U N I W E R S Y T E T M I K O Ł A J A K O P E R N I K A

Transkrypt

1 U N I W E R S Y E M I K O Ł A J A K O P E R N I K A WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA KAEDRA EKONOMERII I SAYSYKI Joanna Górka Wybrane repreenacje sochasycne ekonocnych seregów casowych (praca dokorska) Prooor: Prof. dr hab. Jóef Sawck oruń

2 SPIS REŚCI Wsęp... 3 Rodał I Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych Wprowadene Repreenacja ARMA Repreenacja presren sanów Repreenacja procesów sochasycnych w dedne cęsośc... 3 Rodał II Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych Repreenacja ARMA a repreenacja w dedne cęsośc Model ARMA a odel presren sanów Model presren sanów a spekru Prykłady ransforacj odel Funkcja najwęksej warygodnośc dla odelu presren sanów Rodał III Anala nuerycna ekonocnych seregów casowych Anala własnośc generowanych seregów... 6

3 Sps reśc 3. Zasosowane różnych repreenacj do odelowana prognoowana danych fnansowych 3.3 Wnosk Zakońcene Dodaek Leraura... 9

4 WSĘP Ekonocne sereg casowe sanową realacje ekonocnych procesów sochasycnych. Ich anale pośwęconych jes wele najnowsych publkacj, arówno w posac onograf, jak arykułów naukowych. Do opsu analy procesów gospodarcych wykorysywane są wcąż doskonalse odele ekonoerycne. Wsyske one ają na celu lepej opsać dane jawska ekonocne uyskać lepse wynk prognosycne. Różne odele opsujące echan rowoju jawska w case ne wyklucają sę, a wręc precwne powalają lepej ponać własnośc seregu casowego. Cęso odel jednego ypu ożna apsać w posac nnego odelu. Deje sę ak pry dodakowych ałożenach lub nawe be nch. rudno eż o bewględną wyżsość jednego odelu nad drug. Wybór odelu ależy od sosowanych kryerów ora naręd badawcych. W nnejsej pracy roważane są sacjonarne procesy sochasycne. Do ch analy wybrano ry repreenacje: repreenację ARMA, repreenację presren sanów ora repreenację w dedne cęsośc. Modele w repreenacj presren sanów są radej spoykane w leraure ekonoerycnej nż bardej popularne odele w repreenacj ARMA cy repreenacj w dedne cęsośc. Doycy o arówno eoreycnego opsu repreenacj jak aplkacj ekonocnych. Scególne radko wysępują asosowana repreenacj presren sanów do ekonocnych procesów sochasycnych case dyskreny. W leraure polskej ne było jak doąd prykładu wykorysana repreenacj presren sanów do analy seregów casowych. Cele pracy jes eoreycna eprycna anala wąków poędy poscególny repreenacja ora ocena ch prydanośc w analach ekonocnych. Opsana osane aeaycna równoważność oawanych repreenacj.

5 Wsęp 4 Scególna uwaga pośwęcona osane waloro aplkacyjny poscególnych repreenacj, własca własnośco prognosycny. e: Roważana prowadone w nnejsej pracy skupone są wokół nasępujących wybór repreenacj procesu sochasycnego ależy od charakeru procesu ora od nforacj jake chcey uyskać, poscególne repreenacje sacjonarnego seregu casowego są eoreycne równoważne, różne repreenacje ego saego seregu casowego ne wyklucają sę, a racej powalają pełnej roueć badany proces sochasycny. Praca składa sę rech rodałów, wsępu, akońcena dodaku. W rodale perwsy opróc bardo krókego wprowadena do pojęć wąanych procesa sochasycny predsawone osały ry badane repreenacje: repreenacja ARMA, repreenacja presren sanów ora repreenacja w dedne cęsośc. Oówone osały własnośc preenowanych odel, sposoby esyacj paraerów ora kryera wyboru odelu. Predoe drugego rodału są ależnośc wysępujące poędy poscególny repreenacja. Scególną uwagę wrócono na wąk poscególnych repreenacj repreenacją presren sanów. Cele lusracj podano klka prykładów pokaujących preksałcena jednego odelu w drug. Główny cele rodału recego jes eprycna weryfkacja równoważnośc eoreycnej poscególnych odel. Anala eprycna preprowadona osała w asosowanu do odel AR() ARMA(,). Wybór rędu odel ne jes prypadkowy. Po perwse anala PS odel nżsego rędu ne jes neresująca, a po wóre spośród odel o wyżsych rędach najcęścej spoykany są właśne odele AR() lub ARMA(,). W prakyce ekonoerycnej odele o wyżsych rędach opóźneń wysępują radko. Zaproponowano wykorysane odelu PS do prognoowana kerunku any warośc seregu. W y celu preprowadono sereg eksperyenów nuerycnych, kórych wynk aescono w rodale III ora w dodaku do pracy. Eprycna anala ekonocna doycy wybranych pro-

6 Wsęp 5 cesów obserwowanych na Warsawskej Gełde Paperów Waroścowych ora produkcj spredanej preysłu w okrese I.99 VIII.999.

7 ROZDZIAŁ I Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych. Wprowadene DEFINICJA.. Funkcję losową, dla recywsych warośc, onacających enną casową, nayway procese sochasycny. Proces sochasycny opsuje ae srukurę probablsycną cągu obserwacj. Opsany jes pre rodnę rokładów:,..., P,,..., F n,,...,, 3 n n, o skońconych wyarach. Proces ak oże być procese case cągły (enna cągła), jak case dyskreny (enna jes skokowa pryjuje warośc całkowe). Ponżse charakerysyk są predsawone dla procesów case dyskreny jako, że obserwacje analowanych procesów ekonocnych dokonuje sę w dyskrenych odsępach casu. Popre sereg casowy rouey pewną realację procesu sochasycnego. Proces sochasycny ożna wygodne opsać popre charakerysyk oenowe ake jak: warość średna (oen wykły perwsego rędu): E, (..) Por. alaga, Zelńsk (986) s..

8 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 7 funkcja auokowarancj (oen cenralny drugego rędu): Gdy K s E,. (..) s s funkcja opsana wore (..), nos nawę warancj. s Ważną klasę procesów sochasycnych sanową procesy sacjonarne. Warunka konecny sacjonarnośc są:. sała warość średna:. sała warancja: cons E, (..3) K cons,, (..4) 3. funkcja auokowarancj (..) ależna ylko od warośc s : E K. (..5) DEFINICJA.. Proces sochasycny, nayway sacjonarny w sersy sense (słabo sacjonarny) jeśl spełnone są warunk (..3) (..5). W pracy roważana osaną ograncone do jednowyarowych procesów sacjonarnych case dyskreny. Podsawowy naręde służący do denyfkacj odel jes funkcja auokorelacj, kóra pry odsępe wyrażona jes wore: K R. (..6) K DEFINICJA..3 Funkcja recywsa : jes neujene defnowana 3 wedy ylko wedy, gdy: Ang. weakly saonary. 3 Por. Brockwell, Davs (99) s.6, Goureroux, Monfor (997) s., Presley (98) s.9.

