Wektor o pocztku i kocu odpowiednio w punktach. Prosta zawierajca punkty p i q: pq Półprosta zaczynajca si w punkcie p i zawierajca punkt q:.
|
|
- Lech Urban
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Temat: Geometria obliczeniowa, cz I. Podstawowe algorytmy geometryczne. Problem sprawdzania przynalenoci punktu do wielokta. Problem otoczki wypukłej algorytmy Grahama, i Jarvisa. 1. Oznaczenia Punkty - małe litery: p, q, r, s itd. Współrzdne punktu p na płaszczynie - (x(p), y(p)) Odcinek o pocztku i kocu odpowiednio w punktach p i q: p - q Wektor o pocztku i kocu odpowiednio w punktach p i q: p q Prosta zawierajca punkty p i q: pq Półprosta zaczynajca si w punkcie p i zawierajca punkt q:.pq 2. Operacje elementarne Operacje arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnoenie, dzielenie, pierwiastkowanie, itp 3. Załoenia i uwagi rozwaane s obiekty geometryczne na płaszczynie w kartezjaskim układzie współrzdnych algorytmy powinny realizowa jak najmniej operacji powodujcych przyblienia 1
2 4. Podstawowe algorytmy geometryczne a) Algorytm sprawdzania, po której stronie prostej ley punkt WP: Trzy punkty: p = (x, y), q = (z, t), r = (u, v) WK: Odpowied na pytanie: Po której stronie prostej pq ley punkt r p p r ϕ q Punkt r ley po lewej stronie prostej pq q ϕ r Punkt r ley po prawej stronie prostej pq q p ϕ r Punkty p, q i r s współliniowe 2
3 Algorytm Obliczamy warto wyznacznika det( p, q, r), którego znak jest równy znakowi sinusa kta nachylenia wektora p r do wektora p q. det (, q, r) p = x z u y t v Jeeli det( p, q, r) > 0 to sin ϕ > 0 i wówczas punkt r ley po lewej stronie prostej pq. Jeeli det( p, q, r) < 0 to sin ϕ < 0 i wówczas punkt r ley po prawej stronie prostej pq. Jeeli det( p, q, r) = 0 to sin ϕ = 0 i wówczas punkty p, q i r s współliniowe. 3
4 b) Algorytm sprawdzania, czy dwa dane punkty le po tej samej stronie prostej WP: Cztery punkty: p = (x, y), q = (z, t), a = (b, c), d = (e, f ) WK: Odpowied na pytanie, czy punkty a i b le po tej samej stronie prostej pq. a p d q Algorytm Przypomnijmy funkcj znaku liczby: 1 gdy x > 0 sgn( x) = 0 gdy x = 0 1 gdy x < 0 Punkty a i d le po tej samej stronie prostej pq wówczas, gdy: sgn det p, q, a = sgn det p, q, d ( ( )) ( ( )) 4
5 c) Algorytm sprawdzania, czy punkt naley do odcinka WP: Trzy punkty: p = (x, y), q = (z, t), r = (u, v) WK: Odpowied na pytanie, czy punkt r naley do odcinka p - q. Y r q p Algorytm 0 X Jeeli punkt r naley do odcinka p-q, to rzuty prostoktne r na osie (OX i OY) "zawieraj si" w rzutach prostoktnych odcinka p-q. Wynika std, e r naley do odcinka p-q wtedy i tylko wtedy gdy: x( p) x( r) x( q) sgn ( det( p, q, r) ) = 0 przy załoeniu, e x p x q ( ) ( ) i y( p) y( r) y( q) sgn ( det( p, q, r) ) = 0 ( p) y( q) y przy załoeniu, e 5
6 d) Algorytm sprawdzania, czy dwa odcinki si przecinaj WP: Cztery punkty: p = (x, y), q = (z, t), a = (b, c), d = (e, f ) wyznaczajce dwa odcinki: p-q i a-d. WK: Odpowied na pytanie, czy odcinki p-q i a-d przecinaj si. a d p a d p q q Algorytm Rozwizanie opiera si na spostrzeeniu, e dwa odcinki przecinaj si wtedy i tylko wtedy, gdy punkty p i q le po przeciwnych stronach prostej ad i punkty a i d le po przeciwnych stronach prostej pq lub który z koców jednego z odcinków naley do drugiego. Czyli: ( sgn ( det ( p, q, d )) sgn ( det ( p, q, a )) sgn ( det ( a, d, p )) sgn ( det ( a, d, q ))) ( sgn( det( p, q, a) ) = 0 ( x( p) x( a) x( q) y( p) y( a) y( q) )) ( sgn( det( p, q, d) ) = 0 ( x( p) x( d) x( q) y( p) y( d) y( q) )) ( sgn( det( a, d, p) ) = 0 ( x( a) x( p) x( d) y( a) y( p) y( d) )) ( sgn( det( a, d, q) ) = 0 ( x( a) x( q) x( d) y( a) y( q) y( d) )) przy załoeniu, e x( p) x( q) i y( p) y( q) w przypadku, gdy punkt a lub d naley do p-q i x( a) x( d ) i y( a) x( d ) w przypadku, gdy punkt p lub q naley do a-d 6
7 5. Problem przynalenoci punktu do wielokta WP: Dany jest cig punktów: w0, w1,..., w n 1 okrelajcy n - wierzchołkowy wielokt W i taki, e dla kadego i = 0,1,..., n 1 odcinek w i w i+ 1 jest bokiem wielokta W (i+1 jest wyliczane modulo n). Dany jest równie punkt p. WK: Odpowied na pytanie, czy punkt p naley do wielokta W. Jeeli punkt p ley na boku wielokta, to stwierdzamy, e naley do wielokta Algorytm rozwizujcy problem przynalenoci opiera si na zalenoci pomidzy liczb przeci dowolnej półprostej o pocztku w punkcie p, a bokami wielokta. p l Punkt p naley do wielokta W wtedy i tylko wtedy, gdy półprosta.pl przecina boki wielokta nieparzyst ilo razy. Zachodz przy tym dwa przypadki szczególne: Półprosta.pl przechodzi przez wierzchołek wielokta. Półprosta.pl zawiera bok wielokta. 7
8 Uwaga!!! Zanim zaczniemy wyznacza liczb punktów przecicia półprostej z bokami wielokta, sprawdzamy, czy punkt p nie zawiera si w którym z boków wielokta. a 11 p a 1 a 3 a 6 a 2 a 4 a 5 a 7 a 8 a 10 l a 9 Prosta pl zawiera bok a 4 a 5 wielokta. Niech a 3 a 4 oraz a 5 a 6 bd bokami ssiadujcymi z bokiem a 4 a 5, a punkty a 3 i a 6 bd ich kocami tych boków. Jeeli punkty a 3 i a 6 le po tej samej stronie prostej pl, to przyjmujemy, e liczba punktów przecicia pl z bokami a 4 a 5, a 3 a 4 i a 5 a 6 wynosi 0. W przeciwnym razie przyjmujemy, e liczba ta wynosi 1. Prosta pl zawiera wierzchołek a 2 wielokta. Niech a 1 a 2 oraz a 2 a 3 bd bokami ssiadujcymi z wierzchołkiem a 2, a punkty a 1 i a 3 bd ich kocami tych boków. Jeeli punkty a 1 i a 3 le po tej samej stronie prostej pl, to przyjmujemy, e liczba punktów przecicia pl z bokami a 1 a 2 i a 2 a 3 wynosi 0. W przeciwnym razie przyjmujemy, e liczba ta wynosi 1. 8
9 Poniewa koszt oblicze zwizanych z kadym bokiem i wierzchołkami n - kta jest stały, złoono sprawdzenia, czy punkt ley w jego wntrzu, jest O(n). 6. Otoczka wypukła Otoczk wypukł dowolnego niepustego zbioru punktów S nazywamy najmniejszy zbiór wypukły zawierajcy S. Mona udowodni, e jeli S jest zbiorem skoczonym, to jego otoczka wypukła jest wieloktem wypukłym o wierzchołkach ze zbioru S (czasami zredukowanym do odcinka lub punktu). WP: Skoczony zbiór punktów S { p, 1 p2,..., p n } =. WK: Cig punktów W : po 1, po2,..., pow taki, e p oi S (dla kadego i = 1, 2,..., w), wyznaczajcy wierzchołki najmniejszego wielokta wypukłego zawierajcego wszystkie punkty z S. Kolejno punktów w cigu W okrela kolejno wierzchołków na obwodzie wielokta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. p o3 = p 9 p o2 = p 6 p o1 = p 2 p o4 = p 1 p 3 p 7 p o7 = p 10 p 5 p o5 = p 8 p o6 = p 4 9
10 a) Algorytm naiwny Algorytm naiwny wyznaczania otoczki wypukłej opiera si na nastpujcym spostrzeeniu (*): Punkt p nie jest punktem otoczki wypukłej zbioru S wtedy i tylko wtedy, gdy ley wewntrz pewnego trójkta o wierzchołkach z S, rónych od p, lub naley do odcinka łczcego dwa punkty z S, róne od p. p o3 = p 9 p o2 = p 6 p o1 = p 2 p o4 = p 1 p 3 p 7 p o7 = p 10 p 5 p o5 = p 8 p o6 = p 4 Punkt p 3 nie naley do otoczki wypukłej poniewa ley wewntrz trójkta p 9 p 1 p 4. Punkt p 5 nie naley do otoczki wypukłej poniewa naley do odcinka p 6 - p 8. 10
