dynamika ver

Transkrypt

1 dynamika ver

2 prawa dynamiki przyczyna zmiany ruchu: siła (oddziaływanie) Sir Isaak Newton ( ) 1. jeżeli na ciało nie działa żadna siła to istnieje układ odniesienia ( zwany inercjalnym ), w którym: v=const 2. w układzie inercjalnym: a = 1 m { x=ma x y =ma y z =ma z

3 przyczynowość siła masa przyspieszenie =m a przyczyna obiekt skutek masa - skalar, addytywna, niezmienna masa jest miarą bezwładności newton: [ ] = kg m2 = N s SI

4 pęd =m d v = d m v dt dt pęd: d p = dt gdy: p =m v = i i =0 d p =0 dt p =const

5 wzajemne oddziaływanie ciał - - m1 m1 m2 3. m2 = AB BA nie równoważą się gdyż działają na różne ciała

6 zasada zachowania pędu gdy w układzie działają tylko siły wewnętrzne: 1 = 2= d p1 dt d p2 =0 1 2 dt d p1 d p 2 =0 dt dt d p p 2 =0 dt 1 ogólniej w układzie odosobnionym: p1 p 2 =const p i =const i

7 środek masy P = pi = m i i def r C = 1 M i mi r i i d r i d = dt dt mi r i i M = m i i jest to środek masy układu ciał d r C d P = M r C =M =M v C dt dt d r C v C = dt prędkość środka masy M a C = zew środek masy porusza się jak punkt materialny

8 całkowanie równań ruchu wielkości zadane: masa m siła = r,v,t d r2 1 dr = r,,t m dt dt 2 t 1 v=v o dt m o t t r=r o v dt =r o o o t 1 vo dt dt m o są to trzy równania różniczkowe, zwyczajne, drugiego rzędu, z warunkami początkowymi (brzegowymi): r 0, v0

9 rozwiązanie t t r=r o v dt =r o o o t 1 v o dt dt m o rozwiązaniem są parametryczne równania ruchu: { x= x t y= y t z= z t

10 przykład mamy: = 0,0, d2x =0 dt 2 =const d2 y =0 dt 2 d2z 1 = dt 2 m t vz= dz 1 t =voz dt = v oz dt m o m t t 2 z= z o v z dt = z o v oz t 2m o t y= y o v y dt = y o v oy t o t x= x o v x dt = x o v ox t o torem jest parabola

11 przykład: napęd rakietowy v0 v(t) m0 dm= μ dt m(t) spaliny wylatują z prędkością u = const m t =m 0 μ t zasada zachowania pędu: uμ dt = m μ dt dv 0

12 Ciołkowski mdv = udm dv= u dm m v v 0=u ln m0 m m0 v t =v 0 u ln m0 μ t Константин Эдуардович Циолковский

13 nieinercjalne ω C v

14 transformacja Galileusza dwa układy inercjalne: y u y r z x, y, z,t x, y, z, t r x z x przy założeniu, że: x 0 = x 0 x = x ut y =y z = z t =t Galileusz

15 niezmienniczość y y u v r r z v x z r = r u t v = v u a = a -u x 2 d r m 2 = dt 2 d r m 2 = dt równania mechaniki klasycznej są niezmiennicze względem transformacji Galileusza

16 nieinercjalne układy odniesienia m a= inny inercjalny: inny nieinercjalny: ruch postępowy a 0 t ruch obrotowy a 0 t, r a = 1 a 0 m a = a a = a a0 b m a = b = m a 0 siła bezwładności

17 siła bezwładności b m a = b = m a 0 -ma0 a0 mg mg a0 = 0 a0 > 0

18 nie do odróżnienia a= /m m

19 siła odśrodkowa z b =mω2 R ω b x R v2 a n =ω R= R Rω=v 2 y układ inercjalny: siła dośrodkowa zakrzywia tor kulki. układ obracający się: siła odśrodkowa równoważy dośrodkową, kulka spoczywa

20 ogólniej z R r b = m ω 2 R ω b =m [ ω r ω ] r ω

21 siła Coriolisa z C = 2 m ω v v ω C C ω v c ω Gaspard Coriolis C v

22 ostatecznie a = a a 0 ω r ω 2 ω v = m a m ω r ω 2m ω v 0 Jean Bernard Léon oucault ( ) Pantenon (1851)

23 skiboard mω 2R R mg

24 zadanie 1 Na płaskiej powierzchni leżą dwa bloczki o masie m1 i m2, połączone nieważką nierozciągliwą nicią. Na bloczek m1 działa pozioma siła. Podaj przyspieszenie układu. Pomijamy siły tarcia. T T m2 m1 { T =m1 a T =m 2 a m2 a=m1 a = m1 m 2 a a= T= m2 m1 m 2 m1 m 2

25 zadanie 2 Rakieta dwustopniowa składa się z modułu 1 o masie 2 ton zawierająego 20 ton paliwa i modułu 2 o masie 0.5 tony zawierającego 3 tony paliwa. Prędkość wylotowa paliwa v0 to 1 km/s. Jaka będzie prędkość rakiety po zużyciu pierwszego członu? Jaka będzie końcowa prędkość rakiety? Jaka byłaby końcowa prędkość rakiety o tej samej masie ale jednoczłonowej? m1 m p1 m2 m p2 km v 1=v 0 log =1.53 m1 m2 m p2 s m2 m p2 km v 2=v 0 log =1.94 m2 s km km km v k = v 1 v 2 = =3.47 s s s m1 m p1 m 2 m p2 km v s =v 0 log =2.32 m1 m 2 s

26 zadanie 3 Oblicz przyspieszenia działające na samochód jadący z prędkością 20 m/s ulicą Nowy Świat w Warszawie na północ. Podaj warości przyspieszeń i ich kierunek i zwrot. Szerokość geograficzna Warszawy to 52 stopnie na północ. Przyspieszenie grawitacyjne m a= g= s Przyspieszenie odśrodkowe m 2 a= R= R Z cos = dzień 360 s Przyspieszenie Coriolisa 2 m 52 2 m a= v = v sin = 20 sin = dzień s 360 s

27 koniec

28 zagadnienia pierwsze prawo Newtona drugie prawo Newtona trzecie prawo Newtona zasada zachowania pędu ruch środka masy transformacja Galileusza układy nieinercjalne siła odśrodkowa siła Coriolisa

29 glossary principle of relativity newtonian laws of motion force, external, internal, central attractive, repulsive, centripetal mass, inertia, centre of mass linear momentum, impulse closed system, isolated, open dynamics (non-) inertial reference frame initial conditions momentum consevation law parabolic trajectory Ciolkowski rocket Galilean transformation of coord. invariance inertial force, centrifugal, Coriolis fictitious force oucault, pendulum action and reaction Newton s cradle

30 newtonian laws of motion irst Law If no external force acts on a particle, then it is possible to select a set of reference frames, called inertial reference frames, observed from which the particle moves without any change in velocity. Second Law Observed from an inertial reference frame, the net force on a particle is proportional to the time rate of change of its linear momentum. Momentum is the product of mass and velocity. This law is often stated as = ma (the force on an object is equal to its mass multiplied by its acceleration). Third Law Whenever A exerts a force on B, B simultaneously exerts a force on A with the same magnitude in the opposite direction. The strong form of the law further postulates that these two forces act along the same line.

31 philosophiae naturalis principia mathematica Lex I: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. An object at rest will remain at rest unless acted upon by an external and unbalanced force. An object in motion will remain in motion unless acted upon by an external and unbalanced force. Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. The rate of change of momentum of a body is proportional to the resultant force acting on the body and is in the same direction. Lex III: Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi. All forces occur in pairs, and these two forces are equal in magnitude and opposite in direction.

32 notes The animation describes the motion of a oucault Pendulum at a latitude of 30 N. The plane of oscillation rotates by an angle of -180 during one day, so after two days the plane returns to its original orientation. NB. 1l (H2O) + 1l (C2H5OH) < 2l Schematic representation of flow around a low-pressure area in the Northern hemisphere. The pressure gradient force is represented by blue arrows, the Coriolis acceleration (always perpendicular to the velocity) by red arrows