9 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 8 nn a, a jr jc j n n a a. j j WIERDZENIE.. Funkcja recywsa określona na bore lcb całkowych jes funkcją auokowarancj pewnego procesu sacjonarnego wedy ylko wedy, gdy jes parysa neujene defnowana. Pry odsępe auokowarancja procesu lnowego: j, (..7) j j gde jes procese bałego suu (n. E, K,, τ ), aś, dana jes nasępujący wore: K dla E j K. (..8) j j Wygodny sposobe oryana auokowarancj procesu lnowego jes wykorysane funkcj worącej auokowarancje: B K K B, (..9) gde B jes operaore presunęca wsec, warancja procesu K jes współcynnke pry B, a auokowarancja pry odsępe, jes współcynnke arówno pry B jak pry lnowego ożna apsać eż w posac: K B B B. Funkcję worącą auokowarancje (..9) procesu. (..). Repreenacja ARMA Model ARMA jes odele seroko opsany w leraure (Por. Box, Jenkns (983), Brockwell, Davs (99), (996), Goureroux, Monfor (997), Greene (993), Halon (994), Harvey (993) wele nnych) jak równeż sosowany

10 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 9 w prakyce ekonoerycnej (Por. np.: Bael (995), (999), Kufel (995), Osasewc (998), alaga (995)). gde: Repreenacja ARMA procesu sochasycnego a posać: B B B B, (..) B... jes operaore auoregresj rędu p, B p p B... jes operaore średnej ruchoej rędu q, aś B q q jes procese bałego suu, lub p p qq. (..) UWAGA.. Proces opsany równane (..) jes: sacjonarny jeżel wsyske perwask równana charakerysycnego B ne leżą na okręgu jednoskowy 4, prycynowy 5 jeżel wsyske perwask równana charakerysycnego B leżą na ewnąr okręgu jednoskowego 6. odwracalny jeżel wsyske perwask równana charakerysycnego B leżą na ewnąr okręgu jednoskowego. Zae sacjonarność odelu ARMA jes pojęce sersy nż prycynowość odelu ARMA. Proces sacjonarny (..) ożna apsać w posac (..7), n.: B j j, (..3) j 4 Por. Brockwell, Daws (99, 996 sr.83) ora Osewalsk, Ppeń (999). 5 Ang. causaly. Prycynowość odelu ARMA jes pojęce odenny anżel prycynowość procesów ekonocnych (par np. Zelńsk (99)). 6 Por. Brockwell, Daws (99) s.85 (996) s.83, Osewalsk, Ppeń (999) s.45, Sawck (993) s.3.

11 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych gde: j, n p, j j, j j q j, j,,... Goureroux, Monfor (997) defnowal pojęce nalnej repreenacj ARMA w nasępujący sposób. DEFINICJA.. Proces sacjonarny a nalną repreenacje p,q ARMA jeśl ożna go opsać równane (..), gde:.,, p q. jes prycynowy odwracalny (uwaga..), 3. weloany B B, ne ają wspólnych perwasków, 4. jes procese bałego suu warancją. Zae nalna repreenacja ARMA gwaranuje sacjonarność odwracalność odelu. Model ARMA, kóry posada nalną repreenację ożna apsać arówno w posac neskońconego odelu średnej ruchoej w posac neskońconego odelu auoregresyjnego AR : MA (..3) jak gde: B B j, (..4) j j, j n q, j j, j j p j, j,,...

12 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych W prypadku odelu AR paraery auoregresj ożna wyrać popre układ równań współcynnków auokorelacj wanych równana Yule a-walkera 7 : p p p p R p R p R p R R R p R R R (..5) Rowąując układ równań (..5) oryujey: R p ρ p φ, (..6) gde: p φ, p R R R p ρ, 3 p R p R p R p R R R p R R R p R. Zasępując warośc eoreycne auokorelacj auokorelacją próbkową oryujey osacowana Yule a-walkera paraerów odelu AR. Inny sposobe oryana warośc paraerów odelu AR jes asosowane MNK. Esyaory MNK daje ake sae wynk jak esyaory najwęksej warygodnośc, aś osacowana Yule a-walkera paraerów auoregresyjnych w pewnych syuacjach ogą sę różnć od osacowań MNK. Esyaory Yule a-walkera są pożyecne jako osacowana pocąkowe. Do esyacj paraerów odelu ARMA sosuje sę eodę najwęksej warygodnośc. Nech logary funkcj warogodnośc dany jes wore:, ln,, ln S n L, (..7) gde: n M E S,,,, 7 Wyprowadene równań ożna naleźć.n. w pracy Box, Jenkns (983) sr.63, alaga, Zelńsk (986) sr.35, aś sae równana Yule a-walkera ch asosowana w pracach Brockwell, Davs (99) (996), Cho (99), Goureroux, Monfor (997), Halon (994), Harvey (993), We (99).

13 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych M dosaecne duża lcba całkowa aka, że dla M,, E,, warość E jes nejsa od usalonej góry warośc. Wybrane osają e oceny warośc paraerów osąga aksu. Zae należy nalować S,, dla kórych funkcja (..7). Esyacja paraerów odelu ARMA del sę na dwa eapy. W perwsy eape oryuje sę osacowana pocąkowe paraerów, aś w drug odyfkuje sę pocąkowe warośc paraerów ak, aby nalować suę kwadraów res. W leraure ekonoerycnej ożna naleźć różne sposoby wynacana arówno warośc pocąkowych paraerów jak nalacj kwadrau res 8. Ponżej apreenowany osał algory Newona-Raphsona. OSZACOWANIA POCZĄKOWE PARAMERÓW Osacowana paraerów auoregresj oryuje sę popre rowąane układu p równań lnowych: Aφ x, (..8) gde: A, x cq,, j,,..., p, j c q j c k warość esyaora auokowarancj pry odsępe k. Do wynacena paraerów średnej ruchoej sosuje sę algory Newona- Raphsona. W perwsy kroku wynacany jes cąg odyfkowanych kowarancj: c j p k c p j ˆ ˆ c k jk dla dla p p ˆ, (..9) gde: j,,..., q, aś ˆj j-y eleene wekora ˆφ, kóry oryujey w wynku rowąana równana (..8) ora warośc pocąkowe wekora τ :

14 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 3. τ... q, gde c,... q Nasępne wynaca sę wekor acer : f : q j f f f q f j j c..., gde j f, (..) q q q q q, q ora rowąuje sę wględe wekora h równe acerowe: h f, (..) gde ndeks górny onaca -ą eracje algoryu. Wekor h wynaca poprawk dla wekora pry kolejnej eracj, n.: τ τ h. (..) Dla ak wynaconego nowego wekora powara sę operacje (..)-(..). Powyżsa procedura eracyjna jes akońcona gdy: f j, j,,..., q, (..3) gde jes pewną adana waroścą. Wówcas osacowana paraerów średnej ruchoej oryujey woru 9 : ˆ j j, j,,..., q. (..4) MINIMALIZACJA SUMY KWADRAÓW RESZ Warośc paraerów, kóre nalują suę kwadraów res ożna oryać sosując eodę opyalacj ograncene aproponowaną pre 8 Mędy nny w pracach Box, Jenkns (983), Brockwell, Davs (996), Cho (99). 9 Wór na osacowane sałej warancj bałego suu ożna naleźć w pracy Box, Jenkns (983), sr.494.

15 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 4 Marquarda. Ponżej osane predsawony algory Marquarda w odyfkowanej pre Wlsona wersj (por. Box, Jenkns (983), sr.499). Nech wekor β awera wsyske paraery odelu,,... k ARMA. Dane są równeż warośc pocąkowe: Eap. β osacowana pocąkowe paraerów,, F paraery ograncające procedurę posukwań, paraer beżnośc. Nech β, k, ε wekor res odelu ARMA dla paraerów, ε wekor res odelu ARMA dla paraerów. Wówcas oblca sę nasępujące warośc według worów: x,,,...,,, (..5) kk j, gde Aj A, (..6) A x, x j, M g g... g k, gde g g x, (..7) D A,,,..., k. (..8), Eap Popre unorowane nałożene ogranceń odyfkuje sę warośc acery A ora wekora g, n.: A * j Aj D D j j, j, (..9)

16 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 5 g * g D. (..) Nasępne rowąując równane: * * * A h g, (..) wględe wekora * h ora wylcając wekor: * h h h... hk, gde h, (..) D uyskuje sę poprawk paraerów wekora. Nowe warośc paraerów oblca sę według woru: β β h. (..3) Dla nowych warośc paraerów oblca sę suę kwadraów res Eap 3. Jeśl β S S, o bada sę cy: β h S. h, dla,,..., k. (..4) Jeśl warunek (..4) achod dla wsyskch, o unaje sę, że nasąpła beżność paraerów, co końcy algory Marquarda. Końcowy warośca paraerów odelu są warośc oblcone godne wore (..3). Jeśl warunek (..4) ne achod, o pryjuje warość, aś nejsa sę F -krone. Nasępne powraca sę do eapu.. Jeśl β S S, o paraer węksa sę F -krone prechod do eapu. β WYZNACZANIE RZĘDU AUOREGRESJI I RZĘDU ŚREDNIEJ RUCHOMEJ Do wynacena rędu auoregresj p ora rędu średnej ruchoej q ożna wykorysać funkcję auokorelacj próby funkcję auokorelacj cąskowej pró-

