dr inż. Zbigniew Szklarski

Transkrypt

1 Wykład 13: Pole magnetyczne dr inż. Zbigniew Szklarski

2 Wektor indukcji pola magnetycznego, siła Lorentza F L Jeżeli na dodatni ładunek q poruszający się z prędkością v działa siła F q + zakrzywiająca v tor ładunku jak na rysunku, to w punkcie P istnieje indukcja magnetyczna. v 0 F 0 v B L F L max q( v B) v F L B F L q v B sin( v, B) B F Lmax q v B 0 lub F F B

3 B F Lmax q v T N kg m A s A s s Ruch cząsteczki w polu E i B F q E q( v B) od pola E od pola B Ruch w skrzyżowanych polach B E B jeżeli vb E to F 0 tor cząstki i jej prędkość nie ulegną zmianie 3

4 Doświadczenie Thomsona wyznaczenie e/m elektronu 1897 r. Cambridge, J.J. Thomson, wyznaczył q/m dla elektronu - odkrycie elektronu Przyspieszenie w polu elektrycznym Zakrzywienie toru w polu magnetycznym e 10 m v BR U 17,5610 B R mv eu mv eu C kg evb mv R U v BR 4

5 Zadanie Wiązka elektronów przechodzi bez odchylenia przez lampę oscyloskopową kiedy natężenie pola elektrycznego wynosi 3000 V/m, a indukcja skrzyżowanego z nim pola magnetycznego wynosi 1,4 Gs; 1Gs (gauss) = 10-4 T. Długość płytek odchylających wynosi x 1 = 4 cm, a odległość od końca płytek do ekranu wynosi x = 30 cm. Oblicz pionowe odchylenie wiązki na ekranie przy wyłączonym polu magnetycznym 5

6 Efekt Halla V d V u prędkość unoszenia F L siła Lorentza b V b V u Θ e h V u i F L Θ e E Θ B V a B F ee e( V B) siły się równoważą więc ee ev B u u U ab = V a - V b j ponieważ j nevu więc powstałe pole elektryczne E B ne U ab i B i z pomiaru napięcia Halla U ab : E stąd U R B h hd ne ab H d 1 gdzie R H jest stałą Halla ne Z czego zrobić hallotron? V a 6

7 Cyklotron siła Lorentza jest siłą dośrodkową stąd r mv qb qvb mv r skoro V r qb m f qb m jest to tzw. częstotliwość cyklotronowa. Jeżeli obserwujemy różne promienie torów r 1 > r dwóch cząstek o jednakowych ładunkach i prędkościach gdzie m V r 1 1 q B > m V r q B m 1 > m wykorzystanie spektroskopia masowa. 7

8 Cyklotron (193r.) dostrajamy generator napięcia zmiennego do częstotliwości cyklotronowej f 0 qb m energia cząstek zależy od promienia mv R qb gdzie prędkość cząstki V qbr m stąd energia kinetyczna mv q B R E k m 8

9 Wykorzystanie: - reakcje jądrowe - eksperymenty fizyki wys. energii - promieniowanie synchrotronowe. Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów w Warszawie: m Ø, 10 MeV/ jedn. masy Ernest O. Lawrence (USA) 1931 r. 10 cm Ø, 80 kev 1933 r. 70 cm Ø, 1,MeV 9

10 Siła elektrodynamiczna Przewodnik z prądem w polu magnetycznym ruch dużej ilości ładunków, na które działają siły Lorentza ich wypadkowa to siła elektrodynamiczna F i( l B) l Zastosowanie: Silnik elektryczny Mierniki analogowe 10

11 Silnik elektryczny ramka z prądem w polu magnetycznym. Analogowy miernik woltomierz, amperomierz, galwanometr. Na ramkę z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym działa moment siły μ moment magnetyczny τ μb Dla porównania: dla dipola elektrycznego M pe 11

12 Moment magnetyczny Pod wpływem momentu siły ramka ustawia się prostopadle do kierunku wektora indukcji pola magnetycznego, tak aby μ B Moment magnetyczny definiowany jest dla każdego zamkniętego obwodu, przez który płynie prąd I: liczba zwojów μ NIAnˆ pole powierzchni wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni A 1

13 Dipol magnetyczny Moment magnetyczny charakteryzuje każdy dipol magnetyczny. Dipolem magnetycznym jest nie tylko ramka (pętla, cewka), przez który płynie prąd lecz również: magnes sztabkowy (μ 5 J/T) Ziemia (w przybliżeniu μ 8,0 10 J/T ) większość cząstek elementarnych, np. elektron (μ 9, J/T), proton (μ 1, J/T), neutron 13

14 Moment magnetyczny cząstki mikroskopowej powstaje na skutek jej ruchu w przestrzeni (np. ruch orbitalny elektronu w atomie) lub jest to tzw. wewnętrzny moment magnetyczny, nie związany z żadnym ruchem mają go cząstki obdarzone spinem (przy czym moment magnetyczny jest związany ze spinem poprzez czynnik giromagnetyczny). Neutron ma ujemny moment magnetyczny, co oznacza, że gdy spin neutronu jest skierowany w górę, to linie pola magnetycznego w środku dipola są skierowane w dół. Na moment magnetyczny atomu składają się: wypadkowy moment magnetyczny elektronów oraz moment magnetyczny jądra. strzałka symbolizuje rzut spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego 14

15 Energia potencjalna dipola magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym. E p μ B najwyższa energia E p najniższa energia E p Dla porównania: energia dipola elektrycznego w zewnętrznym polu elektrycznym p E E p 15

16 Dipol - podsumowanie Własności dipola typ dipola wzór moment siły w polu elektryczny p E zewnętrznym magnetyczny m B energia w polu elektryczny E p p E zewnętrznym magnetyczny pole w odległych punktach na osi dipola elektryczny magnetyczny E p m B 1 p E 3 40 x 0 B m 3 x 16

17 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda Kiedy przez przewodnik nie płynie prąd, igła ustawia się wzdłuż kierunku pola magnetycznego ziemskiego Kiedy przez przewodnik płynie prąd, igła odchyla się od kierunku pola magnetycznego Ziemi. Dlaczego? 17

18 Wyznaczanie składowych pola magnetycznego ziemskiego Busola stycznych Instrument został po raz pierwszy opisany przez francuskiego fizyka Claude Pouillet'a w 1837 roku 18

19 Prawo Amper a C B d l o I C krążenie pola magnetycznego prąd wewnątrz konturu całkowania C μ o - przenikalność magnetyczna próżni, stała uniwersalna 7 μ o 4 π10 T m / A 19

20 kontur całkowania I C =i 1 -i Pole magnetyczne wokół przewodnika prostoliniowego B d l B=const na krzywej C (kontur całkowania jest okręgiem ) dl krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r C B d l B C dl π rb 0

21 korzystając z prawa Ampère a π rb Przewodnik o promieniu R, przez który płynie prąd I: C B d l μo Pole magnetyczne w odległości r od przewodnika Czy istnieje pole magnetyczne wewnątrz przewodnika? i π rb B μo π krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r wyraża się tym samym wzorem dla r<r i r>r Obliczamy natężenie prądu I C wewnątrz konturu (r<r): I I gęstość prądu j jest stała j C I π r π R r I C R i r 1

22 Z prawa Ampère a B d I l o I C π Br μ o r R C B μ o I π R pole magnetyczne wewnątrz przewodnika r Pole magnetyczne wewnątrz solenoidu pole magnetyczne na zewnątrz przewodnika: B μo i π r Wydział Informatyki, Elektroniki i

23 Solenoid wytwarza jednorodne pole magnetyczne i pełni podobną rolę jak kondensator płaski w elektrostatyce solenoid magnes sztabkowy 3

24 nieskończony solenoid c B dl B dl B dl B dl C b a b d c a d B dl B h B d l dlaczego? B dl B=0 B dl C B d l Bh μ solenoid idealny o I C B μo pole jednorodne gdzie I C ( nh) i liczba zwojów na jednostkę długości ni natężenie prądu w uzwojeniu solenoidu 4

25 Zadanie. Wykorzystać prawo Ampère a do znalezienia wartości wektora indukcji wewnątrz toroidu, przez który płynie prąd o natężeniu I. N - liczba zwojów toroidu a < r < b B μ o NI π r 5

