Mechanika i wytrzymałośd materiałów.

Transkrypt

1 1 W1 Mechanika i wytrzymałośd materiałów. Przedmiot obejmuje swym zakresem: 1. Mechanika ogólna: a. STATYKA b. KINEMATYKA c. DYNAMIKA 2. Wytrzymałośd materiałów: i. rozciąganie ii. ściskanie iii. zginanie iv. ścinanie v. skręcanie Wykłady - 20 godzin, (10 zjazdów po 2g) - ostatni wykład zaliczenie - na 1 dział zostaje po 2 wykłady Ćwiczenia - obejmują zadania do wykładów ( planowane są 2 kolokwia na 5 i 10 zjeździe) Literatura Każda dostępna np.: Mechanika Ogólna (np. Szczepan Borkowski- trudne podejście, Zygmunt Towarek, Marian Klasztorny i Tadeusz Niezgoda, Stefan Sawiak i Edmund Wittbrodt, Józef Nizioł) Mechanika Techniczna (np. Jan Misiak, Władysław Siuta,) Wytrzymałośd materiałów (Jan Misiak, Roman Bąk i Alojzy Stawinoga, Stanisław Rososioski, Michał E. Niezgodzioski i Tadeusz Niezgodzioski)

2 2 MECHANIKA W technice: inżynieria mechaniczna - dział zajmujący się konstruowaniem i budowaniem maszyn i pojazdów. mechanika techniczna - dział obejmujący mechanikę ośrodków ciągłych i wytrzymałość materiałów W fizyce dział opisujący ruch i odkształcenie ciał materialnych lub ich części na skutek ich wzajemnych oddziaływań oraz badający stan równowagi między nimi. Wyróżnia się: Ze względu na prędkość poruszających się ciał o mechanikę nierelatywistyczną o o o o o zajmującą się ciałami poruszającymi się z małą prędkością w stosunku do prędkości światła. mechanikę relatywistyczną zajmująca się ciałami poruszającymi się z dowolną prędkością (opartą na teorii względności). Ze względu na skalę badanych zjawisk: mechanikę klasyczną dział mechaniki w fizyce opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływao na ruch ciał (dynamika) oraz badaniem równowagi ciał materialnych (statyka). Oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana "mechaniką Newtona". Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu. mechanikę kwantową zajmującą się badaniem ruchu ciał materialnych w skali mikroskopowej (w skali cząsteczkowej, atomowej, jądrowej itd.). Ze względu na problematykę rozwiązywanych zagadnień kinematykę zajmującą się badaniem ruchu ciał bez uwzględnienia działających sił, mas ciał i warunków ruchu. dynamikę zajmującą się ruchem i równowagą ciał materialnych pod wpływem działających na nie sił (Ogólne zasady dynamiki sformułował Newton, w dziele "Principia" (Zostało opublikowane 5 lipca Wydanie angielskie w przekładzie Motte'a nosi tytuł The Mathematical Principles of Natural Philosophy (Matematyczne prawa naturalnej filozofii i zostało wydane w Londynie w 1803 roku.) były to trzy zasady dynamiki rządzące ruchem ciał (punktów materialnych)), w której wyróżnia się: kinetykę zajmującą się badaniem ruchu z wykluczeniem stanów równowagi statykę zajmującą się stanami równowagi

3 3 Ze względu na właściwości badanych obiektów: o mechanikę punktu materialnego o o o mechanikę układu punktów materialnych mechanikę bryły sztywnej mechanikę ośrodków ciągłych, w której wyróżnia się: mechanikę płynów, czyli mechanikę cieczy i gazów (płynów) mechanikę ciał stałych: odkształcalnych sprężyście i odkształcalnych plastycznie. Ze względu na sposób podejścia do rozważanych zagadnień: o o o teoretyczną doświadczalną stosowaną W zależności od przedmiotu badania można także wyodrębnić różne mechaniki specjalistyczne, na przykład: - akustyka, - mechanika nieba, - mechanika gruntów - itp. Podstawowymi prawami mechaniki są: - zasada zachowania energii, - zasada zachowania pędu - zasada zachowania momentu pędu. Podstawowymi równaniami mechaniki są: - równanie Newtona, - równania Lagrange'a, - równania Hamiltona, - równanie Jacobiego-Hamiltona. Wszystkie zjawiska w mechanice opisuje się z uwzględnieniem układu odniesienia. Położenie ciała względem układu odniesienia wyznacza zbiór liczb nazywanych współrzędnymi, liczba tych współrzędnych niezbędnych do jednoznacznego określenia położenia ciała nazywana jest liczbą stopni swobody tego układu współrzędnych. Do rozwoju mechaniki przyczynili się między innymi:

4 Arystoteles ( m.in. przyczynił się do rozwoju teorii atomistycznej twierdząc, że cała materia składa się z tych samych ciągłych substancji pierwotnych) 4 Archimedes (Autor traktatu o kwadraturze odcinka paraboli, twórca hydrostatyki i statyki, prekursor rachunku całkowego. Stworzył podstawy rachunku różniczkowego. W dziele Elementy mechaniki wyłożył podstawy mechaniki teoretycznej. Zajmował się również astronomią zbudował globus i (podobno) planetarium z hydraulicznym napędem, które Marcellus zabrał jako jedyny łup z Syrakuz, opisał ruch pięciu planet, Słooca i Księżyca wokół nieruchomej Ziemi.) Leonardo da Vinci (opracował koncepcję helikoptera, czołgu, wykorzystania podstaw tektoniki płyt, podwójnego kadłuba łodzi, automatyczną nawijarkę do szpul, czy maszynę do sprawdzania wytrzymałości drutu na rozciąganie i inne) Galileusz (prawa swobodnego spadania), Isaac Newton (stały układ odniesienia, bezwzględny czas, prawa mechaniki klasycznej) Jean le Rond d'alembert, (zasługi zwłaszcza w dziedzinie mechaniki teoretycznej (zasada d'alemberta) i równao różniczkowych (odkrył rachunek pochodnych cząstkowych) Zasada d'alemberta stosowana jest podczas wyprowadzania modelu matematycznego (a dokładniej dynamiki) kołowego robota mobilnego. Zasada ta stwierdza, że: ciało spoczywa w układzie nieinercjalnym, gdy suma wszystkich sił działających, łącznie z siłą bezwładności, równa się zero.) Joseph Louis Lagrange (stworzył podstawy rachunku wariacyjnego, Podał ogólne równanie różniczkowe opisujące rozchodzenie się fali dźwiękowej i rozwiązał je w przypadku jednowymiarowym. Rozwiązał też w ogólnym przypadku zagadnienie drgao poprzecznych struny, uzyskane wyniki pozwoliły mu na opisanie zjawisk echa, odbicia i interferencji fal dźwiękowych.) Carl Gustav Jakob Jacobi, (Jego prace dotyczyły teorii liczb, funkcji eliptycznych, równao różniczkowych, mechaniki teoretycznej i geometrii różniczkowej. Na jego cześd jeden z wyznaczników macierzy został nazwany jakobianem.) William Rowan Hamilton, (W klasycznej mechanice teoretycznej hamiltonian (funkcja Hamiltona) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych opisującą układ fizyczny. Jego prace dotyczyły algebry, mechaniki teoretycznej, optyki i rachunku wariacyjnego. Wprowadził kwaterniony (służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej, obecnie kwaterniony są używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.) i liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych i określił w pewien sposób mnożenia i dodawania tych par. Daniel Bernoulli, (Twórca podwalin mechaniki statystycznej (kinetyczna teoria gazów). Zdefiniował liczbę e. Jako fizyk rozwiązał problem struny drgającej i podał równanie ruchu stacjonarnego cieczy idealnej zwane równaniem Bernoulliego) Gaspard-Gustave Coriolis, (W mechanice wprowadził termin pracy, podał wzór na zmianę prędkości w wyniku wykonania pracy (tzw. wzór opisujący energię kinetyczną). Benoit Clapeyron, (Jeden z twórców podstaw współczesnej termodynamiki, zdefiniował pojęcie termodynamicznej przemiany odwracalnej. Definicja ta umożliwiła mu sformułowanie zasady Carnota (czyli II zasady termodynamiki) w formie prostego wzoru, który można było łatwo wykorzystywad w praktyce. Zastosowanie koncepcji odwracalnej przemiany do gazów naprowadziło go z kolei do sformułowania równania stanu gazu idealnego.)

5 Leonhard Euler. (Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji, wniósł wkład do niemal wszystkich ówczesnych dziedzin matematyki geometrii, rachunku różniczkowego i całkowego, trygonometrii, algebry, teorii liczb. rozwinął model belki nazwany później modelem Bernoulliego-Eulera; stanowił on kamieo węgielny nowoczesnej myśli inżynierskiej.) Polscy uczeni: S. Drzewiecki, F. Kucharzewski, J.N. Franke, Z. Straszewicz, S. Banach, M.T. Huber 5

6 6 Zasady dynamiki Newtona trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu. W mechanice kwantowej nie mają zastosowania, w mechanice relatywistycznej obowiązują w ograniczonym zakresie. Obecnie w wersji popularnonaukowej (podręcznikowej) funkcjonuje kilka wersji tych praw. I zasada dynamiki (zasada bezwładności) W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1726 edition): Lex I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego jednostajnego, jeżeli siły przyłożone nie zmuszą ciała do zmiany tego stanu. O takim ruchu mówimy czasem jako o ruchu swobodnym. Wybierzmy ciało spełniające założenia pierwszej zasady dynamiki i przypiszmy mu pewien układ odniesienia. Każde ciało, na które też nie działa żadna siła będzie w tym układzie odniesienia również spoczywało lub poruszało się po linii prostej ruchem jednostajnym. Każdemu takiemu ciału również można przypisać pewien nowy układ odniesienia. Układy te będą względem siebie spoczywały lub poruszały się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Takie układy odniesienia nazywamy układami inercjalnymi. Dlatego pierwsza zasada dynamiki jest traktowana jako postulat istnienia inercjalnego układu odniesienia i jest formułowana: Istnieje układ odniesienia, w którym ciało nie podlegające oddziaływaniom zewnętrznym spoczywa lub porusza się po prostej ze stałą prędkością. Jeżeli istnieje jeden inercjalny układ odniesienia, to istnieje ich nieskończenie wiele. Układy inercjalne spoczywają lub poruszają się względem siebie po linii prostej ze stałą prędkością.

7 Wyżej opisany sposób zamiany opisu ruchu z jednego układu odniesienia do innego w mechanice klasycznej nazywany jest transformacją Galileusza Bezwładność ciał jest to zdolność ciał do przeciwstawiania się wszelkim zmianom ruchu. Miarą bezwładności jest jego masa. 7 II zasada dynamiki Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała. Współczynnik proporcjonalności jest równy odwrotności masy ciała: W wersji oryginalnej: Lex II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona. W wersji zwanej uogólnioną (uogólniona druga zasada dynamiki), zasada ta obowiązuje również dla ciała o zmiennej masie np. w mechanice relatywistycznej: Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do działającej siły wypadkowej. inna forma zapisu, gdzie jest to pęd Przy prędkościach, w których nie występują efekty relatywistyczne czyli dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła, zasadę tę można wyrazić w wersji uproszczonej (ta wersja funkcjonuje na wstępnych etapach nauczania fizyki i jest stosowana powszechnie do obliczeń):

8 Przyspieszenie z jakim porusza się ciało jest proporcjonalne do działającej siły, a odwrotność masy jest współczynnikiem proporcjonalności. Kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły. 8 inaczej mówiąc wtedy gdy masa jest wielkością stałą czyli to otrzymujemy: a- przyspieszenie punktu materialnego III zasada dynamiki (zasada akcji i reakcji) Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało). Jeśli ciało A działa na ciało B siłą F (akcja), to ciało B działa na ciało A siłą (reakcja) o takiej samej wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie. W wersji skróconej: Każdej akcji towarzyszy reakcja równa co do wartości i kierunku lecz przeciwnie zwrócona. W wersji oryginalnej: Lex III. Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem; sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi. Względem każdego działania istnieje przeciwdziałanie zwrócone przeciwnie i równe, to jest wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i zwrócone przeciwnie. III Zasada dynamiki, słuszna tylko w mechanice nierelatywistycznej, zwana jest zasadą akcji i reakcji. Zasada ta zakłada, że oddziaływania rozchodzą się w przestrzeni z nieskończoną prędkością. Doświadczenia wskazują, że wszystkie oddziaływania rozchodzą się ze skończoną prędkością nieprzewyższającą prędkości światła. W zasadach dynamiki ciało oznacza punkt materialny( ciało o wymiarach znikomo małych w porównaniu z wielkością obszaru, w którym się porusza, dlatego można pominąd zmiany położenia tego ciała

9 9 wywołane przez obrót, traktowane jest jako punkt geometryczny, obdarzony pewną masą,) ruch dotyczy ruchu względem układu odniesienia będącego układem inercjalnym (układ, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Zasady dynamiki można również zapisać dla wielkości kątowych w ruchu obrotowym, ale prosta analogia ma miejsce tylko w przypadkach, gdy oś obrotu nie zmienia kierunku (ustalona oś, toczenie prostoliniowe). Zasady te mogą być stosowane w układach nieinercjalnych po uwzględnieniu sił bezwładności. Dodatkowo jeszcze formułuje się dwie zasady: Zasada czwarta Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił Zasada Piąta (grawitacji) Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty gdzie k współczynnik proporcjonalności stała grawitacji,

10 10 Zasady statyki 1. Zasada pierwsza równoległoboku rys Działanie dwóch sił P 1 i P 2 można zastąpid dzianiem jednej siły R, działającej na ten sam punkt, będącej przekątną równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił P 1 i P 2. Z zasady wynika, że łączne działanie sił P 1 i P 2 jest równoważne działaniu ich wypadkowej R Jeśli siły działają wzdłuż jednej prostej i są zgodnie skierowane to Jeśli siły działają wzdłuż jednej prostej i są przeciwnie skierowane i to 2. Zasada druga Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy, kiedy mają te samą linię działania, te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty. 3. Zasada trzecia Skutek działania dowolnego układu sił, przyłożonego do ciała nie zmieni się, jeśli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił, czyli tzw. układ zerowy. WNIOSEK: Każdą siłę działającą na ciało sztywne można przesunąd dowolnie wzdłuż jej linii działania. 4. Zasada czwarta zesztywnienia Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne) identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił.

11 5. Zasada piąta działania i przeciwdziałania Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości przeciwdziałanie o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej Zasada szósta oswobodzenia z więzów Każde ciało nieswobodne można oswobodzid z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywad jako ciało swobodne, znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji więzów). Więzy to inaczej ograniczenia w ruchu w przestrzeni. W statyce spotyka się więzy: - obustronne i jednostronne, - wewnętrzne i zewnętrzne (podpory i prowadnice), - idealne (bez tarcia). Statyka zajmuje się równowagą sił tworzących układ to należy istniejące więzy zastąpid reakcjami i traktowad ciało jako swobodne poddane działaniu sił czynnych i wspomnianych wyżej reakcji więzów.

12 12 Reakcje: Normalna N reakcja przyłożona w punkcie zetknięcia się danego ciała z powierzchnią innego ciała, o kierunku normalnym do powierzchni styku więzy jednostronne, idealne. Przegub walcowy stały R reakcja przechodząca przez oś sworznia. Po zastąpieniu przegubu reakcją dostajemy dwie niewiadome: 1. wartośd liczbową tej reakcji, 2. wartośd kąta nachylenia jej kierunku więzy dwustronne zewnętrzne. Występuje na płaszczyźnie. całkowita reakcja przegubu wynosi jej kierunek z poziomem kąt α : Przegub kulisty tak jak przegub walcowy ale dla przestrzeni.

13 13 Podpora przesuwna R B - reakcja prostopadła do płaszczyzny, po której mogą toczyd się rolki podpory przesuwnej więzy dwustronne zewnętrzne. Cięgno lub lekki pręt S reakcja przyłożona do rozpatrywanego ciała w miejscu zamocowania cięgna lub lekkiego pręta, o kierunku pokrywającym się z kierunkiem uwalnianego cięgna czy pręta

14 14 Wytrzymałość materiałów dziedzina wiedzy inżynierskiej, część inżynierii mechanicznej zajmująca się opisem zjawisk zachodzących w materiałach konstrukcyjnych i konstrukcjach poddanych zewnętrznym obciążeniom. W ogólnym przypadku wytrzymałość zajmuje się obserwowaniem zachowania się ciała poddanego siłom zewnętrznym pod kątem odpowiadającym im (wywołanych przez nie) sił wewnętrznych i odpowiadających im naprężeń oraz wywołanych przez nie odkształceń. Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami formułuje prawo Hooke'a (Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.) Praktycznym zadaniem badania wytrzymałości materiałów jest określenie stanu wytężania materiału na podstawie obliczeń. Ze względu na trudności w opisie trójwymiarowych zjawisk wytrzymałościowych dla ogólnego przypadku obciążenia rzeczywistego ciała materialnego, w praktyce inżynierskiej dokonuje się szeregu uproszczeń. Zakłada się, że: materiał, z jakiego ciało jest wykonane, jest jednorodny, izotropowy i ciągły. naprężenia uśredniają się w przekrojach zasada de Saint-Venanta. obciążenie można zredukować do kilku typowych przypadków, oraz że w przypadku obciążeń złożonych można dokonywać superpozycji tych prostych przypadków. Zalicza się do nich: o o o o o o rozciąganie ściskanie docisk ścinanie zginanie skręcanie

15 Dodatkowe zagadnienia, jakimi zajmuje się wytrzymałość materiałów, to: 15 stateczność ściskanych prętów prostych tzw. wyboczenie wpływ karbu lub spiętrzenie naprężeń statyka układów prętowych belek, ram i kratownic. Wyznaczanie naprężeń i określenia wytężenia w: o o o o o płytach cienkich prętach zakrzywionych rurach cienkościennych i grubościennych czaszach kulistych zbiornikach cienkościennych i innych. Zagadnienia zmęczenia materiałów, reologii. Z natury rzeczy założenie o izotropowości nie zawsze może być stosowane w przypadku coraz powszechniej stosowanych kompozytowych materiałów konstrukcyjnych. Materiały te w ogólności charakteryzują się anizotropowością, lecz często są tak wykonane, że można wyróżnić w nich trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii własności materiałowych - wtedy materiały takie nazywamy ortotropowymi.

16 16 WEKTORY podstawowe działania Skalar wielkośd określona za pomocą jednej liczby rzeczywistej skalarami są np.: masa, czas, praca, energia kinetyczna. Wektor wielkośd określona liczbą, mająca kierunek i zwrot w przestrzeni. wektorami są np.: siła, prędkośd przyspieszenie. Moduł wektora - wartośd bezwzględna wektora odpowiadająca jego długości. We współrzędnych kartezjaoskich wektor jest przedstawiony równaniem: (1) Moduł wektora a jest równy: (2) cosinusy katów jakie wektor a tworzy z osiami x, y, z wynoszą:, (3)

17 17 wyrażenie wektora a z pomocą wersora (wektora jednostkowego) a 0 : Po podzieleniu obu stron przez a i uwzględnieniu równao (3), otrzymujemy: stąd wersor dowolnego kierunku ma następujące składowe wzdłuż osi x, y, z: (4) (5) (6) Dodawanie analityczne dwóch wektorów: (7) Mnożenie wektorów: Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b to skalar równy iloczynowi modułów tych wektorów oraz cosinusa kąta zawartego między nimi: (8) Związki między wersorami: (9) Analityczne wyrażenie iloczynu skalarnego ma postad: (10)

18 18 Kąt zawarty między wektorami, na podstawie (8) i (10), wynosi: (11) Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest to wektor, którego moduł równa się iloczynowi modułów wektorów składowych i sinusa kąta zawartego między nimi (12) (13) Związki między wersorami:,,,, (14)

19 Analityczne mnożenie wektorów najlepiej wykonad za pomocą wyznacznika: 19 (15) obliczając: - + (16)

20 20 W2 UKŁAD SIŁ ZBIEŻNYCH 1. Wypadkowa płaskiego układu sił zbieżnych PIERWSZA ZASADA STATYKI (W.1. zasada równoległoboku) Każdy płaski zbieżny układ n sił P 1, P 2,,P n przyłożonych do jednego punktu O można zastąpid jedną siłą wypadkową R przyłożoną w punkcie zbieżności, równą sumie geometrycznej tych sił. (17)

21 2. Warunki równowagi płaskiego zbieżnego układu sił (analityczne) Rzut wektora na oś. 21 W punkcie O dowolnego ciała działa siła P. W punkt O wpisany został układ współrzędnych OxOy (prostokątny) tak aby siła P znajdowała się w płaszczyźnie Oxy wg. rysunku: Rzutami wektora siły P na osie układu współrzędnych będą odcinki OA 1 i OA 2. Składowe wektora P w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy wynoszą:, (18) stąd można otrzymad:, Zgodnie z zależnością o wypadkowej płaskiego zbieżnego układu sił, można stwierdzid, że aby płaski zbieżny układ sił był w równowadze to wielobok sił zbudowany ze składowych musi byd figurą zamkniętą. W zapisie wektorowym ma on postad: (19) Na podstawie równania (17), płaski układ sił zbieżnych można zastąpid siłą wypadkową R równą ich sumie geometrycznej: (20)

22 22 Opierając się na twierdzeniu o rzucie siły wypadkowej na dowolną oś, można analitycznie wyznaczyd składowe siły wypadkowej R na osie przyjętego układu współrzędnych: (21) Warunkiem równowagi płaskiego zbieżnego układu sił jest zamknięty wielobok zbudowany na tych siłach, co oznacza, że siła wypadkowa R rozważanego układu musi byd wówczas równa zero, czyli rzuty tej wypadkowej na osie X i Y układu współrzędnych (prostokątnego, przyjętego w płaszczyźnie działania tych sił) muszą byd równe zero, stąd: (22) WARUNKIEM RÓWNOWAGI PŁASKIEGO ZBIEŻNEGO UKLADU SIŁ JEST, ABY SUMA RZUTÓW WSZYSTKICH SIŁ NA DWIE OSIE DOWOLNE, NIEROWNOLEGŁE I LEŻĄCE W TEJ SAMEJ PŁASZCZYŹNIE, BYŁA RÓWNA ZERO.

23 23 3. Twierdzenie o trzech siłach W punktach A, B, C ciała sztywnego działają trzy nierównoległe siły P 1, P 2, P 3. Zakłada się że układ sił jest zbieżny w punkcie O (patrz rysunek), stąd siły P 2 i P 3 można przesunąd do tego punktu i dodad metodą równoległoboku, wypadkowa jest równa: P= P 2 + P 3. W rezultacie na ciało działają teraz dwie siły P 1 w punkcie A i P w punkcie O. Aby ciało było w równowadze, siły te muszą tworzyd układ zerowy (równa wartośd, taki sam kierunek, działanie na tej samej linii i przeciwny zwrot). Stąd wiadomo, że linia działania siły P 1 musi również przechodzid przez punkt O. Dodatkowo układ sił musi byd układem równoważącym się tzn. trójkąt sił zbudowany z wektorów P 1, P 2, P 3 musi byd zamkniętym. ABY TRZY NIERÓWNOLEGŁE SIŁY DZIAŁAJĄCE W JEDNEJ PŁASZCZYŹNIE BYŁY W RÓWNOWADZE, LINIE DZIAŁANIA TYCH SIŁ MUSZĄ PRZECINAD SIĘ W JEDNYM PUNKCIE, A SAME SIŁY TWORZYD TRÓJKĄT ZAMKNIĘTY.

24 4. Wypadkowa przestrzennego układu sił (zbieżnego). Układ sił przyłożonych do jednego punktu, których linie działania nie leżą w jednej płaszczyźnie nazywamy przestrzennym układem sił zbieżnych, układ czterech sił w przestrzeni przedstawiono na rysunku. 24 Należy wyznaczyd wypadkową danego układu, kolejno dodając do siebie wektory zgodnie z zasadą równoległoboku, i tak R 1 = P 1 +P 2, następnie prowadzi się płaszczyznę przez R 1 i P 3 otrzymujemy R 2 = R 1 +P 3 = P 1 + P 2 + P 3, dalej wyznaczyd należy wypadkową sił R 2 i P 4, ostatecznie mamy: Siła wypadkowa układu równa jest odcinkowi OD na rysunku. Jeśli do jednego punktu będzie przyłożonych n sił, ich wypadkowa równad się będzie: stąd wynika, że: DOWOLNY PRZESTRZENNY UKŁAD SIŁ, PRZYŁOŻONYCH DO JEDNEGO PUNKTU, ZASTĄPID MOŻEMY JEDNĄ SIŁĄ WYPADKOWĄ, PRZYŁOŻONĄ W TYM PUNKCIE I RÓWNĄ SUMIE GEOMETRYCZNEJ WSZYSTKICH SIŁ. (23)

25 5. Warunki równowagi przestrzennego układu sił (zbieżnego). 25 W punkcie O przyłożono siłę P. W punkt O wpisano układ współrzędnych prostokątnych. Z kooca siły P poprowadzono trzy płaszczyzny prostopadłe do osi układu, które w przecięciu z osiami odcięły składowe siły P w przyjętym układzie osi: Gdzie α, są kątami jakie siła P tworzy z osiami układu współrzędnych (rysunek). Cosinusy tych kątów nazywamy cosinusami kierunkowymi siły P. Wartośd siły P wyrażona poprzez składowe w prostokątnym układzie współrzędnych wynosi: (24) cosinusy kierunkowe wynoszą: (25) (26) związek jaki muszą spełniad cosinusy kierunkowe otrzymuje się przez podniesienie równao do kwadratu i dodaniu ich stronami: (27)

26 26 Jeżeli do punktu O ciała sztywnego przyłożymy n sił zbieżnych w układzie przestrzennym to wypadkowa tego układu równa jest sumie geometrycznej wszystkich sił i wynosi: (28) Składowe siły R, wynoszą: (29) Wyznaczając z powyższych zależności składowe R x, R y, R z można znaleźd wartośd liczbową wypadkowej R i jej cosinusy kierunkowe.

27 Przestrzenny układ sił można zastąpid siłą wypadkową (jedną), która jest geometryczną sumą wszystkich działających sił. Stąd wniosek, że aby przestrzenny zbieżny układ sil pozostawał w równowadze jego wypadkowa musi równad się zero. 27 (30) Same siły, tworzące przestrzenny zbieżny układ, muszą tworzyd wielobok zamknięty, czyli koniec ostatniego wektora powinien byd początkiem pierwszego. Zerowanie się wypadkowej R przestrzennego układu sił zbieżnych oznacza, że jej rzuty na osie przyjętego układu współrzędnych muszą również równad się zero. W ten sposób otrzymano trzy warunki równowagi przestrzennego zbieżnego układu sil: (31) WARUNKIEM RÓWNOWAGI PRZESTRZENNEGO ZBIEŻNEGO UKLADU SIŁ, JEST ABY SUMA RZUTÓW WSZYSTKICH SIŁ NA TRZY DOWOLNE OSIE, NIE RÓWNOLEGŁE I NIE LEŻĄCE W JEDNEJ PŁASZCZYŹNIE, BYŁA RÓWNA ZERO. Najczęściej układ osi przyjmuje się prostokątny.

