TOMASZ TRACZYK MATEMATYKA DYSKRETNA Wykłady 9-10 Grafy Hamiltona

Transkrypt

1 TOMASZ TRACZYK MATEMATYKA DYSKRETNA Wykłady 9-10 Grafy Hamiltona Legenda głosi, Ŝe kiedy sir Wiliam Hamilton został wsadzony do więzienia za długi wymyślił grę w dookoła świata aby zdobyć pieniądze i wyjść na wolność. Gra (właściwie łamigłówka) polegała na tym, Ŝe wierzchołki dwunastościanu foremnego zostały poetykietowane nazwami stolic róŝnych państw świata i naleŝało znaleźć trasę podróŝy dookoła świata. W podróŝy naleŝało odwiedzić kaŝdą stolicę dokładnie raz i wrócić do punktu startowego. Gra nie odniosła sukcesu finansowego, ale dała początek dziedzinie teorii grafów, która do dnia dzisiejszego budzi Ŝywe zainteresowanie grafomanów (grafologów?, grafofilów?) KaŜdy rozpinający cykl prosty w grafie G nazywamy cyklem Hamiltona. Graf G nazywamy grafem Hamiltona gdy G posiada cykl Hamiltona. Problem znalezienia dobrej charakteryzacji grafów Hamiltona, czyli prostego kryterium pozwalającego odróŝnić grafy Hamiltona od innych okazał się znacznie trudniejszy niŝ w przypadku grafów Eulera pomimo pozornego podobieństwa definicji, i na dobrą sprawę jest otwarty do dziś. Znamy sporo warunków koniecznych, sporo warunków dostatecznych, ale nie znamy przyzwoitego warunku koniecznego i dostatecznego na istnienie cyklu Hamiltona w grafie. Graf Hamiltona o n wierzchołkach jest cyklem C n z dodaną pewną liczbą krawędzi dla zmylenia przeciwnika. Tak więc struktura grafu Hamiltona jest niezwykle prosta a mimo to przeciwnik jest często zmylony tak skutecznie, Ŝe nie potrafi rozstrzygnąć czy dany graf jest czy nie jest grafem Hamiltona. Z jednego końca spektrum, jeśli graf G ma krawędzi niewiele więcej niŝ wierzchołków to łatwo na palcach sprawdzić istnienie cyklu Hamiltona. Na drugim końcu mamy sporo twierdzeń mówiących, Ŝe odpowiednio duŝa liczba krawędzi wymusza istnienie cyklu Hamiltona. Prawdziwy problem jest tam, gdzie krawędzi jest średnio duŝo. θ-grafem nazywamy kaŝdy dwuspójny graf, mający dokładnie dwa wierzchołki stopnia i pozostałe wierzchołki stopnia 2, przy czym wierzchołki stopnia nie sąsiadują. Skojarzenie z literą θ jest chyba oczywiste. Łatwo teŝ zauwaŝyć, Ŝe Ŝaden θ-graf nie jest grafem Hamiltona. Twierdzenie. Jeśli G jest grafem Hamiltona to dla kaŝdego dodatniego k i dla kaŝdego k-elementowego zbioru W, W V(G), liczba składowych w grafie G-W nie przekracza k. Usunięcie k wierzchołków z cyklu prostego nie dzieli go na więcej niŝ k dróg prostych. Stąd widać dlaczego θ-grafy nie maja cykli Hamiltona. Warunek powyŝszy nie jest, niestety, warunkiem dostatecznym. Wniosek.

2 KaŜdy graf Hamiltona jest dwuspójny. Twierdzenie. Jeśli dwuspójny graf G nie zawiera θ-podgrafu to zawiera cykl Hamiltona. Przypuśćmy, Ŝe C jest najdłuŝszym cyklem prostym w dwuspójnym grafie G nie mającym cyklu Hamiltona i wierzchołek z nie naleŝy do C. Weźmy dowolne x,y V(C). Z twierdzenia Aires a istnieje wówczas x-y droga prosta P w G przechodząca przez z. Bez zmniejszenia ogólności moŝemy załoŝyć, Ŝe x i y są jedynymi wierzchołkami cyklu C naleŝącymi do P (stosujemy starą sztuczkę weźmy ostatni wierzchołek... ). Wierzchołki x i y nie sąsiadują w cyklu C gdyby sąsiadowały to zastępując krawędź xy drogą P otrzymalibyśmy cykl prosty dłuŝszy niŝ C. Stąd C P jest θ-podgrafem grafu G. Warunek powyŝszy nie jest, niestety, warunkiem koniecznym nawet jeśli zaŝądamy aby G nie zawierał indukowanego θ-podgrafu. Istnieje pewna liczba warunków dostatecznych istnienia cyklu Hamiltona w grafie opartych na obserwacji, Ŝe dodawanie nowych krawędzi do grafu Hamiltona nie moŝe zepsuć istniejącego cyklu Hamiltona (inaczej niŝ w grafach Eulera), więc Ŝądanie istnienia odpowiednio duŝej liczby krawędzi powinno wystarczyć dla istnienia cyklu Hamiltona. D k (G)={v V : deg G (v) k} Twierdzenie. (Pósa, 1962) G jest grafem o p wierzchołkach, p. Dla kaŝdego n, 1 n<½(p-1) zachodzi D n (G) <n oraz, dla n=½(p-1), zachodzi D n (G) n. Wówczas G jest grafem Hamiltona. Przypuśćmy, Ŝe twierdzenie jest fałszywe. Niech G będzie maksymalnym kontrprzykładem o p wierzchołkach. PoniewaŜ dodawanie krawędzi do grafu spełniającego warunek Pósa nie psuje tego warunku, więc dodanie dowolnej nowej krawędzi do G powoduje pojawienie się cyklu Hamiltona. Innymi słowy, kaŝde dwa niesąsiadujące wierzchołki G są końcami pewnej drogi prostej i rozpinającej w G (drogi Hamiltona). Udowodnimy najpierw: (*) KaŜdy wierzchołek u stopnia n ½(p-1) sąsiaduje z kaŝdym wierzchołkiem w stopnia >½(p-1), czyli ½p. Rzeczywiście, jeśli u nie sąsiaduje z w to istnieje w G droga prosta (u=v 1,v 2,...,v p =w). Oznaczmy przez v i1,v i2,...,v in sąsiadów wierzchołka v 1, 2=i 1 <i 2 <... <i n <p. Jeśli v p sąsiaduje z pewnym wierzchołkiem v ij-1 to ciąg (v 1,v 2,...,v ij-1,v p,v p-1,...,v ij, v 1 ) jest cyklem Hamiltona w G, wbrew definicji G. Stąd ½(p-1)<deg(v p ) p-1-n ½(p-1). Istnieje więc w G wierzchołek stopnia <½p w przeciwnym razie G byłby grafem pełnym, a więc miałby cykl Hamiltona. Niech m będzie maksymalnym stopniem wierzchołka mniejszym od ½p i weźmy u 1 wierzchołek stopnia m. Z warunku Pósa mamy D m m<½p. Stąd w G jest więcej niŝ m wierzchołków stopnia większego niŝ m, a więc na mocy definicji m, stopnia co najmniej ½p. Istnieje więc w G wierzchołek u p, deg(u p ) ½p, nie sąsiadujący z u 1. Tak jak poprzednio rozwaŝmy drogę Hamiltona (u 1,u 2,...,u p ) i oznaczmy przez u i1,u i2,...,u im sąsiadów wierzchołka u 1. Podobnie jak poprzednio, u p nie sąsiaduje z Ŝadnym wierzchołkiem typu u ij-1,

3 j=1,2,... m. PoniewaŜ deg(u p ) ½p i u p nie sąsiaduje z u 1, więc na mocy (*), deg(u 1 )=m<½(p- 1) czyli z warunku Pósa, D m <m. Stąd przynajmniej jeden z wierzchołków u i1-1,...,u im-1 ma stopień większy niŝ m, a więc co najmniej równy deg(u p ) ½p wbrew (*). Twierdzenie. (Dirac, 1952) G jest grafem o p wierzchołkach, p i dla kaŝdego v V, degv ½p. Wówczas G ma cykl Hamiltona. Oczywisty wniosek z twierdzenia Pósa. Twierdzenie Diraca było historycznie pierwsze z całej serii twierdzeń tego typu i główny pomysł dowodowy polegający na rozwaŝaniu wierzcołków typu u ij-1 pochodzi właśnie od Diraca. Twierdzenie. (Ore, 1960) G jest grafem o p wierzchołkach, p i dla kaŝdej pary nie sąsiadujących wierzchołków u,v V, degu+degv p. Wówczas G ma cykl Hamiltona. Udowodnimy, Ŝe warunek Ore implikuje warunek Pósa. Przypuśćmy, Ŝe G nie spełnia warunku Pósa, czyli dla pewnego n ½(p-1) mamy D n n. Jeśli zachodzi warunek Ore to kaŝde dwa wierzchołki z D n sąsiadują. Stąd jeśli D n >n to D n =n+1 i Ŝaden wierzchołek z D n nie sąsiaduje z Ŝadnym z V-D n, więc takie pary wierzchołków nie spełniają warunku Ore. Pozostaje przypadek D n =n. Wówczas kaŝdy wierzchołek z D n sąsiaduje z co najwyŝej jednym spoza D n (bo ma co najwyŝej n sąsiadów, z tego co najwyŝej n-1 w D n. PoniewaŜ n ½(p-1)< ½p więc poza D n istnieje wierzchołek w nie sąsiadujący z Ŝadnym wierzchołkiem z D n, czyli degw p-n-1. Stąd dla kaŝdego u D n mamy degu+degw n+p-n-1<p. Ostatecznym rozwinięciem pomysłu Diraca jest poniŝsze twierdzenie Bondy ego i Chvátala. k-domknięciem grafu G nazywamy minimalny (w sensie relacji bycia podgrafem) graf H taki, Ŝe G jest podgrafem rozpinającym H i dla kaŝdej pary nie sąsiadujących wierzchołków u i v deg H (u)+deg H (v)<k Graf będący k-domknięciem grafu G oznaczamy przez C k (G). Twierdzenie. (Bondy, Chvátal, 1976) G jest grafem o p wierzchołkach, p i C p (G)=K n. Wówczas G jest grafem Hamiltona. Udowodnimy najpierw Lemat. Jeśli G jest grafem o p wierzchołkach, p i istnieją w G wierzchołki u i v takie, Ŝe deg G (u)+deg G (v) p i G+uv jest grafem Hamiltona to G jest grafem Hamiltona. lematu Jeśli uv E(G) to G+uv=G i nie ma czego dowodzić. Przypuśćmy, Ŝe e=uv E(G) i G nie ma cyklu Hamiltona. PoniewaŜ po dołączeniu krawędzi e pojawia się cykl Hamiltona, więc w G istnieje u-v prosta droga rozpinająca (u 1 =u,u 2,...,u p =v). PoniewaŜ deg G (u)+deg G (v) p więc istnieje i takie, Ŝe v i sąsiaduje z u 1 i v i-1 sąsiaduje z u p. Stąd ciąg (u 1, u 2,..., u i-1, u p, u p-1,..., u i, u 1) jest cyklem Hamiltona w G, wbrew załoŝeniu.

4 twierdzenia. Jasne jest, Ŝe K p =C k (G) moŝna otrzymać w s krokach (s= E(C p ) - E(G) ) dodając w kaŝdym kroku jedną krawędź łączącą wierzchołki, których suma stopni jest p. PoniewaŜ K p jest grafem Hamiltona i w kaŝdym kroku dodajemy krawędź spełniającą załoŝenia lematu więc, zgodnie z lematem, wszystkie grafy otrzymane w kolejnych krokach, łącznie z pierwszym - czyli z grafem G, są grafami Hamiltona. Okazuje się, Ŝe twierdzenie Bondy ego Chvátala jest istotnie mocniejsze od twierdzenia Pósa, a więc takŝe Ore i Diraca. pomijamy. Z nieco innego nurtu badań pochodzi następujące Twierdzenie. (Erdös, Chvátal, 1972) G jest grafem o p wierzchołkach, p i κ(g) β 0 (G). Wówczas G jest grafem Hamiltona. C najdłuŝszy cykl prosty w grafie G spełniającym załoŝenia twierdzenia. Przypuśćmy, Ŝe istnieje wierzchołek u nie naleŝący do C. Oznaczmy k=κ(g). Na mocy twierdzenia Diraca o wachlarzu, w G istnieje u {x 1,x 2,...,x k } wachlarz dla dowolnego wyboru wierzchołków x 1,x 2,...,x k z C (kto nie wie dlaczego cykl C zawiera co najmniej k wierzchołków niech chwilkę pomyśli). Wierzchołki x 1,x 2,...,x k moŝemy wybrać tak, Ŝe kaŝda z dróg wachlarza ma tylko jeden wierzchołek z C mianowicie koniec róŝny od u, czyli jeden z wierzchołków x 1,x 2,...,x k. Oznaczmy przez y i poprzednika wierzchołka x i na cyklu C (w jednej z dwóch moŝliwych orientacji cyklu C). Jeśli i j to y i nie sąsiaduje z y j w przeciwnym razie ciąg (y i, y j, y j -x i odcinek C, x i -u droga z wachlarza, u-x j droga z wachlarza, x j -y i odcinek C) byłby cyklem prostym dłuŝszym od C. śaden z wierzchołków y 1,y 2,...,y k nie sąsiaduje z u bo w przeciwnym razie ciąg (y s,u, u-x s droga z wachlarza, x s -y s odcinek C) byłby cyklem prostym dłuŝszym od C. Stąd zbiór {y 1,y 2,...,y k,u} jest κ(g)+1 elementowym zbiorem niezaleŝnym, co przeczy załoŝeniu, Ŝe κ(g) β 0 (G). Badane są przeróŝne warianty problemu Hamiltona. Jeden z nich polega na zezwoleniu na wykonywanie, oprócz pojedynczych kroków, takŝe skoków długości co najwyŝej k. k-tą potęgą grafu G=(V,E) nazywamy graf G k =(V,E k ), gdzie xy E k wtedy i tylko wtedy gdy dist G (x,y) k i x y. Tak więc dla grafu G o p wierzchołkach mamy G 0 = K (taki graf nazywamy całkowicie niespójnym ) oraz G p-1 =K p (jeśli G jest spójny). Twierdzenie. (Sekanina, 1960) Dla kaŝdego spójnego grafu o p wierzchołkach i dla kaŝdego k, G k jest grafem Hamiltona. KaŜdy spójny graf G ma drzewo rozpinające, wystarczy więc wykazać, Ŝe dla kaŝdego drzewa T, T jest grafem Hamiltona. WykaŜemy przez indukcję względem p, Ŝe kaŝde dwa wierzchołki sąsiadujące w T są połączone prostą drogą Hamiltona w T. Dla p=1 nie ma czego dowodzić. p

5 Weźmy drzewo T o p wierzchołkach i załóŝmy, Ŝe tak jest dla wszystkich drzew o mniej niŝ p wierzchołkach. Niech e=xy będzie dowolną krawędzią drzewa T. Graf T-e ma dokładnie dwie składowe drzewa T x i T y zawierające wierzchołki odpowiednio x i y, kaŝda z nich ma mniej niŝ p wierzchołków. MoŜliwe są następujące przypadki: x jest jedynym wierzchołkiem T x i y jest jedynym wierzchołkiem T y. Wówczas (x,y) jest szukaną drogą. x jest jedynym wierzchołkiem T x i w T y istnieje wierzchołek u y. Wówczas w T y istnieje y-u prosta droga rozpinająca. PoniewaŜ dist T (x,u)=2 więc drogę tę moŝemy przedłuŝyć krawędzią ux do prostej y-x drogi rozpinającej w T. Podobnie postępujemy gdy y jest jedynym wierzchołkiem T y. W T x istnieje wierzchołek v x w T y istnieje wierzchołek u y. Wówczas w prosta droga rozpinająca a w T x istnieje v-x prosta droga rozpinająca. PoniewaŜ dist T (v,u)= więc drogi tę moŝemy połączyć krawędzią uv do prostej y-x drogi rozpinającej w T. T y istnieje y-u Problem istnienia cyklu Hamiltona w G 2 okazał się znacznie trudniejszy. Herbert Fleischner udowodnił Twierdzenie. (Fleischner, 1974) Dla kaŝdego dwuspójnego grafu G, G 2 jest grafem Hamiltona. jest długi i Ŝmudny dwie prace, w których Fleischner go przedstawił liczą łącznie ponad 40 stron.