26 Oddziaływanie równoległych przewodników z prądem pole magnetyczne wytworzone przez prąd I 1 siła działająca na przewód z prądem I ma wartość F B F 1 μo i 1 π d ILB1 μo L I1 I π d Definicja ampera: 1A jest to natężenie prądu stałego, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o znikomo małym przekroju poprzecznym, umieszczonych w próżni w odległości 1m, wywołuje między tymi przewodami siłę o wartości 10-7 N na każdy metr długości przewodu. 6

27 Prawo Biota-Savarta Zasada superpozycji obowiązuje nie tylko w elektrostatyce: μo I d l r db 3 4π r 0I dlsin 0I dl r db B 3 4 r 4 r Przykład przewodnik prostoliniowy dx db 0i dx sin 4 r gdzie r sin sin x x R R R x i R r 7

28 B 0i R dx 4 x R 3/ i 0 x 4 x R 1/ B i 0 R Przykład przewodnik kołowy dl Zauważmy że: db r ze względu na symetrię db 0 B db db = db cos gdzie db i 0 4r dl sin 90 B 0 ir 0 B R 3/ x db 4 ir 0 R r db db R x 3/ dl X db cos R r x R 8 R dl R

29 w środku przewodnika kołowego dla x = 0 B 0 ir 0i 3 R R jeżeli x >> R to B 0iR x B ~ x - jak pole od dipola Jeżeli mamy N zwojów, każdy o powierzchni S = R od cewki: B NiS 0 0 B m 3 3 x x to pole gdzie m jest magnetycznym momentem dipolowym cewki o N-zwojach. 9

30 Pole magnetyczne a elektryczne Linie pola elektrycznego zaczynają się i kończą na ładunku elektrycznym Linie pola magnetycznego tworzą zamknięte pętle. Na niczym się nie zaczynają i nie kończą 30

31 Prawo Gaussa dla magnetyzmu Istnieje pojedynczy ładunek punktowy monopol elektryczny Brak monopoli magnetycznych. Magnes czy pętla z prądem stanowią dipol magnetyczny 31

32 S E ds q 0 S B ds 0 ρ div E divb 0 ε o Treścią prawa Gaussa dla magnetyzmu jest fakt, że pole magnetyczne jest bezźródłowe. Strumień pola magnetycznego przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru. Nie można wyodrębnić pojedynczego bieguna magnetycznego nie istnieją monopole magnetyczne. B S B d S 0 3

33 Przypomnienie - operatory Pole Funkcja pola Działanie na funkcji pola Oznaczenie działania i określenie Wynik działania grad i j k x y z skalarne skalar gradient skalara wektor dywergencja wektora diva A A x y A x y z z skalar wektorowe wektor rotacja wektora i j k rota x y z Ax Ay Az wektor 33

34 Twierdzenie Stokes a Podobnie jak twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego wiązało strumień pola przechodzący przez powierzchnię z dywergencją w punkcie: S E d A V div div E E E dv ρ ε o to twierdzenie Stokes a wiąże krążenie wektora po krzywej C z rotacją w punkcie: F dl ( rot F) ds C S 34

35 F dl ( rot F) ds C S całka powierzchniowa, po powierzchni S ograniczonej krzywą C strumień! oznacza to, że krążenie pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze C jest równe strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię S ograniczoną tym konturem. Twierdzenie Stokes a dla pola elektrycznego: E dl S rote ds

36 Zastosowanie prawa Stokes a dla pola magnetycznego: B dl rotb ds Z prawa Ampera: A więc: S S B rot B ds dl 0 S 0 i oraz j ds B dl 0 S i S j ds j ds W zapisie różniczkowym rot B 0 j B 0 j 36

37 Prawo Gaussa i Ampera w postaci całkowej i różniczkowej Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Prawo Gaussa E ds q 0 dive B ds 0 0 divb 0 Prawo Ampera B dl 0i rotb 0 j 37

38 Podsumowanie Pole magnetyczne w próżni: div B 0 B rot 0 j pole jest bezźródłowe jest to pole wirowe Pole magnetyczne w ośrodku: div B 0 rot B 0 j Nie istnieją monopole magnetyczne nie ma jednobiegunowości! 38