Podstawy mechaniki teoretycznej

Transkrypt

1 Sławomr Brzezows Insyu Fzy UJ Posawy mechan eoreyczne WSTĘP W raycynym wyłaze fzy unwersyece mechana lasyczna es la suenów erwszą oazą o zaoszowana czyse fzy eoreyczne Prawa fzy rzązące zawsam mechancznym są oreślone w zuełnośc rzez zasay ynam Newona oznaemy e uŝ w gmnazum Po rzyęcu ych raw o waomośc onsruuemy mechanę eoreyczną ne owołuąc sę uŝ o Ŝanych ośwaczeń w ym sense Ŝe ne zaaemy Przyroze Ŝanych nowych yań eserymenalnych MoŜna węc syać: w am celu buuemy cały formalzm órego rezenac ośwęcone bęze o oracowane? Ooweź es w zasaze banalna: czynmy a la wygoy Po rosu oazue sę Ŝe rawa mechan lasyczne uęe (w sosób całowce wyczeruący!) w osac rzech szolnych zasa ynam są w węszośc rzyaów newygone w uŝycu Jao rzyła rozwaŝmy uła rzesawony na rysunu Równa moŝe swobone (bez arca) sunąć o sole w łaszczyźne rysunu a walec na óry nawnęa es nć oczy sę o równ bez oorów bez oślzgu Gy walec oczy sę w ół nawa na sebe nć równa rzesuwa sę w lewo a sręŝyna es nacągana Dośwaczene łynące z obcowana z rzemoam ozwala nam zalewe wyobrazć sobe Ŝe osany uła bęze wyonywał oresowe wahana Jeseśmy co rawa całowce śwaom ego Ŝe ruch ułau bęze moŝna enoznaczne rzewzeć na osawe szolnych zasa ynam Newona nemne rayczna realzaca aego zaana wyae sę na erwszy rzu oa zaanem runym nawe wey gy obrze rozumemy e zasay Aara rachunowy mechan eoreyczne óry u zreferuemy ozwala ena a sę rzeonamy srowazć o rzyłaowe zaane o banalnego roblemu enowymarowego oscylaora harmoncznego óry uŝ oraf rozwązać śreno uzolnony maurzysa Prowaząc rzez wele la ćwczena z mechan lasyczne zobyłem ewne ośwaczene ozwalaące m wsazać zaganena órych zrozumene srawa suenom szczególną runość a aŝe osrzec ewne ruynowe meoyczne user owarzaące sę w neórych oręcznach mechan Dośwaczenem ym erowałem sę sząc o oracowane w órym sarałem sę w sosób moŝlwe rzysęny zarezenować sam rzon mechan lasyczne Załaam Ŝe Czyeln osaa wezę w zarese raycynego szolnego wyłau mechan Newona

2 I ZASADY DYNAMIKI NEWTONA Nnesza oracowane rzeznaczone es la suenów órym rzy zasay ynam w ch lasycznym sformułowanu są znane Nemne zachęcam o rzeczyana ego rozzału Przyomnmy sobe oęce ułau onesena Do naszych celów nazuełne wysarczy raycyne wynesone ze szoły wyobraŝene ułau onesena ao rzech rosych osaeczne cench lsew z nanesoną ozałą lczbową ołączonych w enym unce o ąam rosym Obey ae ozwalaą w znany sosób na oczyywane wsółrzęnych weorów wozących ślezących obey unowe Rzu oa na oaczaący nas śwa rzeonue nas Ŝe moŝna wybrać nesończene wele róŝnych ułaów onesena z órych aŝy ozwol na rzysane oblsch nam obeom unowym oowench weorów wozących Na raze wszyse moŝlwe o wyobraŝena ułay onesena wyaą sę być równowaŝne ale na erwszy rzu oa wać Ŝe os a n e g o obeu fzycznego bęze zaleŝał o ułau onesena z órego es rowazony Ja oą rozwaŝylśmy ylo een arybu obeu unowego: weor wozący ego ołoŝena Oznaczmy go symbolem r r Weor wozący anego obeu unowego zaleŝy oczywśce o wyboru ułau onesena z órego obe obserwuemy Prosy szc ozwala zorenować sę Ŝe męzy weoram wozącym r r r r' obeu unowego P orowazonym ooweno z wóch róŝnych ułaów onesena Σ Σ' oraz weorem wozącym r R ocząu ułau Σ' osanego z ułau Σ zachoz zwąze r r R + r' Zwąze en ozosae w oerwanu o erunów os ułaów onesena: na raze zaangaŝowalśmy ylo oczą ych ułaów RóŜnczuąc en zwąze obusronne wzglęem czasu orzymuemy relacę mezy weoram ręośc obeu P wzglęem obywu ułaów onesena r r r v V + v' gze r V nech oznacza ręość ocząu ułau Σ' wzglęem ułau Σ a symbole r v r v' osuą - ooweno - ręośc unowego obeu wzglęem ułau Σ Σ' Ten banalny zwąze w sosób coolwe neoczewany sae sę źrółem łooów eŝel ouścmy o ego aby ułay Σ Σ' obracały sę wzglęem sebe ZałóŜmy na rzyła Ŝe ocząe ułau Σ' ne orusza sę wzglęem ułau Σ (co es moŝlwe rzy Uła onesena órego coolwe onrene wyobraŝene ua wrowazlśmy ozwala na ozór sęgnąć weorem wozącym o owolnego unu w rzesrzen oczyać ego wsółrzęne; a nam sę wyae na osawe naszych cozennych ośwaczeń ZauwaŜmy ena Ŝe za am swerzenem rye sę załoŝene Ŝe nasz rówymarowy śwa es łas RozwaŜmy na rzyła ne-łas śwa wuwymarowy (chocaŝby owerzchnę ul) sróbumy w ym śwece zbuować z lsew moel wuwymarowego ułau onesena O razu zaczynaą sę ęrzyć runośc bo albo nasze rose lswy wysaą oza śwa óry maą sarameryzować albo (eŝel są łuam ół welch) narafamy na runośc z oreślenem sosobu oczyywana wsółrzęnych oobnego o ego aego uŝywamy w śwece łasm ZauwaŜmy Ŝe osane runośc saą sę nesone eŝel wybrany uła onesena słuŝy ylo o osu bezośrenego ooczena unu w órym ołączono lswy Dzś wemy uŝ Ŝe rzesrzeń w óre Ŝyemy es neco zarzywona ale efey z ym zwązane są a małe Ŝe ne maą znaczena rzy rozwązywanu lasycznych zaganeń mechancznych Ten rzys oawł sę węc o o aby uzasanć sformułowane o unach blsch ocząu ułau onesena

3 wzaemnym obracanu sę ułaów: z unu wzena ułau Σ uła Σ' wrue wey r woół swego neruchomego ocząu) Oznacza o Ŝe V Z omawanego wzoru na słaane ręośc melbyśmy w ym rzyau v r v' r ZałóŜmy ale la uroszczena Ŝe r v czyl Ŝe obe P soczywa wzglęem ułau Σ Wynaący z ego rozumowana wnose v' r es ena zuełne ne o rzyęca: obserwaor z ułau Σ' (wruący wraz z nm) ne zgoz sę z werzenem Ŝe ręość unu P obserwowana z ułau Σ' wynos zero Chwla namysłu wysarcza by zrozumeć Ŝe rzyczyną la óre szolny wzór na słaane ręośc r r r v V + v' srawa łooy es o Ŝ ouśclśmy o wzaemnego obracana sę obywu ułaów W e syuac uznalbyśmy za orzysne gyby Przyroa w aś sosób sama wyreowała lasę ne obracaących sę (a węc eŝ ne obracaących sę wzglęem sebe) ułaów onesena ZauwaŜmy Ŝe nasze wymagane es barzo aleo ące O ocząu nasze euac (rawe o ocząu) waano nam Ŝe ruch es oęcem wzglęnym Ŝe w rzyau wóch oruszaących sę wzglęem sebe ułaów onesena (wlczaąc w o wzaemne wrowane ułaów) ne moŝna arbralne uznać óry z ułaów es neruchomy a óry sę orusza Teraz owemy sę Ŝe ena rochę moŝna Oazue sę Ŝe obracane sę ułau es w ewnym sense bezwzglęne Ŝe swerzene en uła ne obraca sę a nny sę obraca ma sens obeywny MoŜlwośc oróŝnena ułaów obracaących sę o ych wyróŝnonych ne obracaących sę osarczaą orye rzez Newona rawa ynam a ołane erwsze wa z ych raw óre moŝna uąć w eno swerzene: Isnee wyróŝnona lasa ne obracaących sę wzglęem sebe ułaów onesena ozosaących wzglęem sebe w soczynu lub oruszaących sę wzglęem sebe ruchem enosanym wzglęem órych rawzwe es nasęuące zane: ochona ęu unu maeralnego o czase równa es nezrównowaŝone sle załaące na en un Ten wyróŝnony zbór ułaów nazwano lasą nercalnych ułaów onesena Ułaów ych es oczywśce nesończene wele II WIĘZY I WSPÓŁRZĘDNE UOGÓLNIONE RozwaŜamy ruch unu maeralnego oanego załanu znanego ola sł JeŜel en ruch moŝe obywać sę bez Ŝanych ogranczeń w rzesrzen rówymarowe o mówmy o ruchu bez węzów MoŜe sę ena oazać Ŝe rzesrzeń w óre un maeralny moŝe sę oruszać es ogranczona w a sosób Ŝe ne wszyse uny e rzesrzen są osęne w owolne chwl: na wsółrzęne yz unu maeralnego moŝe być na rzyła narzucony warune f ( y z) Warune a równowaŝny byłby zaanu w rzesrzen rówymarowe ewne owerzchn (wsółrzęne unów leŝących na e owerzchn ownny sełnać równane f ) Na rzyła równane + y + z r wyznacza sferę o romenu r śrou leŝącym w ocząu ułau onesena ZauwaŜmy Ŝe wrowazene enego równana zawęŝa rzesrzeń osęną la cząs o een wymar (owerzchna sfery es wuwymarowa) Za wyąem rzyaów szczególnych óre nŝe rozwaŝymy aŝe olene równane zabera een wymar: ruge równane (n z b gze b es sałą sełnaącą warune b < r ) zabera oleny wymar: cząsce 3

4 ozosae uŝ ylo śwa enowymarowy (w naszym rzyłaze byłby o orąg leŝący na sferze w mescu oowenego równoleŝna ) Narzucene olenego równana na ogół zabrałoby osan wymar: cząsa zosałaby zabloowana w unce w órym rzecnałyby sę rzy zaane owerzchne (o warunem Ŝe a un snałby) Tu wać rzyczynę la óre la werszy wyŝe oczynlśmy zasrzeŝene: osany obraz oowaa syuac ey olene zaawane owerzchne węzów (bo a e nazwemy) rzecnaą sę o znaczy ey uła równań f ( y z) f ( y z) ne es ułaem srzecznym Dla ułaów fzycznych złoŝonych z węsze lczby unów maeralnych (nech n oznacza ch lczbę) ooweno rośne lczba wsółrzęnych rośne eŝ lczba sosobów ogranczana osęne 3n wymarowe rzesrzen wsółrzęnych KaŜe równane f ( y z y z n yn zn ) narzucone na wsółrzęne z n nazwemy równanem węzów Na rzyła oreślone la wóch unów równane ( ) + ( y y ) + ( z z ) r ne oznacza uŝ zaana szywnych owerzchn w rzesrzen rówymarowe ylo wymusza sałą wzaemną oległość ych wóch unów Oowaałoby o ołączenu ych unów newaŝm szywnym ręem o ługośc r Poane u rzyłay równań węzów mały ena wsólną cechę: wśró argumenów func f ne było czasu Węzy o e własnośc nazwano węzam sleronomcznym JeŜel chocaŝ ena funca f zaleŝy awne o czasu o mówmy Ŝe zaalśmy węzy reonomczne Przyłay: + + es równanem węzów reonomcznych la enego unu maeralnego oruszaącego sę o owerzchn ul óre romeń zaleŝy o czasu w sosób osany zaaną funcą r nezaleŝny o ruchu unu maeralnego Para równań Równane y z [ r ] +y gϑ cosω y snω z z órych erwsze es równanem soŝa o os symer równoległe o os z ace werzchołowym równym ϑ a ruge es równanem łaszczyzny zaweraące oś z wruące woół e os ze sałą ręoścą ąową ω efnue węzy reonomczne la oeynczego unu maeralnego MoŜe on sę u oruszać o rose rzechozące rzez ocząe ułau onesena nachylone o os z o sałym ąem ϑ wruące woół os z ze sałą (narzuconą!) ręoścą ąową ω 3 RozwaŜone uŝ wcześne równane ( ) + ( y y ) + ( z z ) r efnue ewne węzy sleronomczne la ary unów maeralnych (sona es neobecność arameru w równanu węzów) Ta węc węzy sleronomczne ne muszą oznaczać neruchomych owerzchn w rzesrzen ale eŝ sała owerzchna 4

5 moŝe być elemenem ułau węzów reonomcznych (a soŝe w orzenm rzyłaze) Szczególnym rzyłaem obecnośc węzów w ułaze mechancznym es rzyae bryły szywne JeŜel la wszysch (lub ylo la częśc) unów maeralnych wchozących w sła ułau mechancznego oreślono ae węzy Ŝe wzaemne oległośc ych unów ne mogą sę zmenać o es o równowaŝne swerzenu Ŝe e uny sanową bryłę szywną Realna bryła szywna wchoząca w sła urzązena mechancznego ownna być oczywśce raowana ao słaaąca sę z nesończene welu unów maeralnych Poęce węzów wrowazlśmy o naszego wyłau w sosób formalny Waro ena uśwaomć sobe Ŝe owolna maszynera óre ruch moŝe być wyznaczony rzez rawa mechan zawera na ogół węzy Walec oczący sę bez oślzgu orócz węzów saaących oszczególne ego uny w eną bryłę szywną ogranczony es węzam unemoŝlwaącym oślzg: aŝemu rzesunęcu walca mus owarzyszyć oowen obró Ja uŝ mówlśmy równana węzów zmneszaą lczbę nezaleŝnych wsółrzęnych n unów maeralnych sanowących uła mechanczny KaŜe olene równane zabera eną z ocząowych 3n nezaleŝnych zmennych rzy czym yane o o óra ze zmennych es elmnowana byłoby na ogół źle osawone Przyrzymy sę rzyłaom: RozwaŜmy een un maeralny o wsółrzęnych arezańsch yz z węzem + y + z r Ne sosób wsazać óra z rzech zmennych zosała u wyelmnowana chocaŝ ne mamy wąlwośc Ŝe uła mechanczny olega u osow rzez w e zmenne rzesrzenne Gybyśmy w charaerze ych zmennych wybral wsółrzęne y (a węc wsółrzęna z byłaby ą zmenną elmnowaną) o rosy rysune rzeona nas Ŝe sneą w a uny na owerzchn ul o anych wsółrzęnych y (oczywśce o warunem Ŝe + y < r ) Ta węc wsółrzęne y ne naaą sę o enoznacznego loalzowana unu maeralnego ogranczonego osanym węzam W rzyau enego unu maeralnego ogranczonego węzam osanym równanem z ne mamy wąlwośc Ŝe elmnowana es zmenna z a ozosałe zmenne y ozosaą owolne mogą słuŝyć ao wsółrzęne osuące ołoŝene unu maeralnego na owerzchn węzów Te wa rzyłay rzeonuą nas o ym Ŝe osywane olenych równań węzów ne srowaza sę na ogół o rosego wyreślana olenych wsółrzęnych arezańsch osuących ołoŝene unów maeralnych Przyczyna leŝy w ym Ŝe ozosałe wsółrzęne arezańse ne gwaranuą na ogół enoznaczne loalzac unów maeralnych na węzach Dae nam o moywacę o oszuwana ach wsółrzęnych rzesrzennych óre Ja sę rzeonamy w alsze częśc wyłau węzy sleronomczne ne wyonuą racy w ym sense Ŝe łączna energa ułau unów maeralnych órych swoboa ogranczona es rzez uła węzów sleronomcznych ne zmena sę o wływem sł z am węzy załaą na e uny maeralne W rzyau węzów reonomcznych werzene o oaŝe sę nerawzwe 5

6 Gwaranuą enoznaczną loalzacę unów maeralnych na węzach (Ja sę uŝ rzeonalśmy wsółrzęne arezańse y ne sełnaą ego warunu w onesenu o unu na sferze) Są nezaleŝne o znaczy warość aŝe z ych wsółrzęnych moŝemy wybrać nezaleŝne o warośc ozosałych wsółrzęnych Ten rug warune ścśle wąŝe sę z lczbą unów maeralnych wchozących w sła ułau mechancznego lczbą równań węzów Neruno zrozumeć Ŝe omawany warune wymusza aby lczba ych wsółrzęnych była ne węsza nŝ 3n gze n es lczbą unów maeralnych a es lczbą równań węzów Chwla namysłu wysarczy o swerzena Ŝe lczba a ne moŝe być równeŝ mnesza nŝ 3n : la n unów zaczęlśmy o 3n wsółrzęnych arezańsch na óre nałoŝylśmy warunów Mówmy Ŝe ułaow ozosawlśmy 3n s son swoboy Komle wsółrzęnych wybranych la anego ułau mechancznego sełnaących owyŝsze wa warun nazywamy wsółrzęnym uogólnonym oznaczamy raycyne symbolam s Musmy węc nabrać umeęnośc wyberana wsółrzęnych uogólnonych la zaanego ułau unów maeralnych ogranczonych węzam Wyboru ego moŝemy bowem zawsze oonać na nesończene wele sosobów rzeba erować sę ryeram wygoy Z czasem rozwązuąc zaana naberzemy oowene wrawy Na raze oarzmy na la rzyłaów: RozwaŜana uŝ oeyncza cząsa na sferze o zaanym romenu Uła ma wa sone swoboy Oo la rzyłaów wsółrzęnych uogólnonych la ego ułau: a Zmenne ąowe ϑ ϕ (e same óre wysęuą we wsółrzęnych sferycznych) Ich zaresy zmennośc ne wymagaą omawana b Zmenna ϕ (a sama co w unce a ) zmenna z óra w ym rzyau zmena sę w rzezale r z r Barzo wsazanym ćwczenem byłoby wyonane oowenego rysunu ZADANIE Czy wsółrzęne zϑ są olenym orawnym rzyłaem? (ooweź es negaywna naleŝy o uzasanć) c Poobne onsruce wyróŝnaące nny erune w rzesrzen (we wyŝe oazane onsruce wyróŝnały erune os z ) Kerune wyróŝnony rzez uła wsółrzęnych uogólnonych ownen sę orywać z ew erunem wyróŝnonym rzez warun fzyczne JeŜel na rzyła rozwaŝamy ruch unu maeralnego na sferze w enoronym olu grawacynym o z rzyczyn echnczno-rachunowych osąmy rozsąne eŝel oś z seruemy zgone z ym olem wrowazmy wsółrzęne ae a w unce a lub b 6

7 Uła wóch unów oazany na rysunu W ozomym blace es owór rzez óry rzecągnęo nerozcąglwą nć o zaane ługośc Puny znauą sę na ońcach e nc Jeen z nch moŝe oruszać sę o blace rug waha sę swobone o blaem (n w olu grawacynym) Załaamy Ŝe ruch obywa sę w a sosób Ŝe nć es cągle naręŝona a w oworze ne wysęue arce Naszym zaanem es oane lczby son swoboy wsazane aegoś orawnego omleu wsółrzęnych uogólnonych Zacznmy o usalena lczby son swoboy s óra - a uŝ wemy - es wsólna la wszysch moŝlwych o zaroonowana omleów wsółrzęnych uogólnonych Poany wyŝe zwąze s 3 n ne zawsze es wygony la oblczena lczby s Zwyle ławe es oać ą bezośreno rzygląaąc sę ułaow mechancznemu W ym rzyau mamy un na łaszczyźne co ae wa sone swoboy (oowaaące n wóm wsółrzęnym arezańsm ego unu) rug un órego oległość o oworu uwarunowana es ołoŝenem erwszego unu (nc es nerozcąglwa) Pozosaą węc la nego ylo we wsółrzęne ąowe oreślaące erune wahaące sę częśc n Razem - 4 sone swoboy Formalna roga o e czwór byłaby nasęuąca: wa uny w rówymarowym śwece o 3n 6 wsółrzęnych arezańsch O ego oemuemy eynę z yułu równana łaszczyzny z (nech ocząe arezańsego ułau onesena znaue sę am gze owór a oś z nech bęze rosoała o blau) rugą eynę w zwązu z olenym równanem węzów lnuącym sałe ługośc n: + y + + y + z l Zwyle lcząc sone swoboy równocześne wymyślamy omle wsółrzęnych uogólnonych Na osobne omówene zasługuą ułay mechanczne zaweraące bryły szywne Tu lczba unów maeralnych es w zasaze nesończona roga o lczby s orzez wzór s 3 n es z oczywsych owoów nemoŝlwa o zrealzowana W ach rzyaach musmy węc lczbę son swoboy oczyywać bezośreno (neao o roze wyberaąc orawny zesaw wsółrzęnych uogólnonych) Wróćmy na rzyła o ułau mechancznego osanego we Wsęe Uła zawera wele ruchomych elemenów ale - a sę ławo moŝna rzeonać - osaa ylo een soeń swoboy Wyna o z ego Ŝe ołoŝene równ eermnue ołoŝene wszysch ozosałych elemenów Ta węc wsółrzęną uogólnoną moŝe być na rzyła ołoŝene równ na sole merzone ozałą oazaną na rysunu ZauwaŜmy Ŝe 7

8 gyby walec mógł oruszać sę o równ z oślzgem o lczba son swoboy wzrosłaby o wóch (rzy załoŝenu Ŝe oś walca musałaby ozosać rosoała o łaszczyzny rysunu) Tą rugą wsółrzęną mogłaby być na rzyła ługość ownęe częśc nc albo ą obrou walca RozwaŜmy nny rzyła: wa walce na óre nawnęo nć rzerzuconą rzez newaŝ blocze Załaamy Ŝe walce mogą oruszać sę ylo onowo owaąc lub nawaąc nć Próbumy olczyć sone swoboy Obywa walce na ewno mogą sę obracać nezaleŝne o sebe ooweno rzesuwaąc sę rzy ym w one Mamy węc uŝ wa sone swoboy za óre mogą oowaać ąy obrou walców Oczywśce rzeba zecyować óre erun obroów oowaaą oanm rzyrosom ych ąów Dla usalonych ąów cały uła moŝe sę eszcze oruszać rzesuwaąc nć rzez blocze (een walec rzy ym oaa rug sę onos) Oowaa o rzecemu ( osanemu) sonow swoboy óry wysęue w ym ułaze Jao oowaaącą mu wsółrzęną uogólnoną moŝemy rzyąć onowe rzesunęce lewe (ale równe obrze rawe) gałęz n Na nce wyobraŝamy sobe znacze óry wsaŝe ołoŝene n wzglęem owolne onowe sal Równe obrym omleem wsółrzęnych uogólnonych byłyby e same wa ąy oległość męzy enym z walców sołem albo eŝ oległośc obywu walców o sołu ą obrou enego z nch III RÓWNANIA LAGRANGE A Ja uŝ wsomnalśmy ruch unu maeralnego es w całośc wyznaczony rzez zasay Newona: znaąc sły załaące na un maeralny znamy zarazem ego rzyseszene wzglęem owolnego ułau nercalnego Znaomość aualnego ołoŝena ręośc unu maeralnego ozwala - rzy znane ręośc rzyseszenu - rzewzeć zmanę ego ołoŝena ręośc czyl rzewzeć alszy ruch 3 PoaŜemy eraz ewną meoę rzewywana ruchu ułaów mechancznych wygoneszą o orzysaące bezośreno z zasa ynam Newona Usrawnene olegać bęze na ym Ŝe rzełumaczymy zasay ynam z ęzya zmennych arezańsch (órych - a uŝ usallśmy - es zwyle za uŝo w sosunu o rzeczywse lczby son swoboy) na ęzy wsółrzęnych uogólnonych wyberanych secalne o osu anego ułau mechancznego Wemy uŝ Ŝe za rzyseszene anego unu maeralnego oowaaą sły załaące na en un Ze wszysch sł załaących na uny maeralne bęące słanam ułau mechancznego wyorębnmy sły reac Są o sły am węzy ozałuą na e uny maeralne Na rzyła la wahała maemaycznego bęze o załaące w sronę unu zaweszena naręŝene n Dla unu oruszaącego sę o zaane owerzchn węzów bęze o sła z aą a owerzchna zała na en un (ZauwaŜmy Ŝe w wahale równeŝ moŝemy zasąć nę ooweną owerzchną 3 Taą roceurę rozwaną ro o rou sosue omuer rozwązuąc roblemy z mechan 8

9 sferyczną o óre un maeralny musałby sę oruszać bez arca) Dla bryły szywne bęą o męzy nnym naręŝena am oszczególne uny słaaące sę na bryłę ozałuą ze sobą (wrócmy o ego zaganena nŝe) Zacznmy o rozwaŝena narosszego rzyau gy węzam są szywne neruchome owerzchne lub rzywe o órych oruszaą sę bez arca uny maeralne Przy neobecnośc arca sły reac am ae węzy ozałuą na uny maeralne są zawsze loalne rosoałe o oowench owerzchn (lub rzywych) Nech weor δ r bęze syczny o owerzchn (rzywe) węzów w unce w órym znaue sę un maeralny o mase m a r F nech oznacza słę załaącą na en un maeralny ze srony ola sł bęącego elemenem rozwaŝanego ułau mechancznego MoŜe o być na rzyła ole grawacyne eleromagneyczne czy sła ze srony naręŝone sręŝyny Zwąze r r m r F δ es rawzwy la owolnego weora δ r sycznego o węzów w unce w órym r r r r znaue sę un maeralny Wyna o z ego Ŝe m F + R z ego Ŝe sła reac R es (rzy neobecnośc arca) loalne rosoała o węzów JeŜel uła słaa sę z węsze lczby unów maeralnych a węzy ozosaą szywnym neruchomym onsrucam rzesrzennym o owyŝszy zwąze zachoz osobno la aŝego unu maeralnego W rzyau owolnego ułau mechancznego z węzam syuaca es ena neco barze somlowana W osane u szczególne syuac węzy zaane są bowem równanam yu f () gze w zborze argumenów () aŝe func f wysęuą wsółrzęne ylo enego z unów maeralnych W syuac ogólne gy mamy n unów maeralnych o wsółrzęnych z n ogranczonych równanam węzów f ( z n ) f ( z n ) (na raze ogranczymy sę o węzów sleronomcznych) węzy ne są uŝ szywnym neruchomym obeam geomerycznym Oo rzyłay: Dwa uny maeralne ołączone szywnym newaŝm ręem Dwa walce ołączone ną rzerzuconą rzez newaŝ blocze (or rysune na orzene srone) 3 Dwa uny maeralne z órych een znaue sę na enym ońcu nc rug es nawleczony na nć (a oral) a rug onec nc es rzywerzony o usalonego unu (rysune na nasęne srone) Oczywśce załaamy Ŝe ruch obywa sę w a sosób aby na ozosawała naęa We wszysch wymenonych rzyłaach węzy ne są uŝ neruchomym obeam geomerycznym a ch rola olega na oorynowanu ruchów oszczególnych elemenów ułau mechancznego Wyobraźmy sobe Ŝe foografuemy uła mechanczny wyonuący ruch zgone z zasaam ynam Na e foograf uchwycmy wszyse uny maeralne wszyse węzy Za rzesunęce wrualne zgone z węzam uwaŝamy owolne nesończene małe rzesunęce całego ułau mechancznego oazanego na foograf osane nesończene małym rzyrosam δ δy δz δ δz n óre es zgone z równanam węzów Choz o o aby w wynu ego rzesunęca oszczególne uny ułau mechancznego zaęły nowe ozyce órych wsółrzęne sełnaą równana węzów z ołanoścą o nesończene 9

10 małych rugego rzęu Wyaśnmy o na owyŝszych rzech rzyłaach lusruąc e wyaśnena rysunam: a Poazany u zesół wóch rzesunęć es zgony z węzam w rzyau erwszych rzech rysunów ale uŝ rzesunęca oazane na osanm rysunu ne sanową łączne rzesunęca zgonego z węzam δ δ 3 4 δ δ δ δ a Zgony z węzam byłby na rzyła równoczesny newel obró obywu walców (lewego w lewo rawego w rawo) z równoczesnym oowenm ch obnŝenem (a aby na ozosała naęa) a 3 Dozwolone są wszyse ae równoczesne rzesunęca unów aby zachowana była suma oległośc męzy unam oraz męzy unem unem zaowczena n ZauwaŜmy Ŝe we wszysch ych rzyaach wysany la oeynczego unu maeralnego zwąze r r m r F δ rzesae na ogół być rawzwy eŝel rzez δ r rozumemy rzesunęce ego unu zgone z węzam (onewaŝ - a o wać na naszych rzyłaach - rzesunęce o ne mus uŝ być rosoałe o sły reac węzów) Musmy węc oszuać oowenego uogólnena ego zwązu 4 W ym celu musmy suć uwagę na węzach raowanych ao ewna fcyna onsruca echnczna Je fcyność - obo wcześne załoŝonego brau arca - olega na ym Ŝe elemeny węzów są newaŝe (ne wyazuą bezwłanośc) Szywny rę łączący uny wszyse n blocz są w osanych zaanach mechancznych rzymowane ao newaŝe W rzecwnym wyau muselbyśmy e raować a samo a zbory 4 Ne wemy eszcze o czego en zwąze (a zwłaszcza ego uogólnene) bęze nam orzebny Musmy sę uzbroć w cerlwość

11 obarzonych masą unów maeralnych wchozących w sła ułau Elemeny onsruc węzów są wóch rozaów Jene z nch ozałuą ylo z unam maeralnym wchozącym w sła ułau mechancznego (na rzyła rę łączący uny) nne ozałuą zarówno z elemenam ułau a ze sałym unam ooczena na rzyła na łącząca obywa walce wraz z newaŝm bloczem ozałue ze sałym unem ooczena am es oś blocza aŝe na na órą nanzano un (bo ozałue z neruchomym unem ooczena) Zalczyć u eŝ naleŝy wszyse szywne sałe onsruce szywno ołączone z ooczenem (obrym rzyłaem es owerzchna równ eśl równa es rzymocowana o sołu) Wszyse e elemeny węzów ao uchwycone w ooczenu ozałuą z nm słam reac Wyobraźmy sobe ewen uła mechanczny z węzam bęący w ruchu zróbmy mu zęce czyl onoumy ego onfguracę w ewne chwl wraz ze wszysm słam am w ane chwl olega onsruca węzów Do sł ych zalczymy wszyse sły reac węzów wzęe ze znaem mnus (u czeremy z III zasay ynam) a aŝe sły z am ooczene ozałue na elemeny węzów Soro elemeny węzów ozbawone są bezwłanośc (co załoŝylśmy) o wymenone sły am olegaą węzy (a aŝe wszyse momeny ych sł oblczane wzglęem owolnego unu w rzesrzen) muszą ołane sę znosć Gyby bowem było nacze o elemeny onsruc węzów musałyby olegać nesończonym rzyseszenom (lnowym lub ąowym) Wyna z ego Ŝe moglbyśmy uchwycć ołoŝene ułau mechancznego w owolne chwl usunąć wszyse uny maeralne zabać o o by na węzy załały nezmenone sły (czyl załaące oczas ruchu sły reac ale z rzecwnym znaam oraz sły ze srony ooczena) uzysalbyśmy w en sosób uła w równowaze zbuowany z newaŝch elemenów Wyobraźmy sobe Ŝe wyworzylśmy aą właśne syuacę Moglbyśmy eraz rzerowazć owolną nesończene małą zgoną z węzam zmanę onfgurac całego ułau melbyśmy gwarancę ego Ŝe ne muselbyśmy wyonać rzy ym Ŝane racy Taa zmana onfgurac olegałaby na wyonanu ooweno soorynowanych zman wszysch wsółrzęnych z n rzy czym melbyśmy ewność Ŝe wyonana rzy ym raca czyl wyraŝene 3n 3n ( ) R δx m F δx es równa zero 5 Przyęlśmy u oczywśce zas zgone z órym m m m3 es masą erwszego unu maeralnego m4 m5 m6 rugego R R R3 są słaowym sły reac załaące na erwszy un maeralny oobne R4 R5 R6 - na rug Komle δx δ oznacza rzesunęce zgone z węzam Suma órą y rozwaŝamy X 3n warac es sumą loczynów salarnych olenych sł reac rzez weory zgonych z węzam rzesunęć oowench unów maeralnych Osobnego omówena wymaga rzyae węzów reonomcznych chocaŝ wyn rozumowana oaŝe sę a sam Wyna o z ego Ŝe węzy e równeŝ moŝemy raować ao newaŝe Foografuąc ruch w owolne chwl moŝemy zblansować wszyse sły 5 Wsomnany uła węzów ogołocony z mas obcąŝony werne oworzonym omleem sł reac es w równowaze Wemy uŝ Ŝe o ego omleu sł la uzysana równowag zalczyć eŝ musmy sły z am sałe elemeny ooczena ozałuą na węzy eŝel ylo w anym ułaze mechancznym ae sły wysęuą Sły e ena ne mogą racować w rzyau rzesunęć wrualnych bo ne wąŝą sę z nm Ŝane rzesunęca Łączna raca (równa zeru) srowaza sę węc o lewe srony osanego wzoru

12 reac oraz ch momeny równeŝ ozemy o wnosu Ŝe blans en mus być zerowy NaleŜy ylo amęać Ŝe zbór rzesunęć zgonych z węzam δx ne bęze sę w ym rzyau orywał z rzeczywsym rzesunęcam unów maeralnych o uruchomenu ułau PoaŜemy o na rzyłaze RozwaŜymy newaŝ rę oary olnym ońcem o ocząe ułau onesena ochylony o onu o sały ą wruący z zaaną ręoścą ąową woół onowe os z MoŜna sobe wyobrazć Ŝe oś z es częścą orby órą oś obraca z narzuconą (neoneczne sałą) ręoścą Na rę nanzany es oral o znane mase Mamy węc u rzyae oeynczego unu maeralnego ogranczonego węzam reonomcznym Sła reac aą oral zała na rę es oczywśce rosoała o ręa - co za ym ze - o wrualnego rzesunęca zgonego z węzam ae moglbyśmy wyonać na foograf Przesunęca rzeczywse bęą ena nne bo rę sę obraca Ta węc w rzyau węzów sleronomcznych rzesunęce rzeczywse es zawsze enym z moŝlwych rzesunęć zgonych z węzam W rzyau węzów reonomcznych oolczność a na ogół ne zachoz Pommo ego ena la rzyau węzów reonomcznych moŝna owórzyć bez zmany całe rozumowane óre orowazło nas o wnosu Ŝe sły reac ne racuą na rzesunęcach wrualnych a o sę czasam formułue 6 Waro eszcze wsomneć o uogólnenu óre es oneczne w rzyau osu ruchu ułaów mechancznych zaweraących rozcągłe bryły szywne a ne same ylo uny maeralne W am rzyau aŝą bryłę moŝemy raować ao zbór unów maeralnych rzywerzonych o newaŝego rzesrzennego ruszowana o szałce rozwaŝane bryły en newaŝ szele włączyć o omleu newaŝch węzów ułau Słam reac bęą w ym rzyau sły am en newaŝ szele zała na oszczególne uny maeralne słaaące sę na bryłę 3n Wzór m F δx es unem wyśca la alszego rozumowana ZauwaŜmy Ŝe zesół rzesunęć wrualnych δx o ne es na ogół zbór owolnych rzyrosów δ ; oberaąc rzyrosy δx musmy uwzglęnać warun węzów Z ruge ena srony wemy Ŝe moŝemy nazuełne owolne wybrać omle rzyrosów δ δ s onewaŝ z efnc wsółrzęnych uogólnonych wyna Ŝe generowany w en sosób zbór rzyrosów wsółrzęnych arezańsch δ δx bęze zgony z węzam Mamy węc δx s δ czyl 6 W rzyau węzów reonomcznych sły załaące ze srony ooczena (w naszym rzyłaze byłyby o sły załaące ze srony os orby na rę) równeŝ ne wyonuą racy bo rzesunęca wrualne obywaą sę rzy zamroŝenu awne zaleŝnośc węzów o czasu (co suue znanem racy sł zewnęrznych załaących ze srony ooczena na węzy)

13 s 3n m F ( ) δ Zwąze en mus zachozć la o w o l n y c h omleów rzyrosów δ δ s z czego wyna Ŝe 3n m F ( ) s Osan zwąze wcąŝ eszcze zawera wsółrzęne arezańse óre są na ogół o sebe zaleŝne Chcemy uwolnć sę o ych wsółrzęnych W ym celu uowonmy naerw Ŝe eŝel symbolem T oznaczymy energę neyczną ułau mechancznego T 3n ( ) T[ ( )] m T (omle wsółrzęnych anego rozau lub ch ochonych bęzemy oznaczać oreślenem) o 3n m T T ZADANIE 3 RozwaŜ cząsę oruszaącą sę o owerzchn sfery o romenu r Dogonym wsółrzęnym uogólnonym la ego rzyau są ąy ϑ ϕ rzynaleŝne o wsółrzęnych sferycznych Wyraź energę neyczną cząs rzez zmenne ϑ ϕ ch ochone o czase ϑ ϕ [ sn ϑ] T mr Wyn: ϑ + ( ϕ) Oblczmy wyraŝene T (oznaczena z rawe srony ochonych oazuą óre zmenne są sałe rzy róŝnczowanu cząsowym): T [ ] n T T ( ) \ \ 3 3

14 4 n m 3 \ Oblczamy \ \ \ s czyl T m m T n n n \ \ Osobno oaŝemy Ŝe W ym celu oblczymy osobno obywe srony e równośc: s + (oczywśce rug słan moŝe być róŝny o zera ylo w rzyau węzów reonomcznych) s s + + Wracaąc o naszego rachunu mamy węc T m T m T n n n czyl m T T n 3 cbo

15 Wracamy o naszego osawowego zwązu: 3n ( m F ) s óry na mocy owyŝszego moŝemy zasać w osac: T T 3n F Defnuemy słaowe sły uogólnone Q Q s wzoram Q 3n F s co rowaz o zasu T T Q s Mówmy Ŝe ole sł o słaowych F es oencalne eŝel snee oencał U U ( ) ( ) V Ŝe uogólnony zn aa funca ołoŝeń ręośc F U U Wśró argumenów oencału uogólnonego obo ołoŝeń ręośc osrzegamy czas Tę moŝlwość wyorzysuemy w syuac gy ole sł awne zaleŝy o czasu Dobrym rzyłaem es ruch cząs nałaowane w zaleŝnym o czasu olu eleromagneycznym ZauwaŜmy Ŝe oencał U ( ) es uogólnenem znanego ze szoły zwyłego oencału ozycynego órego graen (ze znaem mnus) równy es załaące sle r r F gra U 7 ZADANIE 3 Uowon bezośrenm rachunem Ŝe la sł załaących na un maeralny nałaowany łaunem ze srony ola eleromagneycznego 7 Waro srawzć Ŝe ole sł arca ne es olem oencalnym 5

16 6 r r r r F E B + r r r E A graϕ ( ) r r r B A ro ( ) ) oencałem uogólnonym es funca U A r r r r r r ( ) ( ) ϕ Zwróć uwagę na zasrzeŝoną u moŝlwość awne zaleŝnośc ól o czasu Uowonmy eraz Ŝe Q V V Dowó: [ ] [ ] U U V V n n n U U U n n n n U U U U n n n U U U U F Q n 3 cbo Nasze wyn moŝemy eraz uąć w osac s równań: T T V V czyl L L s

17 gze welość L ( ) T ( ) V ( ) nazywamy funcą Lagrange a anego ułau mechancznego 8 Równana w ramce noszą nazwę równań Lagrange a rugego rozau są zasem zasa ynam (czyl równanam ruchu) la ułau unów maeralnych ogranczonych węzam oanych załanu oencalnego ola sł Isona róŝnca męzy ym równanam lasycznym równanam Newona olega na ym Ŝe uwalnamy sę o ślezena sł reac Sły e saą sę oczywśce sone wey gy neresue nas mechanczna wyrzymałość węzów (sły reac obcąŝaą węzy) Ten w zasaze nŝyners roblem rozwązuemy rzywołuąc zw równana Lagrange a erwszego rozau órym ena ne bęzemy sę u zamować Równana Lagrange a II rozau o uła s równań róŝnczowych zwyczanych rugego rzęu na s func czasu s Rozwązana ych równań zaleŝą węc o s sałych óre moŝemy enyfować z ręoścam ocząowym s( ) z ołoŝenam ocząowym ( ) ( ) s Dla zaemonsrowana oŝyu łynącego z ych równań znazemy ruch ułau mechancznego osanego we Wsęe W rol wsółrzęne uogólnone wyberzemy zmenną zaznaczoną na rysunu za omocą óre wyznaczamy ołoŝene równ wzglęem sołu Uła ma een soeń swoboy a węc wyczerue zbór s ZałoŜymy Ŝe ruch ułau obywa sę w am zarese zmennośc wsółrzęne óry gwaranue o Ŝe sręŝyna bęze cągle naęa zmenna zmennych [ ] Musmy eraz wyznaczyć funcę Lagrange a rzesunęcem wąŝe sę ą obrou walca ϕ : L ZauwaŜmy Ŝe z ϕ r gze r oznacza romeń walca z czego wyna Ŝe mezy ręoścą ąową walca ϕ ręoścą zachoz zwąze ϕ r Jeseśmy goow o nasana func Lagrange a Energa neyczna ułau es sumą energ neyczne równ energ neyczne ruchu osęowego walca energ neyczne ruchu obroowego walca ( snα es onową słaową ręośc osęowego ruchu śroa walca w ułaze sołu cos α es ozomą słaową e ręośc) 8 Ja uŝ wemy awny aramer wśró argumenów func Lagrange a wysęue w rzyaach ól sł zaleŝnych o czasu MoŜe sę eŝ oawć gy wysęuą węzy reonomczne (rzyła ae syuac oaŝemy w alszym cągu wyłau) 7

18 T M m + + mr M m + + sn α cos α ϕ cos α 4 8 Na energę oencalną słaa sę energa grawacyna energa sręŝyny Mamy węc: V mgsnα + (bo wzrosow warośc wsółrzęne o owarzyszy oaane śroa masy walca o ocne snα ) ZałoŜylśmy węc Ŝe warośc wsółrzęne oowaa ae ołoŝene równ rzy órym sręŝyna ma ługość neuralną ZauwaŜmy eŝ Ŝe nazuełne owolne wybralśmy ozom zerowy la oencału grawacynego WąŜe sę o z moŝlwoścą rzecechowana oencału o owolną sałą ayywną C V V ' V + C bez naruszana ola sł rerezenowanego ym oencałem Mamy węc funcę Lagrange a: L( ) T( ) V M + m cos mgsn + α α 8 Wysuemy równane Lagrange a: L L M m cosα mgsnα rzeszałcamy e o osac mgsnα M + m cos α 8 W ym osanm równanu rozoznaemy równane enowymarowego oscylaora harmoncznego µ ( ) w órym w rol wsółczynna oowezalnego za bezwłaność wysęue zawarość nawasu waraowego (uwzglęnaąca bezwłaność walca równ) Warość wsółrzęne mg snα oowaa ołoŝenu równowag w órym cęŝar walca równowaŝy naręŝene sręŝyny MoŜemy o razu nasać rozwązane równana ruchu: ( + ) Asn ω ϕ 8

19 gze ω a sałe A oraz ϕ wyznaczamy z warunów ocząowych na óre słaaą µ sę ołoŝene ręość w wybrane chwl na rzyła na ocząu ruchu ZADANIE 33 RozwąŜ równana Lagrange a la ułau mechancznego oazanego na rysunu Równa moŝe rzesuwać sę bez arca o sole (ylo w łaszczyźne rysunu) Walec na óry nawnęo nć ślzga sę o owerzchn równ bez arca a ego oś ozosae rosoała o owerzchn rysunu CęŜare moŝe rzesuwać sę równolegle o onowe rawęz równ Blocze es newaŝ Wyn: Wszyse ruchy enosane rzyseszone 3 - onowy ruch cęŝara (wzglęem równ) z rzyseszenem g ; 8 - ruch śroa walca wzłuŝ równ z rzyseszenem g (wzglęem równ); ozomy ruch równ z rzyseszenem g (wzglęem sołu) 4 ZADANIE 34 Nasz funcę Lagrange a równana ruchu la unu maeralnego o mase m z α + y oruszaącego sę bez arca o owerzchn onowe araboloy obroowe ZADANIE 35 Prosy rę rzecnaący oś z worzący z ną ą α wrue woół e os ze sałą narzuconą ręoścą ąową ω Po ręce moŝe ślzgać sę bez arca un maeralny Oreśl lczbę son swoboy wyberz wsółrzęne uogólnone (wsółrzęną uogólnoną?) Znaź funcę Lagrange a nasz równana (równane?) Lagrange a ZauwaŜ Ŝe w rzyau gyby ręość ąowa ω zaleŝała o czasu (w sosób narzucony z zewnąrz) w func Lagrange a równeŝ oawłaby sę awna zaleŝność o czasu (or rzys na srone 6) ZADANIE 36 Sosuąc wsółrzęne sferyczne nasz równana Lagrange a la unu maeralnego oruszaącego sę w rzech wymarach w olu sł cenralnych (zn wszyse weory sł r wsazuą en sam usalony un w rzesrzen) o symer sferyczne F F( r) 9

20 Rozwązane: Sferyczne symeryczne ole sł cenralnych es zawsze oencalne: Oblczamy energę neyczną: ( + r ϑ r ( sn ϑ) ϕ ) T m r + F r V r r W ym celu zasalśmy wara szybośc unu maeralnego ao sumę waraów rzech słaowych ręośc w rzech rosoałych erunach: raalnym ołunowym równoleŝnowym Ta węc funca Lagrange a równana Lagrange a maą osać: L ( + r ϑ + r ( sn ϑ) ϕ ) V ( r) m r L L mr mr r r ( ϑ + ( sn ϑ) ϕ ) V r L L m( rrϑ r ϑ) mr ( ϑ ϑ) ϕ ϑ + sn cos ϑ [ mr ( sn ϑ) ϕ] L L ϕ ϕ Mamy u rzy równana órych ne moŝemy rozwązać o ońca ne znaąc func V ( r ) ZauwaŜmy ena Ŝe w osanm równanu ne oblczylśmy ochone zuełne o czase Przyczyna la óre byłoby o bezcelowe leŝy w zerowanu sę e ochone co es suem ego Ŝe funca Lagrange a ne zaleŝy o zmenne ϕ Wsółrzęne uogólnone o órych funca Lagrange a ne zaleŝy nazywamy wsółrzęnym cylcznym JeŜel uae sę usalć wsółrzęną cylczną o - a wać na owyŝszym rzyłaze - mamy uławoną rogę o rozwązana równań ruchu: zamas oblczać ochoną o czase (co ałoby nam olene równane róŝnczowe rugego rzęu) moŝemy o razu nasać równane erwszego rzęu L ϕ cons neznaną sałą raować ao eną z sześcu (w naszym rzyau) sałych o órych bęze zaleŝało ełne rozwązane roblemu Ta węc wyryce zmenne cylczne sraca roceurę rozwązywana równań ynamcznych NaleŜy oreślć Ŝe obecność zmenne cylczne uawna sę ylo wey eŝel wsółrzęne uogólnone właścwe oberzemy o anego ułau mechancznego Omawany rzyae rozwaŝony na rzyła we wsółrzęnych arezańsch orowazłby bowem o func Lagrange a osac

21 ( ) ( + + ) ( + + ) L y z y z m y z V y z óra ne uawna Ŝane wsółrzęne cylczne Na osawe ego rzyłau moŝemy wnosć Ŝe wyberaąc omle wsółrzęnych uogólnonych ownnśmy erować sę wzglęam symer ola sł ( węzów órych w ym rzyłaze zabrało) Przesrzegane e zasay rawe zawsze ma orzysne su RozwaŜymy ena rza wyąe: ZADANIE 37 Pun maeralny o mase m orusza sę w rzesrzen rówymarowe w olu r cenralne rzycągaące sły sręŝyse F + y + z Mamy węc rówymarowy oscylaor harmonczny RozwaŜ zaganene wyboru wsółrzęnych uogólnonych rozwązana równana ruchu Waro orównać rzyaność wsółrzęnych arezańsch wsółrzęnych sferycznych (óre byłyby w ym rzyau sugerowane rzez sferyczną symerę func oencału) IV ZASADA NAJMNIEJSZEGO DZIAŁANIA Mechana Lagrange a órą właśne oznaemy ozwolła na oryce ewne rawłowośc óre zasęg wyracza aleo oza mechanę Zasaa namneszego załana bo o ne u mowa wyae sę być eną z nazuełne funamenalnych zasa rzyroy Defnuemy załane S ao nasęuącą całę oznaczoną: S L ( ) Dzałane es zefnowane la onrenego ruchu osanego funcam ( ) rwaącego o chwl o chwl Dzałane es węc funconałem ruchu Przyomnmy Ŝe funconał es owzorowanem w órym zmenną nezaleŝną es funca lub rozna func (w naszym rzyau es o s func ( ) ) a waroścą owzorowana es lczba (w naszym rzyau - warość cał oznaczone z func Lagrange a wyonane o usalonym rzezale czasu) Waracą załana δs nazwemy zmanę warośc cał S bęącą suem nesończene małe moyfac omleu func ( ) : + δ s Ta węc o moyfac ruch obywa sę o neco nne raeor z neco nnym ręoścam

22 Przyomnmy Ŝe w rzyau func ene zmenne f rzyros func o wływem nesończene małe zmany warośc zmenne nezaleŝne o warośc o warośc + δ wynosł (z ołanoścą o nesończene małych rzęu ne nŝszego nŝ wa) δf f δ znał (z ą samą ołanoścą) eŝel funca f ( ) mała la warośc un saconarny Poobne moŝemy rozwaŝyć un saconarny załana: byłby o a omle func ( ) czyl a ruch órego owolna nesończene mała moyfaca wyraŝona rzez omle nezaleŝnych func czasu δ δ s ne owoowałaby zmany załana (z ołanoścą o nesończene małych rzęu ne nŝszego nŝ wa) ZałóŜmy Ŝe rozwaŝamy a zbór func δ δs moyfuących ruch óre sełnaą nasęuący oaowy warune: wszyse e moyface ne zmenaą czasu ruchu ne zmenaą ołoŝena ocząowego ońcowego Ta węc orównuemy ze sobą warośc załana oblczone la róŝnych ruchów (na ogół nezgonych z równanam Lagrange a) óre wszyse zaczynaą sę w usalone chwl w unce usalone chwl w unce δ ( ) δ ( ) s TWIERDZENIE: MoŜemy en wymóg zasać w osac: ończą w Ruch fzyczny czyl zgony z równanam Lagrange a es unem saconarnym załana czyl moyfowane ego ruchu zgone z regułą usaloną wyŝe ne zmena warośc załana (z ołanoścą o nesończene małych rzęu ne nŝszego nŝ wa) Dowó: Załaamy Ŝe ruch osany funcam ( ) es fzyczny czyl Ŝe L( ) L s Oblczmy waracę załana wywołaną moyfacą ruchu zgoną z usalonym warunam s L δs δl δ + s L erwszy słan δ całuemy rzez częśc

23 s s L L L δ δ Słan z osawenem zna na mocy załoŝena o znanu warac δ na ońcach rzezału całowana a cała zna na mocy równań Lagrange a óre są sełnone rzez funce ( ) cbo Prawzwe es równeŝ werzene owrone: ze znana warac δs la owolnego δ sełnaących warun δ ( ) δ ( ) s bęących zesawu warac orawam o oreślonego zesawu func ( ) wyna Ŝe funce e sełnaą równana Lagrange a Szc owou es nasęuący: NaleŜy rozwaŝyć szczególny zesaw func δ ( ) w órym wszyse funce znaą orócz ene (n -e) róŝne o zera ylo w aeś owolne chwl ' [ ] w osaeczne małym ooczenu e chwl JeŜel załoŝymy (zarzeczaąc eze) Ŝe wyraŝene L L es róŝne o zera w chwl ' o z cągłośc ego wyraŝena wzglęem czasu (órą załaamy) wyna Ŝe w ewnym ooczenu chwl ' wyraŝene o mus meć oreślony zna Z ego uŝ wyna Ŝe oraflbyśmy znaleźć ae ooczene chwl ' bęące nośnem func δ 9 la órego cała s L L L L δ δ byłaby wbrew załoŝenu róŝna o zera Uowonlśmy węc równowaŝność równań Lagrange a zasay esremum załana la ruchu fzycznego w lase ruchów ( ) sełnaących warune δ ( ) δ ( ) s ZADANIE 4 Uowon Ŝe eŝel o func Lagrange a oamy ochoną o czase z owolne f [ ] func 9 Nośnem func nazywamy en obszar warośc zmenne nezaleŝne la órych funca es róŝna o zera Wbrew raycyne nazwe ( zasaa namneszego załana ) ne mus o być mnmum załana Mus o ena być un saconarny załana gze rzez un rozumemy onreny zesaw func Ta węc oreślene zasaa namneszego załana nese w zasaze nerawzwą nformacę ozosae w uŝycu ylo rzez oszanowane la rayc 3

24 ' + L L L [ ] f o funca L' uŝywana a a funca Lagrange a L rowaz (za ośrencwem równań Lagrange a) o ruchu fzycznego Rozwązane: Twerzene o uowonmy orzysaąc z zasay esremum załana Zmana załana zwązana z zamaną L L' wynos S S S + f S + f f [ ] ' Soro węc ouszczamy ylo warace ruchu sełnaące δ ( ) δ ( ) s f ne olegaą warac czyl esremum funconału S' ocągne za sobą esremum funconału S cbo o lczby f ( ) Jao ćwczene waro owórzyć owó ego werzena w ęzyu równań Lagrange a czyl oazać Ŝe równana Lagrange a z uzałem func L' są równowaŝne równanom Lagrange a z wyorzysanem func L Rachune rowazmy bezośreno zaczynaąc o załoŝena Ŝe funce ( ) sełnaą równana Lagrange a z funcą L' L' L' buuąc oowen cąg równowaŝnośc ZADANIE 4 Uowon Ŝe ruch fzyczny w olu z oencałem ozycynym (funca oencału a ne zaleŝy o ( ) ) ne moŝe realzować masmum załana w sense zaleŝy ylo o oszuwana esremum załana na osanych wyŝe warunach Rozwązane Załaamy Ŝe oencał es cągłą funcą zmennych RozwaŜmy załane ( ) S L T V Perwsza z ych całe es z oczywsych owoów oreślona oano (energa neyczna es zawsze oana) 4

25 PoaŜemy Ŝe la aŝego ruchu łączącego usalone wcześne uny w chwl w chwl moŝemy wsazać aą moyfacę ruchu óra urzymuąc rugą całę na owolne mało zmenonym ozome ozwala na neogranczony wzros erwsze cał Moyfaca a olega na am wyłuŝenu oru aby z ene srony sowoowało o wzros ręośc (łuŝszy or rzy ne zmenonym czase ruchu oznacza węszą energę neyczną) a z ruge moŝlwe mało zmenło całę rugą Z cągłośc oencału wyna Ŝe en rug warune bęze sełnony o warunem Ŝe oruszaąc sę o nowym łuŝszym orze cząsa bęze w aŝe chwl osaeczne blso ołoŝena óre w e chwl zamowała w ruchu wyścowym Ta węc w zaleŝnośc o ego a barzo zamerzamy wyłuŝyć or cząs wysarczy ylo rzesrzegać ego aby or en był osaeczne gęso sląany woół oowench unów oru wyścowego ZADANIE 43 RozwaŜ un maeralny na sferze (bez sł zewnęrznych) Zaaemy owolne wa uny na sferze w rol unów Zgony z rawam mechan ruch mezy ym unam óry małby być zrealzowany o zaane chwl o zaane chwl mus obywać sę wzłuŝ oła welego Ta węc wać Ŝe eŝel ylo obywa wybrane uny ne leŝą na wsólne śrency o są we sone róŝne moŝlwośc zrealzowana ruchu fzycznego o wóch róŝnących sę łuach oła welego łączących e uny Przeysuu ę syuacę z unu wzena zasay waracyne Rozwązane: Fzyczny ruch o rószym łuu realzue mnmum załana T Jes o narósza roga łącząca zaane uny; aŝa eformaca ego oru wyłuŝa rogę (z onecznośc zwęszaąc ręość czyl zwęszaąc energę neyczną) a węc zwęsza eŝ całę T Z całą o łuŝszym łuu srawa wygląa oobne ale warość uzysanego am załana es uŝ ylo mnmum loalnym V PĘDY UOGÓLNIONE RozwaŜmy oreślony uła mechanczny órego ruch moŝe być osany f ego ułau nazywamy aą funcę wsółrzęnym uogólnonym wsółrzęnych uogólnonych ( ) ręośc Całą ruchu zgonego z rawam fzy ruchu ego ułau mechancznego ( ) cons f óre warość es sała oczas aŝego W nasęnym rozzale omówmy oŝyeczne werzene óre omaga oszuwać całe ruchu Na raze zauwaŝmy ylo Ŝe oryce cał ruchu moŝe być raowane ao znalezene równana róŝnczowego erwszego rzęu (ylo erwszego a ne rugego) la 5

26 oszuwanych func ( ) JeŜel na rzyła ena ze wsółrzęnych n es δl( ) δ wyraŝene δl δ δl wsółrzęną cylczną o es całą ruchu δ Ta węc zamas róŝnczować o wyraŝene o czase co ałoby równane róŝnczowe rugego rzęu ozosawamy równane erwszego rzęu (or zaane 36) Defnuemy s ęów uogólnonych s : L Mówmy Ŝe ę es anonczne srzęŝony ze wsółrzęną Ta węc ęy anonczne srzęŝone ze wsółrzęnym cylcznym są całam ruchu ZADANIE 5 W zaanu 36 znaleźlśmy całę ruchu zwązaną ze wsółrzęną cylczną ϕ Ja es zwąze e cał ruchu z weorem momenu ęu oblczanym wzglęem śroa symer ola sł? Wsazówa: W uawnone we wsomnanym zaanu całce ruchu wysęue wyraŝene mr ( sn ϑ) óre es momenem bezwłanośc unu maeralnego oblczonym wzglęem os z VI RÓWNANIA HAMILTONA Równana Lagrange a sanową uła s równań róŝnczowych zwyczanych na s func ( ) PoaŜemy eraz Ŝe uła en moŝna zasąć równowaŝnym ułaem s równań cząsowych erwszego rzęu na s func czasu: o omleu func s ołączą ęy uogólnone: s Ten nowy uła równań nos nazwę równań Hamlona ma osać: ( ) H ( ) H s s gze złoŝona funca czasu H( ) zefnowana es nasęuąco: 6

27 7 [ ] H L L nos nazwę func Hamlona Wyaśnena wymagaą zaleŝnośc funcyne uawnone w osanch wzorach Korzysamy u ze wzorów efncynych la ęów uogólnonych L óre o rozwłanu wzglęem ręośc uogólnonych s ozwalaą wyrazć e ręośc ao zaleŝne o wsółrzęnych ęów uogólnonych NaleŜy oczywśce uowonć Ŝe omle s równań Hamlona es równowaŝny omleow równań Lagrange a Równana Hamlona wynaą z równań Lagrange a Dowó: Oblczamy [ ] L L L L H \ \ \ \ \ \ \ ) ( \ na mocy równań Lagrange'a [ ] L L H + + \ \ \ \ \ ) ( \ cbo Dla uroszczena zasu rzymemy zasaę Ŝe owarzaący sę w loczyne zna oreślena oznacza sumowane o wsaźnach Zgone z ą noacą mamy węc na rzyła s

28 ZauwaŜmy Ŝe wyrowazaąc rug zesół równań (ych z ręoścam o rawe srone) ne orzysamy uŝ z równań Lagrange a Równana e moŝna raować ao równowaŝne rozwaŝanym wyŝe formułom ( ) Równana Lagrange a wynaą z równań Hamlona Czyelnow ozosawamy rzerowazene oowenego owou (echna rachowana es aa sama a w unce erwszym) ZADANIE 6 Oblcz ęy anonczne ( ) funcę Hamlona H( ) ułaów mechancznych: la nasęuących Swobony un maeralny Pun maeralny ne ogranczony węzam w owolnym olu sł osanym zwyłym oencałem V ( r ) (roszę uŝyć wsółrzęnych arezańsch) 3 Pun maeralny ne ogranczony węzam w olu cenralnym o symer sferyczne (uŝy wsółrzęnych sferycznych) Por zaane 36 4 Nałaowany un maeralny oruszaący sę bez węzów w olu U r r ϕ ( r ) r A r ( r ) eleromagneycznym osanym oencałem uogólnonym Waro rzyomneć sobe zaane 3 Wyn: r A H + ϕ m r + ϕ r r m 5 Pun maeralny oruszaący sę wzłuŝ rose rzecnaące sę z osą z o sałym ąem wruące woół e os ze sałą zaaną ręoścą ąową ω (węzy reonomczne) W unach -4 osanego zaana melśmy o czynena z obeam bez węzów albo z węzam sleronomcznym We wszysch ych rzyaach funca Hamlona oazała sę oŝsama ze znaną ze szolne fzy energą mechanczną E T + V Pun 5 wyłamue sę z e zasay: funca Hamlona ne orywa sę am z energą (rzyczyną es reonomczność węzów) WyŜe uowonlśmy równowaŝność równań Lagrange a równań Hamlona Pommo e formalne równowaŝnośc waro ena amęać o sone róŝncy meoyczne aą wyazuą obywa formalzmy RóŜnca a srawa Ŝe formalzm Hamlona es w ewnym sense oorząowany formalzmow Lagrange a Aby wsazać ę róŝncę wróćmy o uwag oczynone wcześne zgone z órą ołowa równań Hamlona równowaŝna es nformac o zwązach ( ) czyl - o rozwłanu - o zwązach ( ) srawźmy czy a sę zasosować formalzm Hamlona o owolnego ułau 8

29 mechancznego bez wcześneszego owoływana sę o formalzmu Lagrange a zbuowanego la ego ułau NaleŜałoby węc zacząć o wysana func Hamlona ZauwaŜmy Ŝe eŝel omnemy formalzm Lagrange a o ne wemy w a sosób ęy anonczne wyraŝaą sę rzez wsółrzęne uogólnone ręośc uogólnone (czyl - nnym słowy - ne znamy rzesu na merzene ęów) a zaem ne wemy a ręośc wyraŝaą sę rzez wsółrzęne ęy Ta weza es nam ena orzebna eŝel chcemy sorzysać z efnc H L Ta węc chcąc urawać formalzm Hamlonanu [ ] Hamlona ao auonomczne narzęze o rozwązywana roblemów z mechan muselbyśmy la aŝego ułau mechancznego znać funcę Hamlona neao z obawena W rayce zaś wylczamy ą na osawe wsomnane efnc czyl załaamy ne ylo wcześneszą znaomość func Lagrange a ale eŝ wywezonych z e func zaleŝnośc ( ) bęących reścą ołowy równań Hamlona VII TWIERDZENIE NOETHER RozwaŜamy uła mechanczny osany omleem wsółrzęnych uogólnonych s Nech omle func ( s ) osue ewen ruch ego ułau obywaący sę zgone z rawam fzy (czyl funce sełnaą równana ruchu) RozwaŜamy neco nny (neoneczne fzyczny) ruch ego samego ułau zaany nasęuącym wzoram: + εψ ' X ( ) ' ' + ε Czasy ' merzone są ym samym zegarem warośc wsółrzęnych ' oczyywane są wzglęem ego samego ułau onesena co warośc wsółrzęnych a aramer ε es nesończene mały Funce ( ) X ( ) Ψ nazywamy generaoram rozwaŝane ransformac PowyŜsze wzory ransformacyne naleŝy rozumeć nasęuąco: Zaczynamy o warośc ocząowych zmennych rzesrzennych czasu oowaaących ruchow fzycznemu ( ) Posawaąc e o owyŝszych wzorów owauemy sę gze ey zaczyna sę ruch zmenony Posawaąc o ych samych wzorów alsze beŝące warośc wsółrzęnych czasu wylczymy oowene nowe ołoŝena chwle w órych e ołoŝena bęą osągane w ruchu zmenonym NaleŜy oreślć Ŝe ruch zmenony na ogół ne moŝe sę obyć o własnych słach bo es nefzyczny (czyl funce ' ( ' ) ne sełnaą równań ruchu) a węc la realzac ego ruchu na ogół oneczna byłaby ngerenca z zewnąrz Zmenony ruch a oczywśce na ogół nną warość załana Ineresuą nas ena rzya gy załane ne zmen sę ommo zmany ruchu a ołane gy zmen sę o wyraŝene roorconalne o oęg eslona ne nŝsze nŝ ε (czyl gy a część zmany załana óra es roorconalna o ε zna) Twerzene Noeher wąŝe ze sobą ew nezmennczość załana o wływem rozwaŝone ransformac z onrenym wyraŝenem bęącym funcą ruchu czyl 9

30 R( ) óre o wyraŝene es w am rzyau sałe oczas ruchu fzycznego (a węc es całą ruchu): n L R ( X ) Ψ + LX L ( X ) Ψ + LX Twerzene Neoher mów Ŝe eŝel zmana załana o wływem ransformac ' ' es weloścą nesończene małą rzęu ε lub wyŝszego (a węc ne rzęu ε ) o R es całą ruchu oczas ruchu fzycznego Dowó: Oblczamy ochoną func R o czase (z zamarem uowonena Ŝe a ochona zna): R ( Ψ X ) L + LX L L L Ψ + Ψ X L X L X L X L X LX L X orzysamy z ego Ŝe ruch Ŝe aŝa funca sełna równane L Ψ L L X LX L Ψ X es ruchem fzycznym czyl L L Wyn ego rachunu ołaamy na chwlę na bo wracamy o orównywana załań oblczonych la ruchu fzycznego ruchu zmenonego Oblczamy róŝncę ych załań: ' ' ( '' ') ' ( ) L L ' (w erwsze całce rzechozmy o zmenne ' o : ( + εx ) [ ] ( '' ')( + ) ( ) L ε X L ' ) 3

31 Osobno oblczamy L( '' ' ) (omamy rzy ym człony rzęu ε L ( '' ') L( ) + ( ' ) + (' ) + ( ' ) + ( ε ) L ( ) L L L L L L + + ( X + ) ε ε Ψ Ψ X ε bo ' ( Ψ) czyl wyŝszego): ' ' + εψ + ε εx + ε + ε X + ε ' ' + εx L ( ) ( Ψ ) ε ε X X L L L L ( ) + Ψ + ( Ψ X ) + ε ( + ε ) ( ) ε L L L Ψ + Ψ X X LX ( ) ε L + L ( ε ) ( Ψ X ) LX + ( ε ) (z załoŝena) ( ) L ( Ψ X ) + LX ( Ψ X ) + LX Chwla es u wybrana nazuełne owolne a węc w owolne chwl wybrane L Ψ X + LX bęze aa a w chwl ocząowe oczas ruchu warość wyraŝena ε cbo Waro rzyrzeć sę wynaącym z werzena Noeher całom ruchu zwązanym z nezmennczoścą załana wzglęem nasęuących ransformac: Translaca rzesrzenna w erunu ene ze zmennych ' + ε ozosałe zmenne rzesrzenne ne olegaą ransformac ' (czyl Ψ ozosałe generaory Ψ wynoszą zero X ) 3

32 u całą ruchu oazue sę być ę anonczne srzęŝony z ą zmenną w erunu óre rzesuwamy raeorę W zasaze omówlśmy uŝ o zaganene wcześne gy swerzlśmy Ŝe ę anonczne srzęŝony ze wsółrzęną cylczną es całą ruchu Obró w zwyłych rzech wymarach (wsółrzęnym uogólnonym są wsółrzęne sferyczne a ransformaca olega na nesończene małym obroce woół os z órą usawamy wzłuŝ os zamerzonego obrou czyl ϕ' ϕ + ε ) Całą ruchu es słaowa z-owa momenu ęu ZauwaŜmy Ŝe es o szczególny rzyae unu 3 Przesunęce czasu o ε (oznacza o wyonane całego ruchu w a sam sosób ale o czas ε óźne) całą ruchu es funca Hamlona Oczywśce swerzena uęe w unach -3 wymagaą srawzena co zalecamy Czyelnow Ne naleŝy eŝ zaomnać o ym Ŝe wymenone ransformace m o g ą n e b y ć ( na ogół ne są) ransformacam symer la anego ułau fzycznego JeŜel uła ne wyazue symer ranslacyne ( ) czy obroowe ( ) o oowene ęy anonczne n e s ą całam ruchu JeŜel z ole ole sł zaleŝy awne o czasu (oencał zaleŝny awne o czasu) o rzesunęce ruchu w czase równeŝ owoue zmanę załana a funca Hamlona n e e s całą ruchu ZADANIE 7 Uogóln werzene Noeher na rzyae gy o wływem ransformac wyznaczone generaoram Ψ( ) X ( ) cała załana zmena sę co rawa o welość rzęu ε ale zmana a wyraŝa sę ylo rzez warośc wsółrzęnych na ocząu na ońcu ruchu na zasaze uęe nasęuącym zwązem: ' ( '' ') ' ( ) ( ) δs L L ε ε f + ' Zaane olega na uowonenu Ŝe cała ruchu óre snene wyna z osanych u L Ψ X + LX f oolcznośc ma osać ZADANIE 7 W zaanu 6 oblczalśmy funcę Hamlona la unu maeralnego oruszaącego sę wzłuŝ rose rzecnaące sę z osą z nachylone o ne o usalonym ąem α obracaące sę woół e os z zaaną sałą ręoścą ąową Swerzlśmy am Ŝe funca a ne orywa sę z energą mechanczną unu maeralnego Sonfronu en wyn z całą ruchu zwązaną z symerą ułau wzglęem ranslac w czase (un 3 osanego wylczena) 3