11 Algorytm naiwny Krok 1: Sprawdzi, które punkty ze zbioru S nale do otoczki wypukłej stosujc kryterium okrelonym w spostrzeeniu (*). Krok 2: Uporzdkowa znalezione punkty w kolejnoci ich wystpowania na obwodzie otoczki wypukłej. Koszt czasowy algorytmu naiwnego Rozmiar zadania: n = S - liczba punktów zbioru S. Operacja elementarna: - operacja sprawdzania, czy punkt naley do trójkta (odcinka) w Kroku 1, - operacja porównania wykonana w trakcie sortowania w Kroku 2. Koszt czasowy Kroku 1: Dla n punktów trzeba sprawdzi co n najwyej 3 rónych trójktów. Std koszt Kroku 1 jest O(n 4 ). Koszt czasowy Kroku 2: Jeeli zastosujemy optymaln metod sortowania to koszt czasowy Kroku 2 jest O(nlogn). Całkowity koszt czasowy algorytmu naiwnego jest wic rzdu O(n 4 ). Efektywne algorytmy rozwizujce problem otoczki wypukłej, algorytm Grahama i Jarvisa, maj zasadniczo niszy koszt. 11
12 Sortowanie zbioru punktów w celu wyznaczenia kolejnoci punktów otoczki po obwodzie wielokta WP: Zbiór P { p p,..., } = 1, 2 p n - punktów bdcych wierzchołkami wielokta wypukłego W. WK: Posortowany cig punktów zbioru P według niemalejcej wartoci kta nachylenia ich wektorów wodzcych do osi OX. p3 p 6 p 2 p 1 O X p 5 p 4 12
13 Algorytm 1. Wyznaczamy centroid wielokta W. Jest to punkt o współrzdnych: ( x( p ) + x( p ) + + x( p )) ( y( p ) + y( p ) + y( p )) n , n n Bez straty ogólnoci moemy przyj, e rodek układu współrzdnych znajduje si w centroidzie wielokta W. 2. W celu porównania któw nachylenia wektorów wodzcych sortowanych punktów do osi OX obliczamy wartoci nastpujcej funkcji alfa, okrelonej dla wszystkich punktów płaszczyzny rónych od punktu O. n y( p), d( p) y( p) 2 -, d( p) alfa( p) = y( 2 + d( p) y( 4 - d( p) gdzie d ( p) = x( p) + y( p).,, gdy gdy gdy gdy x x x ( p) > 0 y( p) ( p) 0 y( p) x ( p) < 0 y( p) ( p) 0 y( p) 0 > 0 0 < 0 Mona udowodni, e kt nachylenia wektora wodzcego punktu p i jest mniejszy równy od kta nachylenia wektora wodzcego punktu p j wtedy i tylko wtedy, gdy: ( p ) alfa( ) alfa i p j. Funkcja alfa umoliwia wyznaczenie kolejnoci wierzchołków na obwodzie wielokta wypukłego w czasie O(nlogn). 13
14 b) Algorytm Grahama Algorytm Grahama opiera si na nastpujcym spostrzeeniu (**): Kady punkt nie bdcy wierzchołkiem otoczki wypukłej musi nalee do wntrza trójkta o wierzchołkach: O i pewne dwa kolejne wierzchołki otoczki (lub ley na jednym z boków takiego trójkta). p 3 p 2 p 6 p 1 O p 4 X s=p 5 p 7 Punkt p 6 nie naley do otoczki poniewa ley we wntrzu trójkta O p 1 p 3. Punkt p 4 nie naley do otoczki poniewa punkt ten ley na boku trójkta O p 7 p 1. 14
15 Algorytm Krok 1: Wybieramy dowolny punkt O lecy wewntrz otoczki wypukłej, na przykład centroid. Umieszczamy w nim rodek układu współrzdnych i obliczamy współrzdne punktów wejciowych w nowym układzie współrzdnych. Krok 2: Porzdkujemy punkty p 1, p 2,..., p n leksykograficznie wzgldem współrzdnych biegunowych ( α i, r i ), gdzie α i jest ktem nachylenia wektora wodzcego O pi do osi OX, a r i jego długoci. (Aby nie liczy pierwiastków, w sortowaniu 2 porównujemy alfa ( p i ) zamiast α i oraz ri zamiast r i ). Z uporzdkowanych punktów tworzymy dwukierunkow list cykliczn, w której dla kadego punktu p, p->next jest nastpnym (cyklicznie) punktem w wyej zdefiniowanym porzdku, a p->prev poprzednim. Sporód punktów o najmniejszej współrzdnej y ustalamy punkt s z najmniejsz współrzdn x. 15
