elektronów w polu magnetycznym

Transkrypt

1 Odchylenie wiazki elektronów w polu magnetycznym Wiazka elektronów używana do ciecia lub frezowania może być precyzyjnie sterowana za pomoca odpowiednio dobranego pola magnetycznego. Do tego celu można użyć elektromagnesu, który wytwarza w obszarze miedzy biegunami jednorodne pola magnetyczne. Za lóżmy, że rozpedzone elektrony o masie m i ladunku e wpadaja w obszar jednorodnego pola magnetycznego B skierowanego prostopadle do predkości elektronów. Przekrój poprzeczny obszaru w którym istnieje pole magnetyczne jest kwadratem o boku a a wiazka elektronów wpada w ten obszar równolegle do jednej pary boków i jest skierowana do środka kwadratu. Oblicz o jaki odcinek x odchyli sie wiazka w odleg lości l od poczatku obszaru pola magnetycznego. Przep lyw pradu w elektromagnesie powoduje powstanie pola magnetycznego o indukcji B. Elektrony rozpedzane sa przed magnesem przez pole elektryczne o różnicy potencja lów U. Dane: h = 20 mm, l = 30 mm, B = 10 mt, U = 50 kv Rozwiazanie W obszarze niezerowego pola magnetycznego na elektron dzia la si la Lorentza F = e v B Ponieważ wektor v jest prostopad ly do pola magnetycznego B, wi ec na elektron dzia la si la która jest zawsze prostopad la do pr edkości i ma wartość F = evb Si la która jest zawsze prostopad la do predkości i ma sta l a wartość nie powoduje zmiany wartości predkości a jedynie zmienia kierunek predkości powodujac zakrzywienie toru elektronu. Promień krzywizny r można wyznaczyć z faktu, że si la magnetyczna pe lni role si ly dośrodkowej. mv 2 /r = evb, r = mv eb Zatem, wewnatrz elektromagnesu elektrony poruszaja sie po wycinku ko la o promieniu r aby po opuszczeniu elektromagnesu poruszać sie po lini prostej. Predkość v można obliczyć z zasady zachowania energii v r eu = mv 2 /2, v = 2eU/m. θ B Zatem a r 2mU r = /B = 75.4 mm e W obszarze pola magnetycznego elektron porusza sie po wycinku ko la, niech kat tego wycinka ma wartść θ. Kat θ jest równocześnie katem PSfrag podreplacements jakim elektron opuszcza pole magnetyczne w stosunku do swojego pierwotnego kierunku ruchu (kat odchylenia). Wynika to z tego, że promień r wycinka ko la w chwili wejścia w obszar pola magnetycznego oraz w chwili jego opuszczenia jest prostopad ly do toru elektronu. Dla obu tych katów możemy zapisać sin θ = a r, sin θ = x x 0 (x x0 ) 2 + (l a) 2, gdzie x 0 jest odchyleniem w momencie opuszczania pola magnetycznego. Zatem a r = x x 0 (x x0 ) 2 + (l a) 2 l θ x 0 x

2 (x x 0 ) 2 + (l a) 2 = r2 a 2 (x x 0) 2 (x x 0 ) 2 ( r2 1) = (l a)2 a2 (l a)a x = x 0 + r 2 a 2 x 0 można wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa r 2 = a 2 + (r x 0 ) 2, skad x 0 = r r 2 a 2 Ostatecznie x = r r 2 a 2 + (l a)a = 5.45 mm r 2 a2 W ogólnym przypadku odchylenie x nie jest proporcjonalne do pola B (1/r B), jednakże dla ma lych katów odchylenia, promień krzywizny r 2 a 2 jest znacznie wiekszy od rozmiarów obszaru pola magnetycznego, wtedy x = a2 (l a)a (l a/2)a + = 2r r r Zatem x jest proporcjonalne do B x (l a/2)ab 2mU/e = 5.31 mm

3 Pole magnetyczne prostego przewodnika z pradem Oblicz pole magnetyczne wytworzone prez przewodnik o d lugości L przez który p lynie prad I. Rozpatrz przypadek nieskończenie d lugiego przewodnika (L ) Rozwiazanie Wybierzmy uk lad wspó lrzednych którego oś x pokrywa sie z przewodnikiem, oś y wyznaczona jest przez oś prostopad l a do osi x przechodzac a przez punkt w którym obliczamy pole. Zatem punkt w którym liczymy pole ma wspó lrzedne (0, y) a końce przewodnika znajduja sie w punktach (L 1, 0) i (L 1 + L, 0). Podzielmy pret na nieskończenie wiele elementów o d lugości dx. Przez każdy z tych elementów p lynie prad I. Z prawa Biot a-savart a pole magnetyczne db pochadz ace od elementu Id l przewodnika leżacego w odleg lości x od środka przewodnika ma postać B db = µ 0 Id l r 4π r 3, PSfrag replacements gdzie d l = ˆxdx, r = xˆx + yŷ, wiec y φ r ˆx rdx = ( xˆx ˆx + yˆx ŷ)dx = yẑdx d B = 1 4πµ 0 Iyẑ r 3 dx, I x d l = ˆxdx Zauważmy, że dla wszystkich punktów leżacych na osi x (y = 0) pole magnetyczne bedzie równe zero. Zauważmy również, że pole magnetyczne pochodzace od każdego elementu przewodnika ma ten sam kierunek (wzd luż osi z). Dlatego, wystarczy, że obliczymy jedynie wartość pola magnetycznego. db = µ 0 Iy 4π r 3 dx Obliczenia można znacznie uprościć ca lkujac po zmiennej φ zamiast po x. Różniczka dx jest wiec zwiazana z różniczka dφ Zatem Ponieważ x = y tan φ dx = y d (tan φ)dφ = ydφ dφ db = µ 0 Iy 2 4π cos 2 φr 3 dφ cos φ = y/r, cos 2 φ r = y/ cos φ db = µ 0 I cos φdφ 4π y Ca lkowite pole magnetyczne bedzie ca lka po ca lej d lugości przewodnika B = L1 +L L 1 db

4 Zmieniajac zmienne, granice ca lkowania przyjma wartość φ = φ 2 dla x = L 1 oraz φ = φ 1 dla x = L 1 +L, gdzie Zatem tan φ 1 = L 1 y, tan φ 2 = L 1 + L y B φ 2 B = µ 0 I φ2 cos φdφ = µ 0 I 4π y φ 1 4π y (sin φ 1 sin φ 2 ) PSfrag replacements Zwróćmy uwage, że jeśli lewy koniec przewodnika znajduje sie w zakresie ujemnych wartości zmiennej x to φ 2 oraz sin φ 2 maja wartość ujemna. φ 1 L 1 L 1 + L Dla nieskończenie d lugiego preta L granice ca lkowania daż a do φ 1 π/2, φ 2 π/2 sin φ 1 1, sin φ 2 1 Ca lkowite pole magnetyczne pochodzace od nieskończenie d lugiego przewodnika przez który p lynie prad I ma wartość B = µ 0 I 2π y Ten sam wynik otrzymamy stosujac prawo Ampera µi = B d l gdzie ca lkowanie odbywa sie po dowolnej krzywej zamknietej. Aby obliczć pole magnetyczne w odleg lości y od nieskończenie d lugiego prostego przewodnika przez który p lynie prad I, jako krzywa ca lkowania należy wybrać okrag o promieniu y prostopad ly do przewodnika. Przewodnik przechodzi dok ladnie przez środek okregu. Na podstawie symetrii problemu możemy powiedzieć, że pole magnetycznego w każdym punkcie okregu ma ta sama wartość bezwgledn a B i jest skierowane równolegle do d l. Zatem µi = B dl = B dl = B2πy B = µ 0 I 2π y

5 Indukcja w cewce Przez cylindryczna cewke o d lugści i liczbie zwojów N 1 p lynie prad o nateżeniu I. Wewnatrz tej cewki znajduje sie druga mniejsza cylindryczna cewka o liczbie zwoi N 2 i polu powierzchni zwojów A 2. Oblicz a) Strumień pola magnetycznego, Φ m jaki przep lywa przez mniejsza cewke jeśli przez duża cewke p lynie prad I = I 0. Mniejsza cewka spoczywa a osie cewek sa do siebie równoleg le. b) Zależność od czasu wyindukowanego napiecia w mniejszej cewce U 2 (t), jeśli prad w wiekszej cewce zależy od czasu w sposób nastepuj acy I(t) = I 0 e t/τ. c) Zależność od czasu wyindukowanego pradu w mniejszej cewce I 2 (t), jeśli oś mniejszej cewki obraca sie wzgledem osi prostopad lej do osi obu cewek z czestotliwości a f. Przez wieksz a cewke przep lywa sta ly prad I 0, opór mniejszej cewki wynosi R 2 a w chwili t=0 osie obu cewek by ly do siebie równoleg le. Dane: = 50 cm, N 1 = 250, N 2 = 40, A 2 = 2 cm 2, I 0 = 5 A, τ = 8, 2 ms, f = 40 Hz, R 2 = 0.2 Ω Rozwiazania a) Wewnatrz d lugiej cewki (z dala od jej krańców) panuje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B 1 = µ 0N 1 I, które jest równoleg le do osi cewki. Przez każdy zwój mniejszej cewki przep lywa strumień magnetyczny. Φ m = B da gdzie ca lkowanie przebiego po ca lej powierzchni ograniczonej przez zwój. Ponieważ, osie cewek sa równoleg le wiec wektory B i da sa dla każdego elementu powierzchni da równoleg le, zatem B da = BdA. Ponao pole B jest sta le, takie samo dla każdego elementu powierzchni i równe B 1. Zatem Φ m = B da = BdA = B 1 da = B 1 A 2 = µ 0N 1 IA 2 Jeśli przez duża cewke przep lywa sta ly prad I = I 0 to przez mniejsza cewke przyp lywa sta ly strumień magnetyczny Φ m = µ 0N 1 I 0 A 2 = Wb b) Jeżeli prad p lynacy w dużej cewce bedzie zmienia l sie w czasie I = I(t) to przez każdy zwój mniejszej cewki bedzie przep lywa l zmienny w czasie strumień magnetyczny Φ m = µ 0N 1 I(t)A 2 Zmienny strumień magnetyczny b edzie indukowa l w każdym zwoju napi ecie U Z prawa Faraday a mamy U = dφ m Wyindukowane napi ecie w ca lej cewce b edzie równe N 2 U, zatem U 2 (t) = N 2 dφ m = µ 0N 1 N 2 A 2 di

