwązane lczbą współczynnów fltrowych. Błędy dla transformat Daubeches są porównywalne. amnesze błędy dla

16 0 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła rozpatrywanych transformat są uzależnone od rodzau obrazów. abardze optymalne wydae sę stosowane transformat Daubeches co nawyże stopna ósmego. Błędy mar orelacynych dla wszystch testowanych transformat są porównywalne. Mnmalne nalepsza oazała sę transformata Haara tóra nalepe odzwercedla powązana pomędzy obrazem orygnalnym sompresowanym. awęsze zneształcena wdmowe zostały osągnęte dla ompres obrazów z zastosowanem transformaty Haara. alepszym transformatam oazały sę transformaty Daubeches stopna szóstego bądź ósmego. Wyąte stanow obraz syntetyczny welomanu stopna 3 dla tórego nawyższe wartośc wśród transformat Daubeches osąga transformata stopna 6. Błędy rawędzowe dla obrazu przedstawaącego weloman stopna są zerowe co est zgodne z rzeczywstoścą gdyż w obraze tym rys. a ne występuą rawędze. Dla obrazów testowych transformata Haara dała nalepsze wyn co udowadna że nalepe ą stosować do dobrego odzwercedlana rawędz. Dla węszośc obrazów lepsze odwzorowana obrazu orygnalnego otrzymywane są dla transformat Daubeches. W ompres obrazów nalepe swoą rolę spełnaą transformaty Daubeches co nawyże stopna ósmego co dowodz słusznośc postulatu przedstawonego we wstępe do artyułu. Zatem odpowedno do tego postulatu za główny powód przewag transformaty Daubeches co nawyże stopna ósmego est newystępowane w func Obrazowe welomanów stopna wyższego nż trzec. LITERATURA. Bałasewcz J.: Fal aprosymace. Wydawnctwo auowo-technczne Warszawa Schroeder P. Sweldens W.: Wavelets n omputer Graphcs Avcbas I.: Image qualty statstc and ther use n steganalyss and compresson. Bogazc Unversty Green B.: anny Edge Detecton Tutoral /can_tut.html 5. Sandberg.: The Haar wavelet transform /000Spr/Labs/Haar/haar.html Aprl Analza falowa

17 Zastosowane transformat falowych Daubeches w ompres obrazu 7. hrstopoulou E. B. Sodras A.. Reed T. R. hrstopoulus. A.: On the JPEG000 Implementaton on Dfferent omputer Platforms /pubs/ans-c36.pdf. 8. Daubeches I.: Ten lectures on wavelets. Rutgers Unversty and AT&T Bell Laboratores 9. Waler J. S.:A Prmer on Wavelets and ther Scentfc Applcatons. HAPMA & HALL/R. 0. Shapro J. M.: Embedded Image odng Usng Zerotrees of Wavelet oeffcents. IEEE Transactons On Sgnal Processng vol. 4 no. december 99. Recenzent: Dr hab. nż. Mara Petrusza prof. Pol. Łódze Wpłynęło do Redac 9 paźdzerna 007 r. Abstract More and more often wavelet transform s mplemented n mage compresson because of good approxmaton n tme and frequency. Each transform possesses ts own unque features whch nfluence on the qualty and compresson rate of ganed mage. The famly of Daubeches wavelet transforms s often used n mage compresson. One of the advantages of these -level Daubeches wavelets s ther ablty to generate the great numbers of small values zero or close to zero for detal coeffcents f the sgnal s the same as polynomal degree less than / over the support nterval. Haar transform whch can be treated as second Daubeches wavelet transform wavelet transform Daubeches for and 0 degree were mplemented n mage compresson. These transforms were evaluated wth dfferent measures whch can be dvded nto four categores. The frst one concerns the dfference between pxel values n orgnal and compressed mage the second one represents correlaton measures the thrd one spectral measures and the last one edge measures. Wavelet transforms were appled to dfferent synthetc mages whch represent polynomal frst second and thrd degree and test mages: lena.bmp peppers.bmp and baboon.bmp. For more measures Daubeches wavelets are better than Haar transform. In mage compresson the best applcaton s Daubeches wavelet transform equal or less than eght degree. It s caused by the lac of polynomal degree hgher than three n mages.

18 M. Sublewsa-Paszowsa J. Smoła Adresy Mara SUBLEWSA-PASZOWSA: Poltechna Lubelsa Instytut Informaty ul. adbystrzyca 36B 0-68 Lubln Polsa Jaub SMOŁA: Poltechna Lubelsa Instytut Informaty ul. adbystrzyca 36B 0-68 Lubln Polsa