16 Krok 3: Przegldamy punkty na licie, usuwajc te, które nie s wierzchołkami otoczki wypukłej. Po zakoczeniu działania algorytmu lista bdzie zawierała tylko wierzchołki otoczki wypukłej w kolejnoci ich wystpowania na obwodzie. List przegldamy, zaczynajc od punktu s i kierujc si w stron przeciwn do ruchu wskazówek zegara ( zgodnie ze wskanikiem next). W celu wyeliminowania zbdnych punktów zawsze sprawdzamy trzy kolejne punkty q, q 1 2 i q 3 z biecej listy. Jeli punkt q2 ley wewntrz trójkta Oq q 1 3 to usuwamy go z otoczki i przechodzimy do sprawdzania punktów q, q, q W przeciwnym razie kolejn badan trójk punktów s q 2, q3, q4. Przegldanie koczymy z chwil osignicia wierzchołka startowego s. Algorytm realizujcy Krok 3 mona zapisa nastpujco: q=s; while (q->next!= s) if q->next ley wewntrz trójkta O q q->next->next { q->next=q->next->next; q->next->prev=q; if (q!= s) q=q->prev; } else q=q->next; 16
17 q 3 q 4 q 2 q 1 q 5 = s O q 6 q 7 X Koszt czasowy algorytmu Grahama Na złoono algorytmu Grahama decydujcy wpływ ma Krok 2. Kroki 1 i 2 wykonywane s w czasie liniowym. Krok 2 mona zrealizowany w czasie O(nlogn), stosujc efektywn metod sortowania (np. sortowanie przez scalanie, sortowanie przez połówkowe wstawianie czy sortowanie szybkie). Łatwo zauway, e zamiast sprawdza, czy punkt q->next ley wewntrz trójkta O q q->next->next mona testowa, czy q->next ley po lewej stronie (lub naley do) wektora q next > next. Złoono algorytmu Grahama nie zaley od liczby punktów otoczki wypukłej. Nastpny algorytm rozwizujcy problem otoczki, algorytm Jarvisa, ma złoono O(kn), gdzie k jest liczb punktów otoczki wypukłej w danym n elementowym zbiorze punktów. 17
18 c) Algorytm Jarvisa Algorytm Jarvisa oparty jest na dwóch spostrzeeniach: 1) Odcinek p-q o kocach ze zbioru S jest bokiem otoczki wypukłej wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie punkty z S nale do tej samej domknitej półpłaszczyzny wyznaczonej przez prost pq, a kady punkt S lecy na tej prostej naley do odcinka p-q. 2) Jeli odcinek p-q jest bokiem otoczki wypukłej, która nie jest zdegenerowana do odcinka lub punktu, to musi istnie bok róny od p-q, zaczynajcy si w q (analogiczny warunek jest te spełniony dla punktu p). p 9 =p p 6 =q p 2 =q p 1 p 3 p 7 = p p 10 p 5 p 8 p 4 18
19 Algorytm Krok 1: Ustalamy punkt d, który ma najmniejsz współrzdn x sporód wszystkich punktów z najmniejsz współrzdn y. Ustalamy punkt g, który ma najwiksz współrzdn x sporód wszystkich punktów z najwiksz współrzdn y. Obydwa punkty d i g s wierzchołkami otoczki wypukłej. Krok 2: p=d; while (p!= g) { umieszczamy rodek układu współrzdnych w punkcie p ; r = punkt o najwikszej odległoci od p, wród wszystkich punktów o najmniejszym kcie nachylenia wektora wodzcego do osi px ; // wszystkie punkty z S le w jednej półpłaszczynie // wyznaczonej przez prost pr. Odcinek p-r jest // kolejnym bokiem otoczki wypukłej p->next=r; r->prev=p; p=r; } Krok 3: Powtarzamy Krok 2, przyjmujc, e za punkt startowy g, a punkt kocowy d. Rozwamy tylko punkty o ktach nachylenia promieni wodzcych wikszych równych
20 g p=d r Złoono czasowa algorytmu Jarvisa Kada iteracja w Krokach 2 i 3 jest wykonywana w czasie O(n). Poniewa liczba iteracji jest równa liczbie wierzchołków otoczki, to koszt całkowity algorytmu Jarvisa wynosi O(kn). Algorytm ten jest szczególnie przydatny wtedy, gdy wiemy, e liczba punktów otoczki wypukłej jest niewielka w porównaniu z rozmiarem zbioru S (tj. ograniczona przez stał niezalen od n). 20
Temat: Geometria obliczeniowa cz II. Para najmniej odległych punktów. Sprawdzenie, czy istnieje para przecinajcych si odcinków.
Temat: Geometria obliczeniowa cz II. Para najmniej odległych punktów. Sprawdzenie, czy istnieje para przecinajcych si odcinków. 1. Para najmniej odległych punktów WP: Dany jest n - elementowy zbiór punktów
Bardziej szczegółowo1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Bardziej szczegółowoTemat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury.
Temat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury. Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje si w danej chwili
Bardziej szczegółowoTemat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.
Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.. Oznaczenia i załoenia Oznaczenia G = - graf skierowany z funkcj wagi s wierzchołek ródłowy t wierzchołek
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytmy zachłanne
Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje si w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymaln moliwo w nadziei, e doprowadzi
Bardziej szczegółowoTemat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.
Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartoci funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdajcy
Bardziej szczegółowoTemat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne.
Temat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne. 1. Definicja problemu Wejcie: Graf spójny niezorientowany G =
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla
Bardziej szczegółowoSkojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych.
206 Skojarzenia Najliczniejsze skojarzenia: grafy proste dwudzielne, dowolne grafy proste. Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 207 Definicje Def Zbiór
Bardziej szczegółowoI Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 10 kwietnia 2013 grupa elektryczno-elektroniczna
I Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 10 kwietnia 2013 grupa elektryczno-elektroniczna (imi i nazwisko uczestnika) (nazwa szkoły) Arkusz zawiera 6 zada. Zadania
Bardziej szczegółowoPodstawowe obiekty AutoCAD-a
LINIA Podstawowe obiekty AutoCAD-a Zad1: Narysowa lini o pocztku w punkcie o współrzdnych (100, 50) i kocu w punkcie (200, 150) 1. Wybierz polecenie rysowania linii, np. poprzez kilknicie ikony. W wierszu
Bardziej szczegółowoTemat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika.
Temat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika. 1. Pojcie struktury danych Nieformalnie Struktura danych (ang. data
Bardziej szczegółowo9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwizania zadania Przeksztacenie wzoru funkcji do danej postaci f ( x) lub f ( x) x x. I sposób rozwizania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE ARKUSZA
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH POPRAWNA ODPOWIED 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D
KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIED D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) MODEL OCENIANIA ZADAN OTWARTYCH Uzasadnij, e punkty
Bardziej szczegółowoMATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl Materiał wiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia diagnozy. Materiał wiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie naley powiela ani udostpnia
Bardziej szczegółowoMATERIA&!'WICZENIOWY Z MATEMATYKI
Materia!"wiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz#cia diagnozy. Materia! "wiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materia u nie nale$y powiela" ani udost#pnia" w $adnej innej
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomoci i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojcia wartoci argumentu i wartoci funkcji.