28 28 Tarcie i prawa tarcia Rozpatrujemy ciało o ciężarze Q, spoczywające na chropowatej powierzchni wg. rysunku. Do ciała przykładamy poziomą siłę P, która powoduje jego ruch. Wiadomo, że aby nastąpił ruch ciała wartośd siły P musi byd większa od pewnej granicznej wartości. Siła mniejsza od wartości granicznej nie spowoduje ruchu i ciało będzie pozostawad w spoczynku. Wynika z tego, że oprócz reakcji normalnej podłoża N, istnieje jeszcze składowa styczna, którą oznaczamy T i nazywamy SIŁĄ TARCIA. W wyniku wielu doświadczeo prowadzonych przez: COULOMBA i MORENA dla różnych stykających się powierzchni, zostały ustalone prawa tarcia zawierające zależnośd między maksymalną wartością siły tarcia (T) a naciskiem normalnym (N).

29 29 1. Siła tarcia nie zależy od wielkości powierzchni stykających się ciał, a jedynie od ich rodzaju. 2. Wartośd siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może zmieniad się od zera do maksymalnej wartości, która jest proporcjonalna do całkowitego nacisku normalnego: 3. Siła tarcia dla ciała będącego w spoczynku, jest skierowana przeciwnie do zamierzonego kierunku ruchu (patrz rysunek). Natomiast siła tarcia dla ciała będącego w ruchu jest przeciwna do kierunku ruchu i maleje wraz ze zrostem prędkości. Współczynnik, dla ciała będącego w spoczynku nosi nazwę współczynnika tarcia statycznego, natomiast w przypadku gdy ciało ślizga się - współczynnik tarcia oznacza się i nosi nazwę współczynnika tarcia kinetycznego. Oznaczony na rysunku kąt, jaki tworzy całkowita reakcja R, przy maksymalnej sile tarcia, (32) z normalną do powierzchni styku, nosi nazwę kąta tarcia i wynosi:, czyli: (33) tak więc współczynnik tarcia jest równy tangensowi kąta tarcia Niektóre współczynniki tarcia statycznego: a. żeliwo po żeliwie, bez smarowania, obrobione zgrubnie =0,22 b. stal po żeliwie, bez smarowania, obrobione zgrubnie =0,16 c. stal po żeliwie, ze smarowaniem, obróbka dokładna =0,10 d. stal po żeliwie, dokładne smarowanie, powierzchnie szlifowane =0,02 e. drewno po drewnie =0,4 0,7 Koniec W2

30 1. Moment siły względem punktu 30 W3 PŁASKI DOWOLNY UKŁAD SIŁ Niech na ciało materialne działa siła P przyłożona do pewnego punktu tego ciała. Obierzmy dowolny punkt O, którego odległośd h od linii działania tej siły l nazywa się ramieniem siły P. Momentem siły względem punktu jest wektor, którego wartośd równa jest iloczynowi wartości liczbowej siły P i jej ramienia wyznaczonego względem punktu O. Wektor ten, oznaczony M O, przyłożony jest w punkcie O, prostopadle do płaszczyzny przesuniętej przez linię działania siły i ten punkt i skierowany tak, że patrząc z jego kooca siła P stara się obrócid względem punktu O zgodnie z ruchem trygonometrycznym. Wartośd bezwzględna momentu siły względem punktu wynosi: Jeśli zbudujemy trójkąt, którego podstawą będzie wektor P, a wierzchołkiem punkt O, wartośd bezwzględną momentu siły względem punktu można również przedstawid jako dwa pola otrzymanego trójkąta (34) (35)

31 31 Moment siły względem punktu może mied wartośd dodatnią lub ujemną. Jeśli siła P działa tak, że wywołuje obrót względem punktu O, zgodny z kierunkiem trygonometrycznym, moment jest dodatni, natomiast jeśli kierunek obrotu siły P względem punktu O jest przeciwny, moment jest ujemny. Moment siły względem punktu w ujęciu wektorowym Jeżeli położenie siły P względem punktu O opisze się promieniem r (wektor), to moment tej siły względem punktu O można przedstawid jako iloczyn wektorowy promienia r i wektora siły P. Zgodnie z kierunkami wektorów przedstawionych na rysunku mamy: Z własnościami iloczynu wektorowego dwu wektorów wynikają wszystkie parametry momentu M O : jego wartośd, kierunek oraz zwrot. Wartośd liczbowa tego iloczynu wynosi: (36)

32 32 Na rysunku mamy dwie siły P 1 i P 2, przyłożone do jednego punktu A, oraz ich wypadkową R, przyłożoną również tym punkcie. Oznaczając moment siły wypadkowej R względem dowolnego punktu B przez M B, a sił składowych odpowiednio M 1B i M 2B, otrzymujemy: podstawiając za R jest:, obliczając otrzymano: W przypadku ogólnym siły P 1 i P 2 Oraz Punkt B nie leżą w jednej płaszczyźnie. Jeżeli jednak rozpatruje się układ płaski, to wektory momentów wszystkich sił są prostopadłe do płaszczyzny ich działania, czyli można je odłożyd na jednej prostej. Powyższej zależności można nadad algebraiczną postad: Z powyższego równania wynika twierdzenie Varignona: Moment siły wypadkowej dwu sił przyłożonych do jednego punktu A, względem dowolnego punktu B, równy jest sumie momentów sił składowych względem tegoż punktu B. (37)

33 Jednostką (SI) momentu siły jest niutonometr (1Nm) = 1 (kgm/s 2 ) 1m = 1 kgm 2 / s 2 W układzie technicznym jednostką jest kilogramometr (1kGm) = 9,807 Nm Wypadkowa dwóch sił równoległych. a. zgodnie skierowanych Dwie siły nierównoległe, których linie działania leżą w tej samej płaszczyźnie, można dodad zgodnie z zasadą równoległoboku. W przypadku sił równoległych, kiedy ich linie działania są równoległe, zbudowanie równoległoboku jest niemożliwe. Dodanie więc dwóch sił równoległych wykonuje się następująco: W punktach A i B ciała sztywnego działają dwie siły równoległe P 1 i P 2 zgodnie skierowane. Do punktów tych przyłożono zerowy układ sił S i S 1 działających wzdłuż prostej AB. Mamy S = - S 1. Siły P 1 i S, przyłożone do punktu A, oraz siły P 2 i S 1 przyłożone do punktu B, można zastąpid wypadkowymi w tychże punktach: R 1 = P 1 + S oraz R 2 = P 2 + S 1

34 Linie działania sił R 1 i R 2 przecinają się w punkcie O. Po przesunięciu ich do punktu O można zbudowad równoległobok i wyznaczyd ich wypadkową: 34 R = R 1 + R 2 podstawiając za R 1 i R 2 mamy: R = R 1 + R 2 = P 1 + S + P 2 + S 1 = P 1 + P 2 Siły P 1 i P 2 przyłożone do punktów A i B, zastąpiono jedną siłą wypadkową R, równoległą do tych sił. Wartośd liczbowa tej wypadkowej równa jest sumie wartości liczbowych sił P 1 i P 2. Linia działania wypadkowej R przecina odcinek AB w punkcie C, którego położenie wyznacza się z zależności geometrycznych. Z podobieostwa trójkątów AOC i FAH: Trójkąty BOC i LBK są również podobne: Po podzieleniu stronami: Podsumowując: Dwie siły równoległe zgodnie skierowane P 1 i P 2, przyłożone w punktach A i B ciała sztywnego zastąpid możemy jedną siłą wypadkową R, równoległą i zgodnie z nimi skierowaną, o wartości równej sumie wartości liczbowych tych sił. Linia działania siły wypadkowej dzieli wewnętrznie odcinek AB na odcinki odwrotnie proporcjonalne do wartości liczbowych tych sił.

35 35 b. przeciwnie skierowanych Na ciało sztywne działają dwie siły równoległe P 1 i P 2 przeciwnie skierowane, przyłożone w punktach A i B tego ciała. Założenie: siła P 1 ma wartośd liczbową większą od siły P 2. Podobnie jak w poprzednim przypadku, w punktach A i B przykłada się dwie siły S i S 1 tworzące układ zerowy. Za ich pomocą uzyskuje się siły wypadkowe R 1 i R 2, które przesunięte zostają do punktu przecięcia się linii ich działania O. Siły R 1 i R 2 następnie zstępuje się wypadkową R: Siła wypadkowa R równa jest sumie geometrycznej sił P 1 i P 2. Ponieważ siły te leżą na jednej prostej, wartośd liczbowa siły wypadkowej R jest różnicą wartości liczbowych tych sił. Wypadkowa R skierowana jest zgodnie z siłą o większej wartości, czyli w tym przypadku zgodnie z siłą P 1. Punkt C, w którym linia działania wypadkowej R przecina prostą poprowadzoną przez punkty A i B wyznacza się z podobieostwa trójkątów AOC i BOC, otrzymuje się:

