DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Transkrypt

1 DYNAICZNE ODELE EKONOERYCZNE IX Ogólnoolsie Seminarium Nauowe, 6 8 września 005 w oruniu Katedra Eonometrii i Statystyi, Uniwersytet iołaja Koernia w oruniu Jace Kwiatowsi Uniwersytet iołaja Koernia w oruniu Bayesowsie testowanie rocesów SUR analiza indesów i sółe notowanych na GPW. Wstę Przerowadzone w ostatnim czasie badania emiryczne dotyczące rocesów maroeonomicznych i finansowych wsazują, że rocesy te mogą osiadać losowy ierwiaste jednostowy. Procesy te oreślane mianem rocesów ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym (SUR) ze względu na wystęujący w nich losowy arametr są częściowo stacjonarne lub niestacjonarne. Celem rezentowanego artyułu jest rzedstawienie w oarciu o wniosowanie bayesowsie wyniów badań dotyczących identyfiacji rocesów ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym dla wybranych sółe i indesów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. Na gruncie lasycznym, wynii dotyczące identyfiacji modeli SUR zamieścili w swoich racach m.in. Leybourne, ccabe i remayne (996), Granger i Swanson (997), Sollis, Leybourne i Newbold (000), Kwiatowsi i Osińsa (004), Kwiatowsi (004). W zaresie wniosowania bayesowsiego badania emiryczne rzerowadzili Jones i arriott (999). Szerszy ois bayesowsiej analizy rocesów (SUR) można znaleźć w artyule Kwiatowsiego (005). Jao wcześniejsza racę z tego zaresu należy wymienić artyuł Jonesa i arriotta (999), w tórym rzedstawiono bayesowsą estymację modelu SUR w wersji Grangera i Swansona (997). W rezentowanym artyule roonuje się natomiast wyorzystanie modelu SUR w wersji Leybourne, ccabe i remayne (996), tóra zdaniem autora Praca zrealizowana w ramach rojetu badawczego nr H0B 05 5; jwiat@uni.torun.l

2 8 Jace Kwiatowsi jest łatwiejsza w stosowaniu i znacznie mniej wymagająca od strony numerycznej. Uład artyułu jest nastęujący. Część druga rzedstawia model ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym oraz związane z nim wniosowanie bayesowsie. Część trzecia zawiera badania emiryczne rzerowadzone dla wybranych sółe i indesów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. W części czwartej zamieszczone są wniosi.. odel i wniosowanie bayesowsie Rozważaną rerezentację modelu SUR (stochastic unit roots rocess) można rzedstawić nastęująco: gdzie y = β y + ε, t t t t t = α + φ βt α φ βt ( ) ( α) t β + η, () yt oznacza realizację rocesu w chwili t. Losowy arametr β t jest sta- ε i η są białymi szumami cjonarnym rocesem autoregresyjnym. Procesy t odowiednio z wariancjami σ i ω. Dodatowo załada się, że są wzajemnie niezależne. Jeżeli jest rocesem błądzenia rzyadowego to wariancja białego szumu ω y t równa jest zero. Dodatowo bezwarunowa wariancja w równaniu () ma zdegenerowany rozład w zerze. Dla ω > 0 () jest rocesem ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym. Parametr w tym modelu zmienia się w czasie woół jedyni, zatem jest to roces, tóry jest częściowo stacjonarny lub niestacjonarny. Przyjmując, że arametr β t jest rocesem autoregresyjnym rzędu drugiego oraz załadając, że rozład obserwacji i nieobserwowanego arametru w modelu SUR jest warunowym rozładem normalnym możemy zaisać: y t y ( β y ) t βt, σ ~ N t t,, σ, dla t + ( ) β t βt, βt, α, φ, φ, ω ~ N α φi βt i α, ω. () i= W szczególnych rzyadach, w tórych stochastyczny ierwiaste jednostowy jest rocesem autoregresyjnym rzędu ierwszego lub białym szumem wystarczy założyć w (), że odowiednie wsółczynnii autoregresji są równe zero tj. φ i = 0, i =,. W oarciu o wymienione wyżej założenia gęstość róbową w modelu SUR można rzedstawić nastęująco: ( y y ) ( ) 0, β, θ = N α + φi βt i α, ω N( βt yt, σ ), (3) t= i= t= t

3 Bayesowsie testowanie rocesów SUR... 9 σ gdzie θ = ( α, φ, φ, ω, )', R ( ) α, Φ = (, φ )' C φ, ω R +, σ R+, β = β, β,..., ' R ; - oznacza liczbę obserwacji, natomiast - jest β obszarem zmienności arametrów, rzy tórych roces autoregresyjny w modelu () jest stacjonarny. Jeżeli rzyjmiemy założenie o niezależności arametrów w modelu SUR, to rozład a riori wetora θ jest iloczynem gęstości brzegowych rozładów jego sładowych: ( θ) ( α) ( φ ) ( φ ) ( ω ) ( ) =. (4) σ Dla wszystich arametrów rzyjęto standardowe rozłady właściwe: ( ) ( α = N µ α, σα ), ( ) (, φ = N µ φ σ ) φ, ( φ ) ( ) N µ, φ σ φ ( ω ) = IG( a,b ), ( ) = IG( a,b ) gdzie ( µ,σ ) =, C σ, (5) N oznacza rozład normalny o średniej µ i wariancji σ, natomiast IG ( a, b) oznacza odwrócony rozład gamma z arametrami a > 0, b > 0. Ze względu na fat, że arametr β t jest częścią modelu, można założyć, że wszystie zawarte o nim informacje znajdują się w funcji wiarygodności (Jones i arriott, 999; Jostova i Philiov, 004). Stąd łączny rozład a osteriori wetora θ będący iloczynem rozładu a riori (5) i róbowej gęstości (3) ma ostać: (, θ y, y0 ) N( µ α, σα ) N( µ φ, σφ ) N( µ φ, σφ ) IG( a, b ) IG( a, b β ) N α + φi t i t= i= = α, ω N βt yt, σ ). (6) t ( β ) ( W celu otrzymania brzegowych rozładów a osteriori można zastosować algorytm Gibbsa, tóry jest jedną z bardziej oularnych metod stosowanych we wniosowaniu bayesowsim do wyznaczenia róbowych gęstości brzegowych i ich charaterysty. Poszczególne rozłady brzegowe wyorzystywane rzy algorytmie Gibbsa dla sładowych wetora θ oraz dla losowego arametru β t znajdują się w racy Kwiatowsiego (005). Jednym z fundamentalnych zagadnień w analizie szeregów czasowych jest wybór odowiedniego modelu. Dla modelu SUR w ostaci () możemy badać rząd autoregresji dla losowego arametru β t. Dodatowo można weryfiować czy analizowany roces ma stały, czy też zmienny w czasie ierwiaste jednostowy. estowanie modeli odbywa się rzez orównanie ich mocy wyja- Rozłady rezentowane w artyule można znaleźć m.in. w siążce Gelmana,Carlina, Sterna i Rubina (995).

4 0 Jace Kwiatowsi śniającej. Przyjmując założenie, że dwa modele ( i ) są a riori jednaowo rawdoodobne orównanie mocy wyjaśniającej można doonać za omocą czynnia Bayesa, tóry dany jest wzorem: oznacza brzegową gęstość wetora obserwacji w mo- ( z i ) ij ( z j ) gdzie ( z ) ( = i, j) delu. Czynni Bayesa więszy od jedyni ( >) B =, (7) ij i j B oznacza, że model jest bardziej rawdoodobny niż model j. Jednym z odstawowych zagadnień we wniosowaniu bayesowsim jest obliczenie brzegowej gęstości wetora obserwacji: ( z ) ( Θ ) ( z Θ ) dθ =,, (8) =. Niestety ze względu na złożoność zagadnień bardzo rzado daje się ją obliczyć analitycznie. W rzyadu modeli SUR, gdzie wyorzystywany jest algorytm Gibbsa, tóry jest częścią metod numerycznych oreślanych jao metody onte Carlo wyorzystujące łańcuchy arowa 3, naturalnym narzędziem do estymacji brzegowej gęstości jest średnia harmoniczna dana wzorem (Newton i Raftery, 994): gdzie onurujące modele rerezentuje zbiór {,,... } N ( n) ( z ) = ( z Θ N n=, ), (9) ( ) i ( n) gdzie Θ są realizacjami z łańcucha arowa, natomiast z oznacza wetor obserwacji. Estymator ten (N-R) jest łatwy w użyciu. Wymagana jest tylo znajomość róbowej gętości y Θ, oraz realizacji z rozładu a osteriori. Główną wadą tego estymatora jest jego niestabilność, onieważ nie sełnia on centralnego twierdzenia granicznego (Carlin i Louis, 000). Z ratycznego untu widzenia dzieje się ta, onieważ bardzo małe wartości funcji wiarygodności w znaczny sosób wywierają wływają na wielość średniej harmonicznej. Oazuje się jedna, że dla wielu aliacji, algorytm N-R jest stabilny, bliso rawdziwej wartości brzegowej gęstości i z owodzeniem może być stosowany dla wielu zastosowań (Osiewalsi i Piień, 004). 3 arow Chain onte Carlo methods (CC).

5 Bayesowsie testowanie rocesów SUR.... Identyfiacja SUR na GPW Bayesowsie testowanie modeli rzerowadzono dla wybranych indesów i sółe notowanych na GPW w Warszawie w oresie od stycznia 000 do ońca wietnia 005. W artyule doonano analizy szeregów tygodniowych, o urzednim ich zlogarytmowaniu. Badaniu odlegały główne indesy: WIG, WIG0, IDWIG i ECHWIG oraz sółi. Ich szczegółowy wyaz znajduje się w tablicy. Dla ażdego rocesu rozważono cztery onurencyjne i wzajemnie wyluczające się modele. Rozważano możliwość istnienia rocesu ze stałym ierwiastiem jednostowym, czyli weryfiowano hiotezę, że badane rocesy odlegają błądzeniu rzyadowemu (model ). Dodatowo rozważono trzy rerezentacje rocesu SUR. Analizowano czy zmienny ierwiaste jednostowy może być oisany rzez roces biało-szumowy (model ; SUR;WN), roces autoregresyjny rzędu ierwszego (model AR()) lub drugiego (model zatem nastęującą ostać: : y t = ε t, : y t = β t yt + ε t, β = α +, 4 t η t 3 : y t = β t yt + ε t, β t = α + φ ( βt α) + ηt, 4 : y t = β t yt + ε t, β t = α + φ ( βt α) + φ( βt α) + ηt. 3 ; SUR; ; SUR; AR()). Poszczególne modele mają estowanie modeli odbywało się orzez obliczenie brzegowej gęstości wetora obserwacji za omocą estymatora Newtona i Raftery iego (994). Gęstość brzegowa dla ażdego modelu była obliczona w oarciu o łańcuch arowa, tóry sładał się z miliona iteracji. oc wyjaśniającą dla oszczególnych modeli orównywano za omocą czynnia Bayesa (7). W celu estymacji i testowania modeli rzyjęto rozład a riori, tóry wyraża stosunowo niewielą informację wstęną o arametrach: ( θ ) = ( α ) ( φ ) ( φ ) ( ω ) ( σ ) = N ( 0,0) N( 0,0) N( 0,0) IG( 0,0,0,0) IG( 0,0,0,0). = Ze względu na duże roziętości otrzymanych wartości, wynii logarytmowano. Zlogarytmowane czynnii Bayesa dla oszczególnych modeli obliczone względem modelu błądzenia rzyadowego rzedstawia tabela. Pogrubioną czcioną zaznaczono modele, tóre są najbardziej rawdoodobne. W rzyadach na 5 najbardziej rawdoodobny oazał się model błądzenia rzyadowego. Jest to model ze stałym ierwiastiem jednostowym. Wszystie

6 Jace Kwiatowsi analizowane indesy są rocesami zintegrowanymi rzędu ierwszego. Wśród analizowanych sółe najbardziej referowany jest również roces błądzenia rzyadowego. ylo trzy sółi to rocesy tyu SUR, czyli ze zmiennym ierwiastiem jednostowym. Są to ieszo, illenium i Otimus. W więszości rzyadów losowy arametr w rocesach SUR nie wyazuje autoorelacji, czyli jest białym szumem. abela. Logarytm dziesiętny czynniów Bayesa ( ) Badane rocesy log obliczony względem 0 B RWj modelu błądzenia rzyadowego dla wybranych indesów i sółe Błądzenie rzyadowe SUR;WN SUR; AR() 3 SUR; AR() 4 WIG WIG IDWIG ECHWIG APAOR BRE BZWBK DEBICA HANDLOWY IESZKO ILLENIU OPIUS PROCHNIK PSA WAWEL Źródło: Obliczenia własne. 3. Wniosi W artyule rzedstawiono modele ze stochastycznym ierwiastiem jednostowym SUR. Dodatowo omówiono bayesowsie testowanie tych modeli. Badania identyfiacji rocesów SUR dotyczyły wybranych sółe i indesów giełdowych notowanych na GPW w Warszawie. W oarciu o wynii rzerowadzonych badań można stwierdzić, że więszość analizowanych indesów i sółe wyazuje stały ierwiaste jednostowy. ylo ila z nich, mianowicie ieszo, illenium i Otimus to rocesy SUR.

7 Bayesowsie testowanie rocesów SUR... 3 Literatura Box, G.E.P., Jenins, G.. (976), ime Series Analysis: Forecasting and Control, San Francisco, Holden-Day. Carlin, B.P., Louis,.A. (000), Bayes and Emirical Bayes ethods for Data Analysis, New Yor, Chaman & Hall/CRC. Gelman, A., Carlin J., Stern, H., Rubin, D. (997), Bayesian Data Analysis, London, Chaman & Hall. Granger, C.W.J., Swanson, N.R. (997), An Introduction to Stochastic Unit root Process, Journal of Econometrics, vol. 80, Jones, C.R., arriott, J.. (999), A Bayesian analysis of stochastic unit root models, Bayesian Statistics, vol. 6, Jostova, G., Philiov, A. (004), Bayesian analysis of stochastic betas, Journal of Financial and Quantitative Analysis, w druu. Newton,.A., Raftery, A.E. (994), Aroximate Bayesian inference by the weighted lielihood bootstra (with discussion), Journal of the Royal Statistical Society B, vol. 56, Kwiatowsi, J. (004), aximum lielihood estimation of stochastic unit root models with GARCH disturbances, raca nieubliowana. Kwiatowsi, J. (005), A Bayesian analysis of SUR models, raca nieubliowana. Kwiatowsi, J., Osińsa,. (004), Forecasting SUR rocesses. A comarison to threshold and GARCH models, raca nieubliowana. Leybourne, S.J., ccabe, B.P.., ills,.c. (996), Randomized unit root rocesses for modelling and forecasting financial time series: theory and alications, Journal of Forecasting, vol. 5, Leybourne, S.J., ccabe, B.P.., remayne, A.R (996), Can economic time series be differenced to stationarity? Journal of Business and Economic Statistics, vol. 4, Osiewalsi, J., Piień,. (004), Bayesian comarison of bivariate ARCH-tye models for main exchange rates in Poland, Journal of Econometrics, vol. 3, Sollis, R., Leybourne, S.J., Newbold, P. (000), Stochastic unit roots modelling of stoc rice indices, Alied Financial Economics, vol. 0, 3 35.