Bardziej szczegółowoMATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl Materiał wiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia diagnozy. Materiał wiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie naley powiela ani udostpnia
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej:
Temat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. 1. Algorytmy aproksymacyjne Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej: Zastosowa technik algorytmów
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH
%!%*+,-.*+,/ 0103 6'7 PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH zadanie odpowied punkty 1 A D 3 D 4 E 5 C 6 A 7 A 8 B 9 6 10 zadania 6 11 otwarte 6 1 maksymalna moliwa łczna liczba punktów 6 40 strona 1
Bardziej szczegółowoProblem decyzyjny naley do klasy NP. (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM.
WYKŁAD : Teoria NP-zupełnoci. Problem decyzyjny naley do klasy P (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM. (przynaleno ta jest zachowana równie dla
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y
Nr zadania Nr czynnoci Przykadowy zestaw zada nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Etapy rozwizania zadania. Podanie dziedziny funkcji f: 6, 8.. Podanie wszystkich
Bardziej szczegółowoAby załoy nowy projekt wybieramy klikamy na napisie, nastpnie wybieramy Opcje Nowy projekt. Podajemy nazw projektu i zatwierdzamy klawiszem OK.
Po uruchomieniu programu na ekranie pokazuje si logo programu. W przypadku wersji komercyjnej naley program zarejestrowa. Wybieramy z menu Plik Informacje i klikamy na zarejestruj. Jeeli nie posiadamy
Bardziej szczegółowo.! $ Stos jest list z trzema operacjami: dodawanie elementów na wierzch stosu, zdejmowanie elementu z wierzchu stosu, sprawdzanie czy stos jest pusty.
!"! " #$%& '()#$$ &%$! #$ %$ &%$& &$&! %&'" )$$! *$$&%$! +,- +-.! $ Celem wiczenia jest zapoznanie studenta ze strukturami: lista, stos, drzewo oraz ich implementacja w jzyku ANSI C. Zrozumienie działania
Bardziej szczegółowoIV Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 1 kwietnia 2016
IV Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 1 kwietnia 2016 (imi i nazwisko uczestnika) (nazwa szkoły) Arkusz zawiera 8 zada. Zadania 1 i 2 bd oceniane dla kadego uczestnika,
Bardziej szczegółowoMAJ Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: pobrano z Miejsce na naklejk z kodem KOD. liczby. punktów. pióra z czarnym tuszem
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia egzaminu. Ukad graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJCY KOD PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY.
Bardziej szczegółowoPlanowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa.
Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Wstp Przy podejciu do planowania adresacji IP moemy spotka si z 2 głównymi przypadkami: planowanie za pomoc adresów sieci prywatnej przypadek, w którym jeeli
Bardziej szczegółowo! "#$ %!! "#$ &'!%( )"& $)#(&!%)" %!%*+,-.*+,/ ,5#'*+,/'%
Miejsce na naklejk z kodem ucznia! "#$ %!! "#$ &'!%( )"& $)#(&!%)" %!%*+,-.*+,/ 0102 4,5#'*+,/'% 1. Przed Tob zestaw 12 zada konkursowych, karta odpowiedzi dla zada zamknitych oraz kartki do zapisania
Bardziej szczegółowoRozwizania zada otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zada zamknitych i schemat oceniania zada otwartych
Klucz odpowiedzi do zada zamknitych i schemat oceniania zada otwartych Klucz odpowiedzi do zada zamknitych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Schemat oceniania zada otwartych
Bardziej szczegółowoMATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI
Materiał wiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia diagnozy. Materiał wiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie naley powiela ani udostpnia w adnej innej formie
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoPoprawa efektywnoci metody wstecznej propagacji bdu. Jacek Bartman
Poprawa efektywnoci metody wstecznej propagac bdu Algorytm wstecznej propagac bdu. Wygeneruj losowo wektory wag. 2. Podaj wybrany wzorzec na wejcie sieci. 3. Wyznacz odpowiedzi wszystkich neuronów wyjciowych
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoW wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.
