Miniatura 1 Magia okręgu jednostkowego

Transkrypt

1 Mnatura Maga okręgu jednostkowego ndrzej Sendlewsk Wstęp Z lekcj matematyk wemy, że równane kwadratowe o współczynnkach rzeczywstych ne posada rozwązań rzeczywstych, gdy jego wyróżnk jest ujemny. W XVI w. matematycy ustall, że nedogodnośćtęmożnausunąć,jeślumesęoblczyć (umesęrozwązać równanex 2 +=0).znaczając nowymsymbolem,zdefnowanonowelczbypostacx+y(x,y rzeczywste),którenazwano lczbam zespolonym. Traktując lczby postac x + y jako welomany zmennejuwzględnającwrachunkachrówność 2 =,możemyna nch wykonywać cztery podstawowe operacje arytmetyczne: dodawane, odejmowane, mnożene dzelene przez lczby różne od zera. węc, tworzą one strukturę algebraczną zwaną całem. Ścsłe, równoważne sobe, defncje cała lczb zespolonych dowody twerdzeń opsujących jegoważnewłasnoścpojawłysedoperowxixw.jednaztakch defncj brzm następująco: ałem lczb zespolonych nazywamy najmnejsze cało zawerające całolczbrzeczywstych,wktórymrównanex 2 +=0marozwązane. Pomędzy punktam płaszczyzny, a lczbam zespolonym stneje wzajemne jednoznaczna odpowedność. Lczbe zespolonej z = x + y odpowada jedyny punkt P o współrzędnych kartezjańskch(x, y) na odwrót. Tym sposobem możemy mówć o współrzędnej zespolonej z punktu P. Fakt ten stwarza nowe możlwośc badana własnośc fgur płaskch za pomocą lczb zespolonych.

2 2. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG W nnejszej mnaturze pokażemy jak można wykorzystać metodę współrzędnych zespolonych do dowodów wybranych własnośc trójkątów. W tym mejscu nasuwa sę pytane: o z tym ma wspólnego okrąg jednostkowy? Wyjaśnene tej zagadk jest następujące: a) Z każdym trójkątem można zwązać pewen okrąg, przykładowo na każdym trójkące można opsać okrąg, w każdy trójkąt można wpsać okrąg, tp. b) Układ współrzędnych na płaszczyźne można wprowadzć w tak sposób, aby środek układu pokrywał sę ze środkem tego okręgu, ajegopromeńbyłrówny. kazuje sę, że w takej sytuacj dowody nawet dość zawłych własnośc trójkąta stają sę wyjątkowo krótke elegancke. o węcej, w welu przypadkach analza zależnośc pomędzy współrzędnym zespolonym pozwala dogłębne wyjaśnć naturę problemu. Właśne tę zadzwającą możlwość mamy na uwadze psząc w tytule mnatury o mag okręgu jednostkowego.. Płaszczyzna zespolona Doskonale jest nam znany model cała lczb rzeczywstych jakm jest oś lczbowa. Dzęk wzajemne jednoznacznej odpowednośc pomędzy lczbam rzeczywstym punktam os lczbowej możemy wyrażać własnośc lczb rzeczywstych w języku geometr prostej, na odwrót, własnośc fgur geometrycznych na prostej możemy opsywać za pomocą lczb rzeczywstych. Podobną sytuację mamy w przypadku cała lczb zespolonych. Jeżel na płaszczyźne wprowadzmy kartezjańsk układ współrzędnych, to możemy ustalć wzajemne jednoznaczną odpowedność pomędzy punktam tej płaszczyzny lczbam zespolonym.lczbezespolonejz=x+yodpowadapunktppłaszczyznyo współrzędnych kartezjańskch(x, y), zaś punktow P o współrzędnych (x,y),lczbazespolonaz=x+y.pozwalatonamutożsamaćlczby zespolone z punktam płaszczyzny(model Gaussa cała lczb zespolonych) albo z param lczb rzeczywstych(model Hamltona cała lczb zespolonych).

3 . PŁSZZYZN ZESPLN 3 y z z ϕ x Przypomnjmy teraz podstawowe pojęca fakty o lczbach zespolonych nezbędne do zrozumena tej mnatury. zytelnków mnatury, którzy stykają sę z lczbam zespolonym po raz perwszy odsyłamy do opracowań[] [3], gdze można znaleźć dowody prezentowanych w tym paragrafe faktów dodatkowe wyjaśnena. Defncja.Modułemlczbyz=x+ynazywamylczbęrzeczywstą neujemną z = x 2 +y 2. Defncja 2. Lczbą sprzężoną do lczby z = x+y nazywamy lczbę z=x y. Defncja3.rgumentemlczbyz=x+y 0nazywamykażdą lczbę rzeczywstą ϕ spełnającą warunk: cosϕ= x z, snϕ= y z. rgument lczby z oznaczany jest zazwyczaj symbolem arg z. Każda lczba zespolona z 0 ma neskończene wele argumentów. Jeśl ϕ jestjednymznch,tokażdynnywyrażasęwzoremargz=ϕ+2kπ, k=0,±,±2,...dodajmy,żedlajednoltoścsformułowań,zaargument lczby zespolonej z = 0 przyjmuje sę każdą lczbę rzeczywstą. Podstawowe własnośc zdefnowanych pojęć można łatwo wyprowadzć korzystając z defncj albo odczytać z ponższego rysunku.

4 4. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG z z ϕ ϕ z z Wnosek.Lczbaz=x+yjestlczbąrzeczywstą(y=0)wtedy tylkowtedy,gdy () z=z (równoważnedlaz 0,ϕ=0,π). Wnosek2.Lczbaz=x+yjestlczbąurojoną(x=0)wtedy tylkowtedy,gdy (2) z= z (równoważnedlaz 0,ϕ=± π 2 ). Wnosek 3. Dla każdej lczby zespolonej z zachodz równość (3) z z= z 2. Wszczególnoścjeśl z =,to (4) z z=, tj. lczby z z są lczbam wzajemne odwrotnym. Na zakończene przytoczmy jeszcze trzy twerdzena. ardzo proste w dowodze, ale ważne twerdzene opsujące własnośc operacj sprzężena, twerdzene o własnoścach modułu oraz twerdzene o własnoścach operacj arg. Twerdzena te będą nam ułatwały późnejsze oblczena.

5 2. WEKTRY 5 Twerdzene. peracja sprzężena jest odwrotnym do sebe automorfzmem cała lczb zespolonych, tj. dla dowolnych lczb zespolonych zwzachodząrównośc: (5) z=z, (6) z±w=z±w, z w=z w, ( z = w) z w (w 0). Twerdzene 2. Dla dowolnych lczb zespolonych z w zachodzą równośc: (7) z w = z w, z (8) w = z w,(w 0). Twerdzene 3. Dla dowolnych lczb zespolonych z w zachodzą równośc: (9) arg(z w)=argz+argw, ( z (0) arg =argz argw,(w 0). w) 2. Wektory W dalszym cągu, aby być w zgodze z tradycyjnym oznaczenam w geometr, punkty płaszczyzny będzemy oznaczal dużym lteram. Natomast, dla unknęca neporozumeń, współrzędną zespoloną punktu będzemy zawsze oznaczal małą lterą opowadającą lterze oznaczającej ten punkt. Przykładowo, współrzędne zespolone punktów:,,,,,,będzemyoznaczalodpowednolteram:a,b,c,a,b,c.

6 6. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG Lczbe zespolonej a odpowada na płaszczyźne zespolonej ne tylko punkt,aletakżepewenwektor,amanowcewektoropoczątkuw punkcekońcuwpunkce.lczbęabędzemynazywalwspółrzędnązespolonąwektora będzemypsal =a.zauważmy, żejeżelabsąwspółrzędnymzespolonymwektorów,toz defncj dodawana lczb zespolonych natychmast otrzymujemy + =,gdze c=a+b oraz = D,gdze d=b a. Poneważ = D(patrz rysunek), przyjmujemy () =b a. y x D Wnosek4.Jeżelpunktjestśrodkemodcnka,to (2) c= a+b, 2 tzn. współrzędna zespolona środka odcnka jest równa średnej arytmetycznej współrzędnych zespolonych jego końców. Dowód.Jeżelpunktjestśrodkemodcnka,to =. węcc a=b c,tj.c= a+b 2.

7 2. WEKTRY 7 Twerdzene 4. Dla dowolnych punktów płaszczyzny,,, D wektory Dsąrównoległewtedytylkowtedy,gdy (3) (a b)(c d)=(a b)(c d). Dowód.Wektory Dsąrównoległewtedytylkowtedy,gdy wektory P,gdzep=b a,oraz Q,gdzeq=d c,leżąnajednej prostej(patrz rysunek). Q y D x y Q D x P P Matomejscedokładnewtedy,gdyb a=λ(d c),dlapewnego rzeczywstegoλ,cojestrównoważnestwerdzenu,że b a d c jestlczbą rzeczywstą.stąd,namocywnosku, Dwtedytylkowtedy, gdy ( ) b a b a d c =. d c Korzystając z własnośc sprzężena, po przekształcenach algebracznych otrzymujemy warunek z twerdzena. Twerdzene 5. Dla dowolnych punktów płaszczyzny,,, D wektory Dsąprostopadłewtedytylkowtedy,gdy (4) (a b)(c d)+(a b)(c d)=0.

8 8. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG Dowód.Wektory Dsąprostopadłewtedytylkowtedy,gdy wektory P,gdzep=b a,oraz Q,gdzeq=d c,sąprostopadłe. Warunek ten jest spełnony dokładne wtedy, gdy(patrz rysunek) arg(b a) arg(d c)= π 2 albo arg(d c) arg(b a)=π 2. Namocyrównośc(0)oznaczato,że arg b a d c =arg(b a) arg(d c)=±π 2. y D x y Q D x Q P P lewarunektenjestrównoważnytemu,że b a d c jestlczbąurojoną. Stądnamocywnosku2, Dwtedytylkowtedy,gdy ( ) b a b a d c =. d c Korzystając z własnośc sprzężena, po przekształcenach algebracznych otrzymujemy warunek z twerdzena. 3. krąg jednostkowy kręgem jednostkowym nazywamy okrąg o środku w punkce promenu równym. Równanem tego okręgu we współrzędnych zespolonychjestrównane z =albozz=.przedstawmyterazpodstawowe fakty zwązane z okręgem jednostkowym. Wększość z nch ma charakter czysto technczny, ale nektóre z tych faktów same w sobe są nteresujące(zobacz[4]).

9 3. KRĄG JEDNSTKWY 9 Własność. Punkty okręgu jednostkowegosąwspółlnowezpunktem wtedytylkowtedy,gdy (5) ab=ab=. Dowód.Punkty,,sąwspółlnowewtedytylkowtedy,gdy =,tj.gdya= b.jeśla= b,toab= bb=.dwrotne,jeślab=,toa=a(bb)=(ab)b= b,węca= b.zamenając rolamz,taksamowykazujemy,że,,sąwspółlnowewtedy tylkowtedy,gdyab=. Własność2.Nech,,Dbędą dowolnym punktam okręgu jednostkowego. ProsteDsąrównoległewtedytylko wtedy, gdy (6) ab=cd. Dowód.ProsteDsąrównoległewtedytylkowtedy,gdy D,conamocytwerdzena4jestrównoważnewarunkow (a b)(c d)=(a b)(c d). Uwzględnającrównośca= b=,natychmaststwerdzamy,że a b warunek ten jest równoważny warunkow ab = cd. D Własność3.PunktZleżynaprostej wtedytylkowtedy,gdy (7) z+abz=a+b. Z

10 0. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG Dowód.PunktZjestpunktemprostejwtedytylkowtedy, gdy Z, co na mocy twerdzena 4, jest równoważne warunkow (a b)(a z)=(a b)(a z). Przekształcając równoważne tę równość, kolejno otrzymujemy: (a z) a z a b (a b)=0, ( ) a z a z ) a b ( a =0, b az + a z a b a b =0, a ab b abz+a z =0, ab czylostatecznez+abz=a+b. Równane(7) jest równanem prostej we współrzędnych zespolonych. W szczególnym przypadku, gdy prosta przechodz przez punkt otrzymujemy Własność 4. Prosta przechodząca przezpunktpunktokręgujednostkowego ma równane (8) z a 2 z=0. Z Własność 5. Dla dowolnych punktów okręgu jednostkowego, proste sąprostopadłewtedytylko wtedy, gdy (9) ab+ab=0. Dowód.Prostesąprostopadłewtedytylkowtedy,gdy.Przetowłasnośćtajestszczególnymprzypadkemtwerdzena 5.

11 3. KRĄG JEDNSTKWY Własność6.Nech,,Dbędą dowolnym punktam okręgu jednostkowego. ProsteDsąprostopadłewtedytylko wtedy, gdy (20) ab+cd=0. D Dowód.ProsteDsąprostopadłewtedytylkowtedy,gdy D,conamocytwerdzena5,jestrównoważnewarunkow (a b)(c d)+(a b)(c d)=0. Uwzględnającrównośca= b=,łatwosprawdzamy,żewarunek a b tenjestrównoważnywarunkowab+cd=0. Własność7.PunktZleżynastycznej do okręgu jednostkowego w punkce wtedy tylkowtedy,gdy (2) az+az=2. Z Dowód. Punkt Z leży na stycznej do okręgu jednostkowego w punkcewtedytylkowtedy,gdy Z,conamocytwerdzena5, jest równoważne warunkow a(a z)+a(a z)=0. Stądmamyaz+az=2,gdyżaa=. Własność 8. Jeżel punkt D jest punktem przecęca stycznych do okręgu jednostkowegowpunktach,to (22) d= 2ab, a+b tzn. współrzędna zespolona d jest średną harmonczną współrzędnych zespolonych a b. D

12 2. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG Dowód. by wyznaczyć współrzędną zespoloną punktu D, na mocy własnośc 7, wystarczy rozwązać układ równań lnowych: { ad+ad = 2 bd+bd = 2 zwzględunanewadomedd. Poneważpunkty,nesąwspółlnowe,namocywłasnośc, wyznacznk macerzy głównej tego układu a a b b 0, a węc układ ten ma dokładne jedno rozwązane: a 2 b 2 d= a a = 2a 2b ab ab =2(a b) = 2ab a b b b b a+b. a Defncja 4. Dwa punkty półprostej o werzchołku w środku okręgu nazywamy punktam symetrycznym względem tego okręgu, jeśl loczyn odległośc tych punktów od środka okręgu jest równy kwadratow długośc promena tego okręgu. Twerdzene 6. Nech D będą dowolnym punktam płaszczyzny takm,że0< c d.następującewarunksąrównoważne: a) Punkty D są punktam symetrycznym względem okręgu jednostkowego. b) Istneją punkty okręgu jednostkowego, take, że c= a+b d= 2ab 2 a+b. c) Współrzędne zespolone punktów D spełnają równośc: (23) cd=cd=.

13 3. KRĄG JEDNSTKWY 3 Dowód.a) b) Załóżmy,żepunktyDsąpunktamsymetrycznym względem okręgu jednostkowego. Poprowadźmy przez punkt prostaprostopadłądodoprostejd.nechbędąpunktam przecęca tej prostej z okręgem jednostkowym. D Zdefncjpunktówsymetrycznychwynka,że D =.Zatemna mocy cechy(bkb), trójkąt D jest podobny do trójkąta prostokątnego.węckąt DjestkątemprostymprostaDjeststyczną do okręgu jednostkowego w punkce. nalogczne pokazujemy, że prosta D jest także styczną do okręgu jednostkowego w punkce.zatemnamocywłasnośc8,d= 2ab a+b ;zaśnamocywnosku4, c= a+b 2. b) c) Jeżelc= a+b d= 2ab 2 a+b orazabsąpunktamokręgu jednostkowego, to cd= a+b 2 2ab a+b =(a+b) ab Wtedynamocytwerdzena,takżecd=. c) a) Załóżmy,żecd=cd=.Wtedy a + b =. D= c d = c d = cd =.

14 4. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG Ponadto, na mocy twerdzena 3 mamy argc argd=arg c d =argcd=arg=0, codowodz,żepunktydleżąnatejsamejpółprostejowerzchołku.stąd,namocydefncj,punktydsąpunktamsymetrycznym względem okręgu jednostkowego. Własność 9. Jeżel są punktam okręgu jednostkowego newspółlnowym z punktem, to punkty o współrzędnych zespolonych a+b 2ab 2 a+b sąpunktamsymetrycznymwzględemtegookręgu. Własność 0. Dla dowolnych punktów,,dokręgujednostkowego,jeżel punkt P jest punktem przecęca prostych D,to (24) p= (a+b) (c+d). ab cd Dowód. by wyznaczyć współrzędną zespoloną punktu P, na mocywłasnośc3,wystarczyrozwązaćzewzględunanewadomepp układrównań: { p+abp = a+b P D p+cdp = c+d. dejmując od perwszego równana równane druge mamy: Stąd (ab cd)p=(a+b) (c+d). p= (a+b) (c+d) ab cd (zwłasnośc2wemy,żeab cd 0).

15 4. TWIERDZENI TRÓJKĄTH 5 Własność. Nech będze trójkątem wpsanym w okrąg jednostkowy. Jeżel jest spodkem wysokośc trójkąta opuszczonej z werzchołka na prostą,to (25) c = ( a+b+c ab ). 2 c D Dowód. Z własnośc 0 mamy c = (a+b) (c+d). ab cd leprostedsąprostopadłe,węcnamocywłasnośc6,ab= cd. Zatem c = a+b ) 2ab +c+d 2cd 2( = a + b + c + = ( ) a+b+c+d. d 2 Stąd, na mocy twerdzena c = 2 (a+b+c+d). Skoroab= cd,tod= ab c.uwzględnająctęrównośćostateczne otrzymujemy c = ( a+b+c ab ). 2 c 4. Twerdzena o trójkątach W paragrafe tym pokażemy na wybranych przykładach jak wykorzystać udowodnone własnośc okręgu jednostkowego w dowodach twerdzeń o własnoścach trójkątów. Twerdzene 7. Środkowe trójkąta przecnają sę w jednym punkce zwanym środkem cężkośc tego trójkąta.

16 6. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG Jeżel trójkąt jest wpsany w okrąg jednostkowy, a punkt M jest jego środkem cężkośc, to (26) m= a+b+c, 3 tj. współrzędna zespolona środka cężkośc trójkąta jest średną arytmetyczną współrzędnych jego werzchołków. Dowód. Nech będze dowolnym trójkątem. Wprowadzamy na płaszczyźne układ współrzędnych w tak sposób, aby okrąg opsany natrójkącebyłokręgemjednostkowym.nech,, będą środkam boków trójkąta na przecw odpowedno werzchołków,, (patrzrysunek).zwnosku4wemy,że a = b+c 2, b = c+a 2, c = a+b. 2 M WeźmypunktMowspółrzędnejzespolonejm= a+b+c.wówczas 3 mamy M= a+b+c c= 2 3 a+b 2c = 2 ( ) a+b c =

17 4. TWIERDZENI TRÓJKĄTH 7 Dowodzto,żepunkty,,Msąwspółlnowe.nalogcznesprawdzamy,żetakżepunkty,,Morazpunkty,,Msąwspółlnowe, tj.proste, przecnająsęwpunkcem. Twerdzene 8. Proste zawerające wysokośc trójkąta przecnają sę w jednym punkce zwanym ortocentrum tego trójkąta. Jeżel trójkąt jest wpsany w okrąg jednostkowy, a punkt H jest jego ortocentrum, to (27) h=a+b+c. Dowód. Nech będze dowolnym trójkątem. Wprowadzamy na płaszczyźne układ współrzędnych w tak sposób, aby okrąg opsany natrójkącebyłokręgemjednostkowym.nech,, będą spodkam wysokośc opuszczonym odpowedno z werzchołków,,,apunkty 2, 2, 2 punktamprzecęcaprostychzawerających wysokośc z okręgem opsanym(patrz rysunek). 2 2 H 2 NechHbędzepunktemprzecęcaprostych.Poneważ 2,tozwłasnośc6mamyaa 2 +bc=0,czyla 2 = bc a.

18 8. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG nalogczne,b 2 = ca b.natomastzwłasnośc0mamy Przeto h= ( ) ( ) a bc a b ca b bc+ca h= (a+a 2) (b+b 2 ) aa 2 bb 2. = a + b + c =a+b+c=a+b+c, węc h=a+b+c. byzakończyćdowód,wystarczysprawdzć,żeh.wtym celu,namocytwerdzena5,wystarczysprawdzćże(c h)(a b)+ (c h)(a b)=0,copozostawamyzytelnkowjakoprostećwczene rachunkowe. Twerdzene 9(okrąg Eulera). Środk boków trójkąta, spodk jego wysokośc środk odcnków łączących werzchołk trójkąta z jego ortocentrum leżą na jednym okręgu zwanym okręgem Eulera albo okręgem 9 punktów trójkąta. Jeżel trójkąt jest wpsany w okrąg jednostkowy, a punkt E jest środkem okręgu Eulera tego trójkąta, to (28) e= h 2 =a+b+c 2 Dowód. Nech będze dowolnym trójkątem. Wprowadzamy na płaszczyźne układ współrzędnych w tak sposób, aby okrąg opsany natrójkącebyłokręgemjednostkowym.nech,, będą środkamboków,,, spodkamwysokośc,zaś,, środkam odcnków łączących werzchołk trójkąta z jego ortocentrum H(patrz rysunek). Nech E będze punktem o współrzędnej zespolonej e= a+b+c. Sprawdźmy, że wszystke nteresujące nas punkty leżą 2 naokręguośrodkuepromenu. 2.

19 4. TWIERDZENI TRÓJKĄTH 9 H EM Namocywnosku4twerdzena26wemy,że: a = b+c 2, b = c+a 2, c = a+b 2 oraz a = a+h =a+ b+c 2 2, b =b+ c+a 2, c =c+ a+b. 2 Natomast z własnośc wemy, że: ( ) a = 2 a+b+c bc a, ( ) b = 2 a+b+c ca b, ( ) c = 2 a+b+c ab c. Sprawdzenewykonamytylkodlapunktów,,gdyżdlapozostałych punktów otrzymujemy je przez odpowedną zamanę symbol. E = e a a+b+c = b+c 2 2 = a 2 = 2, E = e a a+b+c = ( a+b+c bc 2 2 a) = bc 2a = 2, E = e a a+b+c = a b+c 2 2 = a 2 = 2.

20 20. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG Twerdzene 0(prosta Eulera). Środek okręgu opsanego na trójkące, środek cężkośc M, ortocentrum H oraz środek E okręgu Eulera tego trójkąta leżą na jednej prostej zwanej prostą Eulera tego trójkąta. o węcej, zachodzą równośc: (29) M= 3 H= 2 E. 3 Dowód. Tak jak w poprzednch dowodach, możemy założyć, że okrąg opsany na trójkące jest okręgem jednostkowym. Wtedym= a+b+c,h=a+b+c e= a+b+c. Zatem M= a+b+c 3 = 3 H 3 h= 3 2 M= a+b+c = e=2 E. 3 Twerdzene (prosta Smsona). Rzuty prostokątne dowolnego punktu okręgu opsanego na trójkące, na proste zawerające bok tego trójkąta, leżą na jednej prostej zwanej prostą Smsona tego trójkąta rzutowanego punktu. Dowód. Nech będze dowolnym trójkątem, a punkt P dowolnym punktem okręgu opsanego na tym trójkące. ez utraty ogólnośc możemyzałożyć,żeokrągtenjestokręgemjednostkowym.nechp a, P b,p c będąrzutamprostokątnympunktupnaodpowedneproste zawerające bok trójkata(patrz rysunek). Namocywłasnośc,punktyP a,p b,p c,jakospodkwysokośc opuszczonych z werzchołka P odpowedno w trójkątach P, P, P mają następujące współrzędne zespolone: ( ) p a = 2 b+c+d bcd, ( ) p b = 2 c+a+d cad, ( ) p c = 2 a+b+d abd.

21 4. TWIERDZENI TRÓJKĄTH 2 P b P P a P c byudowodnć,żepunktyp a,p b,p c sąwspółlnowewystarczy udowodnć,żewektory P b P a P c P a sąrównoległe.wtymcelu,na mocy twerdzena 4, wystarczy wykazać, że co łatwo sprawdzć. (p b p a )(p c p a )=(p b p a )(p c p a ). Pouczające może być porównane przedstawonych tutaj dowodów twerdzeń 9, 0 z ch dowodam przeprowadzonym klasycznym metodam geometr syntetycznej, które znajdują sę w[4]. Zakończmy tę mnaturę dwoma twerdzenam, których dowody pozostawamy zytelnkow jako sprawdzene opanowana prezentowanej metody. Do każdego z nch załączamy lustrację grafczną, która może być wykorzystana jako wskazówka. Twerdzene 2. Proste Smsona dwóch antypodycznych punktów (końców średncy) okręgu opsanego na trójkące są do sebe prostopadłe, a ch punkt przecęca leży na okręgu Eulera tego trójkąta.

22 22. MGI KRĘGU JEDNSTKWEG P b P P a Q b Q Q c Twerdzene 3. Na okręgu opsanym na trójkące stneje tak punktp,żeprostasmsonapunktupprostaeulerategotrójkątasą do sebe prostopadłe(równoległe). R P c Q a P P a E P a E P c P c P Lteratura [] W. Janowsk, J. Kaczmarsk, Lczby zmenne zespolone, WSP, Warszawa 986. [2] Z.. Skopec, Geometrczeskje mnatury, Prosweszczenje, Moskwa 990 (w języku rosyjskm). [3] W. Węsław, Lczby geometra, WSP, Warszawa 996. [4] S. I. Zetel, Geometra trójkata, PZWSz, Warszawa 964.