36 36 ale S = S 1, to Dwie siły równoległe i przeciwnie skierowane P 1 i P 2, przyłożone w punktach A i B ciała sztywnego, zastąpid możemy jedną wypadkową R, również równoległą, skierowaną zgodnie z siłą o większej wartości liczbowej. Linia działania wypadkowej, leży po stronie siły większej i dzieli zewnętrznie odcinek AB na odcinki odwrotnie proporcjonalne do wartości liczbowych przyłożonych sił. Wartośd wypadkowej R równa jest różnicy wartości liczbowych działających sił. 3. Para sił. Równoważnośd par sił działających w płaszczyźnie. W sytuacji gdy P 2 dąży do P 1 wartośd liczbowa wypadkowej R dąży do zera, punkt C przez który przechodzi jej linia działania oddala się do nieskooczoności. Stąd wniosek, że dwie równoległe siły, przeciwnie skierowane o takich samych wartościach liczbowych nie mają siły wypadkowej i tworzą układ nazywany PARĄ SIŁ. Z założenia P = P, czyli P = -P. Odległośd między liniami działania sił tworzących parę nosi nazwę ramienia pary sił (na rysunku h). Para sił nie ma wypadkowej. Parę sil charakteryzuje moment pary sił, który określa jej obrotowe działanie na ciało materialne. Momentem pary sił nazywa się wektor M, o wartości bezwzględnej równej iloczynowi wartości liczbowej jednej z sił oraz ramienia pary. Wektor M jest prostopadły do płaszczyzny działania tej pary i skierowany tak, że patrząc z jego kooca para sił stara się wywoład obrót zgodny z ruchem trygonometrycznym, czyli: (38)

37 37 Wartośd wektora momentu pary sił wynosi: Wektor momentu pary sił jest zawsze prostopadły do płaszczyzny działania tej pary, do określenia momentu M wystarczy podad tylko jego wartośd względem osi prostopadłej do płaszczyzny pary. Znak plus jeśli para stara się obrócid zgodnie z kierunkiem trygonometrycznym. Znak minus jeśli para stara się obrócid w kierunku przeciwnym do trygonometrycznego. Wyznaczamy sumę momentów sił P i P, tworzących parę względem dowolnie wybranego punktu O, leżącego w płaszczyźnie działania tej pary (rysunek) (40) (39)

38 Moment pary sił z rysunku wynosi M = r x P, natomiast suma momentów sił wchodzących w skład pary względem punktu O ma wartośd: ale r A = r B + r oraz P = - P, więc: 38 Oznacza to, że suma momentów sił tworzących parę względem dowolnego punktu O płaszczyzny działania tej pary, równa jest momentowi tej pary. Tak więc wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym przyłożonym w dowolnym punkcie płaszczyzny działania tej pary. Poniższy rysunek przedstawia parę sił P i P o momencie równym M = Pa i liniach działania sił odpowiednio m i m. Prowadzimy dwie inne proste równoległe n i n, tak, że ich kierunki nie są równoległe do linii działania sił P i P. (41) (42) Siłę P przesuwamy do punktu G, a siłę P do punktu E. W punktach G i E przykładamy zerowe układy sił działające wzdłuż poprowadzonych prostych n i n. Założenie Q 1 = -Q, oznacza to że przyłożone siły mają równe wartości liczbowe Q. Wartośd tej siły jest taka, że. Siły z punktu G zastępujemy wypadkową R = P Q 1, a siły z punktu E zastępujemy wypadkową R 1 = P Q. Z założenia, że Q 1 = - Q i P = P, wypadkowe spełniają zależnośd R 1 = -R i leżą na przekątnej EG równoległoboku EHGF.

39 39 Stąd mamy: i z założenia stąd: Z otrzymanej proporcji wynika, że równoległoboki utworzone z sił P i Q 1 oraz P i Q są podobne do równoległoboku EHGF. Wypadkowe R i R 1 mają równe wartości i tworzą układ zerowy, pozostają ostatecznie dwie siły Q i Q 1 przyłożone w punktach E i G. Siły te tworzą parę sił której moment wynosi: po uwzględnieniu założenia ( Qb = Pa): Otrzymaliśmy parę sił, której moment równy jest momentowi pary sił P i P. Wynika z tego, że KAŻDĄ PARĘ SIŁ DZIAŁAJĄCĄ NA CIAŁO SZTYWNE MOŻNA ZASTAPID DOWOLNĄ PARĄ O TYM SAMYM MOMENCIE I TEJ SAMEJ PŁASZCZYŹNIE DZIAŁANIA. Można to wykorzystad do sumowania par sił działających w tej samej płaszczyźnie. Gdy w jednej płaszczyźnie ciała sztywnego działa n par sił, to pary te można zastąpid jedną parą wypadkową, której moment równy jest sumie momentów par składowych. Wartośd pary wypadkowej wynosi:

40 40 4. Redukcja płaskiego dowolnego układu sił. Rozpatrujemy równoległe przesunięcie jednej siły. W punkcie A ciała sztywnego działa siła P. Chcąc przesunąd ja do dowolnego punktu O, w punkcie tym przykładamy zerowy układ sił P i P = -P. Zgodnie z własnością układu zerowego, równowaga istniejącego układu sił nie zmieni się, jeśli do układu tego dodamy lub odejmiemy układ zerowy. Siła P przyłożona w punkcie O, z siłą P przyłożoną do punktu A, tworzą parę sił o momencie M = r x P. Ponieważ h jest odległością punktu redukcji O od prostej n działania siły P i jednocześnie ramieniem siły P przyłożonej w punkcie A względem punktu O, moment otrzymanej pary sił i moment siły względem obranego punktu O są sobie równe. gdzie M O jest wartością momentu siły P względem punktu O. TWIERDZENIE: SIŁĘ P PRZYŁOŻONĄ DO PUNKTU A CIAŁA SZTYWNEGO MOŻEMY PRZENIEŚD DO DOWOLNEGO PUNKTU O TEGO CIAŁA, DODAJĄC JEDNOCZESNIE MOMENT PARY SIŁ RÓWNY MOMENTOWI DANEJ SIŁY WZGLĘDEM PUNKTU O.

41 Rozważając płaski układ sił P 1, P 2,,P n, przyłożonych odpowiednio w punktach A 1, A 2,,A n ciała sztywnego (rysunek) mamy: w płaszczyźnie działania sił obierzmy punkt O, który nazwiemy środkiem redukcji. W punkcie tym przykładamy zerowe układy sił: 41 P 1 i P 1 = -P 1 P 2 i P 2 = -P 2 P n i P n = -P n. W wyniku dostaliśmy płaski układ sil zbieżnych P 1, P 2,,P n o środku zbieżności w punkcie O oraz pary sił, których momenty zgodnie z udowodnionym twierdzeniem, są równe momentom odpowiednich sił względem środka redukcji O. Wszystkie siły P 1, P 2,, P n, tworzące plaski zbieżny układ sił przyłożony w punkcie O, możemy zastąpid wypadkową R równą sumie geometrycznej tych sił: Otrzymane pary sił można zastąpid jedną parą wypadkową, której moment będzie równy sumie momentów tych par. Oznaczając przez M O moment wypadkowy mamy: Dowolny płaski układ sił, przyłożony do ciała sztywnego, możemy zredukowad do dowolnego punktu O, przykładając w tym punkcie siłę R jako sumę geometryczną działających sił oraz parę o momencie M O, równym sumie algebraicznej momentów danych sił względem punktu O. Siła R nazywana jest wektorem głównym, a M O momentem głównym.

42 5. Warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił. 42 W wyniku redukcji płaskiego dowolnego układu sił P 1, P 2,, P n, przyłożonego do punktów ciała sztywnego, otrzymano układ złożony z siły, przyłożonej do obranego środka redukcji O, oraz moment sił. Równowaga tego układu będzie spełniona gdy: Jeśli wektor główny R ma byd równy zero, to również jego rzuty na osie muszą byd równe zero. Z tego wynikają trzy analityczne warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił: Warunkiem równowagi płaskiego dowolnego układu sił jest, aby suma rzutów wszystkich sił na dwie osie dowolne, nierównoległe, była równa zero, oraz suma momentów wszystkich sił względem dowolnego punktu była także równa zero. Zazwyczaj rzuty sil wykonuje się na układ współrzędnych prostokątnych, punkt O względem którego przyrównuje się sumę momentów do zera nie musi byd początkiem układu współrzędnych. Spełnienie geometrycznych warunków równowagi można zapewnid również za pomocą: - trzech równao momentów: przy czym punkty A, B, C nie mogą leżed na jednej prostej. - jednego równania rzutów i dwóch równao momentów: przy czym oś x nie jest prostopadła do odcinka AB

43 43 OPÓR PRZY TOCZENIU Jeśli do krążka ustawionego na poziomej płaszczyźnie przyłożymy poziomą siłę P, to dopóki ta siła będzie mniejsza od pewnej granicznej wartości, krążek pozostanie w spoczynku. Przekroczenie tej granicznej wartości siły spowoduje toczenie krążka. Zjawisko to pozwala wyjaśnid równanie momentów napisane względem punktu A styku krążka z podłożem. Względem tego punktu moment siły ciężkości Q oraz siły tarcia T są równe zero, a moment siły P wynosi Pr. Aby zapewniona została równowaga, wynikająca z równania momentów wszystkich sił względem punktu A, reakcja normalna N musi dawad moment, czyli działad na pewnym ramieniu. Przesunięcie reakcji normalnej N w kierunku toczenia krążka wynika z odkształceo, jakich doznaje krążek i podłoże. Styk krążka z podłożem nie jest punktowy i naciski normalne, których wypadkowa jest siła N rozkładają się na pewnej długości. Oznaczając przez f przesunięcie siły normalnej względem teoretycznego punktu styku krążka z podłożem, równanie momentów względem punktu przecięcia siły stycznej z normalną ma postad. Otrzymujemy warunek, który musi byd spełniony, aby rozpatrywany krążek nie zaczął się toczyd:

44 44 Współczynnik f nosi nazwę współczynnika oporu przy toczeniu i ma wymiar długości, gdyż jest ramieniem siły nacisku N. Z powyższego wzoru wynika: 1. jeśli krążek będzie się toczył nim nastąpi poślizg, 2. jeśli nastąpi zjawisko odwrotne (najpierw poślizg potem toczenie) zazwyczaj jednak jest dużo mniejsze od współczynnika tarcia i mamy do czynienia z toczeniem. Niektóre wartości współczynników oporu przy toczeniu, podane w cm: a. krążek drewniany po podłożu z drewna f = 0,05-0,06 b. krążek z miękkiej stali po podłożu z miękkiej stali f = 0,005 c. krążek drewniany po podłożu ze stali f = 0,03-0,04 d. kulka z hartowanej stali po podłożu ze stali f = 0,001

45 45 TARCIE CIĘGNA O STAŁY KRĄŻEK Stały, chropowaty krążek jest opasany cięgnem (lina czy pas), na koocu obciążony jest ciałem o ciężarze G. Jaką siłę P należy przyłożyd do drugiego kooca cięgna aby krążek pozostawał w równowadze. Gdyby między krążkiem i cięgnem nie było tarcia to wiadomo, że siła P równa byłaby ciężarowi G. Tarcie występujące w układzie zmniejsza wartośd siły P, powstała siła tarcia pomaga utrzymad ciężar G w równowadze. Różnica między siłami P i G przyłożonymi do kooców cięgna powoduje, że elementarne naciski dn oraz elementarne siły tarcia dt są zmienne na całej długości styku cięgna z krążkiem. To powoduje, że nie możemy badad równowagi cięgna w całości, lecz rozważyd równowagę jego elementu i całkowad wzdłuż długości styku cięgna z krążkiem. Rozpatrywana jest równowaga sił działających na element cięgna (rysunek częśd (b)). Równania równowagi mają postad: Rozpatruje się równowagę elementu cięgna ograniczonego kątem, którego wartośd dąży do zera, więc można przyjąd że:

46 46 podstawiając otrzymuje się: odrzuca się małe wartości drugiego rzędu, równania równowagi przyjmą postad: po uwzględnieniu związku na siłę tarcia, otrzymuje się: stąd: Ponieważ napięcie cięgna zmienia się na jego długości od G na prawym koocu do P na lewym koocu, a kąt przyjmuje wartości od 0 do α więc po scałkowaniu stronami powyższego równania otrzymuje się związek między napięciami: otrzymujemy: Związek między siłami G i P nosi nazwę wzoru EULERA ( ) i przedstawiany jest w postaci: gdzie - współczynnik tarcia cięgna o krążek, a α kąt opasania krążka przez cięgno.

47 47 PRZESTRZENNY DOWOLNY UKŁAD SIŁ 1. Moment siły względem punktu w przestrzeni. Siła P działa przyłożona w punkcie A. Punkt O jest dowolnym punktem, względem którego wyznacza się moment siły P. Położenie siły P względem O opisane jest wektorem promieniem r (rys.) Moment siły P względem punktu O to wektor równy iloczynowi wektorowemu : Składowe wektora momentu M O, wyrażone poprzez odpowiednie składowe promienia wektora i siły wynoszą:

48 48 2. Moment siły względem osi. Miarą działania obrotowego siły względem osi jest wielkośd nazywana momentem siły względem osi. Momentem siły P względem osi z nazywa się wektor leżący na tej osi, o wartości liczbowej równej rzutowi momentu tej siły wyznaczonemu względem dowolnego punktu osi na tą oś. Moment siły względem osi ma wartośd stałą, niezależnie od wyboru położenia punktu na osi, względem którego wyznaczony moment rzutujemy na oś.

49 49 Dowód. Dana jest siła P i oś z, na której przyjęto dowolnie punkty O i O 1.(rysunek) Momenty tej siły względem punktów O i O 1 odpowiednio wynoszą: mnożymy skalarnie to wyrażenie przez wersor i osi z Wektor określony iloczynem wektorowym promienia O 1 O i siły P, jest z własności iloczynu wektorowego prostopadły do wektorów składowych. Tak więc iloczyn skalarny tego wektora oraz wersora i osi jest równy zero. Pozostałe wyrazy: Otrzymane równanie potwierdza, że rzut momentu siły względem dowolnego punktu osi, na tę oś jest stały. Wartości momentu siły względem osi prostopadłych, wynikają więc bezpośrednio z równao (51), wyrażających składowe momentu siły względem punktu O jako początku układu współrzędnych.

50 50

51 51 3. Twierdzenia o parach sił działających w przestrzeni. a. pary sił działające w płaszczyznach równoległych Zachowując niezmieniony moment, parę sił można przenosid do dowolnej płaszczyzny równoległej do jej płaszczyzny działania. W płaszczyźnie 1 działa para sił P i P = -P, przyłożone do punktów A i B. Obieramy dowolną płaszczyznę 2 równoległą do płaszczyzny 1, w punktach C i D przykładamy układy zerowe sił P 1 i P 1, spełniające zależnośd P 1 = -P 1 = P. Punkty C i D obrano tak, aby odcinki AB i CD były równe i do siebie równoległe. Siły P i P 1 = P przyłożone w punktach B i C jako dwie równoległe i równe można zastąpid wypadkową R= P + P 1 = 2P przyłożoną w punkcie E. Podobnie siły P i P 1 przyłożone do punktów A i D można zastąpid wypadkową R = P +P 1 = - 2P = -R również przyłożoną do punktu E. Siły R i R jako równe tworzą układ zerowy i pozostają tylko siły P 1 i P 1 tworzące parę sił, na płaszczyźnie działania 2. Z założenia P 1 = P i odcinek AB = CD to moment otrzymanej pary sił jest taki sam jak pary sił P i P.

52 b. dodawanie par sił działających w różnych płaszczyznach 52 Dwie pary sił przyłożone do ciała sztywnego i działające w płaszczyznach przecinających się, równoważne są jednej parze o momencie równym sumie geometrycznej momentów tych par. Do ciała przykładamy parę sił P 1 i P 1, działającą na płaszczyźnie 1 o momencie M 1, oraz parę sił P 2 i P 2, działającą w płaszczyźnie 2, o momencie M 2. Obie pary sił zamieniamy na równoważne im, tak aby ich ramię wynosiło r (rysunek). Siły P 1 i P 2 w punkcie A oraz siły P 1 i P 2 w punkcie B zastąpiono wypadkowymi: P = P 1 + P 2 P = P 1 + P 2 Z definicji momentu siły względem punktu B i momentu pary sił, mamy: Moment wypadkowy równy jest sumie geometrycznej momentów par składowych.

53 4. Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił do danego punktu. 53 Przyłóżmy do punktów A 1, A 2,, A n ciała sztywnego, układ sił P 1, P 2,, P n, które są dowolnie skierowane w przestrzeni. Następnie do obranego punktu O, środka redukcji, przykładamy układy zerowe tych sił (rysunek). Po przyłożeniu układów zerowych, otrzymano układ sił, w którym można wyodrębnid przestrzenny układ sił zbieżnych P 1, P 2,, P n przyłożonych do punktu O, oraz n par sił M 1O, M 2O,, M no, wyrażających momenty poszczególnych sił względem punktu O. Układ sił zbieżnych przyłożonych w punkcie O zastąpid można jedną siłą wypadkowa R, równa sumie geometrycznej wszystkich sił, natomiast pary sił zastąpid można równoważnym momentem pary M O, o momencie równym sumie geometrycznej momentów wszystkich par. Dowolny przestrzenny układ sił działający na ciało sztywne zastąpid można jedną siłą R, przyłożoną w dowolnie wybranym środku redukcji O, będącą sumą geometryczną wszystkich sił, oraz momentem pary M O, równym sumie geometrycznej momentów wszystkich sił względem ośrodka O.

54 Otrzymaną w wyniku redukcji wypadkową R nazywamy wektorem głównym układu, zaś moment M O momentem głównym względem przyjętego środka redukcji O. Znając składowe sil przyłożonych do ciała sztywnego w prostokątnym układzie współrzędnych, możemy wyznaczyd składowe wektora głównego R, korzystając z twierdzenia o rzucie siły wypadkowej i jej składowych na dowolną oś. Otrzymujemy: 54 Składowe momentu głównego względem osi układu, którego początek jest w środku redukcji O, równe są sumom odpowiednich składowych momentów działających sił względem początku układu współrzędnych. Na podstawie twierdzenia o rzucie momentu siły względem punktu leżącego na osi, na tę oś, składowe momentu głównego równe są sumie momentów danych sił względem odpowiednich osi: 5. Warunki równowagi przestrzennego dowolnego układu sił. W wyniku redukcji przestrzennego dowolnego układu sił do danego punktu, otrzymuje się wektor główny R oraz moment główny M O. Aby przestrzenny dowolny układ sił pozostawał w równowadze to zarówno wektor główny R, jak i moment główny M O muszą byd równe zero: Z tych warunków geometrycznych, otrzymuje się odpowiadające im warunki analityczne w postaci:

55 55 Otrzymujemy sześd równao równowagi trzy wynikają z sumy rzutów sił na osie układu współrzędnych oraz trzy wynikające z sumy momentów wszystkich sił względem tych osi. Warunkiem równowagi przestrzennego dowolnego układu sił jest, aby suma rzutów wszystkich sił na trzy osie dowolne, nierównoległe i nie leżące w jednej płaszczyźnie, była równa zero oraz suma momentów względem tych osi była również równa zero. 6. Niezmienniki przestrzennego układu sił, skrętnik oś centralna. W wyniku redukcji przestrzennego dowolnego układu sił do danego punktu, otrzymano układ złożony z wektora głównego R jako sumy geometrycznej wszystkich sił oraz momentu głównego M O jako sumy geometrycznej momentów wszystkich sił względem środka redukcji O (53) i (54) Wektor główny układu nie zależy od wyboru bieguna (środka redukcji), ponieważ wyznaczenie jego polega na obliczeniu sumy geometrycznej sił tworzących układ. Moment główny natomiast zmienia swą wartośd wraz ze zmianą bieguna. Jeśli moment względem bieguna O wynosi M O, wyznaczamy więc moment główny dla innego bieguna O 1.

56 56 Otrzymujemy: Jako M O1 (R) oznaczono wektor będący iloczynem wektorowym promienia wektora r i wektora głównego R i zgodnie z definicją jest on prostopadły do wektora R, więc: mnożąc to równanie skalarnie przez wektor jednostkowy k, wektora głównego R, mamy: ponieważ, co wynika z prostopadłości wektorów składowych. Ostatecznie otrzymujemy zależnośd dotyczącą iloczynu skalarnego momentu głównego i wektora głównego. Iloczyn skalarny momentu głównego układu względem dowolnego środka redukcji i wektora głównego jest stały, ponieważ wektor główny R nie zależy od wyboru środka redukcji. Z (60) wynika jeszcze, że iloczyn jako wartośd rzutu momentu głównego M O na kierunek wektora głównego jest także wielkością stałą. WEKTOR GŁÓWNY ORAZ ILOCZYN SKALARNY WEKTORA MOMENTU GŁÓWNEGO I WEKTORA GŁÓWNEGO SĄ NIEZMIENNIKAMI PRZESTRZENNEGO DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ. Zredukowanie układu n sił względem innego środka redukcji powoduje jedynie zmianę momentu głównego układu, nie wywołując zmiany wektora głównego. Zatem każdy układ sił ma dwa niezmienniki (wielkości niezależne od położenia środka redukcji), pierwszy to wektor główny R, drugi moment główny M O obliczony względem dowolnego środka redukcji O na kierunek wektora głównego R. Ze zmianą wyboru bieguna, zmienia się moment główny rozpatrywanego układu, ale tak że jego składowa wzdłuż wektora głównego jest niezmienna.

57 Układ wektora głównego R i momentu głównego M O, obliczonego względem środka redukcji O, można zredukowad do prostszej postaci. Niech wektory R i M O będą przyłożone w punkcie O, początku układu współrzędnych (rysunek) 57 Moment główny rozkłada się na dwie składowe: M O zgodną z kierunkiem wektora głównego R i M O prostopadłą do tego wektora. Następnie składową M O zastępuje się parą sił (-R, R), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do M O, przy czym siła (-R) jest przyłożona w punkcie O. Linia działania drugiej siły R będzie przechodzid przez pewien szczególny punkt C, którego położenie jest opisane promieniem wektorem r, wynikającym z zależności: określa ona równoważnośd zastępowania wektora M O parą sił (-R, R). W wyniku tych przekształceo otrzymuje się dwie siły (-R,R) przyłożone w punkcie O, które można usunąd jako układ równoważący się. Cały układ redukuje się do siły R przyłożonej do punktu c oraz składowej momentu głównego M O równoległej do R.

58 58 gdzie R/R wektor jednostkowy (wersor) o kierunku i zwrocie wektora R, cos - cosinus kąta między wektorami R i M O Ponieważ wektor M O jest wektorem swobodnym, to można go przenieśd do punktu C. Wykazano, że dowolny przestrzenny układ n sił można zredukowad do dwóch wektorów kolinearnych: wektora głównego R, określonego wzorem (53) i wektora M O określonego zależnością (62). Taki prosty układ tych wektorów nazywa się skrętnikiem, a ich linia działania, przechodząca przez punkt C, nazywa się osią centralną układu sił P i. UKŁAD ZŁOŻONY Z WEKTORA GŁÓWNEGO R I SKŁADOWEJ MOMENTU GŁÓWNEGO M O, LEŻĄCEJ NA LINII DZIAŁNIA WEKTORA R, JEST NAZYWANY SKRĘTNIKIEM. Równanie osi centralnej wyznacza się, redukując wektor główny R i moment główny M O (obliczony względem środka redukcji O) do innego środka redukcji, którym jest punkt C (rys.).

59 59 Moment główny M C względem punktu C, opisany promieniem wektorem r o składowych (-x, -y, -z) na podstawie wzoru, jest równy: składowe wektora głównego M C : Ponieważ punkt C leży na osi centralnej, więc M C = M O. Wówczas wektory R i M C, jako kolinearne (rysunek), muszą byd wzajemnie proporcjonalne, czyli po podstawieniu wyrażeo (64) otrzymuje się: Powyższy związek przedstawia dwa niezależne równania liniowe z trzema niewiadomymi (x,y,z) będące równaniem osi centralnej układu sił. Prosta ta ma takie same cosinusy kierunkowe jak wektor główny układu R. koniec W3

60 60 ŚRODKI CIĘŻKOŚCI 1. Redukcja przestrzennego układu sił równoległych. Układ sił równoległych P 1, P 2,, P n przyłożonych do punktów A 1, A 2,, A n, jako środek redukcji przyjmuje się punkt O i redukując układ sił P i do tego punktu otrzymuje się wektor główny układu wektor ten leży na osi z, a jego wartośd jest równa

61 61 Moment główny układu wynosi wówczas: gdzie mamy Wynika z tego, że moment główny jest wektorem prostopadłym do osi z, czyli jest również prostopadły do wektora głównego układu sił. Układ sił równoległych redukuje się zatem do wypadkowej. Kierunek działania wypadkowej (linia jej działania)jest równoległy do linii działania sił równoległych. Linię działania wypadkowej wyznacza się na podstawie twierdzenia Varignona: Moment siły wypadkowej W względem dowolnego punktu równa się sumie momentów układu sił względem tego samego punktu. wektor r C = x c i + y C j określa linię działania wypadkowej. Po uwzględnieniu w (70), że i rozpisaniu, mamy stąd

62 62 Powyższe równanie rozpada się na dwa skalarne równania (wyrażenia przy tych samych wersorach są sobie równe): Równania te wyznaczają linię działania wypadkowej, ponieważ wyznaczają jej punkt przebicia z płaszczyzną Oxy, do której jest ona prostopadła. Wypadkową układu sił równoległych określają jednoznacznie wektor główny R= W i punkt C o współrzędnych (x C, y C ). Przez punkt C przechodzi wypadkowa układu sił równoległych, niezależnie od kierunku tych sił (przy niezmienionych punktach przyłożenia i wartościach sił) i nazywany jest środkiem sił równoległych. 2. Środki ciężkości brył. Wyznaczanie środków ciężkości brył wiąże się z wyznaczaniem środka sił równoległych, gdyż siły ciężkości można uznad za siły równoległe ze względu na to że wymiary rozpatrywanych ciał są bardzo małe w porównaniu z promieniem Ziemi. Siły ciężkości są siłami objętościowymi działają na każdy element objętości danego ciała. Środek sił równoległych w odniesieniu do sił ciężkości nazywany jest środkiem ciężkości. Ciężar ciała wypadkowa sił ciężkości jest przyłożony stale w środku ciężkości C, niezależnie od położenia ciała. Przyjmując układ współrzędnych sztywno związany z danym ciałem powoduje się, że w przypadku obrócenia ciała, siły ciężkości zmieniają swój kierunek w stosunku do układu współrzędnych. Punkty ich przyłożenia w stosunku do rozpatrywanego układu współrzędnych pozostają nie zmienione. Zgodnie z własnością środka sił równoległych wypadkowa sił ciężkości będzie przechodziła zawsze przez ten sam punkt C- środek ciężkości. Posługując się zależnościami określającymi współrzędne środka sił równoległych, można wyprowadzid wzory na współrzędna x C, y C, z C środka ciężkości C dowolnego ciała.

63 W punkcie A i o współrzędnych x i, y i, z i wycina się element objętości V i. Wartośd siły ciężkości działającej na ten element wynosi 63 - ciężar właściwy *N/m 3 ] Jeśli podzieli się ciało na wiele tego rodzaju elementów to na podstawie zależności (73) można określid położenia środka ciężkości: są to wzory przybliżone, dokładne rozwiązanie będzie wtedy gdy założy się liczbę elementów dążącą do nieskooczoności i ich wymiary dążące do zera. Stąd zależności określające współrzędne maja postad: (75) gdzie: całkowity ciężar ciała, - ciężar właściwy w danym punkcie

64 Ciężar ciał jest równy: G= mg, ciężar właściwy można wyrazid jako = g 64 stosując powyższa zależnośd do równao (75), jest: całkowita masa ciała wynosi Wynika z tego że współrzędne środka ciężkości zależą od kształtu ciała oraz od rozkładu masy (gęstośd w ogólnym przypadku może byd funkcją współrzędnych x,y,z). Przez punkt C (środek ciężkości) przechodzi również linia działania wypadkowej sił ciężkości środek masy dla ciała materialnego pokrywają się ze sobą. wyrażenia względem odpowiednich płaszczyzn układu współrzędnych. to momenty statyczne ciała materialnego Zakładając =const. to w zależnościach (75) można wynieśd przed całkę i skrócid otrzymuje się wtedy (V całkowita objętośd ciała): położenie środka ciężkości dla ciała jednorodnego zależy tylko od jego kształtu geometrycznego stąd środek ciężkości ciała jednorodnego jest nazywany środkiem ciężkości bryły geometrycznej wyrażenia - momenty statyczne objętości bryły względem odpowiednich płaszczyzn układu (wymiar jednostka długości w czwartej potędze) oznaczenie - S (77) gdzie: MOMENT STATYCZNY WZGLĘDEM PŁASZCZYZNY PRZECHODZĄCEJ PRZEZ ŚRODEK CIĘŻKOŚCI JEST RÓWNY ZERO

65 Zakładając znane położenie środka ciężkości bryły należy znaleźd momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych O xyz 65 W środku ciężkości umieszcza się układ współrzędnych C o osiach odpowiednio równoległych do osi układu O xyz Współrzędne elementarnej objętości dv są równe: podstawiając do wyrażeo na moment statyczny(79): całki z,, są równe zero układ przechodzi przez środek ciężkości bryły. MOMENT STATYCZNY BRYŁY WZGLĘDEM PŁASZCZYZNY RÓWNA SIĘ OBJĘTOŚCI BRYŁY POMNOŻONEJ PRZEZ WSPÓŁRZĘDNĄ ŚRODKA CIĘŻKOŚCI BRYŁY, PROSTOPADŁĄ DO TEJ PŁASZCZYZNY

66 66 METODY WYZNACZANIA ŚRODKA CIĘŻKOŚCI: 1. Metoda analityczna - zastosowanie wzorów (77) 2. Metoda momentów statycznych wg twierdzenia moment statyczny bryły względem płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości jest równy zero (80) 3. Metoda dzielenia podzielona na 3 etapy: a. podział bryły na proste elementy bryłowe, których położenia środków ciężkości są znane, b. obliczenie momentów statycznych bryły względem płaszczyzn przyjętego układu współrzędnych O xyz (suma iloczynów objętości brył prostych i współrzędnych środków ciężkości), c. obliczenie z zależności współrzędnych środka ciężkości bryły (dzieląc momenty statyczne bryły przez całkowitą objętośd bryły) 4. Metoda symetrii wg twierdzenia Jeżeli bryła ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie. Jeśli bryła ma dwie płaszczyzny symetrii to środek ciężkości leży na linii ich przecinania się. Jeśli bryła ma trzy płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży w punkcie przecięcia tych płaszczyzn. 5. Metoda uzupełniania bryłę uzupełnia się inną bryłą tak dobraną, aby uzyskad bryłę o jak najprostszej postaci. Środek ciężkości wyznacza się wtedy metodą momentów statycznych, odejmując od momentu bryły uzupełnionej moment bryły uzupełniającej.

67 Środek ciężkości powierzchni (powłok) Z założenia grubośd powłoki jest pomijalnie mała w stosunku do jej pozostałych wymiarów. Aby określid położenie środka ciężkości należy obrad wycinek ΔA i o ciężarze P i = i ΔA i gdzie: i - ciężar na jednostkę pola powierzchni powłoki *N/m 2 ] 67 Podstawiając P i = i ΔA i do wzorów na położenie punktu C ( ) i przejściu do granicy otrzymuje się: całki są całkami powierzchniowymi rozciągniętymi na całą powierzchnię A. Jeśli ciężar i odniesiony do jednostki pola jest stały to zależności przedstawiają się następująco: gdzie: A- całkowite pole powierzchni powłoki. Położenie środka ciężkości powłoki C zależy tylko od kształtu geometrycznego jej powierzchni punkt ten nazywa się ŚRODKIEM CIĘŻKOŚCI POWIERZCHNI.

68 68 Środek ciężkości figur płaskich Rozpatrujemy płaską płytę, której grubośd jest pomijalnie mała w stosunku do innych wymiarów. Zagadnienie rozpatrujemy jako dwuwymiarowe w układzie O xy. Osie obiera się w płaszczyźnie symetrii figury. Ciężar elementu ΔA i wynosi P i = i ΔA i gdzie: i - ciężar na jednostkę pola powierzchni figury płaskiej *N/m 2 ] po podstawieniu do zależności na położenie środka ciężkości i przejściu do granicy jest: jeśli ciężar odniesiony do jednostki pola jest stały ( i - const.) to: A pole powierzchni figury płaskiej Położenie środka ciężkości w tym przypadku zależy tylko od kształtu geometrycznego figury to punkt C nazywany jest ŚRODKIEM CIĘŻKOŚCI FIGURY PŁASKIEJ.

69 69 Wyrażenia nazywane są MOMENTAMI STATYCZNYMI FIGURY PŁASKIEJ względem osi x i y. Stąd: otrzymujemy, że: Główną metodą obliczania położenia środka ciężkości figury płaskiej jest metoda symetrii. Gdy figura ma oś symetrii to środek ciężkości leży na niej, gdy figura ma dwie osie symetrii to środek ciężkości leży w punkcie przecięcia tych osi.

70 70 Środek ciężkości linii Podobnie jak dla powierzchni, tak i w przypadku wyznaczania środka ciężkości linii, której wymiary poprzeczne są znikomo małe w porównaniu z długością (drut, pręt, lina) korzysta się z podobnych zależności. Ciężar elementu o długości Δl i wynosi P i = q i Δl i (q i ciężar na jednostkę długości N/m) Wzory na współrzędne punktu C otrzymuje się z zależności (81) Całkowanie rozciągnięte jest na całą długośd linii AB. Jeśli ciężar q i jest stały to l całkowita długośd linii AB w m Punkt C określony współrzędnymi (87) nazywany jest ŚRODKIEM CIĘŻKOŚCI LINII

71 71 Środek ciężkości łuku koła w założonych warunkach mamy: w rozpatrywanym przypadku l = 2rα, dl = r d, x = r cos. Podstawiając do powyższego równania mamy: dla półkola α=0,5 współrzędna x c = 2r/

72 72 Środek ciężkości powierzchni trójkąta Wyznaczamy środkowe trójkąta DEF, otrzymujemy że C 1 C = 1/3 C 1 F (ponieważ środkowe trójkąta dzielą się a stosunku 1:2), stąd też środek ciężkości trójkąta (punkt C) znajduje się:

73 73 Środek ciężkości powierzchni wycinka koła Dzielimy powierzchnię wycinka na elementarne równe wycinki. Można je potraktowad jako trójkąty o wysokościach równych r przy nieskooczonej liczbie wycinków elementarnych. Środek ciężkości powierzchni wycinka koła, pokrywa się ze środkiem ciężkości łuku koła A 1 B 1, wyznaczonego przez środki ciężkości elementarnych trójkątów, a promieo tego luku wynosi 2/3r stąd: dla półkola, czyli α = 0,5, środek ciężkości

74 74 Środek ciężkości czaszy kulistej Dowolna czasza o promieniu r, prowadzimy dwie powierzchnie równoległe w odległości od siebie Δh, prostopadłe do osi czaszy. Powierzchnia tak powstałego pierścienia wynosi: Elementarne pole powierzchni pierścienia nie zależy od miejsca przyłożenia oznaczonego kątem, każdy pierścieo o wysokości Δh ma tę sama masę, niezależnie od odległości od środka geometrycznego czaszy. Ostatecznie zależnośd na położenia środka ciężkości czaszy kulistej przybiera postad:

75 75 Środek ciężkości stożka Środek ciężkości leżał będzie na osi obrotu, która jest zarazem osią symetrii, a zatem: po odpowiednim podstawieniu, scałkowaniu otrzymuje się Zależnośd dotyczy także ostrosłupa o dowolnym kształcie podstawy.

76 76 Środek ciężkości wycinka kuli Wycinek dzieli się na ostrosłupy o dowolnym kształcie podstawy i wierzchołku w środku kuli.

77 77 Twierdzenia Pappusa - Guldina Pappus z Aleksandrii (gr. Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς Pappos ho Aleksandreus) żyjący na przełomie III i IV wieku grecki matematyk. Paul Guldin (właśc. Habakkuk Guldin, ur. 12 czerwca 1577 w Sankt Gallen, zm. 3 listopada 1643 w Wiedniu) szwajcarski matematyk i astronom. Najbardziej znany jest ze swego dzieła Συναγωγή (Synagoge, Zbiór), które ukazało się około roku 340. Był to złożony z 8 ksiąg podręcznik starożytnej geometrii. Pappus zawarł w nim również rozważania nad dziełami innych matematyków, których dzieła częściowo zaginęły. Przypisuje mu się sformułowanie tzw. twierdzenia Pappusa, jednego z podstawowych w geometrii rzutowej. Pozwalają na wyznaczenie pola powierzchni i objętości brył obrotowych Twierdzenie 1 Powierzchnia powstała przez obrót linii płaskiej dookoła stałej osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, równa jest iloczynowi długości tej linii i drogi, jaką zakreśli jej środek ciężkości.