6 Dla I(t) = I 0 e t/τ pochodna po czasie ma postać I 0 e t/τ /τ. Zatem U 2 (t) = µ 0N 1 N 2 I 0 A 2 e t/τ τ Napiecie w mniejszej cewce maleje eksponencjalnie z taka sama sta l a czasowa τ z jaka maleje prad w dużej cewce. Waartość poczatkowa napiecia wynosi U 20 = µ 0N 1 N 2 I 0 A 2 τ = 3, 06 mv c) W tym przypadku pole magnetyczne wewnatrz cewki jest nadal sta le, ponieważ przep lywa przez nia sta ly prad I + I 0, ale mniejsza cewka obraca sie zatem wektory B i da nie sa już równoleg le. W momencie gdy osie cewek tworza ze soba kat φ, B da = B 1 da cos φ. Zatem strumień pola magnetycznego przep lywajacy przez każdy zwój cewki ma wartość Φ m = B da = B 1 cos φda = B 1 cos φ da = B 1 cos φa 2 = µ 0N 1 I 0 A 2 cos φ Ponieważ, mniejsza cewka obraca sie ze sta l a predkości a katow a ω = 2πf, zatem kat φ zależy od czasu φ(t) = φ 0 + ωt = φ m 2πf. W chwili t = 0 osie cewek by ly równoleg le zatem φ 0 = 0. Przez każdy zwój obracajacej sie cewki przep lywa zmienny w czasie strumień magnetyczny Φ m = µ 0N 1 I 0 A 2 cos(2πft) Zmienny w czasie strumień magnetyczny b edzie indukowa l napi ecie w mniejszej cewce U 2 (t) = N 2 dφ m = µ 0N 1 N 2 I 0 A 2 2πf sin(2πft) Jeżeli opor mniejszej cewki wynosi R 2 to bedzie przez niego p lyna l zmienny w czasie prad Jest to prad sinusoidalnie zmienny o amplitudzie I 2 (t) = U 2 (1)/R 2 = µ 0N 1 N 2 I 0 A 2 2πf sin(2πft) R 2 I 2m = µ 0N 1 N 2 I 0 A 2 2πf R 2 = 31.5 ma

7 Indukcja w wirujacym precie W jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B obraca sie przewodzacy pret o d lugości L. Pret obraca sie wokó l osi równoleg lej do wektora B przechodzacej przez jeden z jego końców ze sta l a predkości a katow a ω. Oblicz wyindukowane napiecie U pomiedzy końcami preta. Rozwiazanie Każdy ladunek q wewnatrz preta obraca sie wraz z nim, zatem posiada on średnia predkość v = ωr, gdzie r jest odleg lościa ladunku od osi obrotu. Na poruszajacy sie ladunek bedzie dzia lać si la Lorentza F = q v B Swobodne elektrony znajdujace sie w przewodniku bed a pod wp lywem tej si ly przemieszczać sie tak d lugo jak pole elektryczne powsta le w wyniku rozsuniecia ujemnie na ladowanych swobodnych elektronów od pozostajacych w sta lych po lożeniach ladunków dodatnich nie zniweluje dzia lania si ly magnetycznej. Pole elektryczne bedzie mia lo wartość E = F /q = v B Wektor pr edkości v jest prostopad ly do wektora indukcji magnetycznej B oraz prostopad ly do pr eta. Zatem pole elektryczne w każdym punkcie pr eta b edzie mia lo kierunek wzg luż pr eta E = v B = vbˆr = ωrbˆr, gdzie ˆr jest wektorem jednostkowym wzd luż pr eta. Różnica potencja lów b edzie mia la zatem wartość U = L 0 E d r = L 0 L ωrbdr = ωb rdr = ωbl 2 /2 0