17 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 6 by. Inny użyecny naręda wynacena rędu p ora q są kryera nforacyjne. Kryera e baują na resach odelu. W pracy Cho (99) apreenowano wele bardej nej nanych eod denyfkacj rędu auoregresj rędu średnej ruchoej. Najcęścej wykorysywany kryera wyboru rędu odelu (..) są: kryeru nforacyjne Akake (AIC): AIC nln ˆ M, (..5) gde n jes lcbą obserwacj, M lcbą ennych objaśnających, aś esyaore najwęksej warogodnośc warancj res. ˆ jes Wybrany osaje odel, dla kórego uraa nforacj jes najnejsa, o nacy ak odel, dla kórego AIC pryjuje warość najnejsą, bayesowske roserene nu AIC (BIC): gde ˆ ˆ ˆ BIC n M ln nln n M ln, (..6) n M M ˆ jes warancją seregu. Wybrany osaje odel dla kórego BIC jes najnejse. Jeśl BIC AIC ają na dla różnych rędów p, q, o w wybore kerujey sę kryeru BIC. Kryeru BIC jes odyfkacją kryeru AIC koryguje skłonność AIC do używana by dużej lcby paraerów. bayesowske kryeru Schwar a (SC): SC nln ˆ M ln n. (..7) Wybór odelu jes dokonywany na podsawe nalnej warośc kryeru. kryeru błędu predykcj (FPE) : Meodę doboru rędów ora eodę esyacj funkcj auokorelacj funkcj auokorelacj cąskowej aproponowal Box Jenkns. W leraure ożna spokać sę nawą eoda Boxa- Jenknsa. Por. Brockwell, Davs (99). Ang. fnal predcon error.

18 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 7 FPE n p ˆ n p. (..8) Wybrany osaje odel, dla kórego FPE pryjuje warość najnejsą. I węksa warość FPE y p jes nejse. Kryeru y posługujey sę ylko wówcas gdy ay do cynena procese AR(p). Ponżej pryocono a Begun, Goureroux, Monfor (98) werdene, kóre jes prakycny sposobe wynacena rędów nalnej repreenacj ARMA. WIERDZENIE.. wedy, gdy: gde Proces sacjonarny p jq a nalną repreenację p,q, j p, q, p, q,, j K j... K j K j K j... K j K, j de K j K j... K j Z welkośc, j budowana jes ablca (wana C-ablcą): ARMA wedy ylko j... q- q... x x x... x x... x x x... x x... x x x... x x p- x x x... x x x p x x x... x x x, j,, j, pry poocy kórej ożna ocenć welkośc p ora q dla procesu ARMA.

19 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 8 Predsawona powyżej eoda denyfkacj welkośc p ora q nos nawę eody corner. Meoda a oże równeż służyć do denyfkacj nalnej repreenacj ARMA suy procesów 3..3 Repreenacja presren sanów Pojęce presren sanów, jak równana sanu jes od dawna nane w naukach fycnych echncnych. eora presren sanów jes w naukach ścsłych wykorysywana do badana syseów dynacnych (jes podsawową eodą opsu, analy projekowana). Zaneresowane presreną sanów pre ekonosów (ekonoa aeaycna, ekonoera, cyberneyka ekonocna, badana operacyjne) jes na yle duże, ż w prawe każdej współceśne publkowanej ksążce o dynacnych procesach sochasycnych, ożna naleźć conajnej jeden rodał doycący ego agadnena 4. W polskej leraure ekonoerycnej opróc arykułu Gresaka (995) brak jes opsu repreenacj presren sanów jako repreenacj równoważnej do repreenacj ARMA, cy eż repreenacj w dedne cęsośc. Ne onaca o jednak, ż proble en ne był podejowany. Na prełoe la sededesąych ora osedesąych powsało klka arykułów na en ea 5. W osanch -cu laach w Polsce, presreń sanów jes wykorysana do serowana opyalnego 6 ora flru Kalana 7. Model presren sanów (dalej PS) yskał dużą popularność dęk flrow Kalana 8, poneważ esyacja a poocą flru Kalana daje ne gorse, a w nekórych prypadkach lepse reulay nż klasycne eody ekonoerycne. Próbę prydanośc flru Kalana do esyacj odel procesów gospodarcych w Polsce, predsawł Skrypek w arykule 985 roku. W leraure cęso spoyka sę ae ne yle odele PS, co odele ekonoerycne apsane w posac odelu PS. ak 3 Por. Sawck, Górka (995). 4 Por. Brockwell, Davs (99), Fahrer, u (996), Goureroux, Monfor (997), Halon (994), Harvey (993), We (99) wele nnych. 5 Por. Lwa (985), Mchalcewska-Lwa (977), Skorsk (98), Wąsk (977), Wąsk, Lwa, Skrypek (986), Zasosowane... (98). 6 Por. Srała (994), Wkowska (993). 7 Por. Gresak (995), (997), (999), Osńska (). 8 Zaps odelu w posac presren sanów jes nebędny warunke asosowana flru Kalana.

20 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 9 węc najcęścej ne sacuje sę neależnego odelu PS, ylko apsuje sę dany odel ekonoerycny jako odel PS. San jes o nalna lcba neależnych danych w pełn charakeryujących położene układu dynacnego w danej chwl, powalający jednonacne prewdeć achowane sę układu w prysłośc. Zakładay, że nany jes san pocąkowy (w chwl ). W chwl san ożna apsać w posac funkcj casu: x x,..., x n, x. (.3.) Wekor x() nayway wekore sanu, aś enne x (), x (),... enny sanu. Presreń wynaconą pre wekory sanu x(), nayway presreną sanów. Wyar presren sanów jes równy lcbe ennych sanu. Model presren sanów 9, opsany jes popre równane sanu (.3.) ora równane wyjśca (obserwacj) (.3.3): x F x D u G w, (.3.) H x v, (.3.3) gde: x n - wyarowy wekor sanu, - wyarowy wekor wyjśca (obserwacj), u r - wyarowy wekor serowana, v - wyarowy wekor błędu poaru (bały su), w p - wyarowy wekor akłóceń (bały su), F acer (nxn) sanu, predsawająca powąana poędy poscególny enny sanu, D acer (nxr) serowana, kóra pokauje sposób oddaływana serowań (wyuseń), na enne sanu, 9 Bardej scegółowy ops sanu ora presren sanów ożna naleźć w pracach: Aok (99), Brockwell, Davs, (996), Goureroux, Monfor (997), Gresak (995), Guenbau, (975), Mchalcewska-Lwa (977), Ogaa (974), Wąsk, Lwa, Skrypek, (986) welu nnych.

21 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych G acer (nxp) akłócena, repreenująca sposób prenosena akłóceń na poscególne eleeny, H acer (xn) wyjśca, kóra pokauje w jak sposób enne sanu są ransforowane na enne wyjśca. Model opsany równana (.3.) (.3.3) jes predsawony na rysunku.3.. w G v u D x + H F x Opóźnene Rys..3.. Schea blokowy presren sanów Schea blokowy ukauje ne ylko soę presren sanów, ale akże soę jawsk ekonocnych w ogóle. o co ożna aobserwować (eryć, ważyć,...), o aledwe efek końcowy welu procesów. Równane wyjśca pokauje w jak sposób enne sanu wpływają na obserwacje. Zany odbywające sę wewnąr procesu, opsane są a poocą równana sanu. Zenne wysępujące w odelu ekonoerycny opóźnene węksy nż jeden okres, są nowy enny sanu. ake podejśce ożna naleźć w pracach: Mchalcewska-Lwa (977), Ogaa (974), We (99).

22 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych Dla jednowyarowego procesu sacjonarnego odel PS a posać: x F x G, (.3.4) H x. (.3.5) DEFINICJA.3. Sacjonarny proces sochasycny, a repreenację presren sanów jeśl sneje odel presren sanów procesu opsany równana ( ). Macere F, G, H odelu PS (.3.4 5), wynacają ry ważne własnośc dynacne: sablność, obserwowalność ora serowalność 3. Pojęca ora kryera, serowalnośc obserwowalnośc wprowadł Kalan. Zan osaną defnowane własnośc odelu PS, predsawy dwe neskońcone acere: O H HF HF..., acer obserwowalnośc: acer serowana: G FG F... G C. DEFINICJA.3. Model opsany równana (.3.4 5) jes sablny wedy yko wedy, gdy warośc własne acery F leżą wewnąr koła jednoskowego. Sablność odelu PS jes dogodny warunke gwaranujący sacjonarność procesu x k, a w konsekwencj procesu (por. Anderson, Moore (984), Brockwell, Davs (99)). Defncje poosałych dwu własnośc ożna naleźć ędy nny w pracach Anderson, Moore (984), Brockwell, Davs (99), Goureroux, Monfor (997), Guenbau (975), Medch (975) welu nnych. Auory ne są godn co do podsawowej defncj, jednak ożna wysnuć nasępujący wnosek, kóry jes godny kryera aproponowany pre Kalana w 96 roku. Ang. sably. Ang. observably. 3 Ang. conrollably (reachably).

23 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych WNIOSEK.3. Model PS opsany równana (.3.4 5) jes: obserwowalny jeżel rąd acery obserwowalnośc O jes równy wyarow wekora sanu, serowalny jeżel rąd acery serowana C jes równy wyarow wekora sanu. Inną koncepcje predsawł Aok (99). Para F, H jes obserwowalna wedy ylko wedy, gdy dla dowolnego wekora własnego w acery F achod plkacja: Hw w. (.3.5) Załóży, że warośc własnej acery F odpowada wekor własny u. Wówcas para F, G jes serowalna wedy ylko wedy, gdy dla wekora własnego u acery F, spełnającego równane u A u, achod plkacja: u G u. (.3.6) Inny słowy, serowalność o cąg serowań sprowadających układ dowolnego punku w presren sanów do dowolnego adanego punku w ej presren, aś obserwowalność o układ, dla kórego na podsawe obserwacj ożna określć wekor sanu. Pojęce obserwowalnośc serowalnośc są dla układów lnowych pojęca dualny (por. Medch (975) s.53). Zarówno e wględów oblcenowych, jak e wględu na własnośc odelu PS, dąży sę do nalacj wyaru wekora sanu (nalnej realacj). DEFINICJA.3.3 Mnalny wyare repreenacj presren sanów nayway ożlwy najnejsy wyar wekora sanu. Onacy go jako K. DEFINICJA.3.4 Model presren sanów opsany równana (.3.4 5) nayway nalny odele PS jeśl acer F jes wyarów K K.

24 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 3 Zauważy, że nalny odel repreenacj presren sanów sneje ne jes on jedyny w swo rodaju. Zae, jeżel sneje nny równoważny odel o nalny wyare, o jes on równeż odele nalny. Poędy wyare odelu PS a jego serowalnoścą ora obserwowalnoścą sneje ścsła ależność. WIERDZENIE 4.3. Model PS jes odele nalny wedy ylko wedy, gdy jes on obserwowalny serowalny. Zae naleene odelu nalnego gwaranuje na dwe rech własnośc odelu PS. Jedny e sposobów wynacena nalnego wyaru PS jes wynacene rędu acery (.3.6) lub, równoważne, lośc neerowych warośc scególnych acer Hankela (.3.5). Inny sposób wynacena nalnego wyaru osane predsawony w rodale II. Do esyacj ennych sanu odelu PS, pry ałożenu najoośc ace- F, G, H wykorysuje sę flr Kalana 5. ry Nech dany będe odel PS posac: x F x G w, (.3.7) H x v, (.3.8) aś E, E w E dla,,..., v w j w Q j, Ev jv R j Onacy pre, dla j,,,...,. ˆx, k osacowaną waroścą x na podsawe k obserwacj. 4 Cyowane werdene, jak jego dowód ożna naleźć w pracy Goureroux, Monfor (997) s Flr Kalana jes seroko opsany w leraure (por. Aok (99), Anderson, Moore (984), Belsley (973), Borooah, Chakravary (979), Brockwell, Davs (99), Fahrer, u (996), Goureroux, Monfor (997), Gresak (995), (997), (999), Guenbau (975) wele nnych).

25 WIERDZENIE 6.3. Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 4. Ocena opyalna pry flracj x ˆ, jes dana pre równane rekurencyjne: xˆ ˆ ˆ, Fx, K H F x,, (.3.9),,..., pry cy xˆ O.,. K jes acerą o wyarach n określoną pre układ równań:, HP H R K P H, (.3.) P FP F, GQ G,,, (.3.) I K H P P, (.3.),, dla,,..., pry cy I jes acerą jednoskową o wyarach n n, aś P, (.3.). ~ ~ x,x, Ex x P E jes warunke pocąkowy dla równana 3. Proces sochasycny ~,,,..., x defnowany pre równane błędu flracj: ~ x, (.3.3) ˆ, x x,,,... jes procese Gaussa-Markowa o erowej warośc średnej acery kowarancj danej równane (.3.). werdene o jes podsawowy werdene o flracj w układach lnowych dyskrenych. Perwsy udowodnł je Kalan w 96 roku. Sąd eż algory opsany w punkce.. werdena.3. naywa sę flre Kalana. Macer K naywa sę acerą Kalana, acerą flru lub eż acerą wag. Ze wględu na swoją rekurencyjną forę flr Kalana yskał dużą popularność. Jes on sosowany do esyacj ennych sanu, do wygładana predykcj o jeden krok w pród 7. Obecne jes on ne ylko seroko opsany w leraure, ale równeż nekóre progray kopuerowe awerają algory flru Kalana (np. RAS, Evews, SP, 6 Zacyowane werdene o, dla dowolnego odelu PS (nekonecne sacjonarnego), ożna naleźć w pracy Medcha (975) s.49, aże dowód werdena. 7 Ang. one-sep predcon. Ops ych asosowań, jak posać flru Kalana w scególnych prypadkach ożna naleźć w pracach: Anderson, Moore (984), Belsley (973), Borooah, Chakravary (979), Brockwell, Davs (99), Fahrer, u (996), Goureroux, Monfor (997), Gresak (995), (997), (999), Guenbau (975) wele nnych.

26 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 5 SsfPack.). Do wykorysana flru Kalana wyagana jes najoośc acery F, G, H. Macere e najcęścej oryuje sę w wynku odpowednego apsu nanego już odelu ekonoerycnego. W wyżej wyenonych prograach kopuerowych dosępne są procedury, kóre apsują dany odel ekonoerycny w posac odelu PS, brak jes naoas procedur najdujących warośc acery F, G, H. Podobne jes w leraure. Węksość publkacj awera jedyne odel PS jako nny aps odelu ekonoerycnego, aś brak jes neależnego sacowana odelu PS. Scególne brak jes prykładów eprycnych dla odelu PS o wyare węksy nż jeden. W pracy Aok (99) ożna naleźć arówno sosunkowo ławe esyaory acery F, G, H, jak wele prykładów eprycnych odelu presren sanów 8. Ponżej osaną opsane dwa ypy esyaorów. Esyaor perwsego ypu bauje na eor realacj sochasycnych 9, aś esyaor drugego ypu o esyaor ennych nsruenalnych. Chocaż, ogólne esyaor ennych nsruenalnych jes asypoycne efekywnejsy od esyaora realacj sochasycnych, o dla pewnych podklas procesów VAR, esyaor perwsego ypu jes ak sao asypoycne efekywny jak esyaor drugego ypu. Esyaor perwsego ypu jes sybsy pod wględe oblcenowy. Dla seregu onacy wekor danych w pród ora wekor danych w ył R E R E. Pre:, (.3.4) onacy odpowedno acer kowarancj wekora w pród ora odpowedno wekora w ył, aś pre H onacy acer: K KS K3 KS K K H J, S, (.3.5) KJ KJ KJ S 8 Predoe roważań są prede wsysk ekonoerycne odele welorównanowe lub odele VAR. 9 Ang. he sochasc realaon heory; esyaor en jes sugerowany pre leraurę doycącą eor realacj deernsycnej, aproponowany pre Aok w 983 roku.

27 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 6 waną acerą Hankela. Macer a jes acerą kowarancj poędy. Ogólne, acer Hankela defnowana jes jako acer neskońcona 3. Do esyacj wykorysuje sę skońconą kwadraową acer Hankela. Macer H ożna rołożyć wględe warośc scególnych 3 (osoblwych) na locyn acery: H UΣV, (.3.6) gde jes acerą dagonalną, aś U, V acera orogonalny. eoreycne rąd acery Hankela jes równy lcbe dodanch warośc scególnych acery H. ESYMAOR REALIZACJI SOCHASYCZNYCH Dla poscególnych acery odelu PS (.3.4) (.3.5) dane są esyaory 3 : Fˆ Σ U A H VΣ, (.3.7a) ˆ M Σ U H, (.3.7b), ˆ H H VΣ, (.3.7c), gde: Σ Σ Σ, Σ - pseudoodwroność Mooro-Penrosa, H,, H, są odpowedno perwsą koluną ora perwsy werse acery H, A H - acer 33 kowarancj poędy aś M x FΠH G, E, (.3.8) 3 Por. Aok (99), Goureroux, Monfor (997), We (99). 3 Ang. Sngular value decoposon SVD. Rokład acery wględe warośc scególnych ora ops algoryu SVD jes predsawony w pracy Kełbasńskego, Schwelcka (99) s Wyprowadene worów na poscególne esyaory ożna naleźć w pracy Aok (99) s Macer Hankela dodakowy werse.

28 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 7 gde Π Ex, x, E. Z porównana wyarów poscególnych acery w równanu (.3.6) ora równanu (.3.7a) wynka, że wyary acery Fˆ ora acery H są ake sae. Poneważ wyary acery sanu F są ścśle powąane wyare wekora sanu x (par równane (.3.)), o sąd wynka że rąd acery Hankela jes równy wyarow wekora sanu. ESYMAOR ZMIENNYCH INSRUMENALNYCH Odpowedne esyaory ennych nsruenalnych syseu acery dane są wora (.3.9a c): gde: Πˆ O J R O R O FΩ R Ω H R Ω, (.3.9a) A ˆ S J J S O Mˆ H R Xˆ, (.3.9b), J Ωˆ H R HΠ ˆ ˆ, (.3.9c), N xx Ωˆ R Ω, J J O H HF HF, Ω S M FM F S M 34. Opsany powyżej esyaor używa wekora sanu x jako ennej nsruenalnej. Macer M (.3.7b) odgrywa podobną rolę do acery G (.3.4) (por. Aok(99)), aś wąek poędy acera predsawa równane (.3.8). Macer M jako jedyna spełna o sao równane Lyapunova co acer G, n.: S FG C F GC GG, FG Ω F GΩ MM, gde G C CC ora G Ω ΩΩ są odpowedno Granane serowana Granane. Serowalność pary F, M jes ak sao określona jak serowalność pary 34 Odpowednk acery C, pry cy acer G osała asąpona acerą M.

29 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 8 F, G, wysarcy acer G asąpć acerą M. Mówy wówcas o M-serowalnośc odelu. Dodana określoność Grananu serowana gwaranuje serowalność, aś dodana określoność Grananu gwaranuje M-serowalność odelu PS. Poneważ rędy Grananu serowana Grananu są sobe równe (por. Aok(99)), o M-serowalność wynaca równeż saą serowalność. Poędy acerą Hankela (.3.5), a acera Ω S achod nasępujący wąek: J, S J S O J H O Ω. (.3.) Macer Hankela rokłada sę wględe warośc scególnych (.3.6), ae: O J UΣ, Ω S Σ V. (.3.) Poneważ acere U, V są acera orogonalny, a acer jes acerą dagonalną, o wówcas: O J O J Σ Ω Ω. (.3.) S S Zauważy, ż dla seregu jednowyarowego, acere opsane równana (.3.4) są skalara (warancja). Sąd, na podsawe równań (.3.) ora (.3.), ożna swerdć, że esyaory opsane równane (.3.9a), (.3.9b) 35, (.3.9c) pryjują odpowedno posac (.3.7a), (.3.7b), (.3.7c). Zae dla seregu jednowyarowego esyaor ennych nsruenalnych jes ak sa jak esyaor realacj sochasycnych. Błędy dla esyaora syseu acery opsanego równana (.3.9) dane są wora 36 : ˆ N x Π H Hˆ H, (.3.3) M Xˆ O J R B N, (.3.4) ˆ N x Π X O J R BN x Π F G, (.3.5) 35 ˆ O J R O. X 36 Por. Aok (99) s.8. J

30 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 9 gde acer B jes rójkąną-dolną acerą oepla. Resy odelu PS opsanego równana (.3.4 5) oblca sę w nasępujący sposób: Zae ˆ ˆ. (.3.6) Hx Hx N ˆ ˆ ˆ N Hˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N xx Hˆ K HΠH. (.3.7) Inny aspeke roważań nad odele PS jes wyar wekora sanu, a w konsekwencj wyar presren sanów, paraerów odelu PS ora acery Hankela (.3.5). Jedny e sposobów wynacena wyaru wekora sanów jes asosowane saysyk Barlea 37 : gde: N n S ln b (.3.8) n S wyar acery Hankela, n wyar wekora sanu n S, n współcynnk korelacj kanoncnej. Saysyka Barlea a rokład S n sopna swobody. esujey hpoeę: gde H n *, wobec * : n H : n n, * n jes wyare wekora sanu. Saysyka a wykorysuje współcynnk korelacj kanoncnej 38. Współcynnk korelacj kanoncnej erą ależność ędy wekore danych w pród ora wekore danych w ył (por. Jajuga (993) s.7, Rao (98) s.579, We 37 Por. Aok (99) s Ang. canoncal correlaon coeffcen.

31 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 3 (99) s.99). Współcynnk korelacj kanoncnej oryujey noralując wekory ora w nasępujący sposób: d R d R 39. (.3.9) Zauważy, ż acer kowarancj noralowanych wekorów (.3.9) jes preskalowaną wersją acery Hankela (.3.5), n.: d d R R PΓZ Eˆ H. (.3.3) Macer kowarancj (podobne jak acer Hankela) ożna rołożyć wględe warośc scególnych (por. (.3.6)) oryując P Γ Z. Zae, acer Γ jes acerą dagonalną, aś jej eleeny dagonalne 4 nosą nawę współcynnków korelacj kanoncnej poędy presły prysły wekora danych..4 Repreenacja procesów sochasycnych w dedne cęsośc Na ea repreenacj procesów sochasycnych w dedne cęsośc ożna naleźć wele publkacj arówno w jęyku angelsk 4 jak polsk 4. SPEKRUM I JEGO WŁASNOŚCI Nech będe recywsy procese sacjonarny bewględne beżny serege auokowarancj równana: A A n n K. Realację ożna predsawć a poocą n sn n, (.4.) gde A, A,, A,,... są sały ający określone warośc, aś jes cęsoścą wąaną okrese. Wówcas ransforaa Fourera sneje wynos: 39 Warośc R R opsane są w równanu (.3.4). 4 Są one uporądkowane w sposób alejący. 4 Por. Brockwell, Davs (99) Goureroux, Monfor (997) Halon (994), Harvey (993), Koopans (995), Presley (98) wele nnych. 4 Por. Mlo (99), alaga (995), alaga, Zelńsk (986), Zelńsk (979).

32 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 3 f K e (.4.) K cos (.4.3) gde K K K K K cos,, (.4.4), aś odwrona ransforaa Fourera a posać: f e d. (.4.5) Funkcja f nos nawę spekru a nasępujące własnośc: cągła neujena 43, parysa okresowa o okrese, gdy, o wówcas (.4.5) oryujey: K f Var d (.4.6) Warancja procesu sacjonarnego równa sę polu ogranconeu krywą ora osą w predale,. Różncka d f f określa udał cęsośc awarych w predale, dw ogólnej warancj procesu, gde d jes dowolne ały pryrose cęsośc 44, równana (.4.) ora (.4.5) pokaują, ż spekru f cąg auokowarancj K są parą ransfora Fourera. Sąd eż podejśce dedny casu ora podejśce dedny cęsośc jes eoreycne równoważne. W ależnośc od poreb preferuje sę jedno lub druge podejśce. 43 Dowód, par We (99) s Por. Sawck (993), alaga, Zelńsk (986), Zelńsk (979).

33 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 3 REPREZENACJA SPEKRALNA FUNKCJI AUOKOWARIANCJI - FUNKCJA SPEKRALNA Repreenacja spekralna funkcj auokowarancj K dana wora (.4.) ora (.4.5) sneje ylko dla bewględne beżnego seregu auokowarancj. Ogólne, repreenacje spekralną dowolnego cągu auokowarancj K ożna apsać w posac całk Fourera-Seljesa: gde K e df. (.4.7) F jes funkcją spekralną. Funkcja spekralna, podobne jak funkcja (dysrybuana) rokładu prawdopodobeńswa, jes funkcją recywsą, neujeną, ogranconą nealejącą 45. Może być ona łożona rech składnków 46 : funkcj kroku (funkcj dyskrenej), składającej sę prelcalnej lośc skońconych skoków, funkcj bewględne cągłej, pojedyncych funkcj 47. rec składnk jes be nacena. Zae ożna go w welu prypadkach ponąć 48. Wówcas: gde F F c F, (.4.8) s F jes funkcją bewględne cągłą, aś c F jes funkcją skoku. W prypadku opsany równane (.4.5), n. pry bewględne beżny seregu auokowarancj, F F ora d F f d. Poo, ż funkcja c F jes neujena nealejąca, o ne posada wsyskch własnośc funkcj rokładu prawdopodobeńswa (f.r.p.), gdyż kóra ne konecne jes równa. Można defnować aką funkcję, kóra będe posadała wsyske własnośc f.r.p.. s df K, G 45 Por. alaga, Zelńsk (986) s.. 46 Por. Koopans (995) s.3, Presley (98) s.6, We (99) s Ang. a sngular funcon.

34 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 33 Nech: F G. (.4.9) K Wówcas G ora dg. Jeżel d F f d p, o: f d dg d. (.4.) K Wykorysując równana (.4.) (.4.5) oryuje sę odpowedne ransforay Fourera: p e (.4.) cos (.4.) cos,, (.4.3) ora p e gde jes współcynnke korelacj. Funkcja d, (.4.4) p a własnośc funkcj gęsośc prawdopodobeńswa na predale,. Nos ona nawę funkcj gęsośc spekralnej. p Zae poędy funkcją gęsośc spekralnej spekru achod wąek f. Poneważ K K jes sałą, spekru cęso uożsaa sę funkcją gęsośc spekralnej odwrone. 48 Por. Koopans (995) s.3, Presley (98) s.7.

35 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 34 Porównując równane (..9) ora (.4.) 49 ożna auważyć wąek poędy spekru ora funkcją worącą auokowarancje: f Ke. (.4.5) REPREZENACJA SPEKRALNA PROCESÓW SACJONARNYCH Nech cąg auokowarancj będe dany równane (.4.7) ora nech dany będe sereg casowy Seljesa:, kóry ożey apsać a poocą całk Fourera- e du, (.4.6) gde, dla pojedyncej realacj, U odgrywa podobną rolę do F w równanu (.4.7). Relacja (.4.6) nos nawę repreenacj spekralnej procesu sacjonarnego. Funkcja realacj U oże sę enać realacj na realację. o nacy, dla każdej najduje sę realację U. Jeżel równane (.4.6) jes użye do predsawena wsyskch ożlwych realacj procesu, o dla każdego, U pryjuje warośc espolone procesu sochasycnego. A ae całka w równanu (.4.6) jes całką sochasycną. Równość (.4.6) jes defnowana w średnokwadraowy sense, n.: Nech E e du. (.4.7) będe procese sacjonarny o średnej ero ( E ). Wówcas: du E. (.4.8) Dla procesu sacjonarnego warośca espolony o średnej ero, funkcja auokowarancj jes defnowana w sposób 5 : 49 Zakładay, że spekru sneje. 5 Dęk akej defncj warancja procesu Z jes recywsa.

36 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 35 * E K, (.4.9) gde * onaca proces sprężony do procesu. Jeżel proces jes procese o waroścach recywsych, o wówcas *. Na podsawe (.4.6) proces * ożna apsać: * * * e du e du. (.4.) Zae proces jes recywsy wedy ylko wedy gdy: du * du. (.4.) Podsawając (.4.6) (.4.) do (.4.9), oryujey auokowarancje: K * E E E e e du e * e du * du du e * e E du du (.4.) kóra jes neależna od, gdyż jes procese sacjonarny. Sąd wynka ż: * du du E. (.4.3) Zae proces U jes orogonalny. Nech, wówcas (.4.) oryujey: K e E du e E du e df, (.4.4) gde * du du du, dla df E, (.4.5)

37 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 36 F jes funkcją spekralną procesu. Jeżel proces jes nedeernsycny, Fc F, o: wówcas: d df E du, dla f (.4.6) K e f d. (.4.7) Proces sacjonarny oże być ae predsawony jako funkcja snusów cosnusów neskorelowany losowy współcynnka. Powyżsa repreenacja wana jes akże repreenacją Craera. Jes o wąane werdene Kołogorowa-Craera, na podsawe kórego każdy sacjonarny proces sochasycny ożna predsawć w posac (.4.6) 5. PERIODOGRAM Do esyacj funkcj gęsośc spekralnej wykorysuje sę perodogra. Nech danych będe n obserwacj seregu casowego ora repreenacja Fourera ego seregu: n ak cos k bk sn k k, (.4.8) k gde k, k, aś a k, k n b są współcynnka Fourera wynosący: n,,..., a k n n n n cos, cos, k k dla dla n k k n k,,..., jeśl n jes paryse, (.4.9) ora b k n n n sn k, dla k,,...,. (.4.3) 5 Por. Sawck (993) s.5, alaga, Zelńsk (986) s., We (99) s.4.

38 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 37 DEFINICJA.4. k Perodograe cągu,,..., n pry cęsośc k, n k nayway funkcję: n,,..., n k I k e. (.4.3) n gde Jeżel ponado k, o wówcas wór (.4.3) pryjuje posać: k b k n n k e a k bk k I, (.4.3) n a, są współcynnka Fourera, aś,,..., k. n Perodogra składa sę welkośc opsanych równane (.4.3). Poje- dyncą welkość I k wąaną cęsoścą k nayway nensywnoścą pry cęsośc k. Isoność poscególnych k sprawda sę weryfkując hpoey: a poocą saysyk: H a b vs. H : a b, : k k k k n 3a k bk n j a b F, (.4.33) j k kóra a rokład, n 3 W prakyce, w seregach casowych, są składnk okresowe o nenanej cęsośc. j j F (n-3) sopna swobody. Dla odelu opsanego wore: gde Z cos sn, (.4.34) jes bały sue o rokłade N, saway es:, aś jes nenaną cęsoścą,

39 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 38 H vs. H :. (.4.35) : Nech: I axi Wówcas saysyka Fshera a posać: I k. (.4.36) n k I k. (.4.37) Ze wględu na hpoeę erową dla procesu bałego suu odelu, Fsher pokaał, że: j g jg P gde n, g j N N, (.4.38) j N, aś jes najwęksą lcbą nauralną nejsą od g. Zae, dla danego poou sonośc, do naleena warośc kryycnej użyć równana (.4.38) jak równana: g g ożna P, (.4.39) Jeżel wylcona a poocą seregu warość jes węksa od g, o odrucay hpoeę erową. Do oblcena warośc kryycnej, używa sę równeż równana (.4.38) w posac: N g N g P. (.4.4) Dla ałego N warośc kryycne oblcone a poocą woru (.4.39) (.4.4) są bardo dobry pryblżene warośc kryycnych oblconych a poocą worów (.4.39) ora (.4.38). ESYMAOR FUNKCJI GĘSOŚCI SPEKRALNEJ Funkcja gęsośc spekralnej recywsego procesu sochasycnego case dyskreny funkcją spekralną F absolune cągłą, wyrażona w ależnośc od funkcj kowarancyjnej dana jes wore (.4.4). Nauralny esyaor f

40 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 39 oryuje sę popre asąpene funkcj kowarancyjnej K jej esyaore Kˆ. Dla danych n obserwacj seregu casowego ożna polcyć k,,,..., n. Sąd esyaor Esyaor fˆ Roważy k n n Kˆ e f a posać: ˆ n K Kˆ Kˆ ylko dla cos. (.4.4) fˆ jes esyaore asypoycne neobcążony lec negodny. k n f ˆ pry, k,,..., k n. Pry akch cęsoścach perodogra ora gęsość spekralna są w ścsłej relacj. Preksałcając wór (.4.3) oryujey: I Zae: n n j e ˆ K cos jn n ˆ k ak bk K j Kˆ j k j j. (.4.4) ˆ n f k I k, k,,...,. (.4.43) 4 n n /. Jeżel n jes paryse, o fˆ I OKNO SPEKRALNE Nauralną drogą do redukowana warancj gęsośc spekralnej jes lokalne wygładane gęsośc spekralnej wokół konkrenej cęsośc. Inny słowy, esyaor gęsośc spekralnej jes oryywany dla średnch wag warośc na lewo prawo od cęsośc k, n.: gde n k M fˆ k j fˆ, (.4.44) k k n j n, dla k,,..., nasępujące własnośc: n, są cęsośca Fourera. Funkcja M posada

41 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 4 n M j, n, j M l n n j n j M M. j j (.4.45) Funkcja wagowa wore (.4.44) wynos: Var M wana jes okne spekralny. Warancja funkcj opsanej n f k f k M ˆ. (.4.46) j n Z własnośc (.4.45) okna spekralnego wynka, ż warancja gęsośc spekralnej aleje, gdy n rośne. Warość n onaca lość cęsośc (serokość pasa cęsolwośc) użyych w wygładanu. Warość a a bepośredn wąek serokoścą okna spekralnego. Gdy serokość okna rośne, o oryany esyaor jes bardej sablny (posada nejsą warancje). FUNKCJA WAGOWA Negodność esyaora fˆ ożna wyelnować wprowadając do woru (.4.4) funkcję wagową M, k, gde dowolna sała M jes lcbą opóźneń. Wówcas: fˆ M km ˆ k M, k ke. (.4.47) Funkcja wagowa posada nasępujące własnośc: M, k M,,, M, k M, k,, k. (.4.48) M, k M Warancja esyaora gęsośc spekralnej opsanego wore (.4.47) wynos: Var M fˆ f M, k. (.4.49) n k M

42 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 4 ransforaą Fourera wag M, k jes okno spekralne: M k M M ke, k M. (.4.5) I węcej nay punków dla kórych sacuje sę gęsość spekralną, y lepej predsawona jes funkcja f. Lcba M jes ależna od n (lcby obserwacj). Na ogół lcba M sanow od % do 3% długośc seregu. Serokość okna spekralnego 5 jes odwrone proporcjonalne do lośc opóźneń (M) użyych do naleena okna (polcena wag). Jeżel warość M rośne, aleje serokość okna (EBW) sąd warancja (V) wygładonej gęsośc spekralnej rośne, poo ż obcążene (O) aleje. M M EBW EBW V O V O Nekóre okna spekralne pryjują warośc arówno dodane jak ujene. Prykład akego okna predsawono na rys Rys.4.. Okno spekralne pryjujące warośc ujene dodane 5 Ang. bandwdh.

43 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 4 Eksrea lokalne okna spekralnego nosą nawę lsków bocnych 53. Isnene dużych lsków bocnych dopusca węksy udał w wygładanu cęsośc odległych od. Powoduje o royce ocy skuponej w jedny punkce cęsośc, na sersy predał cęsośc. Zjawsko ake nos nawę preceku spekru 54. Onaca ono, ż w esyaore gęsośc spekralnej ważną rolę oże odgrywać nna cęsość różna od. Lsk bocne predsawone na rys..4. pryjują arówno warośc dodane jak ujene. Jes o bardo nekorysne, poneważ gęsość spekralna jes defncj welkoścą dodaną. Pry wybore wag pownno sę unkać oken duży lska bocny. W leraure ożna spokać różne okna spekralne. Ponżej predsawono najcęścej sosowane okna: Okno prosokąne: sn M M. (.4.5) sn M jes opóźnene nejsy od (n-). Prosokąne okno spekralne pryjuje aksyalną warość cęsośc, ero dla j M ora lsk bocne (aksa lokalne) dla 4 j M M dla, gde j,,... Cęść lsków bocnych pryjuje warośc ujene. Okno prosokąne pryjuje arówno warośc dodane jak ujene. Sąd eż, esyaor gęsośc spekralnej, dla pewnych cęsośc, oże pryjować warośc ujene. Poneważ gęsość spekralna defncj jes funkcją neujeną, oryany esyaor ne jes adawalający. Okno Barlea: sn M M. (.4.5) M sn 53 Ang. sde lobes. 54 Ang. leakage.

44 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 43 Okno spekralne Barlea pryjuje warośc neujene. Zae esyaor funkcj gęsośc spekralnej akże jes neujeny. Lsk bocne w okne Barlea są nejse nż lsk bocne w okne prosokąny. Okno Blackana-ukey a: M M M sn a sn M a sn M a sn M M sn sn M gde sała a oże pryjować warośc a, 5., (.4.53) Dla pewnych cęsośc, esyaor Blackana-ukey a gęsośc spekralnej oże pryjować warośc ujene. Okno Parena: 4 3 sn M 4 M 3 8 sn. (.4.54) M M pryjuje warośc paryse. Okno Parena pryjuje warośc dodane dla dowolnych cęsośc. Sąd eż esyaor gęsośc spekralnej pryjuje warośc neujene. Zesawene wag poscególnych oken jes predsawone w abel.4.. Dla danego M, najsersy preenowanych oken jes okno Parena. Zae a najnejsą warancję, a sąd najwękse obcążene. Ponado pryjuje warośc neujene, co wpływa na neujeność esyaora gęsośc spekralnej. Drug ak okne jes okno Barlea. ukey a. W oprograowanu najcęścej używane są okna Parena Blackana- Jakość esyaora gęsośc spekralnej jes wynacona popre ksał (forę funkcj wagowej) serokość okna (lub równoważne, lośc opóźneń). Ksał okna spekralnego ena sę dla różnych serokośc okna. A ae, w konsrukcj okna spekralnego, ne ożna wracać uwag ylko na ksał okna, ale równeż na jego serokość. Serse okno nejsą warancją. Z drugej srony, nejsy wyar

45 Charakerysyka repreenacj procesów sochasycnych 44 okna daje nejse obcążene nejsy precek. Porebny kopros poędy wysoką sablnoścą wysok reulaa jes cęso rudny. Krok pry wybore okna:. określć dopuscalny pożądany ksał krywej,. wsępne polcyć gęsość spekralną dla serokego okna, 3. prelcać gęsość spekralną dla sopnowo wężsych oken aż do usablowana. Usablowana warość esyaora gęsośc spekralnej jes posukwany wynke.

46 abela.4.. Funkcje wagowe sosowane do esyacj funkcj gęsośc spekralnej Okno Funkcja wagowa Sopne swobody* EBW** Prosokąne Barlea lub rójkąne k M M, k k M k, k M M, k M k M Blackan-ukey k a a cos M, k M n M, k k M M 4 a 6 a M 4a 6a ukey-hang (a=,3) k M, k,, cos M, k M k M ukey-hannng (a=,5) k Parena * Ang. Equvalen degrees of freedo ** Ang. Equvalen bandwdh M, k M, k cos M, k M k M k k 3 6 M 6 M, k M 3 k M M k M k M n M 3n M, 56n M 8n 3M 3, 79n M M 3 M, 56 M 8 3M 3, 79 M

47 ROZDZIAŁ II Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych. Repreenacja ARMA a repreenacja w dedne cęsośc Proces sacjonarny ający nalną repreenację p,q ARMA posac: ( B) ( B), (..) ożna apsać jako proces realacj sochasycnych: B j j. (..) j Funkcja worąca auokowarancje (..) odelu opsanego a poocą równana (..) a posać: K B B B B B, (..3) aś funkcja gęsośc spekralnej wyrażona jes wore: f Ke e e e e (..4) e. (..5) e Poneważ proces sacjonarny a nalną repreenacje ARMA, o sneje funkcja odwrona do (..5) dana wore:

48 Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych 47 f e e e e (..6) e. (..7) e Funkcja (..7) jes spekru wdowy procesu ARMA. Sosując odwroną ransforaę Fourera do K I f oryujey: f e d, (..8) kóra jes nana jako funkcja odwrona auokowarancj. Ocywśce: K K I I I K I jes funkcją odwroną auokorelacj. f e d, (..9). Model ARMA a odel presren sanów Mnalną repreenację ARMA p,q, opsaną wora (..)-(..), ożna apsać jako odel presreń sanów w posac kanoncnej 55 (..) lub w posac opsanej równana (..a) (..b) 56. Nech ax p, q ora dla j p. Wówcas odel PS a posać: j x x (..a) x,,..., (..b) gde x, aś E k,,,,...,,, k,, 55 Par Goureroux, Monfor (997) s.87, Brockwell, Davs (99) s Par Goureroux, Monfor (997) s.88.

49 Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych 48 lub q q p x x, (..a) q p x......, (..b) gde q p x. Posać kanoncną PS odelu ARMA ożna oryać wykorysując warunkową warość ocekwaną odelu ARMA:......, (..3) gde p j j dla ora q dla, j...,,,, aś: j j j. (..4) Nech,, j j j k k E. (..5) Zae j j j k k E,, j j j,. (..6) Sąd:,,,,,,,,... (..7)

50 Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych 49 Lcąc warość ocekwaną warunkową dla procesu posac (..3) oryujey:,,,.... (..8) Zae osane równane (..7), e wględu na (..8), a posać:,,,.... (..9) Dla +, + jes funkcją,,,,...,,.,,,,,,,...,,... f. (..) Sąd wekore sanu jes wekor,,,,...,, x, a repreenacja presren sanów odelu ARMA dana jes wore (..). Załóży, że proces posada repreenację presren sanów, aś nalny odel PS jes posac (.3.4) (.3.5). Wyar wekora sanu x wynos. Weloan charakerysycny acery F jes dany wore: F I, (..) gde. Na podsawe werdena Cayleya-Halona wey, że: F. (..) Sosując kolejne podsawena do równana (.3.4), oryujey: x G G F F G G F x F G G x F F G x F x (..3) Mnożąc równane (.3.5) pre odpowedne oryujey: x x G H F x H G G F x H F H x G G F H F x H

51 Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych 5 Hx (..4) Dodając do sebe prawe lewe srony (..4) ay: x HG HG G HF G HF x I F F H F Hx G H F G G F x H F G G F x H F Nech: p,...,,... HG G HF G HF. (..5) Wówcas (e wględu na (..)) proces a repreenację ARMA posac:......, (..6a) lub w równoważnej fore: (..6b) W leraure ożna spokać ransforacje odelu ARMA w odel PS be ałożena o nalnej repreenancj ARMA 57. Podsawowa różnca poędy predsawoną powyżej eodą a eodą aesconą we wskaanej leraure polega na nny wybore wyaru wekora sanu. Manowce a wyar wekora sanu pryjuje sę, ax q p, gde p q są odpowedno ręde auoregresj ora ręde średnej ruchoej odelu ARMA. Jeżel, ax, ax q p q p, o w obydwu prypadkach oryuje sę denycną acer sanu ora acer wyjśca, aś acer akłóceń różn sę, n.:... G. 57 Por. np.: Górka (997), Gresak (995), Harvey (993), We (99).

52 Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych 5 W pracy Goureroux, Monfor (997) ożna naleźć powąana poędy repreenacją ARMA repreenacją PS. Ponżej osaną pryocone dwa werdena 58 opsujące ależnośc poędy obydwea repreenacja. WIERDZENIE.. Proces realacj sochasycnych: j, (..7) j j a repreenację ARMA wedy ylko wedy, gdy a repreenację PS. Równoważność for ożna wyrać a poocą funkcj ransferowej. Funkcja ransferowa odelu ARMA (..) w posać realacj sochasycnych (..7) a posać: x, (..8) aś funkcję ransferową odelu PS ożna apsać: HIx F G. (..9) Zae funkcję ransferową (..8) ożna apsać jako (..9) odwrone. Nech dany będe proces jednowyarowy ający nalną repreenację ARMA p,q ora nalny odel PS o wyare K. WIERDZENIE.. K ax p, q. Zae odel PS (..) nalnej repreenacj ARMA ne jes nalny odele PS, aś odel PS opsany równana (..) jes nalny odele PS. 58 werdena ora dowody ożna naleźć w pracy Goureroux, Monfor (997) s.84 nasępne.

53 Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych 5.3 Model presren sanów a spekru wąek: Poędy funkcją gęsośc spekralnej a funkcją auokowarancj 59 achod f K e. (.3.) Funkcję auokowarancj odelu PS (.3.4 5) ożna wyrać wore: gde: HF Ex HF M K, dla, (.3.) x FΠH GΔ M E, cov x Π, cov Δ. Macer Π ora są sałe w case, gdyż proces jes sacjonarny. Spełnone są równeż dwa nasępujące równana: Zae: Π FΠF GΔG, (.3.4) K HΠH. (.3.5) f K e K K K e K e K cos K HF M cos. (.3.6) Odwroną ransforaą Fourera do (.3.) jes: 59 Funkcja spekralna jes różnckowalna, aś sereg auokowarancj jes bewględne beżny.

54 Zależnośc poędy repreenacja procesów sochasycnych 53 K f e d. (.3.7) Zae ając funkcję gęsośc spekralnej ożna wynacyć warośc funkcj auokowarancj, naoas ając funkcję auokowarancj ożna wynacyć acer Hankela (.3.5), dalej odel PS. LEMA Model PS oryany a poocą funkcj gęsośc spekralnej jes odele sablny. Dowód: Dana jes funkcja gęsośc spekralnej. Zae sereg auokowarancj jes bewględne beżny. Sąd, jeżel: K K. (.3.8) Funkcję auokowarancj ożna opsać wore (.3.), ae: K HF H I M HM HFM HF F F... M H F M M.... (.3.9) Macere H M są sałe, ae beżność seregu (.3.9) ależy ylko od beżnośc seregu: F I F F.... (.3.) Poneważ sereg (.3.9) jes beżny, o sneje sua seregu (.3.). Naoas sua seregu (.3.) sneje, jeżel 6 F, n. 6 : F F I F F... F I, (.3.) 6 Por. Kełbasńsk, Schwelck (99) s.5. 6 Sereg (.3.) nos nawę seregu Neuanna acery F.