W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb
Bardziej szczegółowoStrategia "dziel i zwyciężaj"
Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoZADANIA EGZAMINACYJNE Z MATEMATYKI dla kandydatów na studia w Politechnice Lubelskiej na kierunku: INYNIERIA RODOWISKA
ZADANIA EGZAMINACYJNE Z MATEMATYKI dla kandydatów na studia w Politechnice Lubelskiej na kierunku: INYNIERIA RODOWISKA Promie kuli zwikszono -krotnie Ile razy zwikszyła si jej objto Znale długo przektnych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do algorytmów. START
1 / 15 ALGORYMIKA 2 / 15 ALGORYMIKA Wprowadzenie do algorytmów. SAR 1. Podstawowe okrelenia. Algorytmika dział informatyki, zajmujcy si rónymi aspektami tworzenia i analizowania algorytmów. we: a,b,c delta:=b
Bardziej szczegółowoWstp. Warto przepływu to
177 Maksymalny przepływ Załoenia: sie przepływow (np. przepływ cieczy, prdu, danych w sieci itp.) bdziemy modelowa za pomoc grafów skierowanych łuki grafu odpowiadaj kanałom wierzchołki to miejsca połcze
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Wpisuje zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO Miejsce na nalepk z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Arkusz II Instrukcja dla zdajcego Czas pracy 150 minut 1. Prosz sprawdzi, czy
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoRysunek przedstawia wykres funkcji y f x. Wska rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y f x 1. A. B. Zadanie 3.
VII ZIÓR PRZYKAOWYH ZAA MATURALNYH ZAANIA ZAMKNITE Zadanie ( pkt) Liczba 0 90 9 jest równa 0 00 0 9 7 700 Zadanie ( pkt) Liczba 8 9 jest równa 9 Zadanie ( pkt) Liczba log jest równa log log 0 log 6 log
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja dla
Bardziej szczegółowoBazy danych. Plan wykładu. Dekompozycja relacji. Anomalie. Wykład 5: Projektowanie relacyjnych schematów baz danych. SQL - funkcje grupujce
Plan wykładu Bazy danych Wykład 5: Projektowanie relacyjnych schematów baz danych. SQL - funkcje grupujce Małgorzata Krtowska Katedra Oprogramowania e-mail: mmac@ii.pb.bialystok.pl Proces dobrego projektowania
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoRys1 Rys 2 1. metoda analityczna. Rys 3 Oznaczamy prdy i spadki napi jak na powyszym rysunku. Moemy zapisa: (dla wzłów A i B)
Zadanie Obliczy warto prdu I oraz napicie U na rezystancji nieliniowej R(I), której charakterystyka napiciowo-prdowa jest wyraona wzorem a) U=0.5I. Dane: E=0V R =Ω R =Ω Rys Rys. metoda analityczna Rys
Bardziej szczegółowoProjektowanie algorytmów rekurencyjnych
C9 Projektowanie algorytmów rekurencyjnych wiczenie 1. Przeanalizowa działanie poniszego algorytmu dla parametru wejciowego n = 4 (rysunek 9.1): n i i
Bardziej szczegółowo6. Technika zamiatania (na płaszczyźnie)
6. Technika zamiatania (na płaszczyźnie) miotła Idea algorytmu zamiatania prostą polega na przesuwaniu pionowej prostej miotły po płaszczyźnie z lewa na prawo (z góry na dół). Podczas zamiatania utrzymywane
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA
pobrano z wwwsqlmediapl entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 pobrano z wwwsqlmediapl Zadanie (0 ) Obszar standardów Opis wymaga pojcia
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A Zadanie 14 15 16 17 18
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku
WYKŁ 3 WYPŁNINI OSZRÓW. Wypełnianie wieloboku Zasada parzystości: Prosta, która nie przechodzi przez wierzchołek przecina wielobok parzystą ilość razy. Plan wykładu: Wypełnianie wieloboku Wypełnianie konturu
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny
Bardziej szczegółowoZastosowanie programu Microsoft Excel do analizy wyników nauczania
Grayna Napieralska Zastosowanie programu Microsoft Excel do analizy wyników nauczania Koniecznym i bardzo wanym elementem pracy dydaktycznej nauczyciela jest badanie wyników nauczania. Prawidłow analiz
Bardziej szczegółowo6.2. Baza i wymiar. V nazywamy baz-
62 Baza i wymiar V nazywamy baz- Definicja 66 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F Podzbiór B przestrzeni V, je2eli: () B jest liniowo niezale2ny, (2) B jest generuj,cy, tzn lin(b) =V Przyk/ady:
Bardziej szczegółowoProgramowanie i struktury danych 1 / 44
Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoW definicji powyszej funkcji załoylimy, e 1 m 1 oraz x0 < xk.
Wykład 2 Podstawowe algorytmy rysowania prymitywów 2D w grafice rastrowej Pakiet grafiki rastrowej aproksymuje prymitywy matematyczne (idealne), opisane przez wierzchołki siatki kartezjaskiej, za pomoc
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowo= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
ZADANIE 1 (5 PKT) Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkata jeżeli środki jego boków maja współrzędne: P = (1, 3), Q = ( 5, 4), R = ( 6, 7). ZADANIE 2 (5 PKT) Dla jakich wartości parametru α odległość
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoGramatyki regularne i automaty skoczone
Gramatyki regularne i automaty skoczone Alfabet, jzyk, gramatyka - podstawowe pojcia Co to jest gramatyka regularna, co to jest automat skoczony? Gramatyka regularna Gramatyka bezkontekstowa Translacja
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytmy aproksymacyjne dla wybranych NP-trudnych problemów grafowych
Temat: Algorytmy aproksymacyjne dla wybranych NP-trudnych problemów grafowych 1. Problem komiwojaera Wejcie: Graf G = pełny, zorientowany z dodatnimi wagami; w - funkcja wag grafu Wyjcie: Najtaszy
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoBazy danych. Plan wykładu. Metody organizacji pliku rekordów. Pojcie indeksu. Wykład 11: Indeksy. Pojcie indeksu - rodzaje indeksów
Plan wykładu Bazy Wykład 11: Indeksy Pojcie indeksu - rodzaje indeksów Metody implementacji indeksów struktury statyczne struktury dynamiczne Małgorzata Krtowska Katedra Oprogramowania e-mail: mmac@ii.pb.bialystok.pl
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowooraz spełnia warunki: (*) dla wszystkich wierzchołków
Temat: Problem najtaszego przepływu. Definicja problemu, przykład zastosowania. Algorytm Kleina. Algorytm Busackera Gowena. 1. Definicja problemu najtaszego przepływu Wejcie: Graf zorientowany G =
Bardziej szczegółowoKlasa 2 zakres rozszerzony. 1. Podstawowe własnoci figur geometrycznych na płaszczynie
Klasa 2 zakres rozszerzony Ocen dopuszczajc otrzymuje ucze, który opanował 40% - 60% wymaga podstawowych. Ocen dostateczn otrzymuje ucze, który opanował powyej 60% wymaga podstawowych. Ocen dobr otrzymuje
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoListy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szkoy dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdajcego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
240 Kolorowanie wierzchołków Def. Niech G bdzie grafem prostym. Przez kolorowanie wierzchołków rozumiemy takie etykietowanie elementów V(G) liczbami naturalnymi, e ssiednie wierzchołki otrzymuj róne liczby
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa poziom podstawowy
Funkcja liniowa poziom podstawowy Zadanie. (6 pkt) Źródło: CKE 005 (PP), zad. 6. Dane s zbiory liczb rzeczywistych: A x: x B x: x 8x x 6x Zapisz w postaci przedziaów liczbowych zbiory A, B, A B oraz B
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
UZUPEŁNIA ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 minut LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoSTANDARDY WYMAGA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ POZIOM PODSTAWOWY DZIAŁY: ZBIORY, ZBIORY LICZBOWE, DZIAŁANIA W ZBIORACH LICZBOWYCH
STANDARDY WYMAGA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ POZIOM PODSTAWOWY DZIAŁY: ZBIORY, ZBIORY LICZBOWE, DZIAŁANIA W ZBIORACH LICZBOWYCH Podaje przykłady zbiorów i podzbiorów Zna pojcie zbioru pustego, zbiorów
Bardziej szczegółowoArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
Ukad graficzny CKE 2013 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia egzaminu. WPISUJE ZDAJCY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowozajęcia 1. Bartosz Górski, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński
zajęcia 1. Bartosz Górski, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński Geometria dla informatyka wyłacznie obliczenia wszystko oparte na liczbach, współrzędnych, miarach programista i/lub użytkownik musi przełożyć
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo