Zależności funkcyjne
|
|
- Krystian Krajewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zależności funkcyjne
2 Plan wykładu Pojęcie zależności funkcyjnej Dopełnienie zbioru zależności funkcyjnych Postać minimalna zbioru zależności funkcyjnych Domknięcie atrybutu relacji względem zależności funkcyjnych Pojęcie klucza Rozkładalność schematów relacyjnych
3 Pojęcie zależności funkcyjnej Definicja 1: Niech U będzie skończonym zbiorem atrybutów relacji R. Zależnością funkcyjną nazywamy każdy zapis postaci: X Y gdzie: X, Y U Mówimy wówczas, że Y zależy funkcyjnie od X lub że X determinuje funkcyjnie Y
4 Spełnienie zależności funkcyjnej Definicja 2: Niech dana będzie relacja R(U) i niech: X, Y U Mówimy, że w R spełniona jest zależność funkcyjna: X Y co zapisujemy: R X Y jeśli dla każdych dwóch krotek: zachodzi: r 1[ X ] r2[ X ] r1[ Y ] r2[ Y r 1, r ] 2 R
5 Spełnienie zależności funkcyjnej - przykład Egzamin NrStud Nazwisko Przedmiot Ocena 10 Kowalski Algebra 3 10 Kowalski Analiza 4 11 Nowak Algebra 3 12 Wróbel Algebra 3 Egza min NrStud Nazwisko Czy zachodzi zależność odwrotna? Egzamin NrStud,Przedmiot Nazwisko Egzamin Przedmiot Ocena (?)
6 Wyprowadzenie zależności funkcyjnych Mając zadany zbiór ZF (zależności funkcyjnych): F { X 1 A1, X 2 A2,..., Xn An } Chcemy wiedzieć, czy zależność: Y B spełniona jest w każdej relacji R, w której spełnione są wszystkie zależności ze zbioru F
7 Wyprowadzenie zależności funkcyjnych - przykład Przykładowo mając dany ZF: F { A B, B C} łatwo dowieść z definicji, że spełniona jest również zależność: A C
8 Wyprowadzanie zależności funkcyjnych przez wnioskowanie Problem: Zadany jest zbiór zależności funkcyjnych F nad zbiorem atrybutów U. Należy wyznaczyć zbiór wszystkich zależności funkcyjnych będący konsekwencją zbioru F. Taki zbiór będziemy oznaczać F+ Reguły wyprowadzania dla zależności funkcyjnych zostały zaproponowane przez Armstronga i nazywane są aksjomatami Armstronga.
9 Aksjomaty Armstronga Niech dany będzie zbiór zależności funkcyjnych F nad zbiorem atrybutów U. Niech : X,Y, Z U Wówczas: F1(zwrotnosc) : F2(poszerzalnosc): Y X F3(przechodniosc): X X Y Y X Y Y XZ YZ Z X Z
10 Aksjomaty Armstronga cd Z aksjomatów Armstronga można wyprowadzić następujące reguły: F4(pseudoprzechodnosc): X Y YW Z F5(addytywnosc): X Y X Z X YZ F6(dekompozycyjnosc): X YZ X Y X XW Z Z Zbiór F+ może być generowany przez różne zbiory zależności funkcyjnych. Można mówić o minimalnym generatorze F+
11 Zależności funkcyjne przykład wnioskowania Niech: U = {P, I, O, E, G, S} P przedmiot egzaminu I numer indeksu O ocena z egzaminu E numer identyfikacyjny egzaminatora G godzina egzaminu S sala egzaminu Zbiór zależności funkcyjnych: F = {P ->GS, GS -> P, PI->O, GI->PS, PGS->E} Zależności pochodne: P->G, P->S, GSI->O GI->E
12 Postać minimalna zależności funkcyjnych Postać minimalna to najmniejszy zbiór zależności funkcyjnych, z których można wyprowadzić wszystkie zależności funkcyjne.
13 Postać minimalna zależności funkcyjnych cd. Zbiór zależności F jest minimalny jeżeli: Prawa strona każdej zależności w F jest pojedynczym atrybutem (gwarancja, że żaden atrybut po prawej stronie nie jest redundantny); Nie istnieje takie X->A w F taka, że zbiór F {X->A} jest równoważny z F (gwarancja, że nie ma redundantnych zależności w F); Nie istnieje takie X->A w F oraz taki podzbiór Z zawierający się w X, że: F { X A} { Z A} jest równoważny z F (gwarancja, że nie ma redundantnych atrybutów po lewej stronie)
14 Postać minimalna zależności funkcyjnych - przykład Dany niech będzie zbiór zależności F F = {A->B, B->A, B->C, A->C, C->A} Jaka jest postać minimalna F? Można wyeliminować: B->A oraz A->C, gdyż: B->C i C->A dają B->A oraz A->B i B->C dają A->C F = {A->B, B->C, C->A}
15 Postać minimalna zależności funkcyjnych przykład cd Dany niech będzie zbiór zależności F F = {A->B, B->A, B->C, A->C, C->A} Jaka jest postać minimalna F? Można wyeliminować: B->C, gdyż: B->A i A->C dają B->C F = {A->B, B->A, A->C, C->A}
16 Domknięcie zbioru atrybutów względem zależności funkcyjnych Zbiór: X { A U : X A} nazywamy domknięciem zbioru X względem zbioru zależności funkcyjnych. Twierdzenie: X Y Y X
17 Wyznaczanie domknięcia Problem: Dany jest zbiór zależności funkcyjnych F oraz zbiór atrybutów X. Dla X wyznaczyć zbiór atrybutów X+ zależnych funkcyjnie od X. Metoda: Rozpoczynamy przyjmując, że: X+ = X Indukcja: Poszukujemy wszystkie te zależności funkcyjne, których lewe strony są podzbiorami bieżącego zbioru X+ i do X+ dołączamy wszystkie atrybuty należące do prawych stron tych zależności. Jeśli na przykład: Y B, Y X to X X { B}
18 Wyznaczanie domknięcia - przykład Dany niech będzie zbiór zależności F F = {A->B, B->C, C->A} Obliczamy domknięcie atrybutu A względem zbioru F. 1) A+ = {A} 2) Na podstawie A->B mamy A+ = {AB} 3) Na podstawie B->C mamy A+ = {ABC}
19 Wyznaczanie domknięcia - przykład Dany niech będzie zbiór zależności F: F = {AB->C, C->A, BC->D, ACD->B, D->EG, BE->C, CG->BD, CE->AG} Obliczamy domknięcie atrybutów BD względem zbioru F. 1) BD+ = {BD} 2) Na podstawie D->EG mamy BD + = {BDEG} 3) Na podstawie BE->C mamy BD + = {BCDEG} 4) Na podstawie CE->AG mamy BD + = {ABCDEG}
20 Pojęcie klucza Dany niech będzie schemat relacyjny: R = (U, F). K U Zbiór atrybutów nazywamy kluczem schematu R wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: 1) Jednoznaczna identyfikalność 2) Minimalność X U F K U F ( X K) Z warunku 1) wynika, że: K U
21 Postać minimalna zależności funkcyjnych przykład cd Dany niech będzie zbiór zależności F F = {AB->C, B->A, A->B} Problem: Jaka jest postać minimalna F? Eliminujemy A z AB->C. Wtedy mamy: F = {B->C, B->A, A->B} Dowód wynika to z faktu, że B jest kluczem relacji, gdyż: B+ = {ABC}. W związku z tym C jest zależne od B, a więc można zamiast AB->C napisać B->C. Wtedy bowiem z B->C mamy AB->AC, a z tego AB->A i AB->C. Na tej samej zasadzie można wyeliminować B z AB->C. Wówczas: F = {A->C, B->A, A->B}
22 Rozkładalność schematów relacyjnych Wyróżniamy trzy rodzaje rozkładalności: Rozkładalność bez straty danych Rozkładalność bez straty zależności Rozkładalność bez straty danych i zależności
23 Rozkładalność bez straty danych Mówimy, że schemat relacyjny R = (U, F) jest rozkładalny bez straty danych na dwa schematy R[X] i R[Y] wtedy i tylko wtedy gdy: 1) 2) X R Y U R[ X ] R[ Y ]
24 Twierdzenie o rozkładalności Dany niech będzie schemat relacyjny R=(U,F) i niech XYZ=U i Y Z. Jeśli: X Y F Wówczas R jest rozkładalny bez straty danych na R[XY] oraz R[XZ]
25 Egzamin Zastosowanie twierdzenia o rozkładalności - przykład NrStud Nazwisko Przedmiot Ocena 10 Kowalski Algebra 3 10 Kowalski Analiza 4 11 Nowak Algebra 3 12 Wróbel Algebra 3 Można rozłożyć według zależności: Egza min NrStud Nazwisko
26 Zastosowanie twierdzenia o rozkładalności - przykład Można rozłożyć według zależności: Egza min NrStud Nazwisko Ocena NrStud Przedmiot Ocena 10 Algebra 3 10 Analiza 4 11 Algebra 3 12 Algebra 3 Student NrStud Nazwisko 10 Kowalski 11 Nowak 12 Wróbe;
27 Testowanie rozkładu bez straty danych Dany jest schemat relacyjny R = (A1,, An), zbiór zależności funkcyjnych F oraz dekompozycja na relacje R1,, Rk. Problem: Należy sprawdzić, czy dekompozycja jest bez straty danych. Metoda: Konstruujemy tabelę zawierającą n kolumn i k wierszy. Kolumna j odpowiada atrybutowi Aj, a wiersz i odpowiada relacji Ri. W wiersz i oraz kolumnę j należy wstawić symbol aj jeżeli Aj jest w Ri. W przeciwnym wypadku należy wstawić symbol bij. Dla każdej zależności funkcyjnej X->Y należy znaleźć te same symbole w tabeli dla atrybutu X. Jeśli się je znajdzie należy zmodyfikować w tym wierszu symbole dla atrybutu Y w taki sposób, żeby miały te same wartości. I tak jeśli w którymś z wierszy jest aj, to należy zmienić wszystkie pozostałe na aj. Jeśli bij, to należy zmienić na bij. Jeśli w wyniku poprzedniego kroku tabela nie jest już dalej modyfikowana, wówczas jeśli istnieje w niej wiersz w którym występuje wiersz a1, ak wówczas rozkład jest bez straty danych. W przeciwnym przypadku rozkład jest ze stratą danych.
28 Testowanie rozkładu bez straty danych Rozważmy rozkład relacji R = (SAIP) na R1 = (SA) i R2 = (SIP) Zakładamy następujące zależności funkcyjne: S->A, SI->P Tabela inicjująca wygląda następująco: S A I P a1 a2 b13 b14 a1 b22 a3 a4 Zastosowanie S->A: Skoro w S w obydwu wierszach jest a1, wówczas zmieniamy w A wartość w drugim wierszu b22 na a2. Mamy więc: S A I P a1 a2 b13 b14 a1 a2 a3 a4 Wiersz drugi zawiera wartości a1, a4, a więc rozkład jest bez straty danych
29 Następny wykład Postacie normalne
Pojęcie zależności funkcyjnej
Postacie normalne Plan wykładu Zależności funkcyjne Cel normalizacji Pierwsza postać normalna Druga postać normalna Trzecia postać normalna Postać normalna Boyca - Codda Pojęcie zależności funkcyjnej Definicja
Bardziej szczegółowoTadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja
Plan Zależności funkcyjne 1. Zależności funkcyjne jako klasa ograniczeń semantycznych odwzorowywanego świata rzeczywistego. 2. Schematy relacyjne = typ relacji + zależności funkcyjne. 3. Rozkładalność
Bardziej szczegółowoSystemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009
Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoNormalizacja. Pojęcie klucza. Cel normalizacji
Plan Normalizacja Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski 1. Cel normalizacji. 2. Klucze schematów relacyjnych atrybuty kluczowe i niekluczowe. 3. 2PN druga postać normalna. 4. 3PN trzecia
Bardziej szczegółowoCel normalizacji. Tadeusz Pankowski
Plan Normalizacja Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski 1. Cel normalizacji. 2. Klucze schematów relacyjnych atrybuty kluczowe i niekluczowe. 3. 2PN druga postać normalna. 4. 3PN trzecia
Bardziej szczegółowoPLAN WYKŁADU BAZY DANYCH ZALEŻNOŚCI FUNKCYJNE
PLAN WYKŁADU Zależności funkcyjne Anomalie danych Normalizacja Postacie normalne Zależności niefunkcyjne Zależności złączenia BAZY DANYCH Wykład 5 dr inż. Agnieszka Bołtuć ZALEŻNOŚCI FUNKCYJNE Niech R
Bardziej szczegółowoTechnologie baz danych
Plan wykładu Technologie baz danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. SQL - podstawy Definicja zależności funkcyjnych Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów
Bardziej szczegółowoBazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL.
Plan wykładu Bazy danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Deficja zależności funkcyjnych Klucze relacji Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH 2009/ / Notatki do wykładu "Podstawy baz danych"
PODSTAWY BAZ DANYCH 2009/2010 1 Literatura 1. Connolly T., Begg C.: Systemy baz danych. Tom 1 i tom 2. Wydawnictwo RM 2004. 2. R. Elmasri, S. B. Navathe: Wprowadzenie do systemu baz danych, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoKaŜdemu atrybutowi A przyporządkowana jest dziedzina Dom(A), czyli zbiór dopuszczalnych wartości.
elacja chemat relacji chemat relacji jest to zbiór = {A 1,..., A n }, gdzie A 1,..., A n są artybutami (nazwami kolumn) np. Loty = {Numer, kąd, Dokąd, Odlot, Przylot} KaŜdemu atrybutowi A przyporządkowana
Bardziej szczegółowoBazy danych 2. Zależności funkcyjne Normalizacja baz danych
Bazy danych 2. Zależności funkcyjne Normalizacja baz danych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012/13 Zależności funkcyjne Definicja: Mówimy, że atrybut B jest zależny funkcyjnie od atrybutów
Bardziej szczegółowoDefinicja bazy danych TECHNOLOGIE BAZ DANYCH. System zarządzania bazą danych (SZBD) Oczekiwania wobec SZBD. Oczekiwania wobec SZBD c.d.
TECHNOLOGIE BAZ DANYCH WYKŁAD 1 Wprowadzenie do baz danych. Normalizacja. (Wybrane materiały) Dr inż. E. Busłowska Definicja bazy danych Uporządkowany zbiór informacji, posiadający własną strukturę i wartość.
Bardziej szczegółowoBazy danych Teoria projektowania relacyjnych baz danych. Wykła. Wykład dla studentów matematyki
Bazy danych Teoria projektowania relacyjnych baz danych. Wykład dla studentów matematyki 2 kwietnia 2017 Ogólne wprowadzenie No przecież do tego służa reguły, rozumiesz? Żebyś się dobrze zastanowił, zanim
Bardziej szczegółowoJak wiernie odzwierciedlić świat i zachować występujące w nim zależności? Jak implementacja fizyczna zmienia model logiczny?
Plan wykładu Spis treści 1 Projektowanie baz danych 1 2 Zależności funkcyjne 1 3 Normalizacja 1NF, 2NF, 3NF, BCNF 4 4 Normalizacja 4NF, 5NF 6 5 Podsumowanie 9 6 Źródła 10 1 Projektowanie baz danych Projektowanie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Bardziej szczegółowoProjektowanie relacyjnych baz danych
BAZY DANYCH wykład 7 Projektowanie relacyjnych baz danych Dr hab. Sławomir Zadrożny, prof. PR Zależności funkcyjne Niech X i Y oznaczają zbiory atrybutów relacji R Powiemy, że dla relacji R obowiązuje
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Bardziej szczegółowoBazy Danych i Usługi Sieciowe
Bazy Danych i Usługi Sieciowe Ćwiczenia III Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2011 P. Daniluk (Wydział Fizyki) BDiUS ćw. III Jesień 2011 1 / 1 Strona wykładu http://bioexploratorium.pl/wiki/ Bazy_Danych_i_Usługi_Sieciowe_-_2011z
Bardziej szczegółowoBazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 10/15 Semantyka schematu relacyjnej bazy danych Schemat bazy danych składa się ze schematów relacji i więzów
Bardziej szczegółowoBazy Danych i Usługi Sieciowe
Bazy Danych i Usługi Sieciowe Model relacyjny Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2011 P. Daniluk (Wydział Fizyki) BDiUS w. III Jesień 2011 1 / 40 Iloczyn kartezjański Iloczyn kartezjański zbiorów A, B
Bardziej szczegółowoBazy danych 3. Normalizacja baz danych
Bazy danych 3. Normalizacja baz danych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011/12 Pierwsza postać normalna Tabela jest w pierwszej postaci normalnej (1PN), jeżeli 1. Tabela posiada klucz.
Bardziej szczegółowoBazy danych i usługi sieciowe
Bazy danych i usługi sieciowe Model relacyjny Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2016 P. Daniluk (Wydział Fizyki) BDiUS w. III Jesień 2016 1 / 50 Iloczyn kartezjański Iloczyn kartezjański zbiorów A, B
Bardziej szczegółowoZależności funkcyjne pierwotne i wtórne
Zależności funkcyjne pierwotne i wtórne W praktyce, w przypadku konkretnej bazy danych, nie jest zwykle możliwe (ani potrzebne), by projektant określił wszystkie zależności funkcyjne na etapie analizy
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPostać normalna Boyce-Codd (BCNF)
Postać normalna Boyce-Codd (BCNF) Grunty Id_Własności Wojewódz. Id-gruntu Obszar Cena Stopa_podatku Postać normalna Boyce-Codd a stanowi warunek dostateczny 3NF, ale nie konieczny. GRUNTY Id_Własności
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Wprowadzenie do problematyki baz danych
WYKŁAD 1 Wprowadzenie do problematyki baz danych WYKŁAD 2 Relacyjny i obiektowy model danych JĘZYK UML (UNIFIED MODELING LANGUAGE) Zunifikowany język modelowania SAMOCHÓD
Bardziej szczegółowoBazy danych. Plan wykładu. Podzapytania - wskazówki. Podzapytania po FROM. Wykład 5: Zalenoci wielowartociowe. Sprowadzanie do postaci normalnych.
Plan wykładu azy danych Wykład 5: Zalenoci wielowartociowe. Sprowadzanie do postaci normalnych. Dokoczenie SQL Zalenoci wielowartociowe zwarta posta normalna Dekompozycja do 4NF Przykład sprowadzanie do
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoPożyczkobiorcy. Anomalia modyfikacji: Anomalia usuwania: Konta_pożyczkowe. Anomalia wstawiania: Przykłady anomalii. Pożyczki.
Normalizacja Niewłaściwe zaprojektowanie schematów relacji może być przyczyną dublowania się danych, ich niespójności i anomalii podczas ich aktualizowania Przykłady anomalii PROWNIY id_prac nazwisko adres
Bardziej szczegółowoBazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 11/15 NORMALIZACJA c.d. Przykład {UCZEŃ*, JĘZYK*, NAUCZYCIEL} {UCZEŃ, JĘZYK} NAUCZYCIEL NAUCZYCIEL JĘZYK Są
Bardziej szczegółowoNormalizacja schematów logicznych relacji
Normalizacja schematów logicznych relacji Wykład przygotował: Tadeusz Morzy BD wykład 5 Celem niniejszego wykładu jest przedstawienie i omówienie procesu normalizacji. Proces normalizacji traktujemy jako
Bardziej szczegółowo030 PROJEKTOWANIE BAZ DANYCH. Prof. dr hab. Marek Wisła
030 PROJEKTOWANIE BAZ DANYCH Prof. dr hab. Marek Wisła Elementy procesu projektowania bazy danych Badanie zależności funkcyjnych Normalizacja Projektowanie bazy danych Model ER, diagramy ERD Encje, atrybuty,
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoBazy danych. Bazy danych. wykład kursowy. Adam Kolany. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa 2007/2008
Bazy danych wykład kursowy Adam Kolany Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa dr.a.kolany@wp.pl 2007/2008 Wielozbiory Definicja Wielozbiory Definicja Niech A będzie dowolnym zbiorem. Wielozbiór elementów A,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoRelacyjny model danych
Model relacyjny Relacyjny model danych Relacyjny model danych jest obecnie najbardziej popularnym modelem używanym w systemach baz danych. Podstawą tego modelu stała się praca opublikowana przez E.F. Codda
Bardziej szczegółowoBAZY DANYCH NORMALIZACJA BAZ DANYCH. Microsoft Access. Adrian Horzyk. Akademia Górniczo-Hutnicza
BAZY DANYCH Microsoft Access NORMALIZACJA BAZ DANYCH Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Katedra Automatyki i Inżynierii
Bardziej szczegółowoBazy danych. Andrzej Grzybowski. Instytut Fizyki, Uniwersytet Śląski
azy danych Andrzej Grzybowski Instytut Fizyki, Uniwersytet Śląski Wykład 5 Normalizacja relacji bazy danych jako podstawa relacyjnego modelowania danych (wykład przygotowany z wykorzystaniem materiałów
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoAlgebra relacji. nazywamy każdy podzbiór iloczynu karteziańskiego D 1 D 2 D n.
Algebra relacji Definicja 1 (Relacja matematyczna). Relacją R między elementami zbioru D 1 D 2 D n, gdzie przypomnijmy D 1 D 2 D n = {(d 1, d 2,..., d n ) : d i D i, i = 1, 2,..., n}, nazywamy każdy podzbiór
Bardziej szczegółowoTeoria Liczb Rzeczywistych
Matematyka Teoria Liczb Rzeczywistych Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag Matematyka p. 1 Teoria Liczb Rzeczywistych Najnowsza
Bardziej szczegółowo1 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota
Laboratorium nr 1 1 Bazy Danych Instrukcja laboratoryjna Temat: Normalizacje 1 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota 1) Wprowadzenie. Normalizacja to proces organizacji danych w bazie danych. Polega on na
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoRelacyjne Bazy Danych Andrzej M. Borzyszkowski. Projekt bazy danych normalizacja. PJATK/ Gdańsk. Dwie metodologie. Formalne zasady projektowe
Relacyjne Bazy Danych Andrzej M. Borzyszkowski PJATK/ Gdańsk materiały dostępne elektronicznie http://szuflandia.pjwstk.edu.pl/~amb Projekt bazy danych normalizacja 2 Dwie metodologie Formalne zasady projektowe
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Teoria Liczb Rzeczywistych
Analiza Matematyczna. Teoria Liczb Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk 12 marca 2017
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoBAZY DANYCH NORMALIZACJA BAZ DANYCH. Microsoft Access. Adrian Horzyk. Akademia Górniczo-Hutnicza
BAZY DANYCH Microsoft Access NORMALIZACJA BAZ DANYCH Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Katedra Automatyki i Inżynierii
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoProjektowanie baz danych
Krzysztof Dembczyński Instytut Informatyki Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji Politechnika Poznańska Technologie Wytwarzania Oprogramowania Semestr zimowy 2005/06 Plan wykładu Ewolucja
Bardziej szczegółowoZależności funkcyjne c.d.
Zależności funkcyjne c.d. Przykłady. Relacja Film (zapis w postaci tabeli): Tytuł Rok Długość typfilmu nazwastudia nazwiskogwiazdy Gwiezdne 1977 124 Kolor Fox Carrie Fisher Gwiezdne 1977 124 Kolor Fox
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoInformatyka Ćwiczenie 10. Bazy danych. Strukturę bazy danych można określić w formie jak na rysunku 1. atrybuty
Informatyka Ćwiczenie 10 Bazy danych Baza danych jest zbiór informacji (zbiór danych). Strukturę bazy danych można określić w formie jak na rysunku 1. Pracownik(ID pracownika, imie, nazwisko, pensja) Klient(ID
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoNormalizacja baz danych
Wrocławska Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej Normalizacja baz danych Dr hab. inż. Krzysztof Pieczarka Email: krzysztof.pieczarka@gmail.com Normalizacja relacji ma na celu takie jej przekształcenie,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoBAZY DANYCH. Anomalie. Rozkład relacji i normalizacja. Wady redundancji
BAZY DANYCH WYKŁAD 5 Normalizacja relacji. Zapytania zagnieżdżone cd. Wady redundancji Konieczność utrzymania spójności kopii, Marnowanie miejsca, Anomalie. (Wybrane materiały) Dr inż. E. Busłowska Copyright
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoJacek Czekaj. Rodziny równoważne z bazodanową rodziną relacji
UNIWERSYTET ŚLĄSKI W KATOWICACH WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII Jacek Czekaj Rodziny równoważne z bazodanową rodziną relacji Praca magisterska napisana pod kierunkiem dra Przemysława Koprowskiego KATOWICE
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.
Algebra Boole a Algebrą Boole a nazywamy zbiór B, wyróżnione jego podzbiory O i I oraz operacje dwuargumentowe +;, które dla dowolnych elementów X, Y, Z zbioru B spełniają następujące aksjomaty: X+Y B;
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo12. Które z harmonogramów transakcji są szeregowalne? a) (a1) (a2) (a3) (a4) b) (b1) (b2) (b3) (b4) c) (c1) (c2) (c3) (c4) d) (d1) (d2) (d3) (d4)
PRZYKŁADOWE PYTANIA NA EGZAMIN Z PRZEDMIOTU PODTAWY BAZ DANYCH 2005/2006 CZĘŚĆ 2-1- 12. Które z harmonogramów transakcji są szeregowalne? a) (a1) (a2) (a3) (a4) 1. READ(X) 1. READ(X) 1. READ(X) 1. READ(X)
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowo