TEORIA GRAFÓW I SIECI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TEORIA GRAFÓW I SIECI"

Transkrypt

1 TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT tel.: , p.225/100 Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania Decyzji Instytut Systemów Informatycznych Wydział Cybernetyki, Wojskowa Akademia Techniczna

2 Kilka dalszych definicji Marszruta łącząca wierzchołki x p z x k M p k x, x xi, ui, xi, ui,, xi, u L i, x L il 1. i W, l 0, L x l 2. i U, l 1, L u l x o i x L i x x p k ^ x, u, x P x, u, x P x p wierzchołek początkowy x k wierzchołek końcowy L długość marszruty (liczba gałęzi w marszrucie) 5. il 1 il il il il il 1 l 1, L 2

3 Kilka dalszych definicji Marszruta Marszruta skierowana: xi, ui, xi P ^ l 1 l 1, L Marszruta cykliczna: marszruta, dla której x p =x k, Łańcuch marszruta o różnych gałęziach, Łańcuch prosty - łańcuch o różnych wierzchołkach, Cykl łańcuch cykliczny, L 1, Cykl prosty: x p =x k, pozostałe wierzchołki różne, Droga łańcuch skierowany, Droga prosta droga o różnych wierzchołkach. G 1 3 a 2 4 d f 5 g 6 x p =2, x k =6 1. <2,b,3,c,4,f,6> 2. <2,d,5,e,4,f,6> 3. <2,d,5,e,4,e,5,g,6> 4. <2,b,3,c,4,e,5,d,2> 5. <2,a,1,a,2> l l

4 Kilka twierdzeń TWIERDZENIE k Elementy r ij k-tej potęgi macierzy R(G) przyległości wierzchołków są równe liczbie różnych marszrut o długości k łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j. TWIERDZENIE k Element p ij k-tej potęgi macierzy przejść P(G) jest równy liczbie różnych marszrut skierowanych o długości k łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j. TWIERDZENIE (Königa) Graf bez pętli jest grafem dwudzielnym nie zawiera marszrut cyklicznych o nieparzystej długości. 4

5 Procedura wyznaczania łańcucha najkrótszego 1. wierzchołek x p oznaczamy cechą 0, 2. dla wszystkich wierzchołków ocechowanych cechą c cechujemy wszystkie wierzchołki przyległe cechą c + 1, 3. a) jeżeli x k nie jest ocechowany, to c: = c + 1 i powrót do punktu 2; b) jeżeli x k jest ocechowany, to przejdź do punktu tworzymy łańcuch od końca włączając wierzchołki o coraz niższych cechach i dowolne gałęzie je łączące, aż do włączenia x p. G a c= d f 5 g x p =2, x k =6 Łańcuch najkrótszy: od końca: <6,g,5,d,2>, czyli <2,d,5,g,6> 5

6 graf G jest spójny ^ istnieje M x, y ; x, y W Spójność grafu składowa spójności maksymalny podgraf spójny, liczba składowych spójności grafu G - (G), rząd R(G) grafu G liczność zbioru wierzchołków najliczniejszej składowej spójności. G1 Czy graf G1 jest spójny? G1 nie jest spójny: (G1) =2 R(G1)=4 G2 G2 nie jest spójny: (G2) =2 R(G1)=5 6

7 Wyznaczanie składowych spójności grafu n 1 S b k B k 1 I. gdzie B Rb G I R b binarna macierz przyległości wierzchołków. Do tej samej składowej spójności należą wierzchołki, którym odpowiadają identyczne wiersze (kolumny) macierzy S b. UWAGA: k n 1 k k 1 B B B n 1 Graf (po lewej) nie jest spójny: (G) =4 po prawej, R(G)=7 7

8 Wyznaczanie składowych spójności grafu II. 1. cechujemy dowolny wierzchołek cechą C = 1, 2. wszystkie wierzchołki przyległe do wierzchołków już ocechowanych cechujemy cechą C, 3. jeżeli został wierzchołek nieocechowany, to C:=C+1 i cechujemy go cechą C, a następnie przechodzimy do punktu 2, 4. wszystkie wierzchołki ocechowane identyczną cechą tworzą składową spójności. 1 c=1 1 S1={1,2,3,4,5} S2={6}

9 Łańcuch Eulera Łańcuch Eulera łańcuch zawierający wszystkie gałęzie grafu. Leonard Euler

10 Łańcuch Eulera 10

11 Łańcuch Eulera Mosty królewieckie - 7 mostów łączących brzegi rzeki Pregoły (1736) 11

12 Łańcuch Eulera Pytanie Eulera: Czy można przejść przez miasto przechodząc przez każdy most dokładnie jeden raz? 12

13 Łańcuch Eulera TWIERDZENIE G zawiera łańcuch Eulera G jest spójny i liczba wierzchołków o nieparzystych rozwidleniach r(x) jest równa 0 lub 2. cykl Eulera łańcuch Eulera Uwaga! O grafie, który zawiera cykl Eulera mówi się, że to graf eulerowski a taki, który zawiera łańcuch Eulera - półeulerowski. G 1 nie zawiera łańcucha/cyklu Eulera Dlaczego? G 2 zawiera łańcuch/cykl Eulera Dlaczego? G 3 zawiera łańcuch/cykl Eulera Dlaczego? 13

14 Łańcuch Eulera Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami a mosty krawędziami: b b x p a c a c d Problem mostów w Królewcu na rzece Pregole d x k 14

15 Łańcuch Eulera algorytm Algorytm (Hoang-Tuy) 1. jeżeli wszystkie r(x) parzyste, to x p = x k dowolny jeżeli r(x), r(y) nieparzyste, to x p = x, x k = y; 2. wyznaczamy łańcuch prosty (dla x p x k ) - cykl prosty (dla x p = x k ); 3. wśród nieocechowanych gałęzi znajdujemy cykl prosty z gałęzią przyległą do dowolnej ocechowanej i gałęzie tego cyklu cechujemy cechą o 1 większą od ostatnio nadanej; postępowanie kontynuujemy aż do ocechowania wszystkich gałęzi; 4. łańcuch tworzymy rozpoczynając od x p i dołączając kolejno gałęzie o najwyższej wartości cechy spośród gałęzi przyległych do ostatnio dołączonej; postępowanie kończymy na x k. 15

16 Łańcuch Eulera zastosowania Problem chińskiego listonosza (ang. Chinese postman problem, route inspection problem) listonosz, roznosząc listy, wychodzi z poczty i musi przejść przez wszystkie ulice w swojej dzielnicy co najmniej jeden raz i wrócić na pocztę. Chciałby mieć jak najkrótszą do przejścia trasę. Problem polega na znalezieniu cyklu Eulera w grafie. Problem został pierwszy raz sformułowany w 1962 roku w języku chińskim. Złożoność obliczeniowa problemu uzależniona jest od rodzaju grafu, na którym jest on rozpatrywany. W przypadku grafów w całości skierowanych albo nieskierowanych, problem chińskiego listonosza można rozwiązać w czasie wielomianowym. W przypadku grafów mieszanych (częściowo skierowanych, częściowo nieskierowanych) problem zalicza się do klasy NP-trudnych. 16

17 Łańcuch/cykl Hamiltona Łańcuch (cykl) Hamiltona łańcuch (cykl) prosty zawierający wszystkie wierzchołki. UWAGA: z definicji łańcucha (cyklu) Hamiltona wynika, że można go wyznaczać jedynie dla szkieletu grafu. TWIERDZENIE (ORE A) Jeżeli w grafie zwykłym i spójnym istnieje najdłuższy łańcuch prosty łączący wierzchołki x oraz y taki, że L 2, s(x) + s(y) L+1, to łańcuch ten jest łańcuchem Hamiltona, a graf zawiera cykl Hamiltona. 17

18 Łańcuch/cykl Hamiltona TWIERDZENIE Założenia: G graf zwykły i spójny, R(G) 3. Jeżeli dla każdych dwóch wierzchołków (różnych) x, y W zachodzi: s(x) + s(y) R(G) 1, to w G każdy najdłuższy łańcuch prosty jest łańcuchem Hamiltona; jeżeli s(x) + s(y) R(G), to w G istnieje cykl Hamiltona. TWIERDZENIE (DIRAC A) G graf zwykły i spójny, R(G) 3 x W s 1 2 x R( G) w G istnieje cykl Hamiltona 18

19 Łańcuch/cykl Hamiltona - zastosowania Problem komiwojażera: dane jest n miast, które komiwojażer ma odwiedzić oraz odległość / cena podróży / czas podróży pomiędzy każdą parą miast. Celem jest znalezienie najkrótszej / najtańszej / najszybszej drogi łączącej wszystkie miasta, zaczynającej się i kończącej się w określonym punkcie. Przykład Miasta: Kutno, Warszawa, Poznań, Kraków. Znaleźć najkrótszą trasę z Kutna odwiedzającą wszystkie miasta dokładnie jeden raz. Miasto Kutno Warszawa Poznań Kraków Kutno Warszawa Poznań Kraków

20 G liczba składowych spójności G W n; U m Liczba cyklomatyczna grafu G m G n Cyklomatyka grafów (G)= =7 Las - G 0 Drzewo - G 0 i G 1 Własności i interpretacja 1. G 0 2. G 0 3. G G nie ma w G łańcuchów cyklicznych; jest równa liczbie gałęzi (zwanych klamrami), które trzeba usunąć, aby powstały graf częściowy G I I był lasem i G G. 20

21 Cyklomatyka grafów Karkas grafu G W, U, P - jest to graf częściowy T, T, I I W, U P spełniający dwa warunki z trzech: 1. m T m G G 2. T G 3. T 0 UWAGA! Karkas grafu = drzewo rozpinające (ang. spanning tree) Przykłady karkasów grafów 21

22 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 22

23 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 23

24 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 24

25 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 25

26 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 26

27 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 27

28 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 28

29 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 29

30 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 30

31 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 31

32 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 32

33 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 33

34 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 34

35 Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania Decyzji Instytut Systemów Informatycznych Wydział Cybernetyki, Wojskowa Akademia Techniczna DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 7: Przydziały w grafach i sieciach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 26-83-95-04, p.225/00 Zakład

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 5: Sieci, drogi ekstremalne w sieciach, analiza złożonych przedsięwzięć (CPM i PERT) dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Ogólne wiadomości o grafach

Ogólne wiadomości o grafach Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Kolorowanie grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: -8-9-, p./ Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Grafy

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

5. Najkrótsze ścieżki

5. Najkrótsze ścieżki p. Definicja 5. Najkrótsze ścieżki 5.1 Odległości w grafach: definicje i własności (Długość ścieżki). Długościa ścieżki nazywamy liczbę krawędzi występujacych w tej ścieżce. Bardziej formalnie, jeżeli

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem

MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające (spanning tree) w grafie liczącym n wierzchołków to zbiór n-1 jego krawędzi takich, że dowolne dwa wierzchołki grafu można połączyć za pomocą krawędzi należących do

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów

Teoria grafów dla małolatów Teoria grafów dla małolatów Andrzej P.Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka w szkole podstawowej kojarzy się przede wszystkim z arytmetyką, ale współcześni matematycy rzadko

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki dr Adrian Horzyk, paw. H Wykład TEORIA GRAFÓW

Wstęp do informatyki dr Adrian Horzyk, paw. H Wykład TEORIA GRAFÓW TEORIA GRAFÓW W osiemnastym wieku mieszkańcy Królewca lubili spacerować po mostach na rzece Pregole, których mieli w mieście siedem. Plan mostów pokazuje rysunek. Ale takie zwykłe spacerowanie po jakimś

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych

Bardziej szczegółowo

Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił.

Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. Scenariusz lekcji Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. W roku 1962 chioski matematyk Mei-Ko Kwan zaproponował następujący problem: Listonosz roznosząc

Bardziej szczegółowo

Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP)

Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP) & Zagadnienie komowojażera 1 Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP) Danych jest miast oraz macierz odległości pomiędzy każdą parą miast. Komiwojażer wyjeżdża z miasta o numerze 1 chce

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej 11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow 9: Digrafy (grafy skierowane) Spis zagadnień Digrafy Porządki częściowe Turnieje Przykłady: głosowanie większościowe, ścieżka krytyczna Digraf (graf skierowany) Digraf to równoważny termin z terminem graf

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują

Bardziej szczegółowo

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1 Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne

Algorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Algorytmy i struktury danych Drzewa: BST, kopce Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Drzewa: BST, kopce Definicja drzewa Drzewo (ang. tree) to nieskierowany, acykliczny, spójny graf. Drzewo może

Bardziej szczegółowo

E-I-0002-s3. Matematyka dyskretna. Informatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

E-I-0002-s3. Matematyka dyskretna. Informatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny) KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu E-I-0002-s3 Nazwa modułu Matematyka dyskretna Nazwa modułu w języku angielskim Discrete

Bardziej szczegółowo

Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane

Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Marek Cygan Uniwersytet Warszawski 18 października 2012 Marek Cygan Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane 1/22 Wstęp W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,

Bardziej szczegółowo

Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n

Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie 7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Niektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC

Niektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 18, 2003 Niektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC Roman KULESZA Zakład Automatyki, Instytut Teleinformatyki i Automatyki WAT, ul. Kaliskiego 2,

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo